Bac ES/L – Amérique du Sud – Novembre 2018

Amérique du Sud – Novembre 2018

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;12]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;12]$ on note :
    $u(x)=2x$ et $v(x)=\e^{-x}$
    Donc $u'(x)=2$ et $v'(x)=-1\times \e^{-x}$
    $\begin{align*} f'(x)&=2\times \e^{-x}+2x\times \left(-1\times \e^{-x}\right) \\
    &=(2-2x)\e^{-x}\\
    &=2(1-x)\e^{-x}\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $1-x$.
    Or $1-x=0 \ssi x=1$ et $1-x>0 \ssi 1>x$
    On obtient donc le tableau de variation suivant :

    $\quad$
    b. Sur l’intervalle $[0;1]$ la fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante.
    On a $f(0)=0<0,5$ et $f(1)=2\e^{-1}\approx 0,74 > 0,5$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=0,5$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[0;1]$ et $\alpha \approx 0,36$.
    $\quad$
    Sur l’intervalle $[1;12]$ la fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante.
    On a $f(1)=2\e^{-1}\approx 0,74 > 0,5$ et $f(12)=24\e^{-12}\approx 0,0001<0,5$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=0,5$ admet une unique solution $\beta$ sur l’intervalle $[1;12]$ et $\beta \approx 2,15$.
    $\quad$
    L’équation $f(x)=0,5$ admet donc exactement deux solutions sur l’intervalle $[0;12]$ dont les valeurs approchées au centième sont  $\alpha \approx 0,36$ et $\beta \approx 2,15$.
    $\quad$
  3. D’après les résultats du logiciel de calcul formel on a :
    $f\dsec(x)=2(x-2)\e^{-x}$.
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend donc que de celui de $x-2$.
    Or $x-2=0 \ssi x=2$ et $x-2>0 \ssi x>2$.
    La fonction $f$ est donc concave sur l’intervalle $[0;2]$ et convexe sur l’intervalle $[2;12]$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. D’après la question 2.a. le taux d’alcoolémie de cette personne augmente lors de la première heure et diminue ensuite.
    D’après l’étude de la convexité de la fonction $f$, c’est à partir de la deuxième heure que la diminution du taux d’alcoolémie s’accélère.
    $\quad$
    b. La fonction $f$ admet un maximum en $1$ et $f(1)=2\e^{-1}\approx 0,73$.
    Le taux d’alcoolémie est maximal au bout d’une heure et vaut environ $0,73$ g/L.
    $\quad$
  2. D’après la réponse à la question 2.b. le taux d’alcoolémie de l’automobiliste reprend une valeur conforme à la législation au bout de $2,16$ heures soit $2$ heures et $10$ minutes.
    En effet $\beta \approx 2,153 \in ]2,15;2,16[$.
    À $2,15$ heures le taux d’alcoolémie de l’automobiliste ne lui permet pas encore de conduire.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
  2. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(R)&=p(R\cap D)+p\left(R\cap \conj{R}\right) \\
    &=0,3\times 0,98+0,7\times 0,95 \\
    &=0,959\end{align*}$
    La probabilité que la valise choisie réussie les tests est de $0,959$.
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_R\left(\conj{D}\right) &=\dfrac{p\left(R\cap\conj{D}\right)}{p(R)} \\
    &=\dfrac{0,7\times 0,95}{0,959} \\
    &\approx 0,693\end{align*}$
    La probabilité que la valise choisie ait quatre roues sachant qu’elle a réussi les tests est d’environ $0,693$.
    $\quad$

Partie B

  1. On veut calculer $P(X\pg 52)=0,5-P(41\pp X <52) \approx 0,033$
    La probabilité qu’une valise à deux roues ait une durée de vie supérieure à $52$ kilomètres est d’environ $0,033$.
    $\quad$
  2. On a $\mu=41$ et $\mu’=52$.
    La courbe 1 représente donc la fonction de densité de la variable aléatoire $X$ et la courbe 2 représente donc la fonction de densité de la variable aléatoire $Y$.
    On a ainsi $P(Y\pg 52)=0,5$
    Or $P(Y\pg 50) \pg P(Y\pg 52)$ donc $P(Y\pg 50)\pg 0,5$.
    Mais $P(X\pp 41)=0,5$ et $P(X \pp 50) > P(X \pp 41)$
    Donc $P(X \pp 50)\pg 0,5$ et $P(X \pg 50)\pp 0,5$.
    La probabilité que la valise à quatre roues ait une durée de vie supérieure ou égale à $50$ kilomètres est donc supérieure à la probabilité que la valise à deux roues ait une durée de vie supérieure ou égale à $50$ kilomètres.
    $\quad$

Partie C

  1. On a $n=2~000$ et $f=\dfrac{872}{2~000}=0,436$.
    Ainsi $n\pg 30$, $nf=872 \pg 5$ et $n(1-f)=1~128\pg 5$.
    Un intervalle de confiance au niveau de confiance de $95\%$ de la proportion de consommateurs pour lesquels est le principal critère de choix est :
    $\begin{align*} I_{2~000}&=\left[0,436-\dfrac{1}{\sqrt{2~000}};0,436+\dfrac{1}{\sqrt{2~000}}\right] \\
    &\approx [0,413;0,459]
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. Un intervalle de confiance au niveau de confiance de $95\%$ est de la forme $\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}};f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$.
    L’amplitude d’un tel intervalle est :
    $f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\left(f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)=\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.
    On veut donc résoudre l’équation :
    $\dfrac{2}{\sqrt{n}}=0,04 \ssi \sqrt{n}=\dfrac{2}{0,04} \ssi \sqrt{n}=50$.
    Par conséquent $n=50^2=2~500$.
    La taille de l’échantillon pour obtenir un intervalle de confiance d’amplitude égale à $0,04$ est donc de $2~500$.
    $\quad$

Ex 3 obl

Exercice 3

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L.

  1. a. $97\%$ des ascenseurs entretenus par la société A seront toujours entretenu l’année suivante et $5\%$ des ascenseurs entretenus par la société B seront entretenus par la société A l’année suivante.
    Ainsi :
    $\begin{align*} a_1&=0,97a_0+0,05b_0 \\
    &=0,97\times 0,3+0,05\times 0,7\\
    &=0,326\end{align*}$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} a_{n+1}&=\left(1-\dfrac{3}{100}\right)a_n+\dfrac{5}{100}b_n \\
    &=0,97a_n+0,05b_n
    \end{align*}$
    On sait de plus que les deux sociétés se partagent le marché. Donc $a_n+b_n=1$ soit $b_n=1-a_n$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} a_{n+1}&=0,97a_n+0,05b_n \\
    &=0,97a_n+0,05\left(1-a_n\right) \\
    &=0,97a_n+0,05-0,05a_n\\
    &=0,92a_n+0,05\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. Le test de la boucle Tant que de l’algorithme 2 n’est pas correct : avec la valeur initiale $A=0,3$ on ne parcourt jamais cette boucle.
    Dans l’algorithme 3, la valeur de la variable $N$ n’est modifiée qu’une seule fois, après avoir parcourue la boucle tant que.
    C’est donc l’algorithme 1 qui donne l’année à partir de laquelle la proportion d’ascenseurs entretenus par la société A dépasse $50\%$.
    $\quad$
    b. Voici l’évolution des valeurs prises par les variables $A$ et $N$ au fil du temps, arrondies au milième :
    $\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    N&A\\
    \hline
    0&0,3\\
    \hline
    1&0,326\\
    \hline
    2&0,350\\
    \hline
    3&0,372\\
    \hline
    4&0,392\\
    \hline
    5&0,411\\
    \hline
    6&0,428\\
    \hline
    7&0,444\\
    \hline
    8&0,458\\
    \hline
    9&0,472\\
    \hline
    10&0,484\\
    \hline
    11&0,495\\
    \hline
    12&0,506\\
    \hline\end{array}$
    L’algorithme affiche donc l’année $2029$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=a_n-0,625$ soit $a_n=u_n+0,625$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=a_{n+1}-0,625 \\
    &=0,92a_n+0,05-0,625\\
    &=0,92a_n-0,575\\
    &=0,92\left(u_n+0,625\right)-0,575\\
    &=0,92u_n+0,575-0,575\\
    &=0,92u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,92$ et de premier terme $u_0=a_0-0,625=-0,325$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=-0,325\times 0,92^n$.
    On a également $a_n=u_n+0,625=0,625-0,325\times 0,92^n$.
    $\quad$
    c. On a $0<0,92<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,92^n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=0,625$.
    Cela signifie donc, qu’au bout d’un grand nombre d’années, la proportion des ascenseurs seront entretenus par la société A se stabilisera autour de $62,5\%$.
    $\quad$
  4. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} a_n \pg 0,5 &\ssi 0,625-0,325\times 0,92^n \pg 0,5 \\
    &\ssi -0,325\times 0,92^n \pg -0,125 \\
    &\ssi 0,92^n \pp \dfrac{5}{13} \\
    &\ssi n\ln 0,92 \pp \ln \dfrac{5}{13} \\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln \dfrac{5}{13}}{\ln 0,92}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln \dfrac{5}{13}}{\ln 0,92} \approx 11,46$.
    C’est donc à partir de $n=12$ que $a_n \pg 0,5$.
    On retrouve ainsi la réponse à la question 2.b. 

    $\quad$

Ex 3 spé

Exercice 3

Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. a. On obtient le graphe probabiliste suivant :

    $\quad$
    b. La matrice de transition est donc : $M=\begin{pmatrix} 0,97&0,03 \\0,05&0,95\end{pmatrix}$
    $\quad$
  2. On a $P_1=P_0\times M=\begin{pmatrix} 0,326&0,674\end{pmatrix}$
    Par conséquent la probabilité que l’ascenseur choisi soit entretenu par la société A en 2018 est de $32,6\%$.
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} P\times M&=\begin{pmatrix} 0,625\times 0,97+0,05\times 0,375&0,03\times 0,625+0,95\times 0,375 \end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix} 0,625&0,375\end{pmatrix} \\
    &=P\end{align*}$
    $P$ est donc un état stable de la matrice $M$.
    Sur le long terme, $62,5\%$ des ascenseurs seront entretenus par la société A et $32,5\%$ le seront par la société B.
    $\quad$
  4. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $P_{n+1}=P_n\times M$
    $\ssi \begin{pmatrix} a_{n+1}&b_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0,97a_n+0,05b_n&0,03a_n+0,95b_n\end{pmatrix}$.
    Par conséquent $a_{n+1}=0,97a_n+0,05b_n$.
    On sait de plus que les deux sociétés se partagent le marché. Donc $a_n+b_n=1$ soit $b_n=1-a_n$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} a_{n+1}&=0,97a_n+0,05b_n \\
    &=0,97a_n+0,05\left(1-a_n\right) \\
    &=0,97a_n+0,05-0,05a_n\\
    &=0,92a_n+0,05\end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. a. Le test de la boucle Tant que de l’algorithme 2 n’est pas correct : avec la valeur initiale $A=0,3$ on ne parcourt jamais cette boucle.
    Dans l’algorithme 3, la valeur de la variable $N$ n’est modifiée qu’une seule fois, après avoir parcourue la boucle tant que.
    C’est donc l’algorithme 1 qui donne l’année à partir de laquelle la proportion d’ascenseurs entretenus par la société A dépasse $50\%$.
    $\quad$
    b. Voici l’évolution des valeurs prises par les variables $A$ et $N$ au fil du temps, arrondies au milième :
    $\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    N&A\\
    \hline
    0&0,3\\
    \hline
    1&0,326\\
    \hline
    2&0,350\\
    \hline
    3&0,372\\
    \hline
    4&0,392\\
    \hline
    5&0,411\\
    \hline
    6&0,428\\
    \hline
    7&0,444\\
    \hline
    8&0,458\\
    \hline
    9&0,472\\
    \hline
    10&0,484\\
    \hline
    11&0,495\\
    \hline
    12&0,506\\
    \hline\end{array}$
    L’algorithme affiche donc l’année $2029$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=a_n-0,625$ soit $a_n=u_n+0,625$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=a_{n+1}-0,625 \\
    &=0,92a_n+0,05-0,625\\
    &=0,92a_n-0,575\\
    &=0,92\left(u_n+0,625\right)-0,575\\
    &=0,92u_n+0,575-0,575\\
    &=0,92u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,92$ et de premier terme $u_0=a_0-0,625=-0,325$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=-0,325\times 0,92^n$.
    On a également $a_n=u_n+0,625=0,625-0,325\times 0,92^n$.
    $\quad$
    c. On a $0<0,92<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,92^n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=0,625$.
    Cela signifie donc, qu’au bout d’un grand nombre d’années, la proportion des ascenseurs seront entretenus par la société A se stabilisera autour de $62,5\%$.
    $\quad$
  3. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} a_n \pg 0,5 &\ssi 0,625-0,325\times 0,92^n \pg 0,5 \\
    &\ssi -0,325\times 0,92^n \pg -0,125 \\
    &\ssi 0,92^n \pp \dfrac{5}{13} \\
    &\ssi n\ln 0,92 \pp \ln \dfrac{5}{13} \\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln \dfrac{5}{13}}{\ln 0,92}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln \dfrac{5}{13}}{\ln 0,92} \approx 11,46$.
    C’est donc à partir de $n=12$ que $a_n \pg 0,5$.
    On retrouve ainsi la réponse à la question 1.b.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. On a $n=400$ et $p=0,1$.
    Donc $n\pg 30$, $np=40\pg 5$ et $n(1-p)=360\pg 5$.
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la proportion de présence du caractère dans la population est :
    $\begin{align*} I_{400}&=\left[0,1-1,96\sqrt{\dfrac{0,1\times 0,9}{400}};0,1+1,96\sqrt{\dfrac{0,1\times 0,9}{400}}\right] \\
    &=[0,070~6;0,129~4]\end{align*}$
    La fréquence observée est $f=\dfrac{78}{400}=0,195\notin I_{400}$.
    Au risque d’erreur de $5\%$, cet échantillon n’est pas représentatif de la population totale pour ce caractère.
    Affirmation 1 fausse
    $\quad$
  2. Le temps d’attente moyen à ce guichet est $E(X)=\dfrac{1+7}{2}=4$ minutes.
    Affirmation 2 vraie
    $\quad$
  3. Une primitive de la fonction $g$ sur $\R$ est la fonction $G$ définie sur $\R$ par $G(x)=\dfrac{x^3}{3}$.
    La valeur moyenne de la fonction $g$ sur l’intervalle $[-2;2]$ est :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{1}{2-(-2)}\times \ds \int_{-2}^2 g(x)\dx \\
    &=\dfrac{G(2)-G(-2)}{4} \\
    &=\dfrac{1}{4}\times \left(\dfrac{8}{3}+\dfrac{8}{3}\right) \\
    &=\dfrac{4}{3}\\
    &\notin \dfrac{16}{3}\end{align*}$
    Affirmation 3 fausse
    $\quad$
  4. Pour tout réel $x$ négatif on a :
    $\begin{align*} \ln\left(\e^{x+1}\right)-\ln\left(\e^x\right)\\
    &=\ln\left(\dfrac{\e^{x+1}}{\e^x}\right) \\
    &=\ln\left(\e^1\right) \\
    &=1\\
    &>0\end{align*}$
    Affirmation 4 vraie
    $\quad$
    Remarque : On pouvait également écrire :
    $\ln\left(\e^{x+1}\right)-\ln\left(\e^x\right)=(x+1)-x=1$
    $\quad$

 

Énoncé

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