Exercice 1

Partie A

1. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;12]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;12]$ on note :
   $u(x)=2x$ et $v(x)=\e^{-x}$
   Donc $u'(x)=2$ et $v'(x)=-1\times \e^{-x}$
   $\begin{align*} f'(x)&=2\times \e^{-x}+2x\times \left(-1\times \e^{-x}\right) \\
   &=(2-2x)\e^{-x}\\
   &=2(1-x)\e^{-x}\end{align*}$
   $\quad$
2. a. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
   Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $1-x$.
   Or $1-x=0 \ssi x=1$ et $1-x>0 \ssi 1>x$
   On obtient donc le tableau de variation suivant :
   
   $\quad$
   b. Sur l’intervalle $[0;1]$ la fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante.
   On a $f(0)=0<0,5$ et $f(1)=2\e^{-1}\approx 0,74 > 0,5$
   D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=0,5$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[0;1]$ et $\alpha \approx 0,36$.
   $\quad$
   Sur l’intervalle $[1;12]$ la fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante.
   On a $f(1)=2\e^{-1}\approx 0,74 > 0,5$ et $f(12)=24\e^{-12}\approx 0,0001<0,5$
   D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=0,5$ admet une unique solution $\beta$ sur l’intervalle $[1;12]$ et $\beta \approx 2,15$.
   $\quad$
   L’équation $f(x)=0,5$ admet donc exactement deux solutions sur l’intervalle $[0;12]$ dont les valeurs approchées au centième sont  $\alpha \approx 0,36$ et $\beta \approx 2,15$.
   $\quad$
3. D’après les résultats du logiciel de calcul formel on a :
   $f\dsec(x)=2(x-2)\e^{-x}$.
   La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
   Le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend donc que de celui de $x-2$.
   Or $x-2=0 \ssi x=2$ et $x-2>0 \ssi x>2$.
   La fonction $f$ est donc concave sur l’intervalle $[0;2]$ et convexe sur l’intervalle $[2;12]$.
   $\quad$

Partie B

1. a. D’après la question 2.a. le taux d’alcoolémie de cette personne augmente lors de la première heure et diminue ensuite.
   D’après l’étude de la convexité de la fonction $f$, c’est à partir de la deuxième heure que la diminution du taux d’alcoolémie s’accélère.
   $\quad$
   b. La fonction $f$ admet un maximum en $1$ et $f(1)=2\e^{-1}\approx 0,73$.
   Le taux d’alcoolémie est maximal au bout d’une heure et vaut environ $0,73$ g/L.
   $\quad$
2. D’après la réponse à la question 2.b. le taux d’alcoolémie de l’automobiliste reprend une valeur conforme à la législation au bout de $2,16$ heures soit $2$ heures et $10$ minutes.
   En effet $\beta \approx 2,153 \in ]2,15;2,16[$.
   À $2,15$ heures le taux d’alcoolémie de l’automobiliste ne lui permet pas encore de conduire.
   $\quad$

Exercice 2

Partie A

1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
   $\quad$
2. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} p(R)&=p(R\cap D)+p\left(R\cap \conj{R}\right) \\
   &=0,3\times 0,98+0,7\times 0,95 \\
   &=0,959\end{align*}$
   La probabilité que la valise choisie réussie les tests est de $0,959$.
   $\quad$
3. On veut calculer :
   $\begin{align*} p_R\left(\conj{D}\right) &=\dfrac{p\left(R\cap\conj{D}\right)}{p(R)} \\
   &=\dfrac{0,7\times 0,95}{0,959} \\
   &\approx 0,693\end{align*}$
   La probabilité que la valise choisie ait quatre roues sachant qu’elle a réussi les tests est d’environ $0,693$.
   $\quad$

Partie B

1. On veut calculer $P(X\pg 52)=0,5-P(41\pp X <52) \approx 0,033$
   La probabilité qu’une valise à deux roues ait une durée de vie supérieure à $52$ kilomètres est d’environ $0,033$.
   $\quad$
2. On a $\mu=41$ et $\mu’=52$.
   La courbe 1 représente donc la fonction de densité de la variable aléatoire $X$ et la courbe 2 représente donc la fonction de densité de la variable aléatoire $Y$.
   On a ainsi $P(Y\pg 52)=0,5$
   Or $P(Y\pg 50) \pg P(Y\pg 52)$ donc $P(Y\pg 50)\pg 0,5$.
   Mais $P(X\pp 41)=0,5$ et $P(X \pp 50) > P(X \pp 41)$
   Donc $P(X \pp 50)\pg 0,5$ et $P(X \pg 50)\pp 0,5$.
   La probabilité que la valise à quatre roues ait une durée de vie supérieure ou égale à $50$ kilomètres est donc supérieure à la probabilité que la valise à deux roues ait une durée de vie supérieure ou égale à $50$ kilomètres.
   $\quad$

Partie C

1. On a $n=2~000$ et $f=\dfrac{872}{2~000}=0,436$.
   Ainsi $n\pg 30$, $nf=872 \pg 5$ et $n(1-f)=1~128\pg 5$.
   Un intervalle de confiance au niveau de confiance de $95\%$ de la proportion de consommateurs pour lesquels est le principal critère de choix est :
   $\begin{align*} I_{2~000}&=\left[0,436-\dfrac{1}{\sqrt{2~000}};0,436+\dfrac{1}{\sqrt{2~000}}\right] \\
   &\approx [0,413;0,459]
   \end{align*}$
   $\quad$
2. Un intervalle de confiance au niveau de confiance de $95\%$ est de la forme $\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}};f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$.
   L’amplitude d’un tel intervalle est :
   $f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\left(f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)=\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.
   On veut donc résoudre l’équation :
   $\dfrac{2}{\sqrt{n}}=0,04 \ssi \sqrt{n}=\dfrac{2}{0,04} \ssi \sqrt{n}=50$.
   Par conséquent $n=50^2=2~500$.
   La taille de l’échantillon pour obtenir un intervalle de confiance d’amplitude égale à $0,04$ est donc de $2~500$.
   $\quad$

Exercice 3

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L.

1. a. $97\%$ des ascenseurs entretenus par la société A seront toujours entretenu l’année suivante et $5\%$ des ascenseurs entretenus par la société B seront entretenus par la société A l’année suivante.
   Ainsi :
   $\begin{align*} a_1&=0,97a_0+0,05b_0 \\
   &=0,97\times 0,3+0,05\times 0,7\\
   &=0,326\end{align*}$
   b. Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $\begin{align*} a_{n+1}&=\left(1-\dfrac{3}{100}\right)a_n+\dfrac{5}{100}b_n \\
   &=0,97a_n+0,05b_n
   \end{align*}$
   On sait de plus que les deux sociétés se partagent le marché. Donc $a_n+b_n=1$ soit $b_n=1-a_n$.
   Ainsi :
   $\begin{align*} a_{n+1}&=0,97a_n+0,05b_n \\
   &=0,97a_n+0,05\left(1-a_n\right) \\
   &=0,97a_n+0,05-0,05a_n\\
   &=0,92a_n+0,05\end{align*}$
   $\quad$
2. a. Le test de la boucle Tant que de l’algorithme 2 n’est pas correct : avec la valeur initiale $A=0,3$ on ne parcourt jamais cette boucle.
   Dans l’algorithme 3, la valeur de la variable $N$ n’est modifiée qu’une seule fois, après avoir parcourue la boucle tant que.
   C’est donc l’algorithme 1 qui donne l’année à partir de laquelle la proportion d’ascenseurs entretenus par la société A dépasse $50\%$.
   $\quad$
   b. Voici l’évolution des valeurs prises par les variables $A$ et $N$ au fil du temps, arrondies au milième :
   $\begin{array}{|c|c|}
   \hline
   N&A\\
   \hline
   0&0,3\\
   \hline
   1&0,326\\
   \hline
   2&0,350\\
   \hline
   3&0,372\\
   \hline
   4&0,392\\
   \hline
   5&0,411\\
   \hline
   6&0,428\\
   \hline
   7&0,444\\
   \hline
   8&0,458\\
   \hline
   9&0,472\\
   \hline
   10&0,484\\
   \hline
   11&0,495\\
   \hline
   12&0,506\\
   \hline\end{array}$
   L’algorithme affiche donc l’année $2029$.
   $\quad$
3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=a_n-0,625$ soit $a_n=u_n+0,625$.
   Par conséquent :
   $\begin{align*} u_{n+1}&=a_{n+1}-0,625 \\
   &=0,92a_n+0,05-0,625\\
   &=0,92a_n-0,575\\
   &=0,92\left(u_n+0,625\right)-0,575\\
   &=0,92u_n+0,575-0,575\\
   &=0,92u_n\end{align*}$
   La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,92$ et de premier terme $u_0=a_0-0,625=-0,325$.
   $\quad$
   b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=-0,325\times 0,92^n$.
   On a également $a_n=u_n+0,625=0,625-0,325\times 0,92^n$.
   $\quad$
   c. On a $0<0,92<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,92^n=0$.
   Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=0,625$.
   Cela signifie donc, qu’au bout d’un grand nombre d’années, la proportion des ascenseurs seront entretenus par la société A se stabilisera autour de $62,5\%$.
   $\quad$
4. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
   $\begin{align*} a_n \pg 0,5 &\ssi 0,625-0,325\times 0,92^n \pg 0,5 \\
   &\ssi -0,325\times 0,92^n \pg -0,125 \\
   &\ssi 0,92^n \pp \dfrac{5}{13} \\
   &\ssi n\ln 0,92 \pp \ln \dfrac{5}{13} \\
   &\ssi n \pg \dfrac{\ln \dfrac{5}{13}}{\ln 0,92}\end{align*}$
   Or $\dfrac{\ln \dfrac{5}{13}}{\ln 0,92} \approx 11,46$.
   C’est donc à partir de $n=12$ que $a_n \pg 0,5$.
   On retrouve ainsi la réponse à la question 2.b.$\quad$

Exercice 3

Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

1. a. On obtient le graphe probabiliste suivant :
   
   $\quad$
   b. La matrice de transition est donc : $M=\begin{pmatrix} 0,97&0,03 \\0,05&0,95\end{pmatrix}$
   $\quad$
2. On a $P_1=P_0\times M=\begin{pmatrix} 0,326&0,674\end{pmatrix}$
   Par conséquent la probabilité que l’ascenseur choisi soit entretenu par la société A en 2018 est de $32,6\%$.
   $\quad$
3. On a :
   $\begin{align*} P\times M&=\begin{pmatrix} 0,625\times 0,97+0,05\times 0,375&0,03\times 0,625+0,95\times 0,375 \end{pmatrix} \\
   &=\begin{pmatrix} 0,625&0,375\end{pmatrix} \\
   &=P\end{align*}$
   $P$ est donc un état stable de la matrice $M$.
   Sur le long terme, $62,5\%$ des ascenseurs seront entretenus par la société A et $32,5\%$ le seront par la société B.
   $\quad$
4. Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $P_{n+1}=P_n\times M$
   $\ssi \begin{pmatrix} a_{n+1}&b_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0,97a_n+0,05b_n&0,03a_n+0,95b_n\end{pmatrix}$.
   Par conséquent $a_{n+1}=0,97a_n+0,05b_n$.
   On sait de plus que les deux sociétés se partagent le marché. Donc $a_n+b_n=1$ soit $b_n=1-a_n$.
   Ainsi :
   $\begin{align*} a_{n+1}&=0,97a_n+0,05b_n \\
   &=0,97a_n+0,05\left(1-a_n\right) \\
   &=0,97a_n+0,05-0,05a_n\\
   &=0,92a_n+0,05\end{align*}$
   $\quad$

Partie B

1. a. Le test de la boucle Tant que de l’algorithme 2 n’est pas correct : avec la valeur initiale $A=0,3$ on ne parcourt jamais cette boucle.
   Dans l’algorithme 3, la valeur de la variable $N$ n’est modifiée qu’une seule fois, après avoir parcourue la boucle tant que.
   C’est donc l’algorithme 1 qui donne l’année à partir de laquelle la proportion d’ascenseurs entretenus par la société A dépasse $50\%$.
   $\quad$
   b. Voici l’évolution des valeurs prises par les variables $A$ et $N$ au fil du temps, arrondies au milième :
   $\begin{array}{|c|c|}
   \hline
   N&A\\
   \hline
   0&0,3\\
   \hline
   1&0,326\\
   \hline
   2&0,350\\
   \hline
   3&0,372\\
   \hline
   4&0,392\\
   \hline
   5&0,411\\
   \hline
   6&0,428\\
   \hline
   7&0,444\\
   \hline
   8&0,458\\
   \hline
   9&0,472\\
   \hline
   10&0,484\\
   \hline
   11&0,495\\
   \hline
   12&0,506\\
   \hline\end{array}$
   L’algorithme affiche donc l’année $2029$.
   $\quad$
2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=a_n-0,625$ soit $a_n=u_n+0,625$.
   Par conséquent :
   $\begin{align*} u_{n+1}&=a_{n+1}-0,625 \\
   &=0,92a_n+0,05-0,625\\
   &=0,92a_n-0,575\\
   &=0,92\left(u_n+0,625\right)-0,575\\
   &=0,92u_n+0,575-0,575\\
   &=0,92u_n\end{align*}$
   La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,92$ et de premier terme $u_0=a_0-0,625=-0,325$.
   $\quad$
   b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=-0,325\times 0,92^n$.
   On a également $a_n=u_n+0,625=0,625-0,325\times 0,92^n$.
   $\quad$
   c. On a $0<0,92<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,92^n=0$.
   Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=0,625$.
   Cela signifie donc, qu’au bout d’un grand nombre d’années, la proportion des ascenseurs seront entretenus par la société A se stabilisera autour de $62,5\%$.
   $\quad$
3. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
   $\begin{align*} a_n \pg 0,5 &\ssi 0,625-0,325\times 0,92^n \pg 0,5 \\
   &\ssi -0,325\times 0,92^n \pg -0,125 \\
   &\ssi 0,92^n \pp \dfrac{5}{13} \\
   &\ssi n\ln 0,92 \pp \ln \dfrac{5}{13} \\
   &\ssi n \pg \dfrac{\ln \dfrac{5}{13}}{\ln 0,92}\end{align*}$
   Or $\dfrac{\ln \dfrac{5}{13}}{\ln 0,92} \approx 11,46$.
   C’est donc à partir de $n=12$ que $a_n \pg 0,5$.
   On retrouve ainsi la réponse à la question 1.b.
   $\quad$

Exercice 4

1. On a $n=400$ et $p=0,1$.
   Donc $n\pg 30$, $np=40\pg 5$ et $n(1-p)=360\pg 5$.
   Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la proportion de présence du caractère dans la population est :
   $\begin{align*} I_{400}&=\left[0,1-1,96\sqrt{\dfrac{0,1\times 0,9}{400}};0,1+1,96\sqrt{\dfrac{0,1\times 0,9}{400}}\right] \\
   &=[0,070~6;0,129~4]\end{align*}$
   La fréquence observée est $f=\dfrac{78}{400}=0,195\notin I_{400}$.
   Au risque d’erreur de $5\%$, cet échantillon n’est pas représentatif de la population totale pour ce caractère.
   Affirmation 1 fausse
   $\quad$
2. Le temps d’attente moyen à ce guichet est $E(X)=\dfrac{1+7}{2}=4$ minutes.
   Affirmation 2 vraie
   $\quad$
3. Une primitive de la fonction $g$ sur $\R$ est la fonction $G$ définie sur $\R$ par $G(x)=\dfrac{x^3}{3}$.
   La valeur moyenne de la fonction $g$ sur l’intervalle $[-2;2]$ est :
   $\begin{align*} m&=\dfrac{1}{2-(-2)}\times \ds \int_{-2}^2 g(x)\dx \\
   &=\dfrac{G(2)-G(-2)}{4} \\
   &=\dfrac{1}{4}\times \left(\dfrac{8}{3}+\dfrac{8}{3}\right) \\
   &=\dfrac{4}{3}\\
   &\notin \dfrac{16}{3}\end{align*}$
   Affirmation 3 fausse
   $\quad$
4. Pour tout réel $x$ négatif on a :
   $\begin{align*} \ln\left(\e^{x+1}\right)-\ln\left(\e^x\right)\\
   &=\ln\left(\dfrac{\e^{x+1}}{\e^x}\right) \\
   &=\ln\left(\e^1\right) \\
   &=1\\
   &>0\end{align*}$
   Affirmation 4 vraie
   $\quad$
   Remarque : On pouvait également écrire :
   $\ln\left(\e^{x+1}\right)-\ln\left(\e^x\right)=(x+1)-x=1$
   $\quad$

 

Exercice 1     5 points

$f$ est la fonction définie sur $[0;12]$ par $fx)=2x\e^{-x}$.

Partie A

Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :

$$\begin{array} {|c|l|}
\hline
1&\begin{array}{l}
\text{Dériver(2*x*exp(-x))}\\ \hline \hspace{3cm}\hfill-2*x*\exp(-x)+2*\exp(-x)\end{array}\\
\hline
2&\begin{array}{l}
\text{Factoriser(-2*x*exp(-x)+2*exp(-x))}\\ \hline \hspace{5cm}\hfill 2*(1-x)*\exp(-x)\end{array}\\
\hline
3&\begin{array}{l}
\text{Dériver(2*(1-x)*exp(-x))}\\ \hline \hspace{3.42cm}\hfill 2*x*\exp(-x)-4*\exp(-x)\end{array}\\
\hline
4&\begin{array}{l}
\text{Factoriser(2*x*exp(-x)-4*exp(-x)) }\\ \hline \hspace{5cm}\hfill 2*(x-2)*\exp(-x)\end{array}\\
\hline
\end{array}$$

1. Vérifier le résultat de la ligne 1 donné par le logiciel de calcul formel.

Dans la suite, on pourra utiliser les résultats donnés par le logiciel de calcul formel sans les justifier. 

2. a. Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;12]$ en le justifiant.
   $\quad$
   b. Démontrer que l’équation $f(x)=0,5$ admet deux solutions dans $[0;12]$.
   Donner à l’aide de la calculatrice une valeur approchée au centième de chacune de ces solutions.
   $\quad$
3. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;12]$.
   $\quad$

Partie B

Le taux d’alcoolémie d’une personne pendant les $12$ heures suivant la consommation d’une certaine quantité d’alcool est modélisé par la fonction $f$ :

• $x$ représente le temps (exprimé en heure) écoulé depuis la consommation d’alcool ;
• $f(x)$ représente le taux d’alcoolémie (exprimé en g/L) de cette personne.

1. a. Décrire les variations du taux d’alcoolémie de cette personne pendant les $12$ heures suivant la consommation d’alcool.
   $\quad$
   b. À quel instant le taux d’alcoolémie de cette personne est-il maximal ?
   Quelle est alors sa valeur ? Arrondir au centième.
   $\quad$
2. Le Code de la route interdit toute conduite d’un véhicule lorsque le taux d’alcoolémie est supérieur ou égal à $0,5$ g/L.
   Une fois l’alcool consommé, au bout de combien de temps le taux d’alcoolémie de l’automobiliste reprend-il une valeur conforme à la législation ?
   $\quad$

Exercice 2     6 points

Tous les résultats demandés dans cet exercice seront arrondis au millième.
Les parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

Une entreprise produit des valises de deux types : des valises à deux roues et des valises à quatre roues. Sur chacun des deux modèles, on effectue des tests afin d’évaluer leur solidité.
On dispose des informations suivantes sur le stock de production de cette entreprise :

• le stock contient $30 \%$ de valises à deux roues ;
• $98 \%$ des valises à deux roues réussissent les tests ;
• $95 \%$ des valises à quatre roues réussissent les tests.

On choisit au hasard une valise de ce stock. On considère les événements suivants :

• $D$ : « La valise a deux roues » ;
• $R$ : « La valise réussit les tests ».

1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous, illustrant cette situation.
   
   $\quad$
2. Démontrer que la probabilité que la valise choisie réussisse les tests est de $0,959$.
   $\quad$
3. Sachant que la valise réussit les tests, quelle est la probabilité que ce soit une valise à quatre roues ?
   $\quad$

Partie B

Parmi les tests de solidité effectués, l’un d’eux consiste à charger la valise et à la faire rouler sur une piste bosselée. On appelle « durée de vie » de la valise, le nombre de kilomètres parcourus avant d’atteindre une certaine usure des roues.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque valise à deux roues, associe sa durée de vie en kilomètre. On admet que $X$ suit la loi normale d’espérance $\mu = 41$ et d’écart-type $\sigma=6$.

On note $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque valise à quatre roues, associe sa durée de vie en kilomètre. On admet que $Y$ suit la loi normale d’espérance $\mu’= 52$ et d’écart-type $\sigma’=10$.

1. Quelle est la probabilité qu’une valise à deux roues ait une durée de vie supérieure à $52$ kilomètres ?
   $\quad$
2. Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les densités associées aux variables aléatoires $X$ et $Y$.
   À l’aide de ce graphique, déterminer pour quel type de valise (à deux roues ou à quatre roues) la probabilité que la durée de vie soit supérieure ou égale à $50$ kilomètres est la plus grande. Expliquer.
   
   $\quad$

Partie C

L’entreprise souhaite commercialiser un nouveau modèle de valises. Afin de mieux connaître les attentes des consommateurs, elle réalise un sondage auprès de $2~000$ personnes. Parmi elles, $872$ déclarent que la solidité est le principal critère pris en compte lors de l’achat (devant la légèreté, le prix, la couleur…).

1. Estimer par un intervalle de confiance au niveau de confiance de $95 \%$ la proportion de consommateurs pour lesquels la solidité est le principal critère de choix.
   $\quad$
2. Quelle aurait dû être la taille de l’échantillon pour obtenir un intervalle de confiance d’amplitude égale à $0,04$ ?
   $\quad$

Exercice 3     5 points

Élèves de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et élèves de L

On s’intéresse à l’ensemble des ascenseurs d’une grande ville en 2017. Pour chacun d’eux, un contrat annuel d’entretien doit être souscrit.

Deux sociétés d’ascensoristes, notées $A$ et $B$, se partagent ce marché.
En 2017, la société $A$ entretient $30 \%$ de ces ascenseurs.

On estime que, chaque année :

• $3 \%$ des ascenseurs entretenus par la société $A$ seront entretenus par la société $B$ l’année suivante ;
• $5 \%$ des ascenseurs entretenus par la société $B$ seront entretenus par la société $A$ l’année suivante ;
• les autres ascenseurs ne changeront pas de société d’ascensoristes l’année suivante.

On étudie l’évolution, au fil des années, de la répartition des contrats d’entretien de ces ascenseurs entre les sociétés $A$ et $B$.

On note $a_n$ la proportion d’ascenseurs entretenus par la société $A$ pendant l’année $($2017 + $n)$. De même, on note $b_n$ la proportion d’ascenseurs entretenus par la société $B$ lors de l’année $($2017 +$n)$.

On a donc $a_0=0,3$ et $b_0=0,7$.

1. a. Calculer$a_1$. Interpréter le résultat.
   $\quad$
   b. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $a_{n+1}=0,97a_n+0,05b_n$ puis en déduire que $a_{n+1}=0,92a_n+0,05$
   $\quad$
2. a. Le directeur de la société $A$ constate que la proportion d’ascenseurs entretenus par sa société augmente au cours des années et se stabilise à $62,5 \%$.
   Indiquer, en le justifiant, lequel des algorithmes suivants donne l’année à partir de laquelle cette proportion dépasse $50 \%$.
   $$\begin{array}{lll}
   \begin{array}{|l|}
   \hline
   \hspace{1.5cm} \text{Algorithme } 1\\
   \hline
   A\leftarrow 0,3\\
   N\leftarrow 0\\
   \text{Tant que }A\pp 0,5\\
   \hspace{1cm} A\leftarrow0,92\times A+0,05\\
   \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
   \text{Fin Tant que}\\
   \text{Afficher }2017+N\\
   \hline
   \end{array}&
   \begin{array}{|l|}
   \hline
   \hspace{1.5cm} \text{Algorithme } 2\\
   \hline
   A\leftarrow 0,3\\
   N\leftarrow 0\\
   \text{Tant que }A> 0,5\\
   \hspace{1cm} A\leftarrow0,92\times A+0,05\\
   \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
   \text{Fin Tant que}\\
   \text{Afficher }2017+N\\
   \hline
   \end{array}&
   \begin{array}{|l|}
   \hline
   \hspace{1.5cm} \text{Algorithme } 3\\
   \hline
   A\leftarrow 0,3\\
   N\leftarrow 0\\
   \text{Tant que }A\pp 0,5\\
   \hspace{1cm} A\leftarrow0,92\times A+0,05\\
   \text{Fin Tant que}\\
   N\leftarrow N+1\\
   \text{Afficher }2017+N\\
   \hline
   \end{array}\end{array}$$
   $\quad$
   b. Exécuter l’algorithme qui détermine l’année en question.
   $\quad$
3. Pour tout entier naturel $n$, on pose , $u_n=a_n-0,625$.
   a. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $u_0$.
   $\quad$
   b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $$a_n=-0,325\times 0,92^n+0,625$$
   $\quad$
   c. Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$. Interpréter le résultat.
   $\quad$
4. À l’aide de l’expression donnée dans la question 3.b. , résoudre l’inéquation $a_n\pg 0,5$. Quel résultat antérieur retrouve-t-on ?
   $\quad$

Exercice 3     5 points

Élèves de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

On s’intéresse à l’ensemble des ascenseurs d’une grande ville en 2017. Pour chacun d’eux, un contrat annuel d’entretien doit être souscrit.

Deux sociétés d’ascensoristes, notées $A$ et $B$, se partagent ce marché.
En 2017, la société $A$ entretient $30 \%$ de ces ascenseurs.

On estime que, chaque année :

• $3 \%$ des ascenseurs entretenus par la société $A$ seront entretenus par la société $B$ l’année suivante ;
• $5 \%$ des ascenseurs entretenus par la société $B$ seront entretenus par la société $A$ l’année suivante ;
• les autres ascenseurs ne changeront pas de société d’ascensoristes l’année suivante.

On étudie l’évolution, au fil des années, de la répartition des contrats d’entretien de ces ascenseurs entre les sociétés $A$ et $B$.

Pour un ascenseur choisi au hasard, et pour tout entier naturel $n$, on note  :

• $a_n$ la probabilité que l’ascenseur choisi soit entretenu par la société $A$ lors de l’année $($2017 + $n)$;
• $b_n$ la probabilité que l’ascenseur choisi soit entretenu par la société $B$ lors de l’année $($2017 + $n)$;
• $P_n=\begin{pmatrix} a_n&b_n\end{pmatrix}$ l’état probabiliste de l’année $($2017 + $n)$.

On a donc $P_0=\begin{pmatrix} 0,3&0,7\end{pmatrix}$.

Partie A

1. a. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets $A$ et $B$.
   $\quad$
   b. Écrire la matrice de transition $M$ associée à ce graphe en prenant les sommets dans l’ordre alphabétique.
   $\quad$
2. Déterminer la probabilité que l’ascenseur choisi soit entretenu par la société $A$ en 2018.
   $\quad$
3. Montrer que $P=\begin{pmatrix} 0,625&0,375\end{pmatrix}$ est un état stable de la matrice et interpréter le résultat.
   $\quad$
4. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ on a : $$a_n=0,92a_n+0,05$$
   $\quad$

Partie B

Le directeur de la société $A$ constate que la proportion d’ascenseurs entretenus par sa société augmente au cours des années et se stabilise à $62,5 \%$.

1. a. Indiquer, en le justifiant, lequel des algorithmes suivants donne l’année correspondante.
   $$\begin{array}{lll}
   \begin{array}{|l|}
   \hline
   \hspace{1.5cm} \text{Algorithme } 1\\
   \hline
   A\leftarrow 0,3\\
   N\leftarrow 0\\
   \text{Tant que }A\pp 0,5\\
   \hspace{1cm} A\leftarrow0,92\times A+0,05\\
   \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
   \text{Fin Tant que}\\
   \text{Afficher }2017+N\\
   \hline
   \end{array}&
   \begin{array}{|l|}
   \hline
   \hspace{1.5cm} \text{Algorithme } 2\\
   \hline
   A\leftarrow 0,3\\
   N\leftarrow 0\\
   \text{Tant que }A> 0,5\\
   \hspace{1cm} A\leftarrow0,92\times A+0,05\\
   \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
   \text{Fin Tant que}\\
   \text{Afficher }2017+N\\
   \hline
   \end{array}&
   \begin{array}{|l|}
   \hline
   \hspace{1.5cm} \text{Algorithme } 3\\
   \hline
   A\leftarrow 0,3\\
   N\leftarrow 0\\
   \text{Tant que }A\pp 0,5\\
   \hspace{1cm} A\leftarrow0,92\times A+0,05\\
   \text{Fin Tant que}\\
   N\leftarrow N+1\\
   \text{Afficher }2017+N\\
   \hline
   \end{array}\end{array}$$
   $\quad$
   b. Exécuter l’algorithme qui détermine l’année en question.
   $\quad$
2. Pour tout entier naturel $n$, on pose , $u_n=a_n-0,625$.
   a. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $u_0$.
   $\quad$
   b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $$a_n=-0,325\times 0,92^n+0,625$$
   $\quad$
   c. Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$. Interpréter le résultat.
   $\quad$
3. À l’aide de l’expression donnée dans la question 2.b. , résoudre l’inéquation $a_n\pp 0,5$.
   Quel résultat antérieur retrouve-t-on?
   $\quad$

Exercice 4     5 points

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Les quatre affirmations sont indépendantes.

1. Un caractère est présent dans une population selon une proportion $p = 0,1$.
   Dans un échantillon de $400$ personnes, on observe ce caractère sur $78$ individus.

Affirmation 1 :  Au seuil de $95\%$, cet échantillon est représentatif de la population totale pour ce caractère.

Rappel : Lorsque la proportion $p$ d’un caractère dans la population est connue, l’intervalle $I$ de fluctuation asymptotique au seuil de $95 \%$ d’une fréquence de ce caractère obtenue sur un échantillon de taille $n$ est donné par :
$$I=\left[p-1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}};p+1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right]$$
$\quad$

2. Dans une gare, le temps d’attente à un guichet donné, exprimé en minute, peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi uniforme sur l’intervalle $[1 ; 7]$.

Affirmation 2 : Le temps d’attente moyen à ce guichet est de $4$ minutes.
$\quad$

3. La fonction $g$ est définie sur $\R$ par $g(x)=x^2$.

Affirmation 3 : La valeur moyenne de $g$ sur l’intervalle $[−2;2]$ est égale à $\dfrac{16}{3}$.
$\quad$

4. $x$ désigne un nombre réel négatif.

Affirmation 4 : $\ln\left(\e^{x+1}\right)-\ln\left(\e^x\right)$ est un nombre positif quel que soit le nombre réel $x$.
$\quad$