Exercices corrigés TS - révision dérivation

Exercice 1

On considère les fonctions $f$ dérivables sur l’intervalle $I$ indiqué. Dans chacun des cas, déterminer $f'(x)$.

$f(x) = -4x^2+56x-96 \quad I = \R$
$\quad$
$f(x) = (4x+7)(7x+10) \quad I= \R$
$\quad$
$f(x) = \dfrac{3 x – 4}{2x+1} \quad I=\R \backslash \left\{-\dfrac{1}{2} \right\}$
$\quad$
$f(x) = \dfrac{8+3x}{1-6x} \quad I=\R \backslash \left\{ \dfrac{1}{6} \right\}$
$\quad$
$f(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{2 x -8} \quad I=\R^+ \backslash \{4 \}$
$\quad$
$f(x) = \dfrac{x^2+18x}{6x+4} \quad I=\R \backslash \left\{-\dfrac{2}{3} \right\}$
$\quad$
$f(x) = \dfrac{3 x -2}{2x^2-3x+5} \quad I=\R$
$\quad$

Correction Exercice 1

$f'(x) = -8x + 56$
$\quad$
$f'(x)=4(7 x + 10) + 7(4 x + 7)$ $=28 x + 40 + 28 x + 49$ $=56 x +89$
$\quad$
$f'(x)= \dfrac{3(2 x + 1) – 2(3 x – 4)}{(2 x + 1)^2} $ $=\dfrac{6 x + 3 – 6x + 8}{(2 x + 1)^2}$ $=\dfrac{11}{(2 x + 1)^2}$
$\quad$
$f'(x)=\dfrac{3(1 – 6 x)-(-6)(8 + 3 x)}{(1 – 6 x)^2} $ $= \dfrac{3 – 18 x + 48 + 18 x}{(1 – 6 x)^2} $ $=\dfrac{51}{(1 – 6 x)^2}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align} f'(x) &=\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}(2 x – 8) -2\sqrt{x}}{(2 x – 8)^2}\\\\
&= \dfrac{\dfrac{2 x – 8}{2} – 2x}{\sqrt{x}(2 x – 8)^2}\\\\
&=\dfrac{x – 4- 2x}{\sqrt{x}(2 x – 8)^2} \\\\
&=\dfrac{-x-4}{\sqrt{x}(2 x – 8)^2}
\end{align}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align} f'(x) &= \dfrac{(2x + 18)(6 x + 4) – 6(x^2 + 18x)}{(6 x + 4)^2} \\\\
&=\dfrac{12x^2 + 8x + 108 x + 72 – 6x^2 – 108 x}{(6x + 4)^2} \\\\
&=\dfrac{6x^2 +8x + 72}{(6x + 4)^2}
\end{align}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align} f'(x) &= \dfrac{3(2x^2 -3x + 5) – (4x – 3)(3x – 2)}{\left(2x^2- 3x + 5 \right)^2} \\\\
&= \dfrac{6x^2 – 9x + 15 – (12x^2 – 8x – 9x + 6)}{\left(2x^2- 3x + 5 \right)^2} \\\\
&= \dfrac{-6x^2+ 8x + 9}{\left(2x^2- 3x + 5 \right)^2}
\end{align}$
$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \dfrac{10x+4}{5x^2+1}$.

Déterminer pour tout $x\in \R$ l’expression de $f'(x)$, où $f’$ désigne la fonction dérivée de $f$.
$\quad$
En déduire le sens de variation de $f$ sur $\R$ et dresser son tableau de variations.
$\quad$
Donner l’équation de la tangente à la courbe représentant $f$ au point $A$ d’abscisse $0$.
$\quad$
Étudier la position relative de cette tangente et de la courbe représentant la fonction $f$.
$\quad$

Correction Exercice 2

$f$ est dérivable sur $\R$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $\R$ dont le dénominateur ne s’annule.
$\quad$$\begin{align} f'(x) &= \dfrac{10(5x^2+1) – 10x(10x + 4)}{\left(5x^2+1 \right)^2} \\\\
&= \dfrac{50x^2 + 10 – 100x^2 – 40x}{\left(5x^2+1 \right)^2} \\\\
&=\dfrac{-50x^2 – 40x + 10}{\left(5x^2+1 \right)^2} \\\\
\end{align}$
$\quad$
Le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $-50x^2-40x +10$.
$\quad$
Calculons le déterminant : $\Delta = (-40)^2 – 4 \times 10 \times (-50) = 3600$
$\quad$
Il y a donc deux racines réelles :
$x_1 = \dfrac{40 – \sqrt{3600}}{-100} $ $= \dfrac{40 – 60}{-100}$ $ = \dfrac{1}{5}$ et $x_2 = -1$
$\quad$
Le coefficient $a=-50<0$ donc l’expression est positive entre les racines et négative en dehors. On obtient ainsi le tableau de variations suivant:
Une équation de la tangente est de la forme :
$$u=f'(a)(x – a) + f(a)$$
Ici $f'(0) = 10$ et $f(0) =4$.
$\quad$
Donc une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse $0$ est :
$$y=10x+4$$
Pour déterminer la position relative de cette tangente à la courbe, on étudie le signe de :
$\begin{align} f(x)-(10x+4) &= \dfrac{10x+4}{5x^2+1} – (10x + 4) \\\\
&= \dfrac{10x+4}{5x^2+1} – \dfrac{(10x+4) \left(5x^2+1\right)}{5x^2+1} \\\\
&=\dfrac{(10x+4) \left(1 – \left(5x^2+1\right) \right)}{5x^2+1} \\\\
&=\dfrac{(10x+4)\left(-5x^2 \right)}{5x^2+1}\\\\
&=-\dfrac{(10x+4)\left(5x^2 \right)}{5x^2+1}
\end{align}$
$\quad$
Le signe de cette expression ne dépend donc que de celui de $-(10x+4)$
$\quad$
Or $-(10x+4) > 0$ $\Leftrightarrow 10x + 4 < 0$ $\Leftrightarrow x < -\dfrac{2}{5}$.
$\quad$
Par conséquent la courbe est au-dessus de la tangente sur $\left]-\infty;-\dfrac{2}{5} \right]$ et au-dessous sur $\left[-\dfrac{2}{5};+\infty \right[$.
$\quad$

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$\quad$