Exercice 1

1. $g(0)=\dfrac{1}{1+k}$.
   Or
   $\begin{align*} g(0)=\dfrac{1}{8}&\ssi \dfrac{1}{k+1}=\dfrac{1}{8} \\
   &\ssi k+1=8 \\
   &\ssi k=7
   \end{align*}$
   Ainsi $g(t)=\dfrac{1}{1+7\e^{-\alpha t}}$
   $g(10)=\dfrac{1}{1+7\e^{-10\alpha}}$
   Or
   $\begin{align*} g(10)=\dfrac{64}{100}& \ssi \dfrac{1}{1+7\e^{-10\alpha}}=\dfrac{64}{100} \\
   &\ssi 64\left(1+7\e^{-10\alpha}\right)=100 \\
   &\ssi 64+448\e^{-10\alpha}=100 \\
   &\ssi 448\e^{-10\alpha}=36 \\
   &\ssi \e^{-10\alpha}=\dfrac{9}{112} \\
   &\ssi -10\alpha=\ln \left(\dfrac{9}{112}\right) \\
   &\ssi \alpha=\dfrac{\ln \left(\dfrac{9}{112}\right)}{-10}
   \end{align*}$
   $\quad$
2. a. La fonction $t\mapsto -\dfrac{t}{4}$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty[$.
   La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$ et $7>0$. On en déduit que la fonction $t \mapsto 7\e^{-t/4}$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty[$.
   Il en donc de même pour la fonction $t\mapsto 1+7\e^{-t/4}$ (fonction positive également).
   La fonction inverse est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$.
   Par conséquent la fonction $g$ est strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
   $\quad$
   Remarque : On pouvait également étudier le signe de $g'(x)$ après avoir montré que la fonction $g$ est dérivable.
   $\quad$
   b. $\lim\limits_{t \to +\infty} -\dfrac{t}{4}=-\infty$ or $\lim\limits_{x \to -\infty} \e^x=0$
   Donc $\lim\limits_{t \to +\infty} \e^{-t/4}=0$ et $\lim\limits_{t \to +\infty} g(t)=1$.
   La fonction $g$ est continue sur $[0;+\infty[$ en tant que somme et quotient de fonctions continues sur cet intervalle dont le dénominateur ne s’annule pas (la fonction exponentielle est strictement positive). Sur l’intervalle $[0;+\infty[$, la fonction $g$ est strictement croissante d’après la question précédente.
   De plus $g(0)=\dfrac{1}{8}<0,99$ et $\lim\limits_{t\to +\infty} g(t)=1>0,99$.
   D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(t)=0,99$ possède une unique solution sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
   On peut donc affirmer qu’un jour, au moins $99\%$ des ménages de cette ville seront équipés d’une connexion internet fixe.
   $\quad$
   Remarque : On pouvait simplement utiliser le théorème des valeurs intermédiaires (avec la croissance) puisqu’on ne demandait pas l’unicité de la solution.
   $\quad$
3. a. On a $g(18)\approx 0,93$.
   Au $1\ier$ janvier2018 environ $93\%$ des foyers sont équipés d’une connexion internet selon ce modèle.
   $\quad$
   b. On a $n=1~000$ et $p=0,93$.
   Donc $n=1~000 \pg 30$, $np=930\pg 5$ et $n(1-p)=70\pg 5$.
   Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la proportion de foyers équipés d’une connexion fixe dans cette commune est :
   $\begin{align*} I_{1~000}&=\left[0,93-1,96\sqrt{\dfrac{0,93\times 0,07}{1~000}};0,93+1,96\sqrt{\dfrac{0,93\times 0,07}{1~000}}\right] \\
   &\approx [0,914;0,946]\end{align*}$
   La fréquence observée est $f=\dfrac{880}{1~000}=0,88\notin I_{1~000}$.
   Au risque d’erreur de $5\%$, ce sondage remet en cause le modèle étudié et donne donc raison aux statisticiens sceptiques.
   $\quad$

Exercice 2

1. Un produit de facteur est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
   Donc $\left(z^2-2z+4\right)\left(z^2+4\right)=0 \ssi z^2-2z+4=0\quad \text{ou} \quad z^2+4=0$
   On s’intéresse à l’équation $z^2-2z+4=0$
   $\Delta = (-2)^2-4\times 4=4-16=-12<0$
   L’équation possède donc $2$ racines complexes :
   $z_1=\dfrac{2-\ic\sqrt{12}}{2}=1-\ic\sqrt{3}$ et $z_2=\conj{z_1}=1+\ic\sqrt{3}$.
   $\quad$
   Ensuite $z^2+4=0 \ssi z^2=-4 \ssi z=-2\ic \text{ ou } z=2\ic$.
   $\quad$
   Les solutions de $\left(z^2-2z+4\right)\left(z^2+4\right)=0$ sont donc : $-2\ic$ ; $2\ic$ ; $1-\ic \sqrt{3}$ et $1+\ic \sqrt{3}$.
   $\quad$
2. a. $\left|1+\ic \sqrt{3}\right|=\sqrt{1+3}=2$.
   Donc $z_A=2\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ic\right)=2\e^{\ic \pi/3}$
   $z_B=2\ic=2\e^{\ic \pi/2}$.
   $\quad$
   On a $\left|z_A\right|=\left|z_B\right|=2$.
   Les points $A$ et $B$ appartiennent donc au cercle de centre $0$ et de rayon $2$.
   $\quad$
   b. $\quad$
   
   $\quad$
   c. On a :
   $\begin{align*} \dfrac{z_B-z_O}{z_A-z_O}&=\dfrac{2\e^{\ic\pi/2}}{2\e^{\ic \pi/3}} \\
   &=\e^{\ic\left(\pi/2-\pi_3\right)} \\
   &=\e^{\ic \pi/6}
   \end{align*}$
   Une mesure de l’angle $\left(\vect{OA};\vect{OB}\right)$ est $\dfrac{\pi}{6}$ rad.
   $\quad$
3. a. Voir figure
   $\quad$
   L’affixe de $\vect{OA}$ est $z_{\vect{OA}}=z_A$.
   L’affixe de $\vect{BF}$ est $z_{\vect{BF}}=z_F-z_B=z_A+z_B-z_B=z_A$.
   Par conséquent $\vect{OA}=\vect{BF}$ et le quadrilatère $OAFB$ est un parallélogramme.
   De plus $OA=OB$ puisque $A$ et $B$ appartiennent au cercle de centre $O$ et de rayon $2$.
   $OAFB$ est donc un losange.
   $\quad$
   b. Par conséquent $\left(\vect{OA};\vect{OF}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\vect{OA};\vect{OF}\right)$.
   Une mesure de l’angle $\left(\vect{OA};\vect{OF}\right)$ est $\dfrac{\pi}{12}$ rad.
   $\quad$
   On a $\left(\vec{u};\vect{OF}\right)=\left(\vec{u};\vect{OA}\right)+\left(\vect{OA};\vect{OF}\right)$
   Une mesure de l’angle $\left(\vec{u};\vect{OF}\right)$ est donc $\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{5}{12}$ rad.
   $\quad$
   c. $z_F=z_A+z_B=1+\ic\left(\sqrt{3}+2\right)$.
   Donc
   $\begin{align*} \left|z_F\right|&=\sqrt{1^2+\left(\sqrt{3}+2\right)^2}\\
   &=\sqrt{1+3+4+4\sqrt{3}} \\
   &=\sqrt{8+4\sqrt{3}}
   \end{align*}$
   Par conséquent $z_F=\sqrt{8+4\sqrt{3}}\e^{5\ic\pi/12}$.
   $\quad$
   d. On a donc : $\sqrt{8+4\sqrt{3}}\e^{5\ic\pi/12}=1+\ic\left(\sqrt{3}+2\right)$
   $\ssi \sqrt{8+4\sqrt{3}}\left(\cos\left(\dfrac{5\ic\pi}{12}\right)+\ic \sin\left(\dfrac{5\ic\pi}{12}\right)\right)=1+\ic\left(\sqrt{3}+2\right)$
   Donc $\cos\left(\dfrac{5\ic\pi}{12}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{8+4\sqrt{3}}}$.
   $\quad$
4. Comparons les carrés de ces deux nombres.
   $\left(\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}\right)^2=\dfrac{2-\sqrt{3}}{4}$
   et
   $\left(\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)^2=\dfrac{6+2-2\sqrt{12}}{16}=\dfrac{2-\sqrt{3}}{4}$.
   Les carrés des deux nombres sont donc égaux.
   De plus les deux nombres sont positifs puisqu’une racine carré est toujours positif et $\sqrt{6}>\sqrt{2}$.
   Par conséquent : $\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.
   $\quad$

 

Exercice 3

Question 1

On a la représentation paramétrique de la droite $(D)$ : $\begin{cases} x=2+t\\y=1-3t\\z=2t\end{cases} \quad t\in \R$.
On a donc :
$x+y+z-3=2+t+1-3t+2t-3=0$.
La représentation paramétrique de la droite $(D)$ vérifie donc l’équation cartésienne du plan $(P)$.
La droite $(D)$ est incluse dans le plan $(P)$.
Réponse B
$\quad$

Question 2

Le temps d’attente moyen est de $20$ minutes. Par conséquent $\dfrac{1}{\lambda} = 20 \ssi \lambda =\dfrac{1}{20}=0,05$.
On veut calculer :
$P_{(T>20)}(T>30)=P_{(T>20)}(T>20+10)=P(T>10)$ puisque la loi exponentielle est une loi à durée de vie sans vieillissement.
Or $P(T>10)=\e^{-10\lambda}=\e^{-0,5}$.
Réponse A
$\quad$

Question 3

La variable aléatoire $X=\dfrac{D-\mu}{\sigma}=\dfrac{D-65,1}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
On veut que :
$\begin{align*} P(63,5 < D <66,7)=0,99&\ssi P(-1,6<D-65,1<1,6)=0,99 \\
&\ssi P\left(\dfrac{-1,6}{\sigma}<\dfrac{D-65,1}{\sigma}<\dfrac{1,6}{\sigma}\right)=0,99 \\
&\ssi P\left(\dfrac{-1,6}{\sigma}<X<\dfrac{1,6}{\sigma}\right)=0,99 \\
&\ssi 2P\left(X<\dfrac{1,6}{\sigma}\right)-1=0,99 \\
&\ssi 2P\left(X<\dfrac{1,6}{\sigma}\right)=1,99 \\
&\ssi P\left(X<\dfrac{1,6}{\sigma}\right)=0,995 \end{align*}$
D’après la calculatrice on a $\dfrac{1,6}{\sigma} \approx 2576$ donc $\sigma \approx 0,621$.
Réponse C
$\quad$

Remarque : Il faut bien penser à vérifier que la valeur trouvée permet d’avoir la probabilité demandée
Remarque 2 : Comme il s’agit d’un QCM, on peut également tester à la calculatrice toutes les valeurs proposées.
$\quad$

Question 4

On a $f(x)=\dfrac{4x}{x^2+1}=\dfrac{2\times 2x}{x^2+1}$. Ainsi une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=2\ln\left(x^2+1\right)$.
La fonction $f$ est continue et positive sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
On veut donc que :
$\begin{align*} \ds \int_0^a f(x)\dx=\dfrac{1}{2}\int_0^2 f(x)\dx &\ssi F(a)-F(0)=\dfrac{1}{2}\left(F(2)-F(0)\right) \\
&\ssi 2\ln\left(a^2+1\right)=\dfrac{2\ln(5)}{2} \\
&\ssi \ln\left(a^2+1\right)=\dfrac{\ln(5)}{2} \\
&\ssi \ln \left(a^2+1\right)=\ln\left(\sqrt{5}\right) \\
&\ssi a^2+1=\sqrt{5} \\
&\ssi a^2=\sqrt{5}-1 \\
&\ssi a=\sqrt{\sqrt{5}-1} \quad \text{car } a>0\end{align*}$.
Réponse B
$\quad$
Remarque : ici encore, il faut penser à vérifier la valeur trouvée à l’aide de la calculatrice .
Remarque 2 : Il était possible de tester les valeurs proposées et de ne retenir que celle qui permettait d’obtenir le résultat escompté.
$\quad$

Exercice 4

Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

1. Si $a=2,9$.
   alors $u_0=2,9$ ; $u_1=2,805$ ; $u_2 \approx 2,63$ ; $u_3 \approx 2,33$ ; $u_4 \approx 1,88$ ; $u_9 \approx 1$ ; $u_{20} \approx 1$.
   Il semblerait que la suite $\left(u_n\right)$ soit, dans ce cas, décroissante et converge vers $1$.
   $\quad$
   Si $a=3,1$
   alors $u_0=3,1$ ; $u_1=3,205$ ; $u_2 \approx 3,43$ ; $u_3 \approx 3,95$ ; $u_4 \approx 5,37$ et $u_5 \approx 10,53$.
   Il semblerait que la suite $\left(u_n\right)$ soit, dans  ce cas, croissante et que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty$.
   $\quad$
2. a. Si la suite $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell$ alors $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n= \ell$ et  $\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n+1} = \ell$
   $u_{n+1}=f\left(u_n\right) \ssi u_{n+1}=\dfrac{1}{2}{u_n}^2-u_n+\dfrac{3}{2}$
   En prenant la limite de chacun des membres de cette dernière équation on obtient $\ell=\dfrac{1}{2}\ell^2-\ell+\dfrac{3}{2}$
   $\quad$
   b. On a :
   $\begin{align*} \ell=\dfrac{1}{2}\ell^2-\ell+\dfrac{3}{2} &\ssi 2\ell=\ell^2-2\ell+3 \\
   &\ssi \ell^2-4\ell+3=0 \end{align*}$
   Le discriminant est $\Delta = (-4)^2-4\times 3\times 1 = 4>0$
   L’équation possède donc $2$ racines réelles $\ell_1=\dfrac{4-\sqrt{4}}{2}=1$ et $\ell_2=\dfrac{4+\sqrt{4}}{2}=3$.
   Les valeurs possobmes de $\ell$ sont donc $1$ et $3$.
   $\quad$
3. a. La fonction $f$ est une fonction du second degré dont le coefficient principal est $a=\dfrac{1}{2}>0$.
   De plus l’abscisse du sommet de la parabole représentant cette fonction est $\alpha=-\dfrac{b}{2a}=1$.
   La fonction $f$ est donc croissante sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
   Remarque : on pouvait bien entendu, après montré que la fonction était dérivable, étudier le signe de sa dérivée.
   $\quad$
   b. Initialisation : si $n=0$ alors $u_0=2,9$ et $u_1=2,805$.
   On a bien : $1 \pp u_1 \pp u_0$.
   La propriété est vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $1\pp u_{n+1} \pp u_n$.
   Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $1\pp u_{n+2} \pp u_{n+1}$.
   La fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[1;+\infty[$ par conséquent :
   $1\pp u_{n+1} \pp u_n \ssi f(1) \pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f\left(u_n\right)$
   soit $1\pp u_{n+2} \pp u_{n+1}$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $1\pp u_{n+1} \pp u_n$.
   $\quad$
   c. La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante et minorée par $1$. Par conséquent elle converge soit vers $1$ soit vers $3$.
   Puisque la suite est décroissante et que $u_0<3$ la seule limite possible est $1$.
   $\quad$.
4. a. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
   Supposons que la suite soit majorée. Elle converge donc soit vers $1$ soit vers $3$.
   Or $u_0>3$. Puisque la suite est croissante elle ne peut pas converger vers l’une de ces $2$ limites.
   L’hypothèse “la suite est majorée” est par conséquent absurde.
   La suite $\left(u_n\right)$ n’est pas majorée.
   b. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et non majorée. Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty$.
   $\quad$
   c. On obtient l’algorithme suivant :
   $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   P\leftarrow 0 \\
   U\leftarrow 3,1 \\
   \text{Tant que } U\pp 10^6 \\
   \hspace{1cm} P\leftarrow P+1 \\
   \hspace{1cm} U\leftarrow \dfrac{1}{2}U^2-U+\dfrac{3}{2}\\
   \text{Fin Tant que}\\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$

Exercice 4

Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

1. On a $u_0=1$, $u_1=6$ et $u_{n+2}=6u_{n+1}-8u_n$
   alors $u_2=6u_1-8u_0=28$ et $u_3=6u_2-8u_1=120$
   $\quad$
2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $AU_n=\begin{pmatrix}0&1\\-8&6\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}u_n\\u_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} u_{n+1}\\-8u_n+6u_{n+1}\end{pmatrix}=U_{n+1}$
   $\quad$
3. a. Initialisation : Si $n=0$ alors $2^0B+4^0C=B+C=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=A^0$.
   La propriété est donc vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $A^n=2^nB+4^nC$.
   Montrons que la propriété est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $A^{n+1}=2^{n+1}B+4^{n+1}C$.
   $\begin{align*} A^{n+1}&=A\times A^n \\
   &=A\left(2^nB+4^nC\right) \\
   &=2^nA\times B+4^nA\times C\end{align*}$
   Or $AB=\begin{pmatrix}4&-1\\8&-2\end{pmatrix}=2B$
   et $AC=\begin{pmatrix}-4&2\\16&8\end{pmatrix}=4C$
   Par conséquent $A^{n+1}=2^n\times 2B+4^n\times 4C=2^{n+1}B+4^{n+1}C$.
   La propriété est vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $A^n=2^nB+4^nC$.
   $\quad$
   b. On sait que $U_0=\begin{pmatrix}1\\6\end{pmatrix}$.
   Pour tout entier naturel $n$ on a $U_n=A^nU_0=2^nBU_0+4^nCU_0$
   Or $BU_0=\begin{pmatrix}-1\\-2\end{pmatrix}$ et $CU_0=\begin{pmatrix}2\\8\end{pmatrix}$
   Par conséquent, $U_n=\begin{pmatrix}-2^n+2\times 4^n\\-2^{n+1}+8\times 4^n\end{pmatrix}$
   Donc $u_n=-2^n+2\times 4^n$ pour tout entier naturel $n$.
   $\quad$

Partie B

1. Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $2^np_n=2^n\left(2^{n+1}-1\right)=2^{2n+1}-2^n=2\times 2^{2n}-2^n=2\times 4^n-2^n$.
   $\quad$
2. a. Dans $S$ on a stocké la somme des diviseurs entiers positifs de $U$.
   On teste si $S=2U$, c’est-à-dire si $U$ est un nombre parfait.
   L’algorithme permet donc de déterminer si, pour un entier naturel $N$ donné, le nombre $2^N\left(2^{n+1}-1\right)$ est parfait, c’est-à-dire, par conséquent, si $u_N$ est un nombre parfait.
   $\quad$
   On obtient le tableau suivant :
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
   \hline
   N&P&U&S&\text{Affichage final}\\
   \hline
   0&1&1&1&\text{non}\\
   \hline
   1&3&6&12&\text{oui}\\
   \hline
   2&7&28&56&\text{oui}\\
   \hline
   3&15&120&360&\text{non}\\
   \hline
   4&31&496&992&\text{oui}\\
   \hline
   5&63&2~016&6~552&\text{non}\\
   \hline
   6&127&8~128&16~256&\text{oui}\\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$
   b. Il semblerait que si $P$ est un nombre premier alors l’algorithme affiche “oui”.
   $\quad$
3. a. On a $u_n=2^np_n$ et $p_n$ est un nombre premier.
   Les seuls diviseurs de $u_n$ sont donc de la forme $2^k$ et $2^kp_n$ avec $k\in \left\{0;1;\ldots;n\right\}$.
   Par conséquent
   $\begin{align*} S_n&=2^0+2^1+\ldots+2^n+p_n+2p_n+2^2p_n+\ldots+2^np_n \\
   &=\left(2^0+2^1+\ldots +2^n\right)\left(1+p_n\right) \\
   &=\dfrac{1-2^{n+1}}{1-2}\left(1+p_n\right) \\
   &=\left(2^{n+1}-1\right)\left(1+p_n\right) \\
   &=p_n\left(1+p_n\right) \end{align*}$
   $\quad$
   b. $u_n=2^np_n$ et $p_n$ est un nombre premier.
   On a, d’après la question précédente :
   $\begin{align*} S_n&=\left(1+p_n\right)p_n \\
   &=\left(2^{n+1}+1-1\right)p_n \\
   &=2^{n+1}p_n\\
   &=2\times 2^np_n\\
   &=2u_n
   \end{align*}$
   Le nombre $u_n$ est donc parfait.
   $\quad$

Exercice 1     5 points

Une étude statistique a été menée dans une grande ville de France entre le 1$\ier$ janvier 2000 et le 1$\ier$ janvier 2010 afin d’évaluer la proportion des ménages possédant une connexion internet fixe.
Au 1$\ier$ janvier 2000, un ménage sur huit était équipé d’une connexion internet fixe et, au 1$\ier$ janvier 2010, $64 \%$ des ménages l’étaient.
Suite à cette étude, cette proportion a été modélisée par la fonction $g$ définie sur l’intervalle $[0; +\infty[$ par : $$g(t)=\dfrac{1}{1+k\e^{-at}}$$ où $k$ et $a$ sont deux constantes réelles positives et la variable $t$ désigne le temps, compté en années, écoulé depuis le 1$\ier$ janvier 2000.

1. Déterminer les valeurs exactes de $k$ et $a$ pour que $g(0)=\dfrac{1}{8}$ et $g(10)=\dfrac{64}{100}$.
   $\quad$
2. Dans la suite, on prendra $k=7$ et $a=0,25$. La fonction $g$ est donc définie par $$g(t)=\dfrac{1}{1+7\e^{-\left(\frac{t}{4}\right)}}$$
   a. Montrer que la fonction $g$ est croissante sur l’intervalle $[0; +\infty[$ .
   $\quad$
   b. Selon cette modélisation, peut-on affirmer qu’un jour, au moins $99\%$ des ménages de cette ville seront équipés d’une connexion internet fixe ? Justifier la réponse.
   $\quad$
3. a. Donner, au centième près, la proportion de foyers, prévue par le modèle, équipés d’une connexion internet fixe au 1$\ier$ janvier 2018.
   $\quad$
   b. Compte tenu du développement de la téléphonie mobile, certains statisticiens pensent que la modélisation par la fonction $g$ de l’évolution de la proportion de ménages possédant une connexion
   internet fixe doit être remise en cause.
   $\quad$
   Au début de l’année 2018 un sondage a été effectué. Sur $1~000$ foyers, $880$ étaient équipés d’une connexion fixe. Ce sondage donne-t-il raison à ces statisticiens sceptiques ?
   (On pourra utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95 \%$.)
   $\quad$

Exercice 2     5 points

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $\Ouv$. On prendra pour unité graphique le centimètre.

1. Résoudre dans $\C$ l’équation $\left(z^2-2z+4\right)\left(z^2+4\right)=0$.
   $\quad$
2. a. Écrire $z_A$ et $Z_B$ sous forme exponentielle et justifier que les points $A$ et $B$ sont sur un cercle de centre $O$ dont on précisera le rayon.
   $\quad$
   b. Faire une figure et placer les points $A$ et $B$.
   $\quad$
   c. Déterminer une mesure de l’angle $\left(\vect{OA},\vect{OB}\right)$.
   $\quad$
3. On note $F$ le point d’affixe $z_F=z_A+z_B$.
   a. Placer le point $F$ sur la figure précédente. Montrer que $OAFB$ est un losange.
   $\quad$
   b. En déduire une mesure de l’angle $\left(\vect{OA},\vect{OF}\right)$ puis de l’angle $\left(\vec{u},\vect{OF}\right)$.
   $\quad$
   c. Calculer le module de $z_F$ et en déduire l’écriture de $z_F$ sous forme trigonométrique.
   $\quad$
   d. En déduire la valeur exacte de : $$\cos\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)$$
   $\quad$
4. Deux modèles de calculatrices de marques différentes donnent pour l’une : $$\cos\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2},$$ et pour l’autre $$\cos\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$$
   Ces résultats sont-ils contradictoires? Justifier la réponse.
   $\quad$

Exercice 3     6 points

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiple). Pour chaque question, quatre réponses sont proposées et une seule d’entre elles est exacte.
Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Il est attribué 1,5 point par réponse correcte.
Aucun point n’est enlevé en l’absence de réponse ou en cas de réponse incorrecte

Question 1
Dans l’espace rapporté à un repère $\Oijk$, on considère la droite $(D)$ de représentation paramétrique $\begin{cases} x=2+t\\y=1-3t\\z=2t \end{cases} \quad (t\in \R)$, et le plan $(P)$ d’équation cartésienne $x+y+z-3=0$.
On peut affirmer que :
$\quad$
Réponse A : La droite $(D)$ et le plan $(P)$ sont strictement parallèles.
Réponse B : La droite $(D)$ est incluse dans le plan $(P)$.
Réponse C : La droite $(D)$ et le plan $(P)$ se coupent au point de coordonnées $(4;-5;4)$.
Réponse D : La droite $(D)$ et le plan $(P)$ sont orthogonaux.
$\quad$

Question 2
Dans le rayon informatique d’une grande surface, un seul vendeur est présent et les clients sont nombreux.
On admet que la variable aléatoire $T$, qui, à chaque client, associe le temps d’attente en minutes pour que le vendeur soit disponible, suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.
Le temps d’attente moyen est de $20$ minutes.
Sachant qu’un client a déjà attendu $20$ minutes, la probabilité que son attente totale dépasse une demi-heure est :
$\quad$
Réponse A : $\e^{-\frac{1}{2}}$
Réponse B : $\e^{-\frac{3}{2}}$
Réponse C : $1-\e^{-\frac{1}{2}}$
Réponse D : $1-\e^{-10\lambda}$
$\quad$

Question 3
Une usine fabrique des balles de tennis en grande quantité. Pour être conforme au règlement des compétitions internationales, le diamètre d’une balle doit être compris entre $63,5$ mm et $66,7$ mm.
On note $D$ la variable aléatoire qui, à chaque balle produite, associe son diamètre mesuré en millimètres.
On admet que $D$ suit une loi normale de moyenne $65,1$ et d’écart type $\sigma$.
On appelle $P$ la probabilité qu’une balle choisie au hasard dans la production totale soit conforme.
L’usine décide de régler les machines de sorte que $P$ soit égale à $0,99$. La valeur de $\sigma$, arrondie au centième, permettant d’atteindre cet objectif est :
$\quad$
Réponse A : $0,69$
Réponse B : $2,58$
Réponse C : $0,62$
Réponse D : $0,80$
$\quad$

Question 4
La courbe ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormé, de la fonction ? définie par : $$f(x)=\dfrac{4x}{x^2+1}$$

La valeur exacte du réel positif $\alpha$ tel que la droite d’équation $x = \alpha$ partage le domaine hachuré en deux^domaines d’aires égales est :

Réponse A : $\sqrt{\sqrt{\dfrac{3}{2}}}$
Réponse B : $\sqrt{\sqrt{5}-1}$
Réponse C : $\ln 5 -0,5$
Réponse D : $\dfrac{10}{9}$
$\quad$

Exercice 4     5 points

Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $$f(x)=\dfrac{1}{2}x^2-x+\dfrac{3}{2}$$
Soit $\alpha$ un réel positif.
On définit la suite $\left(u_n\right)$ par $u_0=\alpha$ et, pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.

Le but de cet exercice est d’étudier le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$, suivant différentes valeurs de son premier terme $u_0=a$.

1. À l’aide de la calculatrice, conjecturer le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$, pour $a=2,9$ puis pour $a=3,1$.
   $\quad$
2. Dans cette question, on suppose que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell$.
   a. En remarquant que $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}{u_n}^2-u_n+\dfrac{3}{2}$, montrer que $\ell=\dfrac{1}{2}\ell^2-\ell+\dfrac{3}{2}$.
   $\quad$
   b. Montrer que les valeurs possibles de $\ell$ sont $1$ et $3$.
   $\quad$
3. Dans cette question, on prend $a=2,9$.
   a. Montrer que $f$ est croissante sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
   $\quad$
   b. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $1\pp u_{n+1}\pp u_n$.
   $\quad$
   c. Montrer que $\left(u_n\right)$ converge et déterminer sa limite.
   $\quad$
4. Dans cette question, on prend $a=3,1$ et on admet que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
   a. À l’aide des questions précédentes montrer que la suite $\left(u_n\right)$ n’est pas majorée.
   $\quad$
   b. En déduire le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
   $\quad$
   c. L’algorithme suivant calcule le plus petit rang $P$ pour lequel $u_p>10^6$.
   Recopier et compléter cet algorithme. $P$ est un nombre entier et $U$ est un nombre réel.
   $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   P\leftarrow 0\\
   U \ldots\ldots\\
   \text{Tant que } \ldots\ldots\ldots\ldots\\
   \hspace{1cm} P\leftarrow \ldots\ldots\\
   \hspace{1cm} U\leftarrow \ldots\ldots\\
   \text{Fin Tant que}\\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$

 

Exercice 4     5 points

Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $u_0=1$, $u_1=6$ et, pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+2}=6u_{n+1}-8u_n$$

1. Calculer $u_2$ et $u_3$.
   $\quad$
2. On considère la matrice $A=\begin{pmatrix}0&1\\-8&6\end{pmatrix}$ et la matrice colonne $U_n=\begin{pmatrix}u_n\\u_{n+1}\end{pmatrix}$.
   Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $U_{n+1}=AU_n$.
   $\quad$
3. On considère de plus les matrices $B=\begin{pmatrix}2&-0,5\\4&-1\end{pmatrix}$ et $C=\begin{pmatrix}-1&0,5\\-4&2\end{pmatrix}$.
   a. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $A^n=2^nB+4^nC$.
   $\quad$
   b. On admet que, pour tout entier naturel $n$, on a : $U_n=A^nU_0$.
   Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n=2\times 4^n-2^n$.
   $\quad$

Partie B

On dit qu’un entier naturel $N$ est parfait lorsque la somme de ses diviseurs (positifs) est égale à $2N$.
Par exemple, $6$ est un nombre parfait car ses diviseurs sont $1$, $2$, $3$ et $6$ et on a : $1 + 2 + 3 + 6 = 12 = 2 \times 6$ .
Dans cette partie, on cherche des nombres parfaits parmi les termes de la suite $\left(u_n\right)$ étudiée dans la partie A.

1. Vérifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n=2^np_n$ avec $p_n=2^{n+1}-1$.
   $\quad$
2. On considère l’algorithme suivant où $N$, $S$, $U$, $P$ et $K$ sont des entiers naturels.
   $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   S\leftarrow 0\\
   \text{Demander à l’utilisateur la valeur de }N\\
   P\leftarrow 2^{N+1}-1\\
   U\leftarrow 2^NP\\
   \\
   \text{Pour $K$ variant de $1$ à $U$}\\
   \hspace{1cm} \text{Si $\dfrac{U}{K}$ est un nombre entier} \\
   \hspace{3cm} S \leftarrow S+K\\
   \hspace{1cm} \text{Fin Si}\\
   \text{Fin Pour}\\
   \\
   \text{Si }S=2U\\
   \hspace{1cm} \text{Afficher « oui »}\\
   \text{Sinon} \\
   \hspace{1cm} \text{Afficher « non »}\\
   \text{Fin Si}\\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$
   a. À quelle question permet de répondre cet algorithme ?
   Compléter, sans justification, les cases vides du tableau donné en annexe. Il n’est pas demandé au candidat de programmer l’algorithme.
   $\quad$
   b. Faire une conjecture donnant une condition suffisante sur $P$ pour que l’algorithme affiche « oui ».
   $\quad$
3. Dans cette question, on suppose que $p_n$ est un nombre premier. On note $S_n$ la somme des diviseurs de $u_n$.
   a. Montrer que $S_n=\left(1+p_n\right)p_n$.
   $\quad$
   b. En déduire que $u_n$ est un nombre parfait.
   $\quad$

Annexe

Affichage de l’algorithme pour les premières valeurs de $N$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
N&P&U&S&\text{Affichage final}\\
\hline
0&1&1&1&\text{non}\\
\hline
1&3&6&12&\text{oui}\\
\hline
2&7&&&\\
\hline
3&15&&360&\\
\hline
4&31&&992&\text{oui}\\
\hline
5&63&&6~552&\text{non}\\
\hline
6&127&8~128&16~256&\\
\hline
\end{array}$$