$\begin{align*}
A(x)&=x^2-4x+6\\
&=x^2-4x+4-4+6 \\
&=(x-2)^2+2\\\\
B(x)&=2x^2+4x-2\\
&=2\left(x^2+2x-1\right) \\
&=2\left(x^2+2x+1-1-1\right) \\
&=2\left((x+1)^2-2\right) \\
&=2(x+1)^2-4\\\\
C(x)&=3x^2+24x+44\\
&=3\left(x^2+8x+\dfrac{44}{3}\right)\\[3mm]
&=3\left(x^2+8x+16-16+\dfrac{44}{3}\right) \\[3mm]
&=3\left((x+4)^2-\dfrac{4}{3}\right)\\[3mm]
&=3(x+4)^2-4 \\\\
D(x)&=-x^2-6x-5 \\
&=-\left(x^2+6x+5\right) \\
&=-\left(x^2+6x+9-9+5\right)\\
&=-\left((x+3)^2-4\right) \\
&=-(x+3)^2+4 \\\\
E(x)&=x^2+10x-20\\
&=x^2+10x+25-25-20 \\
&=(x+5)^2-45 \\\\
F(x)&=3x^2-18x+23\\
&=3\left(x^2-6x+\dfrac{23}{3}\right) \\[3mm]
&=3\left(x^2-6x+9-9+\dfrac{23}{3}\right) \\[3mm]
&=3\left((x-3)^2-9+\dfrac{23}{3}\right) \\[3mm]
&=3\left((x-3)^2-\dfrac{4}{3}\right) \\[3mm]
&=3(x-3)^2-4\\\\
G(x)&=5x^2+20x+21\\
&=5\left(x^2+4x+\dfrac{21}{5}\right)\\[3mm]
&=5\left(x^2+4x+4-4\dfrac{21}{5}\right)\\[3mm]
&=5\left((x+2)^2+\dfrac{1}{5}\right)\\[3mm]
&=5(x+2)^2+1\\\\
H(x)&=x^2-8x-9 \\
&=x^2-8x+16-16-9 \\
&=(x-4)^2-27\\\\
\end{align*}$

$(A)~:~x^2+3x-4=0$

Le discriminant de cette équation du second degré est : $\Delta=3^2-4\times 1\times (-4)=25>0$.
Elle possède donc deux solutions $x_1=\dfrac{-3-\sqrt{25}}{2}=-4$ et $x_2=\dfrac{-3+\sqrt{25}}{2}=1$.

$\quad$

$(B)~:~-2x^2+12x-16=0$

Le discriminant de cette équation du second degré est : $\Delta=12^2-4\times (-2)\times (-16)=144-128=16>0$.
Elle possède donc deux solutions $x_1=\dfrac{-12-\sqrt{16}}{-4}=4$ et $x_2=\dfrac{-12+\sqrt{16}}{-4}=-2$.

$\quad$

$(C)~:~-3x^2-9x+12=0$

Le discriminant de cette équation du second degré est : $\Delta=(-9)^2-4\times (-3)\times 12=81+144=225>0$.
Elle possède donc deux solutions $x_1=\dfrac{9-\sqrt{225}}{-6}=1$ et $x_2=\dfrac{9+\sqrt{225}}{-6}=-4$.

$\quad$

$(D)~:~-2x^2+8x-11=0$

Le discriminant de cette équation du second degré est : $\Delta=8^2-4\times (-2)\times (-11)=64-88=-24<0$.
Elle ne possède pas de solution réelle.

$\quad$

$(E)~:~-4x^2+4x+24=0$

Le discriminant de cette équation du second degré est : $\Delta=4^2-4\times (-4)\times 24=16+384=400>0$.
Elle possède donc deux solutions $x_1=\dfrac{-4-\sqrt{400}}{-8}=3$ et $x_2=\dfrac{-4+\sqrt{400}}{-8}=-2$.

$\quad$

$(F)~:~3x^2+15x+12=0$

Le discriminant de cette équation du second degré est : $\Delta=15^2-4\times 3\times 12=225-144=81>0$.
Elle possède donc deux solutions $x_1=\dfrac{-15-\sqrt{81}}{6}=-4$ et $x_2=\dfrac{-15+\sqrt{81}}{6}=-1$.

$A(x)=x^2+7x+12$
Le discriminant de ce polynôme du second degré est $\Delta=1>0$.
Ses racines sont $x_1=\dfrac{-7-\sqrt{1}}{2}=-4$ et $x_2=\dfrac{-7+\sqrt{1}}{2}=-3$.
Par conséquent $A(x)=(x+4)(x+3)$.

$\quad$

$B(x)=x^2-4x+7$
Le discriminant de ce polynôme du second degré est $\Delta=-5<0$.
Il ne possède donc pas de racine réelle et on ne peut pas le factoriser.

$\quad$

$C(x)=x^2+6x+8$
Le discriminant de ce polynôme du second degré est $\Delta=4>0$.
Ses racines sont $x_1=\dfrac{-6-\sqrt{4}}{2}=4$ et $x_2=\dfrac{-6+\sqrt{4}}{2}=2$.
Par conséquent $C(x)=(x-4)(x-2)$.

$\quad$

$\begin{align*}D(x)&=-3x^2+18x-15\\
&=3\left(x^2+6x-5\right)\end{align*}$
Le discriminant de $x^2+6x-5$ est $\Delta=16>0$.
Ses racines sont $x_1=\dfrac{-6-\sqrt{16}}{2}=5$ et $x_2=\dfrac{-6+\sqrt{16}}{2}=1$.
Par conséquent $D(x)=3(x-5)(x-1)$.

$\quad$

$\begin{align*}E(x)&=-x^2-4x-3\\
&=-\left(x^2+4x+3\right)\end{align*}$
Le discriminant de $x^2+4x+3$ est $\Delta=4>0$.
Ses racines sont $x_1=\dfrac{-4-\sqrt{4}}{2}=-3$ et $x_2=\dfrac{-4+\sqrt{4}}{2}=-1$.
Par conséquent $E(x)=-(x+3)(x+1)$.

$\quad$

$F(x)=-4x^2+5x+2$
Le discriminant de ce polynôme du second degré est $\Delta=57>0$.
Ses racines sont $x_1=\dfrac{-5-\sqrt{57}}{-8}=\dfrac{5+\sqrt{57}}{8}$ et $x_2=\dfrac{-5+\sqrt{57}}{-8}=\dfrac{5-\sqrt{57}}{8}$.
Par conséquent $F(x)=-4\left(x-\dfrac{5+\sqrt{57}}{8}\right)\left(x-\dfrac{5-\sqrt{57}}{8}\right)$.

$\quad$

$G(x)=5x^2-x+3$
Le discriminant de ce polynôme du second degré est $\Delta=-59<0$.
Il ne possède donc pas de racines réelles et ne peut pas être factorisée.

$\quad$

$H(x)=3x^2-3x-2$
Le discriminant de ce polynôme du second degré est $\Delta=33>0$.
Ses racines sont $x_1=\dfrac{3-\sqrt{33}}{6}$ et $x_2=\dfrac{3+\sqrt{33}}{6}$.
Par conséquent $H(x)=3\left(x-\dfrac{3-\sqrt{33}}{6}\right)\left(x-\dfrac{3+\sqrt{33}}{6}\right)$.

$\quad$

• $-3x^2-12x+15\pg 0 \ssi x^2+4x-5\pp 0$
  Le discriminant de $x^2+4x-5$ est $\Delta=36>0$.
  Ses racines sont $-5$ et $1$.
  Son coefficient principal est $1>0$.
  Par conséquent l’ensemble solution de l’inéquation est $[-5;1]$.
  $\quad$
• $-x^2+2x+3>0$
  Son discriminant est $\Delta=16>0$.
  Ses racines sont $3$ et $-1$.
  Son coefficient principal est $-1<0$.
  Par conséquent l’ensemble solution de l’inéquation est $]-1;3[$.
  $\quad$
• $3x^2+27x+60>0\ssi x^2+9x+20>0$
  Le discriminant de $x^2+9x+20$ est $\Delta=1>0$.
  Ses racines sont $-5$ et $-4$.
  Son coefficient principal est $1>0$.
  L’ensemble solution de l’inéquation est donc $]-\infty;-5[\cup]-4;+\infty[$.
  $\quad$
• $4x^2+8x+6 \pg 0 \ssi 2x^2+4x+3\pg 0$
  Le discriminant de $2x^2+4x+3$ est $\Delta=-8<0$.
  Son coefficient principal est $2>0$.
  L’ensemble solution est donc $\R$.
  $\quad$
• $2x^2-4x+5 \pp 0$
  Son discriminant est $\Delta=-24<0$.
  Son coefficient principal est $2>0$.
  L’inéquation ne possède donc aucune solution.
  $\quad$
• $-x^2-9x-18\pp 0\ssi x^2+9x+18\pg 0$
  Le discriminant de $x^2+9x+18$ est $\Delta=9>0$.
  Ses racines sont $3$ et $6$ et son coefficient principal est $1>0$.
  L’ensemble solution de l’inéquation est donc $]-\infty;3]\cup[6;+\infty[$

On appellera $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f$ dans chacun des cas.

• $f(x)=-2x^2+4x+6$
  $-2<0$. $\mathscr{C}$ admet donc un maximum d’abscisse $\dfrac{-4}{-2\times 2}=1$. Or $f(1)=8$.
  Le maximum a ainsi pour coordonnées $(1;8)$.
  $\quad$
• $f(x)=3x^2+12x+9$
  $3>0$. $\mathscr{C}$ admet donc un minimum d’abscisse $\dfrac{-12}{2\times 3}=-2$. Or $f(-2)=-3$.
  Le minimum a ainsi pour coordonnées $(-2;-3)$.
  $\quad$
• $f(x)=2x^2-8x$
  $2>0$. $\mathscr{C}$ admet donc un minimum d’abscisse $\dfrac{8}{2\times 2}=2$. Or $f(2)=-8$.
  Le minimum a ainsi pour coordonnées $(2;-8)$.
  $\quad$
• $f(x)=-x^2+2x+3$
  $-1<0$. $\mathscr{C}$ admet donc un maximum d’abscisse $\dfrac{-2}{2\times (-1)}=1$. Or $f(1)=4$.
  Le maximum a ainsi pour coordonnées $(1;4)$.
  $\quad$
• $f(x)=x^2+6x+8$
  $1>0$. $\mathscr{C}$ admet donc un minimum d’abscisse $\dfrac{-6}{2\times 1}=-3$. Or $f(-3)=-1$.
  Le minimum a ainsi pour coordonnées $(-3;-1)$.
  $\quad$
• $f(x)=-2x^2-8x+10$
  $-2<0$. $\mathscr{C}$ admet donc un maximum d’abscisse $\dfrac{8}{2\times (-2)}=-2$. Or $f(-2)=18$.
  Le maximum a ainsi pour coordonnées $(-2;18)$.
  $\quad$
• $f(x)=3x^2+8$
  $3>0$. $\mathscr{C}$ admet donc un minimum d’abscisse $0$. Or $f(0)=8$.
  Le minimum a ainsi pour coordonnées $(0;8)$.
  $\quad$
• $f(x)=2x^2+4x+30$
  $2>0$. $\mathscr{C}$ admet donc un minimum d’abscisse $\dfrac{-4}{2\times 2}=-1$. Or $f(-1)=28$.
  Le minimum a ainsi pour coordonnées $(-1;28)$.
  $\quad$