Bac ES/L – Antilles Guyane – Septembre 2018

Antilles Guyane – Septembre 2018

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. Le taux d’évolution du chiffre d’affaires entre 2012 et 2013 est :
    $t=\dfrac{361-330}{330} \approx 9 \%$
    $\quad$
  2. a. Dans l’algorithme A, la variable $U$ n’est pas actualisée.
    Dans l’algorithme C, à chaque tour de boucle, la variable $U$ prend la valeur $330$.
    $\quad$
    b. On obtient le tableau suivant :
    $\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{valeur de }i&&1&2&3&4&5\\
    \hline
    \text{valeur de }U&330&360&392&427&466&508\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    c. En 2017, pour $n=5$, par exemple, on devrait obtenir une valeur proche de $539$ et on obtient $508$.
    Ces deux valeurs sont trop différentes pour que ce modèle soit pertinent.
    $\quad$
  3. a. $v_0=432$
    $v_1=0,9v_0+110=498,8 \approx 499$
    $v_2=0,9v_1+110=558,92 \approx 559$
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a $w_n=v_n-1~100$ soit $v_n=w_n+1~100$.
    $\begin{align*} w_{n+1}&=v_{n+1}-1~100 \\
    &=0,9v_n+110-1~100 \\
    &=0,9v_n-990\\
    &=0,9\left(w_n+1~100\right)-990 \\
    &=0,9w_n+990-990 \\
    &=0,9w_n\end{align*}$
    La suite $\left(w_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,9$ et de premier terme $w_0=v_0-1~100=-668$.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $w_n=-668 \times 0,9^n$.
    Donc $v_n=w_n+1~100=1~100-668\times 0,9^n$.
    $\quad$
    d. On a $0<0,9<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,9^n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=1~100$.
    La suite dont le terme général est $668\times 0,9^n$ est décroissante.
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc croissante.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $v_n\pp 1~100<2~000$
    Le chiffre d’affaires ne dépassera donc jamais $2$ millions d’euros.
    $\quad$

Ex 2 obl

Exercice 2

Candidats ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats L

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p\left(\conj{E}\right)&=p\left(A\cap \conj{E}\right)+p\left(I\cap \conj{E}\right) \\
    &=0,3\times 0,05+0,7\times 0,02 \\
    &=0,029
    \end{align*}$
    La probabilité qu’un client ne se présente pas à l’embarquement est de $0,029$.
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_{\conj{E}}(A)&=\dfrac{p\left(\conj{E}\cap A\right)}{p\left(\conj{E}\right)} \\
    &=\dfrac{0,3\times 0,05}{0,029}\\
    &\approx 0,517\end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. On veut calculer $p(X=202)=\ds \binom{202}{202}\times 0,971^{202} \approx 0,003$
    La probabilité que tous les clients se présentent à l’embarquement est environ égale à $0,003$.
    $\quad$
  2. On veut calculer $p(X=201) = \ds \binom{202}{201} \times 0,971^{201}\times (1-0,971) \approx 0,016$.
    La probabilité qu’un seul client parmi les $202$ qui ont réservé ne se présente pas à l’embarquement est environ égale à $0,016$.
    $\quad$
  3. Ainsi $p(X>200)=p(X=201)+p(X=202) \approx 0,018$.
    La probabilité que la compagnie se trouve en situation de surréservation est environ égale à $0,019$.
    Remarque : Si on n’utilise pas les arrondis précédents mais la valeur donnée directement par la calculatrice quand on calcule $p(X>200)=1-p(X\pp 200)$ on obtient $p(X>200) \approx 0,018$.
    $\quad$

Partie C

On a $n=400$ et $p=0,98$.
Ainsi $n \pg 30$, $np=392 \pg 5$ et $n(1-p)=8 \pg 5$.
Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est donc :

$\begin{align*} I_{400}&=\left[0,98-1,96\sqrt{\dfrac{0,98\times 0,02}{400}};0,98+1,96\sqrt{\dfrac{0,98\times 0,02}{400}}\right] \\
&\approx [0,966;0,994]\end{align*}$

La fréquence observée est $f=\dfrac{383}{400}=0,957~5 \notin I_{400}$.

Au risque de $5\%$, ce résultat contredit l’affirmation de la compagnie.

$\quad$

 

 

Ex 2 spé

Exercice 2

Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. Cette espèce compte initialement $2$ centaines d’individus.
    Donc $f(0)=2$.
    Or $f(0)=d$ donc $d=2$.
    $\quad$
  2. On a :
    $f(2)=8a+4b+2c+2=18 \ssi 8a+4b+2c=16$
    $f(3)=27a+9b+3c+2=30,5\ssi 27a+9b+3c=28,5$
    $f(10)=1~000a+100b+10c+2=90 \ssi 1~000a+100b+10c=88$.
    Les nombres $a,b$ et $c$ sont donc solutions du système :
    $$\begin{cases} 8a+4b+2c&=&16 \\
    27a+9b+3c&=&28,5\\
    1~000a+100b+10c&=&88\end{cases}$$
    $\quad$
  3. On pose $A=\begin{pmatrix} 8&4&2\\27&9&3\\1~000&100&10\end{pmatrix}$ , $X=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}16\\28,5\\88\end{pmatrix}$.
    Le système précédent est alors équivalent à $AX=B$.
    $\quad$
  4. À l’aide de la calculatrice on trouve : $X=A^{-1}B=\begin{pmatrix}-0,575\\7,375\\-7,45\end{pmatrix}$
    Ainsi $\begin{cases} a&=&-0,2\\b&=&2,5\\c&=&3,8\end{cases}$.
    $\quad$
  5. Par conséquent $f(x)=-0,2x^3+2,5x^2+3,8x+2$.
    Ainsi $f'(x)=-0,6x^2+5x+3,8$.
    $\Delta=5^2-4\times (-0,6)\times 3,8=34,12>0$
    $f'(x)$ possède donc deux racines réelles :
    $x_1=\dfrac{-5-\sqrt{34,12}}{-1,2} \approx 9$ et $x_2=\dfrac{-5+\sqrt{34,12}}{-1,2}<0$
    $x$ représente un nombre de semaines. Par conséquent $x\pg 0$.
    Ainsi, puisque $a=-0,6<0$ on a $f'(x) \pg 0 $ sur l’intervalle $\left[0;x_1\right]$ et $f'(x)\pp 0$ sur l’intervalle $\left[x_1;+\infty\right[$.
    La fonction $f$ atteint donc son maximum sur l’intervalle $[0;+\infty[$ en $x_1$.
    Le nombre d’individus de l’espèce étudiée sera maximal au bout d’environ $9$ semaines.
    $\quad$

Partie B

  1. a. Étudions le degré des sommets de ce graphe connexe.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Sommet}&C&E&F&L&M&O&P&R&S\\
    \hline
    \text{Degré}&3&4&4&3&4&2&4&2&2 \\
    \hline
    \end{array}$
    Tous les sommets de ce graphe ne sont pas pairs.
    Il ne possède donc pas de cycle eulérien. Il n’existe pas de parcours  empruntant toutes les allées, une et une seule fois, en partant du
    local technique ($L$) et en y revenant.
    $\quad$
    b. Exactement $2$ sommets de ce graphe connexe possède un degré impair.
    Il possède donc une chaîne eulérienne.
    Il existe alors un parcours empruntant toutes les allées, une et une seule fois, en partant du local technique ($L$) et sans nécessairement y revenir.
    On peut effectuer, par exemple, le parcours : $L-R-F-M-O-P-M-E-P-F-E-C-L-S-C$.
    $\quad$
  2. Pour déterminer un parcours de distance minimale joignant les sommets $L$ et $O$ on va utiliser l’algorithme de Dijkstra.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    L&C&E&F&M&O&P&R&S&\text{Sommet}\\
    \hline
    0&&&&&&&&&L\\
    \hline
    \phantom{310(L)}&310(L)&&&&&&280(L)&300(L)&R\\
    \hline
    &310(L)&&390(R)&&&&&300(L)&C\\
    \hline
    &&460(C)&390(R)&&&&&&F\\
    \hline
    &&450(F)&&460(F)&&650(F)&&&E\\
    \hline
    &&&&460(F)&&640(E)&&&M\\
    \hline
    &&&&&560(M)&510(M)&&&P\\
    \hline
    &&&&&550(P)&&&&O\\
    \hline
    \end{array}$
    Le parcours le plus court est donc $L-R-F-M-P-O$ pour une distance de $550$ m.
    $\quad$

 

 

Ex 3

Exercice 3

On a $f(x)=x-\ln(x)$ pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $]0;+\infty[$.
La fonction $f$ est dérivable sur cet intervalle et, pour tout réel $x$ strictement positif on a :
$f'(x)=1-\dfrac{1}{x}$.

$f'(3)=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$ et $f(3)=3-\ln(3)$.

Une équation de $T$ est $y=f'(3)(x-3)+f(3)$.
Soit $y=\dfrac{2}{3}x-2+3-\ln(3)$
Ou encore $y=\dfrac{2}{3}x+1-\ln(3)$.

L’ordonnée à l’origine n’est pas nulle. Par conséquent la droite $T$ ne passe pas par l’origine du repère.

$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. Si on a choisit $F(x)=(-7x+7)\e^x$ alors, pour tout réel $x$ on a :
    $F'(x)=-7\e^x+(-7x+7)\e^x=-7\e^x-7x\e^x+7\e^x=-7x\e^x=f(x)$.
    $F$ est donc une primitive de $f$ sur $\R$.
    Réponse d
    $\quad$
  2. On veut déterminer, puisque la fonction $f$ est positive sur l’intervalle $[-3;0]$ :
    $\begin{align*} A&=\ds \int_{-3}^0 f(x)\dx&=F(0)-F(-3) \\
    &=7-28\e^{-3} \\
    &\approx 5,61
    \end{align*}$
    Ainsi $5<A<6$.
    Réponse b
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x$ on a :
    $f'(x)=-7\e^x-7x\e^x=(-7-7x)\e^x$
    $f\dsec(x)=-7\e^x+(-7-7x)\e^x=(-14-7x)\e^x$.
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend donc que de celui de $-14-7x$.
    Or $-14-7x=0\ssi x=-2$
    Et $-14-7x>0 \ssi -7x>14 \ssi x<-2$.
    La fonction $f\dsec$ change donc de signe en $x=-2$.
    Réponse d
    $\quad$

Partie B

  1. À l’aide de la calculatrice on trouve $P(19 \pp X \pp 25)\approx 0,385$.
    Réponse a
    $\quad$
  2. $P(X \pg 25)=0,5-P(19\pp X \pp 25) \approx 0,115$.
    Réponse b
    $\quad$
  3. D’après la calculatrice (touche Inverse loi normale) on obtient
    $P(X>k) \approx 0,42$ si $k \approx 20$.
    Réponse c
    $\quad$

Énoncé

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