Exercice 1

Partie A

1. a. La variable aléatoire $X$ suit une loi continue donc $p(X=10)=0$.
   $\quad$
   b. $X$ suit la loi normale d’espérance $\mu=45$ et d’écart-type $\sigma=12$.
   Donc $p(X\pg 45)=p(X\pg \mu)=0,5$
   $\quad$
   c. $p(21 \pp X \pp 69)=p(\mu-2\sigma\pp X \pp \mu+2\sigma) \approx 0,95$.
   $\quad$
   d. $p(21 \pp X \pp 45)=p(45 \pp X \pp 69)$.
   Donc $p(21 \pp X \pp 45)=\dfrac{1}{2}p(21 \pp X \pp 69) \approx 0,475$
   $\quad$
2. À l’aide de la calculatrice, on trouve $p(30 \pp X \pp 60) \approx 0,789$
   $\quad$
3. En utilisant la fonction inverse loi normale de la calculatrice, on trouve $a\approx 39$.
   Cela signifie donc que la probabilité qu’un client passe moins de $39$ minutes dans le supermarché est de $30\%$.
   $\quad$

Partie B

1. On a $n=300$ et $p=0,89$.
   Par conséquent $n\pg 30$, $np=267\pg 5$ et $n(1-p)=33$.
   Un intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ de la proportion de clients satisfaits est :
   $\begin{align*} I_{300}&=\left[0,89-1,96\sqrt{\dfrac{0,89\times 0,11}{300}};0,89+1,96\sqrt{\dfrac{0,89\times 0,11}{300}}\right] \\
   &\approx [0,854;0,925]
   \end{align*}$
   $\quad$
2. La fréquence observée de clients satisfaits est $f=\dfrac{286}{300}\approx 0,953$.
   $\quad$
3. On constate donc que $f\notin I_{300}$.
   Au risque d’erreur de $5\%$, on ne peut pas affirmer que le taux de satisfaction des clients est resté stable entre 2013 et 2018.
   $\quad$

 

Exercice 2

Partie A

1. $p_{\conj{F}}(S)$ est la probabilité que l’élève soit inscrit dans un club de sport sachant que ce n’est pas une fille.
   Réponse a
   $\quad$
2. On a
   $\begin{align*} p_F(S)=&\dfrac{p(F\cap S)}{p(F)}\\
   &=\dfrac{0,3\times 0,4}{0,47}\\
   &\approx 0,255
   \end{align*}$
   Réponse b
   $\quad$

Partie B

1. Une équation de la tangente est de la forme $y=g'(1)(x-1)+g(1)$.
   Or $g(1)=1$
   et $g'(x)=-3x^2+6x$ donc $g'(1)=3$.
   Une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_g$ au point d’abscisse $1$ est :
   $y=3(x-1)+1$ soit $y=3x-3+1$ ou encore $y=3x-2$.
   Réponse b
   $\quad$
2. Une primitive de la fonction $g$ sur l’intervalle $[-1;4]$ est la fonction $G$ définie sur cet intervalle par $G(x)=-\dfrac{1}{4}x^4+x^3-x$.
   La valeur moyenne de la fonction $g$ sur l’intervalle $[-1;a]$ est :
   $\begin{align*} \ds m_a&=\dfrac{1}{a-(-1)}\int_{-1}^a g(x)\dx \\
   &=\dfrac{1}{a+1}\left(G(a)-G(-1)\right) \\
   &=\dfrac{1}{a+1}\left(-\dfrac{a^4}{4}+a^3-a+\dfrac{1}{4}\right)
   \end{align*}$
   On teste les valeurs proposées et on trouve que si $a=1$ alors $m_a=0$.
   Réponse b
   $\quad$

Exercice 3

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

1. a. On a :
   $u_1=u_0\times (1+0,06)-15=605\times 1,06-15=626,3$ cm
   Le 2 janvier 2018 à midi le niveau de l’eau est de $626,3$ cm.
   $\quad$
   b. Augmenter un nombre de $6\%$ revient à le multiplier par $1,06$.
   Ainsi l’augmentation de $6\%$ se traduit par $1,06u_n$.
   Il y a ensuite une baisse de $15$ cm donc $u_{n+1}=1,06u_n-15$.
   $\quad$
2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-250$ donc $u_n=v_n+250$.
   Ainsi :
   $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-250 \\
   &=1,06 u_n-15-250 \\
   &=1,06 u_n-265 \\
   &=1,06\left(v_n+250\right)-265 \\
   &=1,06v_n+265-265 \\
   &=1,06
   \end{align*}$
   La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,06$ et de premier terme $v_0=u_0-250=355$.
   $\quad$
   b. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=355\times 1,06^n$.
   Donc $u_n=v_n+250=250+355\times 1,06^n$.
   $\quad$
3. a. On a $1,06>1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 1,6^n=+\infty$.
   Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty$.
   $\quad$
   b. La limite de la suite $\left(u_n\right)$ étant $+\infty$, cela signifie qu’il existe un rang $n_0$ à partir duquel $u_{n_0} >1~000$.
   L’équipe d’entretien devra donc ouvrir les vannes.
   $\quad$
4. a. On obtient l’algorithme suivant :
   $\begin{array}{|l|}
   \hline
   N\leftarrow 0\\
   U \leftarrow 605 \\
   \text{Tant que $U\pp 1000$ faire}\\
   \hspace{1cm} U\leftarrow 1,06\times U-15 \\
   \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
   \text{Fin Tant que}\\
   \hline
   \end{array}$
   $\quad$
   b. On a $u_{12} \approx 964$ et $u_{13} \approx 1~007$.
   Donc, à la fin de l’exécution de l’algorithme, on a $N=13$.
   $\quad$
   c. Les techniciens devront intervenir pour la première fois le 14 janvier 2018.
   $\quad$

Exercice 3

Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

1. Le graphe possède $5$ sommets. Il est donc d’ordre $5$.
   $\quad$
2. a. On a alors :
   $M=\begin{pmatrix} 0&1&0&1&0\\
   0&0&0&1&0\\
   1&1&0&0&1\\
   0&0&0&0&0\\
   1&1&0&1&0
   \end{pmatrix}$
   $\quad$
   b. Le coefficient ${M^3}_{(3,4)}=3$.
   On peut donc aller de $D$ en $F$ en faisant un parcours constitué de $3$ arêtes.
   Il existe $3$ parcours différents : $D-H-A-F$, $D-H-B-F$ et $D-A-B-F$.
   $\quad$
3. On utilise l’algorithme de Dijsktra.
   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   A&B&D&F&H&\text{Sommet} \\
   \hline
   &&0&&&D\\
   \hline
   28(D)&40(D)&&&19(D)&H\\
   \hline
   28(D)&35(H)&&51(H)&&A\\
   \hline
   &35(H)&&51(H)&&B\\
   \hline
   &&&49(B)&&F\\
   \hline
   \end{array}$
   Le trajet pour lequel le temps de course est minimal est $D-H-B-F$. Il dure $49$ minutes.
   $\quad$

Partie B

$\quad$

Exercice 4

1. Pour tout réel $x$ on a :
   $\begin{align*} f'(x)&=2\e^{-2x}-2(2x+1)\e^{-2x} \\
   &=(2-4x-2)\e^{-2x} \\
   &=-4x\e^{-2x}
   \end{align*}$
   $\quad$
2. La fonction exponentielle est strictement positive sur l’intervalle $[-2;4]$. Par conséquent le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $-4x$.
   Ainsi, $f'(x)>0$ sur l’intervalle $[-2;0[$, $f'(0)=0$ et $f'(x)<0$ sur l’intervalle $]0;4]$.
   Donc la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[-2;0]$ et décroissante sur l’intervalle $[0;4]$.
   $\quad$
3.  La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur l’intervalle $[-2;0]$.
   $f(-2) \approx -160,8<0$ et $f(0)=4>0$
   D’après le corollaire du théorème de la bijection l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[-2;0]$.
   De plus $\alpha\approx -0,8$.
   $\quad$
4. a. La fonction exponentielle est strictement positive sur l’intervalle $[-2;4]$.
   Le signe de $f\dsec (x)$ ne dépend donc que de celui de $8x-4$.
   Or $8x-4=0 \ssi x=0,5$
   $8x-4>0 \ssi x>0,5$.
   $8x-4<0\ssi x<0,5$.
   La fonction $f\dsec$ est donc négative sur l’intervalle $[-2;0,5[$, nulle en $0,5$ et positive sur l’intervalle $]0,5;4]$.
   $\quad$
   b. La fonction $f$ est donc concave sur l’intervalle $[-2;0,5]$ et convexe sur l’intervalle $[0,5;4]$.
   $\quad$
5. a. Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[-2;4]$ on a :
   $\begin{align*} G'(x)&=-\e^{-2x}-2(-x-1)\e^{-2x} \\
   &=(-1+2x+2)\e^{-2x} \\
   &=(2x+1)\e^{-2x} \\
   &=g(x)
   \end{align*}$
   La fonction $G$ est donc une primitive de la fonction $g$ sur l’intervalle $[-2;4]$.
   $\quad$
   b. Une primitive de $f$ est donc la fonction $F$ définie sur l’intervalle $[-2;4]$ par $F(x)=(-x-1)\e^{-2x}+3x$.
   $\quad$
6. a On obtient le graphique suivant :
   $\quad$
   b. Graphiquement on peut dire que $3< \mathscr{A} < 4$.
   En effet la partie hachurée est incluse dans un rectangle de dimension $1\times 4$ et contient un rectangle de dimension $1\times 3$.
   $\quad$
   c. On a :
   $\begin{align*} \mathscr{A}&=\ds \int_0^1 f(x)\dx \\
   &=F(1)-F(0) \\
   &=-2\e^{-2}+3+1\\
   &=4-2\e^{-2} \\
   &\approx 3,73 \text{u.a.}
   \end{align*}$
   $\quad$

Exercice 1     5 points

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A

Le temps passé par un client, en minute, dans un supermarché peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale d’espérance $\mu = 45$ et d’écart type $\sigma = 12$.

Pour tout événement $E$, on note $p(E)$ sa probabilité.

1. Déterminer, en justifiant :
   a. $p(X=10)$
   $\quad$
   b. $p(X\pg 45)$
   $\quad$
   c. $p(21 \pp X \pp 69)$
   $\quad$
   d. $p(21 \pp X \pp 45)$
   $\quad$
2. Calculer la probabilité, arrondie au millième, qu’un client passe entre $30$ et $60$ minutes dans ce supermarché.
   $\quad$
3. Déterminer la valeur de $a$, arrondie à l’unité, telle que $P(X \pp a) = 0,30$. Interpréter la valeur de $a$ dans le contexte de l’énoncé.
   $\quad$

Partie B
En 2013, une étude a montré que $89 \%$ des clients étaient satisfaits des produits de ce supermarché.

1. Déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de $95 \%$ de la proportion de clients satisfaits pour un échantillon de $300$ clients pris au hasard en 2013.
   $\quad$
   Lors d’une enquête réalisée en 2018 auprès de $300$ clients choisis au hasard, $286$ ont déclaré être satisfaits.
   $\quad$
2. Calculer la fréquence de clients satisfaits dans l’enquête réalisée en 2018.
   $\quad$
3. Peut-on affirmer, au seuil de $95 \%$, que le taux de satisfaction des clients est resté stable entre 2013 et 2018 ? Justifier.
   $\quad$

Exercice 2     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des
quatre réponses proposées est correcte.

Reporter sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie.

Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Aucune justification n’est demandée.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Dans un établissement scolaire, $30 \%$ des élèves sont inscrits dans un club de sport, et parmi eux, $40 \%$ sont des filles. Parmi ceux n’étant pas inscrits dans un club de sport, $50 \%$ sont des garçons.
Pour tout événement $E$, on note $\conj{E}$ l’événement contraire de $E$ et $p(E)$ sa probabilité. Pour tout événement $F$ de probabilité non nulle, on note $p_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant que $F$ est réalisé.

On interroge un élève au hasard et on considère les événements suivants :

• $S$ : « l’élève est inscrit dans un club de sport »
• $F$ : « l’élève est une fille »

La situation est représentée par l’arbre pondéré ci-dessous.

1. La probabilité $p_{\conj{F}}(S)$ est la probabilité que l’élève soit :
   a. inscrit dans un club de sport sachant que c’est un garçon ;
   b. un garçon inscrit dans un club de sport ;
   c. inscrit dans un club de sport ou un garçon ;
   d. un garçon sachant qu’il est inscrit dans un club de sport.
   $\quad$
2. On admet que $p(F)=0,47$. La valeur arrondie au millième de $p_F(S)$ est :
   a. $0,141$
   b. $0,255$
   c. $0,400$
   d. $0,638$
   $\quad$

Partie B

Soit $g$ la fonction définie sur $[-1;4]$ par $g(x)=-x^3+3x^2-1$ et $\mathcal{C}_g$ sa courbe représentative dans un repère.

1. La tangente à la courbe $\mathcal{C}_g$ au point d’abscisse $1$ a pour équation :
   a. $y=-3x^2+6x$
   b. $y=3x-2$
   c. $y=3x-3$
   d. $y=2x-1$
   $\quad$
2. La valeur moyenne de la fonction $g$ sur l’intervalle $[-1;a]$ est nulle pour :
   a. $a=0$
   b. $a=1$
   c. $a=2$
   d. $a=3$
   $\quad$

Exercice 3    5 points 

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de
série L

Un lac de montagne est alimenté par une rivière et régulé par un barrage, situé en aval, d’une hauteur de $10$ m.
On mesure le niveau d’eau du lac chaque jour à midi.

Le 1$\ier$ janvier 2018, à midi, le niveau d’eau du lac était de $6,05$ m.

Entre deux mesures successives, le niveau d’eau du lac évolue de la façon suivante :

• d’abord une augmentation de $6 \%$ (apport de la rivière) ;
• ensuite une baisse de $15$ cm (écoulement à travers le barrage).

1. On modélise l’évolution du niveau d’eau du lac par une suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$, le terme $u_n$ représentant le niveau d’eau du lac à midi, en cm, $n$ jours après le $1\ier$ janvier 2018.
   Ainsi le niveau d’eau du lac le $1\ier$ janvier 2018 à midi est donné par $u_0=605$.
   a. Calculer le niveau du lac, en cm, le $2$ janvier 2018 à midi.
   $\quad$
   b. Montrer que, pour tout $n\in \N$, $u_{n+1}=1,06u_n-15$.
   $\quad$
2. On pose, pour tout $n\in N$, $v_n=u_n-250$.
   a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $1,06$.
   Préciser son terme initial.
   b. Montrer que, pour tout $n\in \N$, $u_n=355\times 1,06^n+250$.
   $\quad$
3. Lorsque le niveau du lac dépasse $10$ m, l’équipe d’entretien doit agrandir l’ouverture des vannes du barrage.
   a. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
   $\quad$
   b. L’équipe d’entretien devra-t-elle ouvrir les vannes afin de réguler le niveau
   d’eau ? Justifier la réponse.
   $\quad$
4. Afin de déterminer la première date d’intervention des techniciens, on souhaite utiliser l’algorithme incomplet ci-dessous.
   $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   N \leftarrow 0\\
   U\leftarrow 605\\
   \text{Tant que } \ldots\ldots\ldots \text{ faire}\\
   \hspace{1cm} U\leftarrow \ldots\ldots\ldots\\
   \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
   \text{Fin Tant que}\\
   \hline
   \end{array}$$
   a. Recopier et compléter l’algorithme.
   $\quad$
   b. À la fin de l’exécution de l’algorithme, que contient la variable $N$?
   $\quad$
   c. En déduire la première date d’intervention des techniciens sur les vannes du
   barrage.
   $\quad$

Exercice 3    5 points 

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

Un parcours sportif est composé d’un banc pour abdominaux, de haies et d’anneaux. Le graphe orienté ci-dessous indique les différents parcours conseillés partant de $D$ et terminant à $F$.

Les sommets sont : $D$ (départ), $B$ (banc pour abdominaux), $H$ (haies), $A$ (anneaux) et $F$ (fin du parcours).
Les arêtes représentent les différents sentiers reliant les sommets.

1. Quel est l’ordre du graphe?
   $\quad$
2. On note $M$ la matrice d’adjacence de ce graphe où les sommets sont rangés dans l’ordre alphabétique.
   a. Déterminer $M$.
   $\quad$
   b. On donne $M^3=\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&1&0&3&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}$
   $\quad$
   Assia souhaite aller de $D$ à $F$ en faisant un parcours constitué de $3$ arêtes.
   Est-ce possible ? Si oui, combien de parcours différents pourra-t-elle emprunter ?
   Préciser ces trajets.
   $\quad$
3. Assia a relevé ses temps de course en minute entre les différents sommets. Ces durées sont portées sur le graphe ci-dessous.
   Lors d’un entraînement, Assia souhaite courir le moins longtemps possible en allant de $D$ à $F$. Déterminer le trajet pour lequel le temps de course est minimal et préciser la durée de sa course.
   
   $\quad$

Partie B

Le responsable souhaite ajouter une barre de traction notée $T$. De nouveaux sentiers sont construits et de nouveaux parcours sont possibles.

La matrice d’adjacence $N$ associée au graphe représentant les nouveaux parcours, dans lequel les sommets sont classés dans l’ordre alphabétique, est $$N=\begin{pmatrix} 0&1&0&1&0&1\\0&0&0&1&0&0\\1&1&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0\\1&1&0&1&0&1\\0&0&0&1&0&0\end{pmatrix}$$

Compléter l’annexe à rendre avec la copie, en ajoutant les arêtes nécessaires au graphe orienté correspondant à la matrice $N$.
$\quad$

Annexe 

$\quad$

Exercice 4     6 points

On désigne par $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[-2;4]$ par $$f(x)=(2x+1)\e^{-2x}+3$$

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère. Une représentation graphique est donnée en annexe.

1. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$. Montrer que, pour tout $x\in[-2;4]$ $$f'(x)=-4x\e^{-2x}$$
   $\quad$
2. Étudier les variations de $f$.
   $\quad$
3. Montrer que l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur l’intervalle $[−2 ; 0]$ et donner une valeur approchée au dixième de cette solution.
   $\quad$
4. On note $f\dsec$ la fonction dérivé de $f’$. On admet que, pour tout $x\in[-2;4]$, $$f\dsec(x)=(8x-4)\e^{-2x}$$
   a. Étudier le signe de $f\dsec$ sur l’intervalle $[-2;4]$.
   $\quad$
   b. En déduire le plus grand intervalle dans $[-2;4]$ sur lequel $f$ est convexe.
   $\quad$
5. On note $g$ la fonction définie sur l’intervalle $[-2;4]$ par $g(x)=(2x+1)\e^{-2x}$.
   a. Vérifier que la fonction $G$ définie pour tout $x\in[-2;4]$ par $G(x)=(-x-1)\e^{-2x}$ est une primitive de la fonction $g$.
   $\quad$
   b. En déduire une primitive $F$ de $f$.
   $\quad$
6. On note $\mathscr{A}$ l’aire du domaine $\mathcal{D}$ compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=0$ et $x=1$.
   a. Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ sur le graphique donné en annexe, à rendre avec la copie.
   $\quad$
   b. Par lecture graphique, donner un encadrement de $\mathscr{A}$, en unité d’aire, par deux entiers consécutifs.
   $\quad$
   c. Calculer la valeur exacte de $\mathscr{A}$, puis une valeur approchée au centième.
   $\quad$

Annexe