Exercice 1

1. Le taux d’évolution du chiffre d’affaires entre 2012 et 2013 est :
   $t=\dfrac{361-330}{330} \approx 9 \%$
   $\quad$
2. a. Dans l’algorithme A, la variable $U$ n’est pas actualisée.
   Dans l’algorithme C, à chaque tour de boucle, la variable $U$ prend la valeur $330$.
   $\quad$
   b. On obtient le tableau suivant :
   $\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   \text{valeur de }i&&1&2&3&4&5\\
   \hline
   \text{valeur de }U&330&360&392&427&466&508\\
   \hline
   \end{array}$
   $\quad$
   c. En 2017, pour $n=5$, par exemple, on devrait obtenir une valeur proche de $539$ et on obtient $508$.
   Ces deux valeurs sont trop différentes pour que ce modèle soit pertinent.
   $\quad$
3. a. $v_0=432$
   $v_1=0,9v_0+110=498,8 \approx 499$
   $v_2=0,9v_1+110=558,92 \approx 559$
   $\quad$
   b. Pour tout entier naturel $n$ on a $w_n=v_n-1~100$ soit $v_n=w_n+1~100$.
   $\begin{align*} w_{n+1}&=v_{n+1}-1~100 \\
   &=0,9v_n+110-1~100 \\
   &=0,9v_n-990\\
   &=0,9\left(w_n+1~100\right)-990 \\
   &=0,9w_n+990-990 \\
   &=0,9w_n\end{align*}$
   La suite $\left(w_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,9$ et de premier terme $w_0=v_0-1~100=-668$.
   $\quad$
   c. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $w_n=-668 \times 0,9^n$.
   Donc $v_n=w_n+1~100=1~100-668\times 0,9^n$.
   $\quad$
   d. On a $0<0,9<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,9^n=0$.
   Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=1~100$.
   La suite dont le terme général est $668\times 0,9^n$ est décroissante.
   La suite $\left(v_n\right)$ est donc croissante.
   Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $v_n\pp 1~100<2~000$
   Le chiffre d’affaires ne dépassera donc jamais $2$ millions d’euros.
   $\quad$

Exercice 2

Candidats ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats L

Partie A

1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
   
   $\quad$
2. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} p\left(\conj{E}\right)&=p\left(A\cap \conj{E}\right)+p\left(I\cap \conj{E}\right) \\
   &=0,3\times 0,05+0,7\times 0,02 \\
   &=0,029
   \end{align*}$
   La probabilité qu’un client ne se présente pas à l’embarquement est de $0,029$.
   $\quad$
3. On veut calculer :
   $\begin{align*} p_{\conj{E}}(A)&=\dfrac{p\left(\conj{E}\cap A\right)}{p\left(\conj{E}\right)} \\
   &=\dfrac{0,3\times 0,05}{0,029}\\
   &\approx 0,517\end{align*}$
   $\quad$

Partie B

1. On veut calculer $p(X=202)=\ds \binom{202}{202}\times 0,971^{202} \approx 0,003$
   La probabilité que tous les clients se présentent à l’embarquement est environ égale à $0,003$.
   $\quad$
2. On veut calculer $p(X=201) = \ds \binom{202}{201} \times 0,971^{201}\times (1-0,971) \approx 0,016$.
   La probabilité qu’un seul client parmi les $202$ qui ont réservé ne se présente pas à l’embarquement est environ égale à $0,016$.
   $\quad$
3. Ainsi $p(X>200)=p(X=201)+p(X=202) \approx 0,018$.
   La probabilité que la compagnie se trouve en situation de surréservation est environ égale à $0,019$.
   Remarque : Si on n’utilise pas les arrondis précédents mais la valeur donnée directement par la calculatrice quand on calcule $p(X>200)=1-p(X\pp 200)$ on obtient $p(X>200) \approx 0,018$.
   $\quad$

Partie C

On a $n=400$ et $p=0,98$.
Ainsi $n \pg 30$, $np=392 \pg 5$ et $n(1-p)=8 \pg 5$.
Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est donc :

$\begin{align*} I_{400}&=\left[0,98-1,96\sqrt{\dfrac{0,98\times 0,02}{400}};0,98+1,96\sqrt{\dfrac{0,98\times 0,02}{400}}\right] \\
&\approx [0,966;0,994]\end{align*}$

La fréquence observée est $f=\dfrac{383}{400}=0,957~5 \notin I_{400}$.

Au risque de $5\%$, ce résultat contredit l’affirmation de la compagnie.

$\quad$

 

 

Exercice 2

Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

1. Cette espèce compte initialement $2$ centaines d’individus.
   Donc $f(0)=2$.
   Or $f(0)=d$ donc $d=2$.
   $\quad$
2. On a :
   $f(2)=8a+4b+2c+2=18 \ssi 8a+4b+2c=16$
   $f(3)=27a+9b+3c+2=30,5\ssi 27a+9b+3c=28,5$
   $f(10)=1~000a+100b+10c+2=90 \ssi 1~000a+100b+10c=88$.
   Les nombres $a,b$ et $c$ sont donc solutions du système :
   $$\begin{cases} 8a+4b+2c&=&16 \\
   27a+9b+3c&=&28,5\\
   1~000a+100b+10c&=&88\end{cases}$$
   $\quad$
3. On pose $A=\begin{pmatrix} 8&4&2\\27&9&3\\1~000&100&10\end{pmatrix}$ , $X=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}16\\28,5\\88\end{pmatrix}$.
   Le système précédent est alors équivalent à $AX=B$.
   $\quad$
4. À l’aide de la calculatrice on trouve : $X=A^{-1}B=\begin{pmatrix}-0,575\\7,375\\-7,45\end{pmatrix}$
   Ainsi $\begin{cases} a&=&-0,2\\b&=&2,5\\c&=&3,8\end{cases}$.
   $\quad$
5. Par conséquent $f(x)=-0,2x^3+2,5x^2+3,8x+2$.
   Ainsi $f'(x)=-0,6x^2+5x+3,8$.
   $\Delta=5^2-4\times (-0,6)\times 3,8=34,12>0$
   $f'(x)$ possède donc deux racines réelles :
   $x_1=\dfrac{-5-\sqrt{34,12}}{-1,2} \approx 9$ et $x_2=\dfrac{-5+\sqrt{34,12}}{-1,2}<0$
   $x$ représente un nombre de semaines. Par conséquent $x\pg 0$.
   Ainsi, puisque $a=-0,6<0$ on a $f'(x) \pg 0 $ sur l’intervalle $\left[0;x_1\right]$ et $f'(x)\pp 0$ sur l’intervalle $\left[x_1;+\infty\right[$.
   La fonction $f$ atteint donc son maximum sur l’intervalle $[0;+\infty[$ en $x_1$.
   Le nombre d’individus de l’espèce étudiée sera maximal au bout d’environ $9$ semaines.
   $\quad$

Partie B

1. a. Étudions le degré des sommets de ce graphe connexe.
   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   \text{Sommet}&C&E&F&L&M&O&P&R&S\\
   \hline
   \text{Degré}&3&4&4&3&4&2&4&2&2 \\
   \hline
   \end{array}$
   Tous les sommets de ce graphe ne sont pas pairs.
   Il ne possède donc pas de cycle eulérien. Il n’existe pas de parcours  empruntant toutes les allées, une et une seule fois, en partant du
   local technique ($L$) et en y revenant.
   $\quad$
   b. Exactement $2$ sommets de ce graphe connexe possède un degré impair.
   Il possède donc une chaîne eulérienne.
   Il existe alors un parcours empruntant toutes les allées, une et une seule fois, en partant du local technique ($L$) et sans nécessairement y revenir.
   On peut effectuer, par exemple, le parcours : $L-R-F-M-O-P-M-E-P-F-E-C-L-S-C$.
   $\quad$
2. Pour déterminer un parcours de distance minimale joignant les sommets $L$ et $O$ on va utiliser l’algorithme de Dijkstra.
   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   L&C&E&F&M&O&P&R&S&\text{Sommet}\\
   \hline
   0&&&&&&&&&L\\
   \hline
   \phantom{310(L)}&310(L)&&&&&&280(L)&300(L)&R\\
   \hline
   &310(L)&&390(R)&&&&&300(L)&C\\
   \hline
   &&460(C)&390(R)&&&&&&F\\
   \hline
   &&450(F)&&460(F)&&650(F)&&&E\\
   \hline
   &&&&460(F)&&640(E)&&&M\\
   \hline
   &&&&&560(M)&510(M)&&&P\\
   \hline
   &&&&&550(P)&&&&O\\
   \hline
   \end{array}$
   Le parcours le plus court est donc $L-R-F-M-P-O$ pour une distance de $550$ m.
   $\quad$

 

 

Exercice 3

On a $f(x)=x-\ln(x)$ pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $]0;+\infty[$.
La fonction $f$ est dérivable sur cet intervalle et, pour tout réel $x$ strictement positif on a :
$f'(x)=1-\dfrac{1}{x}$.

$f'(3)=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$ et $f(3)=3-\ln(3)$.

Une équation de $T$ est $y=f'(3)(x-3)+f(3)$.
Soit $y=\dfrac{2}{3}x-2+3-\ln(3)$
Ou encore $y=\dfrac{2}{3}x+1-\ln(3)$.

L’ordonnée à l’origine n’est pas nulle. Par conséquent la droite $T$ ne passe pas par l’origine du repère.

$\quad$

Exercice 4

Partie A

1. Si on a choisit $F(x)=(-7x+7)\e^x$ alors, pour tout réel $x$ on a :
   $F'(x)=-7\e^x+(-7x+7)\e^x=-7\e^x-7x\e^x+7\e^x=-7x\e^x=f(x)$.
   $F$ est donc une primitive de $f$ sur $\R$.
   Réponse d
   $\quad$
2. On veut déterminer, puisque la fonction $f$ est positive sur l’intervalle $[-3;0]$ :
   $\begin{align*} A&=\ds \int_{-3}^0 f(x)\dx&=F(0)-F(-3) \\
   &=7-28\e^{-3} \\
   &\approx 5,61
   \end{align*}$
   Ainsi $5<A<6$.
   Réponse b
   $\quad$
3. Pour tout réel $x$ on a :
   $f'(x)=-7\e^x-7x\e^x=(-7-7x)\e^x$
   $f\dsec(x)=-7\e^x+(-7-7x)\e^x=(-14-7x)\e^x$.
   La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
   Le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend donc que de celui de $-14-7x$.
   Or $-14-7x=0\ssi x=-2$
   Et $-14-7x>0 \ssi -7x>14 \ssi x<-2$.
   La fonction $f\dsec$ change donc de signe en $x=-2$.
   Réponse d
   $\quad$

Partie B

4. À l’aide de la calculatrice on trouve $P(19 \pp X \pp 25)\approx 0,385$.
   Réponse a
   $\quad$
5. $P(X \pg 25)=0,5-P(19\pp X \pp 25) \approx 0,115$.
   Réponse b
   $\quad$
6. D’après la calculatrice (touche Inverse loi normale) on obtient
   $P(X>k) \approx 0,42$ si $k \approx 20$.
   Réponse c
   $\quad$

Exercice 1     6 points

Dans tout cet exercice, les résultats seront arrondis à l’unité.

Une grande enseigne souhaite étudier l’évolution du chiffre d’affaires des ventes de ses produits « bio ». Les données collectées ces dernières années sont les suivantes :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Années}&2012&2013&2014&2015&2016&2017\\
\hline
\text{Chiffre d’affaires(millier d’euros)}&330&361&392&432&489&539\\
\hline
\end{array}$$

1. Calculer le taux d’évolution en pourcentage du chiffre d’affaires entre 2012 et 2013.
   $\quad$
2. Un cabinet d’étude avait, en 2012, conduit une étude et modélisé le chiffre d’affaires des ventes de produits bio par une suite $\left(u_n\right)$ où, pour tout entier naturel $n$, un représentait le chiffre d’affaires, exprimé en millier d’euros, de l’année 2012$+n$.
   Dans cette modélisation, on suppose que le chiffre d’affaires augmente de $9 \%$ chaque année à partir de 2012 et on construit un algorithme donnant en sortie le terme $u_n$ pour un entier naturel $n$ donné par l’utilisateur.
   a. Dans les algorithmes ci-dessous, $N$ est un entier, donné par l’utilisateur, qui désigne le nombre d’années écoulées depuis l’année 2012 et $U$ un nombre réel qui désigne le chiffre d’affaires en 2012$+ N$.
   Justifier que les algorithmes A et C ne conviennent pas.
   $$\begin{array}{ccc}
   \textbf{Algorithme A}&\textbf{Algorithme B}&\textbf{Algorithme C}\\
   \begin{array}{|l|}
   \hline
   U\leftarrow 330\\
   \text{Pour $i$ allant de $1$ à $N$}\\
   \hspace{1cm}W\leftarrow 1,09\times U\\
   \text{Fin Pour}\\
   \hline
   \end{array}&\begin{array}{|l|}
   \hline
   U\leftarrow 330\\
   \text{Pour $i$ allant de $1$ à $N$}\\
   \hspace{1cm}U\leftarrow 1,09\times U\\
   \text{Fin Pour}\\
   \hline
   \end{array}&\begin{array}{|l|}
   \hline
   \text{Pour $i$ allant de $1$ à $N$}\\
   \hspace{1cm} U\leftarrow 330\\
   \hspace{1cm}U\leftarrow 1,09\times U\\
   \text{Fin Pour}\\
   \hline\end{array}
   \end{array}$$
   On admet que l’algorithme B convient.
   $\quad$
   b. Pour la valeur $5$ de $N$ saisie dans l’algorithme B, recopier puis compléter, en le prolongeant avec autant de colonnes que nécessaire, le tableau ci-dessous.
   $$\begin{array}{|l|c|c|cc}
   \hline
   \text{Valeur de $i$}&&1&\ldots&\\
   \hline \text{Valeur de $U$}&330&\phantom{330}&\ldots&\hspace{2cm}\\
   \hline\end{array}$$
   $\quad$
3. Le cabinet d’étude décide de modéliser ce chiffre d’affaires, exprimé en millier d’euros, par la suite $\left(v_n\right)$ définie par $v_0 = 432$ et $v_{n+1} = 0, 9v_n +110$ pour tout entier naturel $n$.
   Le terme $v_n$ représente alors ce chiffre d’affaires en 2015$+n$.
   a. Calculer $v_1$ et $v_2$.
   $\quad$
   b. On pose $w_n = v_n−1100$ pour tout entier naturel $n$. Montrer que la suite $\left(w_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
   $\quad$
   c. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $w_n$ en fonction de $n$.
   En déduire que $v_n = 1~100−668×0, 9^n$ pour tout entier naturel $n$.
   $\quad$
   d. Ce modèle permet-il d’envisager que le chiffre d’affaires dépasse un jour $2$ millions d’euros ?
   $\quad$

 

Exercice 2     5 points

Candidats ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats L

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième si nécessaire.
Une compagnie aérienne a mis en place pour une de ses lignes un système de surréservation afin d’abaisser les coûts.
Les réservations ne peuvent se faire qu’auprès d’une agence ou sur le site Internet de la compagnie.

Partie A

Une étude réalisée par la compagnie a établi que, sur cette ligne, pour une réservation en agence, $5\%$ des clients ne se présentent pas à l’embarquement alors que, pour une réservation par Internet, $2 \%$ des clients ne se présentent pas à l’embarquement.

Les réservations en agence représentent $30\%$ de l’ensemble des réservations.

Pour un embarquement donné et une réservation prise au hasard, on considère les événements suivants :

• $A$ : « la réservation a été faite en agence »;
• $I$ : « la réservation a été faite par Internet »;
• $E$ : « le passager se présente à l’embarquement ».

1. Construire un arbre pondéré traduisant cette situation.
   $\quad$
2. Démontrer que la probabilité qu’un client ne se présente pas à l’embarquement est de $0,029$.
   $\quad$
3. Calculer la probabilité que la réservation ait été faite en agence sachant que le client ne s’est pas présenté à l’embarquement.
   $\quad$

Partie B

Sur cette ligne, la compagnie affrète un appareil de $200$ places et a vendu $202$ réservations.

On suppose que le nombre de clients se présentant à l’embarquement peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi binomiale de paramètres $n = 202$ et $p = 0,971$.

1. Calculer la probabilité que tous les clients se présentent à l’embarquement.
   $\quad$
2. Calculer la probabilité qu’un seul client parmi les $202$ qui ont réservé ne se présente pas à l’embarquement.
   $\quad$
3. En déduire la probabilité que la compagnie se trouve en situation de surréservation (c’est-à-dire avec plus de clients qui se présentent à l’embarquement que de places).
   $\quad$

Partie C

Cette compagnie affirme que $98 \%$ de ses clients sont satisfaits.
Sur les $400$ réponses à une enquête de satisfaction, il y a $383$ réponses exprimant leur satisfaction. Ce résultat contredit-il l’affirmation de la compagnie ?
$\quad$

 

Exercice 2     5 points

Candidats ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Un laboratoire en botanique étudie l’évolution d’une espèce végétale en fonction du temps.
Cette espèce compte initialement $2$ centaines d’individus.
Au bout de $2$ semaines, l’espèce végétale compte $18$ centaines d’individus.
Au bout de $3$ semaines, l’espèce végétale prolifère et s’élève à $30,5$ centaines d’individus.
Au bout de $10$ semaines, on en compte $90$ centaines.
On modélise cette évolution par une fonction polynomiale $f$ donnant le nombre d’individus
de l’espèce, exprimé en centaine, en fonction du temps écoulé $x$, exprimé en semaine.
Ainsi $f(2) = 18$ ; $f(3) = 30,5$ et $f(10) = 90$.
On admet que $f(x)$ peut s’écrire $f(x) = ax^3 +bx^2 +cx +d$, où $a$, $b$, $c$ et $d$, sont des réels.
$\quad$

1. Justifier que $d=2$.
   $\quad$
2. Montrer que $a$, $b$ et $c$ sont solutions du système : $\begin{cases}8a+4b+2c=16\\27a+9b+3c=28,5\\1~000a+100b+10c=88\end{cases}$.
   $\quad$
3. Déterminer les matrices $A$, $X$ et $B$ qui permettent d’écrire le système précédent sous la forme $AX = B$.
   $\quad$
4. Résoudre le système.
   $\quad$
5. En supposant que l’évolution suit, sur l’intervalle $[0; 13]$, le modèle décrit par la fonction $f$ , déterminer au bout de combien de temps la quantité de l’espèce étudiée sera maximale (arrondir à la semaine près).
   $\quad$

Partie B

Le laboratoire en botanique possède un parc d’étude dans lequel est observée l’évolution de différentes espèces d’arbres.
Les agents chargés du nettoyage circulent dans le parc depuis le local technique ($L$) jusqu’aux différentes parcelles plantées d’arbres : $C$, $E$, $F$, $M$, $O$, $P$, $R$ et $S$.

Les sommets du graphe ci-dessus représentent les différentes parcelles, et les arêtes marquent les allées permettant de se déplacer dans le parc. Les étiquettes rapportent la distance en mètre entre les parcelles.

1. a. Existe-t-il un parcours empruntant toutes les allées, une et une seule fois, en partant du local technique ($L$) et en y revenant ? Si oui, donner un tel parcours.
   $\quad$
   b. Existe-t-il un parcours empruntant toutes les allées, une et une seule fois, en partant du local technique ($L$) et sans nécessairement y revenir ? Si oui, donner un tel
   parcours.
   $\quad$
2. Déterminer un parcours de distance minimale joignant le local technique à la parcelle $O$.
   $\quad$

Exercice 3     3 points

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$ par $f(x) = x−\ln(x)$.

On appelle $C_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère $Oij$ et $T$ la tangente à $C_f$ au point d’abscisse $x = 3$.

Cette tangente $T$ à $C_f$ passe-t-elle par l’origine du repère?
$\quad$

 

Exercice 4     6 points

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse ne rapportent, ni n’enlèvent aucun point.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $$f(x) = −7x\e^x$$
Cette fonction admet sur $\R$ une dérivée $f’$ et une dérivée seconde $f\dsec$.
On donne ci-dessous la courbe $C_f$ représentative de la fonction $f$ .

1. On note $F$ une primitive de $f$ sur $\R$, une expression de $F(x)$ peut être :
   a. $(−7−7x)\e^x$
   b. $−7\e^x$
   c. $−7x\e^x$
   d. $(−7x +7)\e^x$
   $\quad$
2. Soit $A$ l’aire, exprimée en unité d’aire, comprise entre la courbe représentative de $f$ ,l’axe des abscisses et les droites d’équation $x =−3$ et $x = 0$ . On a :
   a. $3 < A < 4$
   b. $5 < A < 6$
   c. $A < 0$
   d. $A > 7$
   $\quad$
3. On a :
   a. $f’$ est positive sur l’intervalle $[−6 ; 0]$;
   b. $f$ est convexe sur l’intervalle $[−1 ; 0]$;
   c. $C_f$ admet un point d’inflexion pour $x = −1$;
   d. $f\dsec$ change de signe en $x = −2$.
   $\quad$

Partie B

On considère la loi normale $X$ de paramètres $\mu = 19$ et $\sigma = 5$.

4. La meilleure valeur approchée de $P(19 \pp X \pp 25)$ est :
   a. $0,385$
   b. $0,084$
   c. $0,885$
   d. $0,5$
   $\quad$
5. Une valeur approchée à $10^{−3}$ près de la probabilité $P(X \pg 25)$ est :
   a. $p \approx 0,885$
   b. $p \approx 0,115$
   c. $p \approx 0,385$
   d. $p \approx 0,501$
   $\quad$
6. Le nombre entier $k$ tel que $P$(X > k) \approx 0,42$ à $10^{−2}$ près est :
   a. $k = 19$
   b. $k = 29$
   c. $k = 20$
   d. $k = 14$
   $\quad$