Bac ES/L – Nouvelle Calédonie – Mars 2019

Nouvelle Calédonie – Mars 2019

Bac TES/TL – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On obtient l’arbre de probabilité suivant :

    $\quad$
  2. D’après l’arbre de probabilité on a $P(F\cap M)=0,4\times 0,6=0,24$.
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(M)=P(F\cap M)+P(G\cap M) &\ssi 0,64=0,24+P(G\cap M) \\
    &\ssi P(G\cap M)=0,4\end{align*}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*}P_G(M)&=\dfrac{P(G\cap M)}{P(G)} \\
    &=\dfrac{0,4}{0,6} \\
    &=\dfrac{2}{3}\\
    &\approx 0,667\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_M(F)&=\dfrac{P(M\cap F)}{P(M)} \\
    &=\dfrac{0,24}{0,64}\\
    &=0,375\end{align*}$
    $\quad$

Partie B

On veut calculer :
$\begin{align*} P(X=30)&=\ds \binom{70}{30} \times 0,6^{30}\times 0,4^{40} \\
&\approx 0,001~5\end{align*}$

$\quad$

Partie C

  1. À l’aide de la calculatrice on a : $P(10 \pp Y \pp 13)\approx 0,775$
    La probabilité qu’un élève de terminale de ce lycée ait une VMA comprise entre 10 et 13 km/h est environ égale à $0,775$.
    $\quad$
  2. À l’aide de la fonction Inverse loi normale de la calculatrice on obtient $\alpha\approx 12,8$.
    Cela signifie donc que $80\%$ des élèves ont une VMA inférieure ou égale à $12,8$.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ d’après l’énoncé.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x-\ln(x)}{x^2}&=\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}\end{align*}$
    Par conséquent $f'(\e)=\dfrac{1-\ln(\e)}{\e^2}=0$.
    Réponse a
    $\quad$
  2. On appelle $x$ le taux annuel d’augmentation du prox du gaz entre janvier 2005 et décembre 2012.
    Le prix du tarif réglementé du gaz a augmenté de $80\%$ sur cette période. Le coefficient multiplicateur est donc de $1,8$.
    On doit donc résoudre l’équation :
    $\begin{align*} \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^8=1,8 &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=1,8^{1/8} \\
    &\ssi \dfrac{x}{100}=1,8^{1/8}-1 \\
    &\ssi x=100\times \left(1,8^{1/8}-1\right)\end{align*}$
    Par conséquent $x\approx 7,62$
    Réponse b
    $\quad$
  3. On a donc
    $\begin{align*} S&=1\ier\text{ terme}\times \dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}\\
    &=3\times \dfrac{1-1,5^{49}}{1-1,05}\end{align*}$
    Réponse d
    $\quad$
  4. On appelle $T$ la variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle $[0;12]$.
    Ainsi $P(2\pp T\pp 5)=\dfrac{5-2}{12-0}=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}$
    Réponse a
    $\quad$

Partie B

  1. Un intervalle de confiance est de la forme $\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}};f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$ où $n$ est le nombre d’individus interrogés.
    Son amplitude est donc $a=f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\left(f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)=\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} a\pp 0,02&\ssi \dfrac{2}{\sqrt{n}}\pp 0,02 \\
    &\ssi \dfrac{1}{\sqrt{n}}\pp 0,01\\
    &\ssi \sqrt{n}\pg 100\\
    &\ssi n\pg 10~000\end{align*}$
    Affirmation 1 vraie
    $\quad$
  2. On appelle $\sigma$ l’écart-type de la variable aléatoire $X$.
    On a $P(0\pp X\pp 12)=0,95 \ssi P(\mu-6\pp X\pp \mu+6)=0,95$
    Or $P(\mu-2\sigma\pp X\pp \mu+2\sigma)\approx 0,95$.
    Cela signifie donc que $2\sigma\approx 6$ soit $\sigma \approx 3$.
    Affirmation 2 fausse
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

  1. a. $160\times 0,8+50=178$.
    $178$ étaient inscrits à l’été 2018 selon cette estimation.
    $\quad$
    b. $\dfrac{178}{10}=17,8$.
    Il faut donc prévoir au minimum $18$ tentes pour loger l’ensemble des inscrits pendant l’été 2018.
    $\quad$
  2. $80\%$ des enfants déjà inscrits une année se réinscrivent l’année suivante. Cela correspond donc à $0,8u_n$.
    Chaque année $50$ nouveaux enfants les rejoignent.
    Donc, pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=0,8u_n+50$.
    $\quad$
  3. a. On a pu saisir la formule $=0,8*B2+50$.
    $\quad$
    b. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    &\text{A}&\text{B}&\text{C}&\text{D}&\text{E}&\text{F}&\text{G}\\
    \hline
    1&\text{indice }n&0&1&2&3&4&5\\
    \hline
    2&\text{valeur de }u(n)&160&178&192&204&213&221\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    c. D’après le tableau précédent $u_4\approx 213$.
    On peut estimer qu’il y aura environ $213$ inscrits en 2021.
    $\quad$
  4. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-250$ soit $u_n=v_n+250$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-250\\
    &=0,8u_n+50-250\\
    &=0,8u_n-200\\
    &=0,8\left(v_n+250\right)-200\\
    &=0,8v_n+200-200\\
    &=0,8v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $v_0=u_0-250=-90$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=-90\times 0,8^n$.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=v_n+250=250-90\times 0,8^n$.
    $\quad$
    d. On a $0<0,8<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,8^n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=250$.
    Cela signifie qu’au bout d’un grand nombre d’années le nombre d’inscrits sera de $250$.
    $\quad$
  5. a. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    U\leftarrow 160\\
    N\leftarrow 0\\
    \text{Tant que }U<220\text{ faire}\\
    \hspace{1cm} U\leftarrow 0,8U+50\\
    \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    \text{Fin tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. D’après la question 3.b. on a $u_4\approx 213$ et $u_5\approx 221$
    Donc l’algorithme fournira la valeur $N=5$.
    $\quad$
    Autre méthode :
    On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*}u_n\pg 220&\ssi 250-90\times 0,8^n\pg 220\\
    &\ssi -90\times 0,8^n\pg-30\\
    &\ssi 0,8^n \pp \dfrac{1}{3}\\
    &\ssi n\ln(0,8)\pp \ln\left(\dfrac{1}{3}\right)\\
    &\ssi n\pg \dfrac{\ln\left(\dfrac{1}{3}\right)}{\ln(0,8)}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln\left(\dfrac{1}{3}\right)}{\ln(0,8)} \approx 4,9$.
    Donc l’algorithme fournira la valeur $N=5$.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. On a $f(0)=3$.
    $\quad$
  2. $f'(0)$ est le coefficient de la tangente à la courbe $C$ au point $A$.
    Donc $f'(0)=-1$.
    Ainsi une équation de la droite $T$ est $y=-x+3$.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ semble croissante sur l’intervalle $[-2;-1]$ et décroissante sur l’intervalle $[-1;6]$.
    Par conséquent $f'(x)\pp 0$ sur l’intervalle $[-2;-1]$ et $f'(x)\pg 0$ sur l’intervalle $[-1;6]$.
    La courbe $C$ possède une tangente horizontale au point $B$ donc $f'(-1)=0$.
    $\quad$
  4. Le point $A$ est l’unique point d’inflexion de la courbe $C$ sur l’intervalle $[-2;6]$.
    Par conséquent la fonction $f$ est concave sur l’intervalle $[-2;0]$ et convexe sur l’intervalle $[0;6]$.
    $\quad$
  5. La fonction $f$ est continue et positive sur l’intervalle $[-1;0]$.
    Donc $\ds \int_{-1}^0 f(x)\dx$ est donc l’aire du domaine compris entre la courbe $C$, l’axe des abscisses, la droite d’équation $x=-1$ et la droite d’équation $x=0$.
    Ainsi $3\times 1 \pp \ds \int_{-1}^0 f(x)\dx \pp 4\times 1$.
    Soit $3 \pp \ds \int_{-1}^0 f(x)\dx \pp 4$.
    $\quad$

Partie B

  1. On a $f(6)=(6+2)\e^{-6}+1=8\e^{-6}+1 \approx 1,2$
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[-2;6]$ en tant que produit et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x \in[-2;6]$ on a :
    $\begin{align*}f'(x)&=1\times \e^{-x}+(x+2)\times (-1)\times \e^{-x}\\
    &=(1-x-2)\e^{-x}\\
    &=(-x-1)\e^{-x}\end{align*}$
    $\quad$
  3. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-x-1$.
    Or $-x-1=0\ssi x=-1$ et $-x-1>0\ssi x<-1$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  4. a. Une primitive de la fonction $f$ est donc la fonction $F$ définie sur l’intervalle $[-2;6]$ par $F(x)=(-x-3)\e^{-x}+x$.
    Cette fonction $F$ est en effet dérivable sur l’intervalle $[-2;6]$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Et pour tout réel $x\in[-2;6]$ on a $F'(x)=(x+2)\e^{-x}+1=f(x)$.
    $\quad$
    b. La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-1;0]$ est :
    $\begin{align*}m&=\dfrac{1}{0-(-1)}\int_{-1}^0 f(x)\dx\\
    &=F(0)-F(-1)\\
    &=-3-\left(-2\e-1\right)\\
    &=2\e-2\\
    &\approx 3,4\end{align*}$

Énoncé

Télécharger (PDF, 94KB)

Si l’énoncé ne s’affiche pas directement rafraîchissez l’affichage.