Exercice 1

1. a. $f(20)=(16+0,2)\e^{-10}+0,03=16,2\e^{-10}+0,03 \approx 0,031$
   $\quad$
   b. La fonction $f$ admet, d’après le tableau de variation un maximum pour $t=1,75$.
   $f(1,75)=1,6\e^{-0,875}+0,03\approx 0,697$.
   Le taux maximal de CO$_2$ est donc d’environ $69,7\%$.
   $\quad$
2. a. Sur l’intervalle $[0;1,75]$ la fonction $f$ est strictement croissante. On a donc $f(t) \pg 0,23 > 0,035$.
   L’équation $f(x)=0,035$ ne possède donc pas de solution sur cet intervalle.
   $\quad$
   Sur l’intervalle $[0;20]$, la fonction $f$ est continue et strictement décroissante.
   De plus $f(1,75)\approx 0,697 > 0,035$ et $f(20)\approx 0,031<0,035$.
   D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0,035$ possède i,e unique solution $T$ sur l’intervalle $[1,75;20]$.
   Par conséquent, l’équation $f(t)=0,035$ possède une unique solution sur l’intervalle $[0;20]$.
   $\quad$
   b. À l’aide de la calculatrice on trouve que la variable $t$ à la fin de l’algorithme vaut $15,75$.
   Cela signifie qu’il faut attendre $15$ minutes et $45$ secondes pour obtenir un taux de CO$_2$ inférieur ou égal à $3,5\%$.
   $\quad$
3. a. La fonction $F$ est dérivable sur l’intervalle $[0;11]$ comme somme, produit et composée de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;11]$ on a :
   $\begin{align*} F'(t)&=-1,6\e^{-0,5t}-0,5(-1,6t-3,6)\e^{-0,5t}+0,03 \\
   &=(-1,6+0,8t+1,8)\e^{-0,5t}+0,03\\
   &=(0,8t+0,2)\e^{-0,5t}+0,03\\
   &=f(t)
   \end{align*}$
   La fonction $F$ est donc une primitive de la fonction $f $sur l’intervalle $[0;11]$.
   $\quad$
   b. On a :
   $\begin{align*} V_m&=\dfrac{1}{11-0}\ds \int_0^{11} f(t)\dt \\
   &=\dfrac{1}{11}\left[F(11)-F(0)\right] \\
   &=\dfrac{-21,2\e^{-5,5}+0,33+3,6}{11}\\
   &=\dfrac{-21,2\e^{-5,5}+3,93}{11}\\
   &\approx 0,349
   \end{align*}$
   Le taux moyen $V_m$ est  donc envion égal à $34,9\%$.
   $\quad$

Exercice 2

1. On a $E(D)=\dfrac{1}{\lambda}=8$ donc $\lambda=\dfrac{1}{8}$.
   La loi exponentielle est à durée de vie sans vieillissement. Donc :
   $\begin{align*} P_{D\pg 3}(D\pg 10)&=P_{D\pg 3}(D\pg 7+3) \\
   &=P(D \pg 7) \\
   &=1-P(X\pp 7) \\
   &=\e^{-7/8} \\
   &\approx 0,42
   \end{align*}$
   L’affirmation 1 est vraie.
   $\quad$
2. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de dépistages positifs.
   On effectue $200$ tirages indépendants, aléatoires et identiques.
   Chaque tirage possède $2$ issues : “le test est positif” dont la probabilité est $0,031$ et “le test est négatif”.
   La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=200$ et $p=0,031$.
   D’après la calculatrice on a :
   $P(X> 5) = 1-P(X \pp 5) \approx 0,49$
   L’affirmation 2 est vraie.
   $\quad$
3. $\ln(6x-2)$ existe si, et seulement si, $6x-2 > 0 \ssi 6x > 2 \ssi x > \dfrac{1}{3}$
   $\ln(2x-1)$ existe si, et seulement si, $2x-1 > 0 \ssi x > \dfrac{1}{2}$
   $\ln(x)$ existe si, et seulement si, $x>0$.
   On ne peut donc résoudre l’équation que sur l’intervalle $\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$.
   Sur l’intervalle $\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$,
   $\begin{align*} \ln(6x-2)+\ln(2x-1)=\ln(x)&\ssi \ln \left[(6x-2)(2x-1)\right]=\ln(x) \\
   &\ssi (6x-2)(2x-1)=x \\
   &\ssi 12x^2-6x-4x+2=x \\
   &\ssi 12x^2-11x+2=0
   \end{align*}$
   Pour résoudre $12x^2-11x+2=0$, on calcule $\Delta=(-11)^2-4\times 12\times 2=25>0$.
   Les solutions dans $\R$ de $12x^2-11x+2=0$ sont donc :
   $x_1=\dfrac{11-\sqrt{25}}{24}=\dfrac{1}{4}$ et $x_2=\dfrac{11+\sqrt{25}}{24}=\dfrac{2}{3}$
   Or $\dfrac{1}{4}<\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{2}{3}>\dfrac{1}{2}$
   L’équation $\ln(6x-2)+\ln(2x-1)=\ln(x)$ n’admet qu’une seule solution dans l’intervalle $\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$.
   $\quad$
4. $\left(4z^2-20z+37\right)\left(2z-7+2\ic\right)=0 \ssi \begin{cases} 4z^2-20z+37=0\\2z-7+2\ic=0 \end{cases}$.
   Or $2z-7+2\ic=0 \ssi 2z=7-2\ic \ssi z=\dfrac{7-2\ic}{2}$
   On appelle $A$ le point d’affixe $\dfrac{7-2\ic}{2}$.
   Ainsi $AP=\left|\dfrac{7-2\ic}{2}-2\right|=\left|\dfrac{3}{2}-\ic\right|=\sqrt{3,25}$.
   $\quad$
   On considère maintenant l’équation $4z^2-20z+37=0$.
   $\Delta=(-20)^2-4\times 4\times 37=-192<0$
   L’équation possède donc deux solutions complexes :
   $z_1=\dfrac{20-\sqrt{192}\ic}{8}=\dfrac{5-2\ic\sqrt{3}}{2}$ et $z_2=\conj{z_1}=\dfrac{5+2\ic\sqrt{3}}{2}$.
   On appelle $B$ le point d’affixe $\dfrac{5-2\ic\sqrt{3}}{2}$ et $C$ le point d’affixe $\dfrac{5+2\ic\sqrt{3}}{2}$.
   Ainsi $BP=\left|\dfrac{5-2\ic\sqrt{3}}{2}-2\right|=\left|\dfrac{1}{2}-\ic\sqrt{3}\right|=\sqrt{3,25}$.
   De même $CP=\left|\dfrac{5+2\ic\sqrt{3}}{2}-2\right|=\left|\dfrac{1}{2}+\ic\sqrt{3}\right|=\sqrt{3,25}$.
   Ainsi $AP=BP=CP$.
   Les trois points appartiennent au cercle de centre $P$ d’affixe $2$ et de rayon $\sqrt{3,25}$.
   $\quad$

Exercice 3

Partie A

1. $M_A$ suit une loi uniforme sur l’intervalle $[850;x]$.
   Ainsi $P\left(900\pp M_A\pp 1~200\right)=\dfrac{1~200-900}{x-850}=\dfrac{300}{x-850}$
   Par conséquent
   $\begin{align*} \dfrac{300}{x-850}&=0,75 &\ssi 300=0,75x-637,5 \\
   &\ssi 937,5=0,75x \\
   &\ssi x = 1250
   \end{align*}$
   $\quad$
2. La variable aléatoire $X=\dfrac{M_B-1~050}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
   $\begin{align*} P\left(900\pp M_B\pp 1200\right)=0,85 &\ssi P\left(-150\pp M_B-1~050 \pp 150\right)=0,85 \\
   &\ssi P\left(-\dfrac{150}{\sigma} \pp \dfrac{M_B-1~050}{\sigma} \pp \dfrac{150}{\sigma}\right) =0,85 \\
   &\ssi P\left(-\dfrac{150}{\sigma} \pp X \pp \dfrac{150}{\sigma}\right) =0,85 \\
   &\ssi 2P\left(X \pp \dfrac{150}{\sigma}\right)-1=0,85 \\
   &\ssi 2P\left(X \pp \dfrac{150}{\sigma}\right)=1,85 \\
   &\ssi P\left(X \pp \dfrac{150}{\sigma}\right)=0,925
   \end{align*}$
   À l’aide de la touche inverse loi normale de la calculatrice on trouve $\dfrac{150}{\sigma} \approx 1,440$.
   Par conséquent $\sigma \approx 104$.
   $\quad$
3. On a $n=400$ et $p=0,8$.
   Donc $n\pg 30$, $np=320\pg 5$ et $n(1-p)=80\pg 5$.
   Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la proportion de melons conformes est donc :
   $\begin{align*} I_{400}&=\left[0,8-1,96\sqrt{\dfrac{0,8\times 0,2}{400}};0,8+1,96\sqrt{\dfrac{0,8\times 0,2}{400}}\right] \\
   &=[0,760~8;0,839~2]
   \end{align*}$
   La fréquence observée est $f=\dfrac{294}{400}=0,735 \notin I_{400}$.
   Au risque d’erreur de $5\%$, le détaillant a raison de douter de l’affirmation du maraîcher C.
   $\quad$

Partie B

1. a On obtient l’arbre de probabilité suivant :
   
   $\quad$
   b. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} P\left(A_3\right)&=P\left(A_2\cap A_3\right)+P\left(\conj{A_2}\cap A_3\right) \\
   &=0,9\times 0,9+0,1\times 0,4 \\
   &=0,81+0,04 \\
   &=0,85
   \end{align*}$
   $\quad$
   c. On veut calculer :
   $\begin{align*} P_{A_3}\left(A_2\right) &=\dfrac{P\left(A_2\cap A_3\right)}{P\left(A_3\right)} \\
   &=\dfrac{0,9\times 0,9}{0,85} \\
   &=\dfrac{81}{85} \\
   &\approx 0,95
   \end{align*}$
   $\quad$
2. On peut représenter la situation par l’arbre de probabilité suivant :
   
   D’après la formule des probabilités totales, on a :
   $\begin{align*} p_{n+1}&=P\left(A_n\cap A_{n+1}\right)+P\left(\conj{A_n}\cap A_{n+1}\right) \\
   &=0,9p_n+0,4\left(1-p_n\right) \\
   &=0,5p_n+0,4 \end{align*}$
   $\quad$
3. a. Initialisation : si $n=1$ alors $p_1=1 > 0,8$.
   La propriété est vraie au rang $1$.
   $\quad$
   Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $p_n > 0,8$.
   Montrons qu’elle est encore vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $p_{n+1}> 0,8$.
   $\begin{align*} p_n> 0,8&\ssi 0,5p_n > 0,4 \\
   &\ssi 0,5p_n+0,4> 0,8 \\
   &\ssi p_{n+1} > 0,8
   \end{align*}$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul on a $p_n> 0,8$.
   $\quad$
   b. Soit $n$ un entier naturel non nul.
   $\begin{align*} p_{n+1}-p_n&=0,5p_n+0,4-p_n \\
   &=-0,5p_n+0,4 \\
   &=0,5\left(-p_n+0,8\right)
   \end{align*}$
   On sait d’après la question précédente que $p_n> 0,8 \ssi 0,8-p_n<0$.
   Par conséquent $p_{n+1}-p_n<0$.
   La suite $\left(p_n\right)$ est donc décroissante.
   $\quad$
   c. La suite $\left(p_n\right)$ est décroissante et minorée par $0,8$. Elle est donc convergente.
   $\quad$
4. a. Pour tout entier naturel $n \pg 1$ on a $v_n=p_n-0,8 \ssi p_n=v_n+0,8$.
   $\begin{align*} v_{n+1}&=p_{n+1}-0,8 \\
   &=0,5p_n+0,4-0,8 \\
   &=0,5p_n-0,4 \\
   &=0,5\left(p_n+0,8\right)-0,4 \\
   &=0,5p_n+0,4-0,4 \\
   &=0,5p_n
   \end{align*}$
   La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,5$ et de premier terme $v_1=p_1-0,8=0,2$.
   $\quad$
   b. Par conséquent, pour tout entier $n\pg 1$ on a $v_n=0,2\times 0,5^{n-1}$.
   Or $p_n=v_n+0,8=0,8+0,2\times 0,5^{n-1}$.
   $\quad$
   c. On a $-1<0,5<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,5^n=0$. Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,5^{n-1}=0$.
   Et $\lim\limits_{n\to +\infty} p_n=0,8$.
   $\quad$

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi la spécialité mathématique

Partie A

1. Voir figure en fin de partie B.
   Le point $P$ est l’intersection de la droite $(IJ)$ avec la droite $(EH)$.
   $\quad$
2. Les points $K$ et $P$ appartiennent aux plans $(IJK)$ et $(EFG)$.
   La droite $(KP)$ est donc incluses dans les deux plans.
   C’est par conséquent l’intersection de ces deux plans.
   $\quad$

Partie B

1. a. Le point $I$ est le milieu du segment $[AD]$.
   Par conséquent le point $I$ a pour coordonnées $(0;0,5;0)$.
   On a $\vect{AJ}=\dfrac{3}{4}\vect{AE}$.
   Le point $J$ a donc pour coordonnées $(0;0;0,75)$.
   $K$ est le milieu du segment $[FG]$.
   Par conséquent le point $K$ a pour coordonnées $(1;0,5;1)$
   $\quad$
   b. On a $\vect{IJ}(0;-0,5;0,75)$ et $\vect{IK}(1;0;1)$.
   $\vec{n}$ orthogonal aux vecteurs $\vect{IJ}$ et $\vect{IK}$
   $\ssi \vec{n}.\vect{IJ}=0$ et $\vec{n}.\vect{IK}=0$
   $\ssi \begin{cases} -0,5a+0,75b=0 \\4+b=0 \end{cases}$
   $\ssi \begin{cases} b=-4\\-0,5a-0,75\times 4=0 \end{cases} $
   $\ssi \begin{cases} b=-4\\a=-6\end{cases}$
   Ainsi le vecteur $\vec{n}$ a pour coordonnées $(4;-6;-4)$.
   $\quad$
   c. Le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal a deux vecteurs non colinéaires du plan $(IJK)$ (les coordonnées nulles ne sont pas les mêmes).
   Ainsi une équation du plan $(IJK)$ est de la forme $4x-6y-4z+d=0$.
   Le point $I(0;0,5;0)$ appartient à ce plan donc :
   $0-3-0+d=0 \ssi d=3$.
   Une équation cartésienne du plan $(IJK)$ est donc $4x-6y-4z+3=0$.$\quad$
2. a. Un vecteur directeur de la droite $(CG)$ est $\vect{CG}(0;0;1)$.
   De plus le point $C$ a pour coordonnées $(1;1;0)$.
   Une représentation paramétrique de la droite $(CG)$ est donc $\begin{cases} x=1 \\y=1\\z=t\end{cases} \quad, t \in \R$.
   $\quad$
   b. Les coordonnées du point $N$ sont solutions du système suivant :
   $\begin{align*} \begin{cases}x=1\\y=1\\z=t\\4x-6y-4z+3=0 \end{cases} &\ssi \begin{cases} x=1\\y=1\\z=t\\4-6-4t+3=0\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} x=1\\y=1\\z=t\\1-4t=0\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} x=1\\y=1\\z=t\\t=0,25\end{cases}
   \end{align*}$
   Ainsi le point $N$ a pour coordonnées $(1;1;0,25)$.
   $\quad$
   c. On obtient ainsi la section suivante :

Partie C

La droite $(FR)$ est orthogonale au plan $(IJK)$. Le vecteur $\vec{n}$ est donc un vecteur directeur de cette droite. Le point $F(1;0;1)$ appartient à cette droite.
Une représentation paramétrique de la droite $(FR)$ est ainsi $\begin{cases} x=1+4k\\y=-6k\\z=1-4k\end{cases}, k\in \R$.
Les coordonnées du point $R$ sont solutions du système suivant :
$\begin{align*} \begin{cases}x=1+4k\\y=-6k\\z=1-4k\\4x-6y-4z+3=0\end{cases}&\ssi \begin{cases}x=1+4k\\y=-6k\\z=1-4k\\4+16k+36k-4+16k+3=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}x=1+4k\\y=-6k\\z=1-4k\\68k+3=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}x=1+4k\\y=-6k\\z=1-4k\\k=-\dfrac{3}{68}\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}x=\dfrac{14}{17}\\y=\dfrac{9}{34}\\z=\dfrac{20}{17}\\k=-\dfrac{3}{68}\end{cases}
\end{align*}$
On a donc $z_R>1$.
Le point $R$ n’est pas à l’intérieur du cube.
$\quad$

Exercice 4

Candidats ayant suivi la spécialité mathématique

1. a. $8^2=64 \equiv 9 $ mod $55$.
   Ainsi $8^6=\left(8^2\right)^3 \equiv 9^3 \equiv 729\equiv 14$ mod $55$.
   Par conséquent $8^7=8\times 8^6\equiv 8\times 14\equiv 112\equiv 2$ mod $55$.
   $\quad$
   $8^{21}=\left(8^7\right)^3 \equiv 2^3 \equiv 8$ mod $55$.
   $\quad$
   b. $8^2=64 \equiv 9 $ mod $55$.
   $\quad$
   $8^{23}=8^{21}\times 8^2 \equiv 8\times 9 \equiv 72 \equiv 17$ mod $55$.
   $\quad$
2. a. $23$ et $40$ sont premiers entre eux. D’après le théorème de Bezout, l’équation $23x-40y=1$ possède un couple de solution $(x,y)$ avec $x$ et $y$ entiers relatifs.
   $\quad$
   b. Le couple $(7,4)$ est solution de l’équation $(E)$.
   En effet $7\times 23-4\times 40=161-160=1$.
   $\quad$
   c. Soit $(x,y)$ un couple solution.
   On a donc $7\times 23-4\times 40=1$ et $23x-40y=1$.
   Par différence, on obtient $23(7-x)-40(4-y)=0$.
   Soit $23(7-x)=40(4-y)$.
   Les nombres $23$ et $40$ sont premiers entre-eux.
   D’après le théorème de Gauss, il existe un entier relatif $k$ tel que $7-x=40k$ et $4-y=23k$.
   Soit $x=7-40k$ et $y=4-23k$.
   $\quad$
   Réciproquement, soit $k$ un entier relatif. Vérifions que le couple $(7-40k,4-23k)$ est solution de l’équation $(E)$.
   $23(7-40k)-40(4-23k)=161-920k-160+920k=1$.
   Les solutions de l’équation $(E)$ sont donc les couples $(7-40k,4-23k)$ pour tout entier relatif $k$.
   $\quad$
   d. $23x-40y=1 \ssi 23x=1+40y$.
   D’après la question précédente les solutions de l’équation $23d \equiv 1$ mod $40$ sont de la forme $7-40k$ avec $k\in \Z$.
   On veut que $0 \pp 7-40k<40 \ssi -7\pp -40k <33 \ssi \dfrac{7}{40} \pg k >- \dfrac{33}{40}$ avec $k\in \Z$.
   La seule solution est donc pour $k=0$.
   Le seule entier $d$ vérifiant les conditions $0\pp d>40$ et $23d\equiv 1$ mod $40$ est donc $7$.
   $\quad$
3. a. On a $N=pq=55$ et $n=(p-1)(q-1)=40$.
   On a $40=2^3\times 5$ et $23$ est un nombre premier.
   Par conséquent $40$ et $23$ sont premiers entre-eux.
   $\quad$
   b. $a^c=8^{23}\equiv 17$ mod $55$ d’après la question 1.b.
   Par conséquent $b=17$.
   $\quad$
4. a. D’après la question 2.d. on a $d=7$.
   $\quad$
   b. $b^d=17^7=410~338~673=55\times 7~460~703+8$
   Donc $b^d \equiv 8$ mod $55$.
   On retrouve bien le nombre en clair de la question 3.
   $\quad$

 

Exercice 1     4 points

Dans une usine, on se propose de tester un prototype de hotte aspirante pour un local industriel.
Avant de lancer la fabrication en série, on réalise l’expérience suivante : dans un local clos équipé du prototype de hotte aspirante, on diffuse du dioxyde de carbone (CO$_2$) à débit constant.
Dans ce qui suit, t est le temps exprimé en minute.
À l’instant $t= 0$, la hotte est mise en marche et on la laisse fonctionner pendant $20$ minutes. Les mesures réalisées permettent de modéliser le taux (en pourcentage) de CO$_2$ contenu dans le local au bout de $t$ minutes de fonctionnement de la hotte par l’expression $f(t)$, où $f$ est la fonction définie pour tout réel $t$ de l’intervalle $[0 ; 20]$ par : $$f(t)=(0,8t+0,2)\e^{-0,5t}+0,03$$

On donne ci-dessous le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;20]$.

Ainsi, la valeur $f(0)=0,23$ traduit le fait que le taux de CO$_2$ à l’instant $0$ est égal à $23\%$.

1. Dans cette question, on arrondira les deux résultats au millième.
   a. Calculer $f(20)$.
   $\quad$
   b. Déterminer le taux maximal de CO$_2$ présent dans le local pendant l’expérience.
   $\quad$
2. On souhaite que le taux de CO$_2$ dans le local retrouve une valeur $V$ inférieure ou égale à $3,5\%$.
   a. Justifier qu’il existe un unique instant $T$ satisfaisant cette condition.
   $\quad$
   b. On considère l’algorithme suivant :
   $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   t\leftarrow 1,75\\
   p\leftarrow 0,1\\
   V \leftarrow 0,7\\
   \text{Tant que } V>0,035\\
   \hspace{1cm} t \leftarrow t+p\\
   \hspace{1cm} V\leftarrow (0,8t+0,2)\e^{-0,5t}+0,03\\
   \text{Fin Tant que}\\
   \hline
   \end{array}$$
   Quelle est la valeur de la variable $t$ à la fin de l’algorithme?
   Que représente cette valeur dans le contexte de l’exercice?
   $\quad$
3. On désigne par $V_m$ le taux moyen (en pourcentage) de CO$_2$ présent dans le local pendant les $11$ premières minutes de fonctionnement de la hotte aspirante.
   a. Soit $F$ la fonction définie sur l’intervalle $[0;11]$ par $F(t)=(-1,6t-3,6)\e^{-0,5t}+0,03t$.
   Montrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;11]$.
   $\quad$
   b. En déduire le taux moyen $V_m$, valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;11]$.
   Arrondir le résultat au millième, soit à $0,1\%$.
   $\quad$

Exercice 2     4 points

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse inexacte ou non justifiée ne rapporte ni n’enlève aucun point.

1. Un type d’oscilloscope a une durée de vie, exprimée en année, qui peut être modélisée par une variable aléatoire $D$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.
   On sait que la durée de vie moyenne de ce type d’oscilloscope est de $8$ ans.
   Affirmation 1 : pour un oscilloscope de ce type choisi au hasard et ayant déjà fonctionné $3$ ans, la probabilité que la durée de vie soit supérieure ou égale à $10$ ans, arrondie au centième, est égale à $0,42$.
   On rappelle que si $X$ est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ ,
   on a pour tout réel t positif : $P(X \pp t)=1-\e^{-\lambda t}$.
   $\quad$
2. En 2016, en France, les forces de l’ordre ont réalisé $9,8$ millions de dépistages d’alcoolémie auprès des automobilistes, et $3,1 \%$ de ces dépistages étaient positifs.
   Source : OFDT (Observatoire Français des Drogues et des Toxicomanies).
   Dans une région donnée, le 15 juin 2016, une brigade de gendarmerie a effectué un dépistage sur $200$ automobilistes.
   Affirmation 2 : En arrondissant au centième, la probabilité que, sur les $200$ dépistages, il y ait eu strictement plus de $5$ dépistages positifs, est égale à $0,59$.
   $\quad$
3. On considère dans $\R$ l’équation : $\ln(6x-2)+\ln(2x-1)=\ln(x)$.
   Affirmation 3 : l’équation admet deux solutions dans l’intervalle $\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$.
   $\quad$
4. On considère dans $\C$ l’équation : $\left(4z^2-20z+37\right)(2z-7+2\ic)=0$.
   Affirmation 4 : les solutions de l’équation sont les affixes de points appartenant à un même cercle de centre le point $P$ d’affixe $2$.
   $\quad$

Exercice 3     7 points

Les parties A et B sont indépendantes.

Un détaillant en fruits et légumes étudie l’évolution de ses ventes de melons afin de pouvoir anticiper ses commandes.

Partie A
Le détaillant constate que ses melons se vendent bien lorsque leur masse est comprise entre $900$ g et $1~200$ g. Dans la suite, de tels melons sont qualifiés « conformes ».

Le détaillant achète ses melons auprès de trois maraîchers, notés respectivement A, B et C.
Pour les melons du maraîcher A, on modélise la masse en gramme par une variable aléatoire $M_A$ qui suit une loi uniforme sur l’intervalle $[850 ; x]$, où $x$ est un nombre réel supérieur à $1~200$.
La masse en gramme des melons du maraîcher B est modélisée par une variable aléatoire $M_B$ qui
suit une loi normale de moyenne $1~050$ et d’écart-type inconnu $\sigma$ .
Le maraîcher C affirme, quant à lui, que $80 \%$ des melons de sa production sont conformes.

1. Le détaillant constate que $75 \%$ des melons du maraîcher A sont conformes. Déterminer $x$.
   $\quad$
2. Il constate que $85 \%$ des melons fournis par le maraîcher B sont conformes.
   Déterminer l’écart-type $\sigma$ de la variable aléatoire $M_B$. En donner la valeur arrondie à l’unité.
   $\quad$
3. Le détaillant doute de l’affirmation du maraîcher C. Il constate que sur $400$ melons livrés par ce maraîcher au cours d’une semaine, seulement $294$ sont conformes.
   Le détaillant a-t-il raison de douter de l’affirmation du maraîcher C ?
   $\quad$

Partie B
Le détaillant réalise une étude sur ses clients. Il constate que :

•  parmi les clients qui achètent un melon une semaine donnée, $90 \%$ d’entre eux achètent un melon la semaine suivante ;
• parmi les clients qui n’achètent pas de melon une semaine donnée, $60 \%$ d’entre eux n’achètent pas de melon la semaine suivante.

On choisit au hasard un client ayant acheté un melon au cours de la semaine $1$ et, pour $n \pg 1$, on note $A_n$ l’événement : « le client achète un melon au cours de la semaine $n$ ».

On a ainsi $P\left(A_1\right)=1$ .

1. a. Reproduire et compléter l’arbre de probabilités ci-dessous, relatif aux trois premières semaines.
   
   $\quad$
   b. Démontrer que $P\left(A_3\right)= 0,85$ .
   $\quad$
   c. Sachant que le client achète un melon au cours
   de la semaine $3$, quelle est la probabilité qu’il
   en ait acheté un au cours de la semaine $2$ ?
   Arrondir au centième.
   $\quad$
   Dans la suite, on pose pour tout entier $n\pg 1$ : $p_n=P\left(A_n\right)$. On a ainsi $p_1=1$.
2. Démontrer que, pour tout entier $n\pg 1$, $p_{n+1}=0,5p_n+0,4$.
   $\quad$
3. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n\pg 1$ : $p_n > 0,8$.
   $\quad$
   b. Démontrer que la suite $\left(p_n\right)$ est décroissante.
   $\quad$
   c. La suite $\left(p_n\right)$ est-elle convergente?
   $\quad$
4. On pose pour tout entier $n \pg 1$ : $v_n=p_n-0,8$.
   a. Démontrer que $\left(V_n\right)$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme $v_1$ et la raison.
   $\quad$
   b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
   En déduire que, pour tout $n\pg 1$, $p_n=0,8+0,2\times 0,5^{n-1}$.
   $\quad$
   c. Déterminer la limite de la suite $\left(p_n\right)$.
   $\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats n’ayant pas suivi la spécialité mathématique

La figure ci-dessous représente un cube $ABCDEFGH$.
Les trois points $I,J,K$ sont définis par les conditions suivantes :

• $I$ est le milieu du segment $[AD]$;
• $J$ est tel que $\vect{AJ}=\dfrac{3}{4}\vect{AE}$;
• $K$ est le milieu du segment $[FG]$.

Partie A

1. Sur la figure donnée en annexe, construire sans justifier le point d’intersection $P$ du plan $(IJK)$ et de la droite $(EH)$. On laissera les traits de construction sur la figure.
   $\quad$
2. En déduire, en justifiant, l’intersection du plan $(IJK)$ et du plan $(EFG)$.
   $\quad$

Annexe

$\quad$

Partie B

On se place désormais dans le repère orthonormé $\left(A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AE}\right)$.

1. a. Donner sans justification les coordonnées des points $I,J$ et $K$.
   $\quad$
   b. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que le vecteur $\vec{n}(4;a;b)$ soir orthogonal aux vecteurs $\vect{IJ}$ et $\vect{IK}$.
   $\quad$
   c. En déduire qu’une équation cartésienne du plan $(IJK)$ est : $4x-6y-4z+3=0$.
   $\quad$
2. a. Donner une représentation paramétrique de la droite $(CG)$.
   $\quad$
   b. Calculer les coordonnées du point $N$, intersection du plan $(IJK)$ et de la droite $(CG)$.
   $\quad$
   c. Placer le point $N$ sur la figure et construire en couleur la section du cube par le plan $(IJK)$.
   $\quad$

Partie C

On note $R$ le projeté orthogonal du point $F$ sur le plan $(IJK)$. Le point $R$ est donc l’unique point du plan $(IJK)$ tel que la droite $(FR)$ est orthogonale au plan $(IJK)$.

On définit l’intérieur du cube comme l’ensemble des points $M(x,y,z)$ tels que $\begin{cases} 0<x<1\\0<y<1\\0<z<1\end{cases}$.

Le point $R$ est-il à l’intérieur du cube?

$\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats ayant suivi la spécialité mathématique

Le but de cet exercice est d’envisager une méthode de cryptage à clé publique d’une information numérique, appelée système RSA, en l’honneur des mathématiciens Ronald Rivest, Adi Shamir et Leonard Adleman, qui ont inventé cette méthode de cryptage en 1977 et l’ont publiée en 1978.

Les questions 1 et 2 sont des questions préparatoires, la question 3 aborde le cryptage, la question 4 le décryptage.

1. Cette question envisage de calculer le reste dans la division euclidienne par $55$ de certaines puissances de l’entier $8$.
   a. Vérifier que $8^7\equiv 2$ mod $55$.
   En déduire le reste dans la division euclidienne par $55$ du nombre $8^{21}$.
   $\quad$
   b. Vérifier que $8^2\equiv 9$ mod $55$, puis déduire de la question a. le reste dans la division euclidienne par $55$ de $8^{23}$.
   $\quad$
2. Dans cette question, on considère l’équation $(E)$  $23x-40y=1$, dont les solutions sont des couples $(x,y)$ d’entiers relatifs.
   a. Justifier le fait que l’équation $(E)$ admet au moins un couple solution.
   $\quad$
   b. Donner un couple, solution particulière de l’équation $(E)$.
   $\quad$
   c. Déterminer tous les couples d’entiers relatifs solutions de l’équation $(E)$.
   $\quad$
   d. En déduire qu’il existe un unique entier $d$ vérifiant les conditions $0\pp d\pp 40$ et $23d\equiv 1$ mod $40$.
   $\quad$
3. Cryptage dans le système RSA
   Une personne A choisit deux nombres premiers $p$ et $q$, puis calcule les produits $N=pq$ et $n=(p-1)(q-1)$. Elle choisit également un entier naturel $c$ premier avec $n$.
   La personne A publie le couple $(N,c)$, qui est une clé publique permettant à quiconque de lui un envoyer un nombre crypté.
   $\quad$
   Les messages sont numérisées et transformés en une suite d’entiers compris entre $0$ et $N-1$. Pour crypter un entier $a$ de cette suite, on procède ainsi : on calcule le reste $b$ dans la division euclidienne par $N$ du nombre $a^c$, et le nombre crypté est l’entier $b$.
   $\quad$
   Dans la pratique, cette méthode est sûre si la personne A choisit des nombres $p$ et $q$ très grands, s’écrivant avec plusieurs dizaines de chiffres.
   On va l’envisager ici avec des nombres plus simples : $p=5$ et $q=11$.
   La personne A choisit également $c=23$.
   a. Calculer les nombres $N$ et $n$, puis justifier que la valeur de $c$ vérifie la condition voulue.
   $\quad$
   d. Un émetteur souhaite envoyer à la personne A le nombre $8$.
   Déterminer la valeur du nombre crypté $b$.
   $\quad$
4. Décryptage dans le système RSA
   La personne A calcule dans un premier temps l’unique entier naturel $d$ vérifiant les conditions $0\pp d<n$ et $cd \equiv 1$ mod $n$. Elle garde secret ce nombre $d$ qui lui permet, et à elle seule, de décrypter les nombres qui lui ont été envoyés cryptés avec sa clé publique.
   $\quad$
   Pour décrypter un nombre crypté $b$, la personne A calcule le reste $a$ dans la division euclidienne par $N$ du nombre $b^d$, et le nombre en clair – c’est-à-dire le nombre avant cryptage – est le nombre $a$.
   On admet l’existence et l’unicité de l’entier $d$, et le fait que le décryptage fonctionne.
   Les nombres choisis par A son encore $p=5$, $q=11$ et $c=23$.
   a. Quelle est la valeur de $d$?
   $\quad$
   d. En appliquant la règle de décryptage , retrouver le nombre en clair lorsque le nombre crypté est $b=17$.
   $\quad$