Bac ES/L – Métropole – Juin 2018

Métropole – Juin 2018

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. a. La variable aléatoire $X$ suit une loi continue donc $p(X=10)=0$.
    $\quad$
    b. $X$ suit la loi normale d’espérance $\mu=45$ et d’écart-type $\sigma=12$.
    Donc $p(X\pg 45)=p(X\pg \mu)=0,5$
    $\quad$
    c. $p(21 \pp X \pp 69)=p(\mu-2\sigma\pp X \pp \mu+2\sigma) \approx 0,95$.
    $\quad$
    d. $p(21 \pp X \pp 45)=p(45 \pp X \pp 69)$.
    Donc $p(21 \pp X \pp 45)=\dfrac{1}{2}p(21 \pp X \pp 69) \approx 0,475$
    $\quad$
  2. À l’aide de la calculatrice, on trouve $p(30 \pp X \pp 60) \approx 0,789$
    $\quad$
  3. En utilisant la fonction inverse loi normale de la calculatrice, on trouve $a\approx 39$.
    Cela signifie donc que la probabilité qu’un client passe moins de $39$ minutes dans le supermarché est de $30\%$.
    $\quad$

Partie B

  1. On a $n=300$ et $p=0,89$.
    Par conséquent $n\pg 30$, $np=267\pg 5$ et $n(1-p)=33$.
    Un intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ de la proportion de clients satisfaits est :
    $\begin{align*} I_{300}&=\left[0,89-1,96\sqrt{\dfrac{0,89\times 0,11}{300}};0,89+1,96\sqrt{\dfrac{0,89\times 0,11}{300}}\right] \\
    &\approx [0,854;0,925]
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. La fréquence observée de clients satisfaits est $f=\dfrac{286}{300}\approx 0,953$.
    $\quad$
  3. On constate donc que $f\notin I_{300}$.
    Au risque d’erreur de $5\%$, on ne peut pas affirmer que le taux de satisfaction des clients est resté stable entre 2013 et 2018.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. $p_{\conj{F}}(S)$ est la probabilité que l’élève soit inscrit dans un club de sport sachant que ce n’est pas une fille.
    Réponse a
    $\quad$
  2. On a
    $\begin{align*} p_F(S)=&\dfrac{p(F\cap S)}{p(F)}\\
    &=\dfrac{0,3\times 0,4}{0,47}\\
    &\approx 0,255
    \end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$

Partie B

  1. Une équation de la tangente est de la forme $y=g'(1)(x-1)+g(1)$.
    Or $g(1)=1$
    et $g'(x)=-3x^2+6x$ donc $g'(1)=3$.
    Une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_g$ au point d’abscisse $1$ est :
    $y=3(x-1)+1$ soit $y=3x-3+1$ ou encore $y=3x-2$.
    Réponse b
    $\quad$
  2. Une primitive de la fonction $g$ sur l’intervalle $[-1;4]$ est la fonction $G$ définie sur cet intervalle par $G(x)=-\dfrac{1}{4}x^4+x^3-x$.
    La valeur moyenne de la fonction $g$ sur l’intervalle $[-1;a]$ est :
    $\begin{align*} \ds m_a&=\dfrac{1}{a-(-1)}\int_{-1}^a g(x)\dx \\
    &=\dfrac{1}{a+1}\left(G(a)-G(-1)\right) \\
    &=\dfrac{1}{a+1}\left(-\dfrac{a^4}{4}+a^3-a+\dfrac{1}{4}\right)
    \end{align*}$
    On teste les valeurs proposées et on trouve que si $a=1$ alors $m_a=0$.
    Réponse b
    $\quad$

Ex 3 obl

Exercice 3

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

  1. a. On a :
    $u_1=u_0\times (1+0,06)-15=605\times 1,06-15=626,3$ cm
    Le 2 janvier 2018 à midi le niveau de l’eau est de $626,3$ cm.
    $\quad$
    b. Augmenter un nombre de $6\%$ revient à le multiplier par $1,06$.
    Ainsi l’augmentation de $6\%$ se traduit par $1,06u_n$.
    Il y a ensuite une baisse de $15$ cm donc $u_{n+1}=1,06u_n-15$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-250$ donc $u_n=v_n+250$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-250 \\
    &=1,06 u_n-15-250 \\
    &=1,06 u_n-265 \\
    &=1,06\left(v_n+250\right)-265 \\
    &=1,06v_n+265-265 \\
    &=1,06
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,06$ et de premier terme $v_0=u_0-250=355$.
    $\quad$
    b. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=355\times 1,06^n$.
    Donc $u_n=v_n+250=250+355\times 1,06^n$.
    $\quad$
  3. a. On a $1,06>1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 1,6^n=+\infty$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty$.
    $\quad$
    b. La limite de la suite $\left(u_n\right)$ étant $+\infty$, cela signifie qu’il existe un rang $n_0$ à partir duquel $u_{n_0} >1~000$.
    L’équipe d’entretien devra donc ouvrir les vannes.
    $\quad$
  4. a. On obtient l’algorithme suivant :
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    N\leftarrow 0\\
    U \leftarrow 605 \\
    \text{Tant que $U\pp 1000$ faire}\\
    \hspace{1cm} U\leftarrow 1,06\times U-15 \\
    \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. On a $u_{12} \approx 964$ et $u_{13} \approx 1~007$.
    Donc, à la fin de l’exécution de l’algorithme, on a $N=13$.
    $\quad$
    c. Les techniciens devront intervenir pour la première fois le 14 janvier 2018.
    $\quad$

Ex 3 spé

Exercice 3

Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. Le graphe possède $5$ sommets. Il est donc d’ordre $5$.
    $\quad$
  2. a. On a alors :
    $M=\begin{pmatrix} 0&1&0&1&0\\
    0&0&0&1&0\\
    1&1&0&0&1\\
    0&0&0&0&0\\
    1&1&0&1&0
    \end{pmatrix}$
    $\quad$
    b. Le coefficient ${M^3}_{(3,4)}=3$.
    On peut donc aller de $D$ en $F$ en faisant un parcours constitué de $3$ arêtes.
    Il existe $3$ parcours différents : $D-H-A-F$, $D-H-B-F$ et $D-A-B-F$.
    $\quad$
  3. On utilise l’algorithme de Dijsktra.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    A&B&D&F&H&\text{Sommet} \\
    \hline
    &&0&&&D\\
    \hline
    28(D)&40(D)&&&19(D)&H\\
    \hline
    28(D)&35(H)&&51(H)&&A\\
    \hline
    &35(H)&&51(H)&&B\\
    \hline
    &&&49(B)&&F\\
    \hline
    \end{array}$
    Le trajet pour lequel le temps de course est minimal est $D-H-B-F$. Il dure $49$ minutes.
    $\quad$

Partie B

$\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=2\e^{-2x}-2(2x+1)\e^{-2x} \\
    &=(2-4x-2)\e^{-2x} \\
    &=-4x\e^{-2x}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive sur l’intervalle $[-2;4]$. Par conséquent le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $-4x$.
    Ainsi, $f'(x)>0$ sur l’intervalle $[-2;0[$, $f'(0)=0$ et $f'(x)<0$ sur l’intervalle $]0;4]$.
    Donc la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[-2;0]$ et décroissante sur l’intervalle $[0;4]$.
    $\quad$
  3.  La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur l’intervalle $[-2;0]$.
    $f(-2) \approx -160,8<0$ et $f(0)=4>0$
    D’après le corollaire du théorème de la bijection l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[-2;0]$.
    De plus $\alpha\approx -0,8$.
    $\quad$
  4. a. La fonction exponentielle est strictement positive sur l’intervalle $[-2;4]$.
    Le signe de $f\dsec (x)$ ne dépend donc que de celui de $8x-4$.
    Or $8x-4=0 \ssi x=0,5$
    $8x-4>0 \ssi x>0,5$.
    $8x-4<0\ssi x<0,5$.
    La fonction $f\dsec$ est donc négative sur l’intervalle $[-2;0,5[$, nulle en $0,5$ et positive sur l’intervalle $]0,5;4]$.
    $\quad$
    b. La fonction $f$ est donc concave sur l’intervalle $[-2;0,5]$ et convexe sur l’intervalle $[0,5;4]$.
    $\quad$
  5. a. Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[-2;4]$ on a :
    $\begin{align*} G'(x)&=-\e^{-2x}-2(-x-1)\e^{-2x} \\
    &=(-1+2x+2)\e^{-2x} \\
    &=(2x+1)\e^{-2x} \\
    &=g(x)
    \end{align*}$
    La fonction $G$ est donc une primitive de la fonction $g$ sur l’intervalle $[-2;4]$.
    $\quad$
    b. Une primitive de $f$ est donc la fonction $F$ définie sur l’intervalle $[-2;4]$ par $F(x)=(-x-1)\e^{-2x}+3x$.
    $\quad$
  6. On obtient le graphique suivant :
    $\quad$
    b. Graphiquement on peut dire que $3< \mathscr{A} < 4$.
    En effet la partie hachurée est incluse dans un rectangle de dimension $1\times 4$ et contient un rectangle de dimension $1\times 3$.
    $\quad$
    c. On a :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\ds \int_0^1 f(x)\dx \\
    &=F(1)-F(0) \\
    &=-2\e^{-2}+3+1\\
    &=4-2\e^{-2} \\
    &\approx 3,73 \text{u.a.}
    \end{align*}$
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     5 points

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A

Le temps passé par un client, en minute, dans un supermarché peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale d’espérance $\mu = 45$ et d’écart type $\sigma = 12$.

Pour tout événement $E$, on note $p(E)$ sa probabilité.

  1. Déterminer, en justifiant :
    a. $p(X=10)$
    $\quad$
    b. $p(X\pg 45)$
    $\quad$
    c. $p(21 \pp X \pp 69)$
    $\quad$
    d. $p(21 \pp X \pp 45)$
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité, arrondie au millième, qu’un client passe entre $30$ et $60$ minutes dans ce supermarché.
    $\quad$
  3. Déterminer la valeur de $a$, arrondie à l’unité, telle que $P(X \pp a) = 0,30$. Interpréter la valeur de $a$ dans le contexte de l’énoncé.
    $\quad$

Partie B
En 2013, une étude a montré que $89 \%$ des clients étaient satisfaits des produits de ce supermarché.

  1. Déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de $95 \%$ de la proportion de clients satisfaits pour un échantillon de $300$ clients pris au hasard en 2013.
    $\quad$
    Lors d’une enquête réalisée en 2018 auprès de $300$ clients choisis au hasard, $286$ ont déclaré être satisfaits.
    $\quad$
  2. Calculer la fréquence de clients satisfaits dans l’enquête réalisée en 2018.
    $\quad$
  3. Peut-on affirmer, au seuil de $95 \%$, que le taux de satisfaction des clients est resté stable entre 2013 et 2018 ? Justifier.
    $\quad$

Exercice 2     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des
quatre réponses proposées est correcte.

Reporter sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie.

Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Aucune justification n’est demandée.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Dans un établissement scolaire, $30 \%$ des élèves sont inscrits dans un club de sport, et parmi eux, $40 \%$ sont des filles. Parmi ceux n’étant pas inscrits dans un club de sport, $50 \%$ sont des garçons.
Pour tout événement $E$, on note $\conj{E}$ l’événement contraire de $E$ et $p(E)$ sa probabilité. Pour tout événement $F$ de probabilité non nulle, on note $p_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant que $F$ est réalisé.

On interroge un élève au hasard et on considère les événements suivants :

  • $S$ : « l’élève est inscrit dans un club de sport »
  • $F$ : « l’élève est une fille »

La situation est représentée par l’arbre pondéré ci-dessous.

  1. La probabilité $p_{\conj{F}}(S)$ est la probabilité que l’élève soit :
    a. inscrit dans un club de sport sachant que c’est un garçon ;
    b. un garçon inscrit dans un club de sport ;
    c. inscrit dans un club de sport ou un garçon ;
    d. un garçon sachant qu’il est inscrit dans un club de sport.
    $\quad$
  2. On admet que $p(F)=0,47$. La valeur arrondie au millième de $p_F(S)$ est :
    a. $0,141$
    b. $0,255$
    c. $0,400$
    d. $0,638$
    $\quad$

Partie B

Soit $g$ la fonction définie sur $[-1;4]$ par $g(x)=-x^3+3x^2-1$ et $\mathcal{C}_g$ sa courbe représentative dans un repère.

  1. La tangente à la courbe $\mathcal{C}_g$ au point d’abscisse $1$ a pour équation :
    a. $y=-3x^2+6x$
    b. $y=3x-2$
    c. $y=3x-3$
    d. $y=2x-1$
    $\quad$
  2. La valeur moyenne de la fonction $g$ sur l’intervalle $[-1;a]$ est nulle pour :
    a. $a=0$
    b. $a=1$
    c. $a=2$
    d. $a=3$
    $\quad$

Exercice 3    5 points 

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de
série L

Un lac de montagne est alimenté par une rivière et régulé par un barrage, situé en aval, d’une hauteur de $10$ m.
On mesure le niveau d’eau du lac chaque jour à midi.

Le 1$\ier$ janvier 2018, à midi, le niveau d’eau du lac était de $6,05$ m.

Entre deux mesures successives, le niveau d’eau du lac évolue de la façon suivante :

  • d’abord une augmentation de $6 \%$ (apport de la rivière) ;
  • ensuite une baisse de $15$ cm (écoulement à travers le barrage).
  1. On modélise l’évolution du niveau d’eau du lac par une suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$, le terme $u_n$ représentant le niveau d’eau du lac à midi, en cm, $n$ jours après le $1\ier$ janvier 2018.
    Ainsi le niveau d’eau du lac le $1\ier$ janvier 2018 à midi est donné par $u_0=605$.
    a. Calculer le niveau du lac, en cm, le $2$ janvier 2018 à midi.
    $\quad$
    b. Montrer que, pour tout $n\in \N$, $u_{n+1}=1,06u_n-15$.
    $\quad$
  2. On pose, pour tout $n\in N$, $v_n=u_n-250$.
    a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $1,06$.
    Préciser son terme initial.
    b. Montrer que, pour tout $n\in \N$, $u_n=355\times 1,06^n+250$.
    $\quad$
  3. Lorsque le niveau du lac dépasse $10$ m, l’équipe d’entretien doit agrandir l’ouverture des vannes du barrage.
    a. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
    b. L’équipe d’entretien devra-t-elle ouvrir les vannes afin de réguler le niveau
    d’eau ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  4. Afin de déterminer la première date d’intervention des techniciens, on souhaite utiliser l’algorithme incomplet ci-dessous.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    N \leftarrow 0\\
    U\leftarrow 605\\
    \text{Tant que } \ldots\ldots\ldots \text{ faire}\\
    \hspace{1cm} U\leftarrow \ldots\ldots\ldots\\
    \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Recopier et compléter l’algorithme.
    $\quad$
    b. À la fin de l’exécution de l’algorithme, que contient la variable $N$?
    $\quad$
    c. En déduire la première date d’intervention des techniciens sur les vannes du
    barrage.
    $\quad$

Exercice 3    5 points 

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

Un parcours sportif est composé d’un banc pour abdominaux, de haies et d’anneaux. Le graphe orienté ci-dessous indique les différents parcours conseillés partant de $D$ et terminant à $F$.

Les sommets sont : $D$ (départ), $B$ (banc pour abdominaux), $H$ (haies), $A$ (anneaux) et $F$ (fin du parcours).
Les arêtes représentent les différents sentiers reliant les sommets.

  1. Quel est l’ordre du graphe?
    $\quad$
  2. On note $M$ la matrice d’adjacence de ce graphe où les sommets sont rangés dans l’ordre alphabétique.
    a. Déterminer $M$.
    $\quad$
    b. On donne $M^3=\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&1&0&3&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}$
    $\quad$
    Assia souhaite aller de $D$ à $F$ en faisant un parcours constitué de $3$ arêtes.
    Est-ce possible ? Si oui, combien de parcours différents pourra-t-elle emprunter ?
    Préciser ces trajets.
    $\quad$
  3. Assia a relevé ses temps de course en minute entre les différents sommets. Ces durées sont portées sur le graphe ci-dessous.
    Lors d’un entraînement, Assia souhaite courir le moins longtemps possible en allant de $D$ à $F$. Déterminer le trajet pour lequel le temps de course est minimal et préciser la durée de sa course.

    $\quad$

Partie B

Le responsable souhaite ajouter une barre de traction notée $T$. De nouveaux sentiers sont construits et de nouveaux parcours sont possibles.

La matrice d’adjacence $N$ associée au graphe représentant les nouveaux parcours, dans lequel les sommets sont classés dans l’ordre alphabétique, est $$N=\begin{pmatrix} 0&1&0&1&0&1\\0&0&0&1&0&0\\1&1&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0\\1&1&0&1&0&1\\0&0&0&1&0&0\end{pmatrix}$$

Compléter l’annexe à rendre avec la copie, en ajoutant les arêtes nécessaires au graphe orienté correspondant à la matrice $N$.
$\quad$

Annexe 

$\quad$

Exercice 4     6 points

On désigne par $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[-2;4]$ par $$f(x)=(2x+1)\e^{-2x}+3$$

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère. Une représentation graphique est donnée en annexe.

  1. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$. Montrer que, pour tout $x\in[-2;4]$ $$f'(x)=-4x\e^{-2x}$$
    $\quad$
  2. Étudier les variations de $f$.
    $\quad$
  3. Montrer que l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur l’intervalle $[−2 ; 0]$ et donner une valeur approchée au dixième de cette solution.
    $\quad$
  4. On note $f\dsec$ la fonction dérivé de $f’$. On admet que, pour tout $x\in[-2;4]$, $$f\dsec(x)=(8x-4)\e^{-2x}$$
    a. Étudier le signe de $f\dsec$ sur l’intervalle $[-2;4]$.
    $\quad$
    b. En déduire le plus grand intervalle dans $[-2;4]$ sur lequel $f$ est convexe.
    $\quad$
  5. On note $g$ la fonction définie sur l’intervalle $[-2;4]$ par $g(x)=(2x+1)\e^{-2x}$.
    a. Vérifier que la fonction $G$ définie pour tout $x\in[-2;4]$ par $G(x)=(-x-1)\e^{-2x}$ est une primitive de la fonction $g$.
    $\quad$
    b. En déduire une primitive $F$ de $f$.
    $\quad$
  6. On note $\mathscr{A}$ l’aire du domaine $\mathcal{D}$ compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=0$ et $x=1$.
    a. Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ sur le graphique donné en annexe, à rendre avec la copie.
    $\quad$
    b. Par lecture graphique, donner un encadrement de $\mathscr{A}$, en unité d’aire, par deux entiers consécutifs.
    $\quad$
    c. Calculer la valeur exacte de $\mathscr{A}$, puis une valeur approchée au centième.
    $\quad$

Annexe