Bac S – Métropole – Septembre 2018

Métropole – Juin 2018

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. $g(0)=\dfrac{1}{1+k}$.
    Or
    $\begin{align*} g(0)=\dfrac{1}{8}&\ssi \dfrac{1}{k+1}=\dfrac{1}{8} \\
    &\ssi k+1=8 \\
    &\ssi k=7
    \end{align*}$
    Ainsi $g(t)=\dfrac{1}{1+7\e^{-\alpha t}}$
    $g(10)=\dfrac{1}{1+7\e^{-10\alpha}}$
    Or
    $\begin{align*} g(10)=\dfrac{64}{100}& \ssi \dfrac{1}{1+7\e^{-10\alpha}}=\dfrac{64}{100} \\
    &\ssi 64\left(1+7\e^{-10\alpha}\right)=100 \\
    &\ssi 64+448\e^{-10\alpha}=100 \\
    &\ssi 448\e^{-10\alpha}=36 \\
    &\ssi \e^{-10\alpha}=\dfrac{9}{112} \\
    &\ssi -10\alpha=\ln \left(\dfrac{9}{112}\right) \\
    &\ssi \alpha=\dfrac{\ln \left(\dfrac{9}{112}\right)}{-10}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. a. La fonction $t\mapsto -\dfrac{t}{4}$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty[$.
    La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$ et $7>0$. On en déduit que la fonction $t \mapsto 7\e^{-t/4}$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty[$.
    Il en donc de même pour la fonction $t\mapsto 1+7\e^{-t/4}$ (fonction positive également).
    La fonction inverse est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$.
    Par conséquent la fonction $g$ est strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$
    Remarque : On pouvait également étudier le signe de $g'(x)$ après avoir montré que la fonction $g$ est dérivable.
    $\quad$
    b. $\lim\limits_{t \to +\infty} -\dfrac{t}{4}=-\infty$ or $\lim\limits_{x \to -\infty} \e^x=0$
    Donc $\lim\limits_{t \to +\infty} \e^{-t/4}=0$ et $\lim\limits_{t \to +\infty} g(t)=1$.
    La fonction $g$ est continue sur $[0;+\infty[$ en tant que somme et quotient de fonctions continues sur cet intervalle dont le dénominateur ne s’annule pas (la fonction exponentielle est strictement positive). Sur l’intervalle $[0;+\infty[$, la fonction $g$ est strictement croissante d’après la question précédente.
    De plus $g(0)=\dfrac{1}{8}<0,99$ et $\lim\limits_{t\to +\infty} g(t)=1>0,99$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(t)=0,99$ possède une unique solution sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    On peut donc affirmer qu’un jour, au moins $99\%$ des ménages de cette ville seront équipés d’une connexion internet fixe.
    $\quad$
    Remarque : On pouvait simplement utiliser le théorème des valeurs intermédiaires (avec la croissance) puisqu’on ne demandait pas l’unicité de la solution.
    $\quad$
  3. a. On a $g(18)\approx 0,93$.
    Au $1\ier$ janvier2018 environ $93\%$ des foyers sont équipés d’une connexion internet selon ce modèle.
    $\quad$
    b. On a $n=1~000$ et $p=0,93$.
    Donc $n=1~000 \pg 30$, $np=930\pg 5$ et $n(1-p)=70\pg 5$.
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la proportion de foyers équipés d’une connexion fixe dans cette commune est :
    $\begin{align*} I_{1~000}&=\left[0,93-1,96\sqrt{\dfrac{0,93\times 0,07}{1~000}};0,93+1,96\sqrt{\dfrac{0,93\times 0,07}{1~000}}\right] \\
    &\approx [0,914;0,946]\end{align*}$
    La fréquence observée est $f=\dfrac{880}{1~000}=0,88\notin I_{1~000}$.
    Au risque d’erreur de $5\%$, ce sondage remet en cause le modèle étudié et donne donc raison aux statisticiens sceptiques.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. Un produit de facteur est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $\left(z^2-2z+4\right)\left(z^2+4\right)=0 \ssi z^2-2z+4=0\quad \text{ou} \quad z^2+4=0$
    On s’intéresse à l’équation $z^2-2z+4=0$
    $\Delta = (-2)^2-4\times 4=4-16=-12<0$
    L’équation possède donc $2$ racines complexes :
    $z_1=\dfrac{2-\ic\sqrt{12}}{2}=1-\ic\sqrt{3}$ et $z_2=\conj{z_1}=1+\ic\sqrt{3}$.
    $\quad$
    Ensuite $z^2+4=0 \ssi z^2=-4 \ssi z=-2\ic \text{ ou } z=2\ic$.
    $\quad$
    Les solutions de $\left(z^2-2z+4\right)\left(z^2+4\right)=0$ sont donc : $-2\ic$ ; $2\ic$ ; $1-\ic \sqrt{3}$ et $1+\ic \sqrt{3}$.
    $\quad$
  2. a. $\left|1+\ic \sqrt{3}\right|=\sqrt{1+3}=2$.
    Donc $z_A=2\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ic\right)=2\e^{\ic \pi/3}$
    $z_B=2\ic=2\e^{\ic \pi/2}$.
    $\quad$
    On a $\left|z_A\right|=\left|z_B\right|=2$.
    Les points $A$ et $B$ appartiennent donc au cercle de centre $0$ et de rayon $2$.
    $\quad$
    b. $\quad$

    $\quad$
    c. On a :
    $\begin{align*} \dfrac{z_B-z_O}{z_A-z_O}&=\dfrac{2\e^{\ic\pi/2}}{2\e^{\ic \pi/3}} \\
    &=\e^{\ic\left(\pi/2-\pi_3\right)} \\
    &=\e^{\ic \pi/6}
    \end{align*}$
    Une mesure de l’angle $\left(\vect{OA};\vect{OB}\right)$ est $\dfrac{\pi}{6}$ rad.
    $\quad$
  3. a. Voir figure
    $\quad$
    L’affixe de $\vect{OA}$ est $z_{\vect{OA}}=z_A$.
    L’affixe de $\vect{BF}$ est $z_{\vect{BF}}=z_F-z_B=z_A+z_B-z_B=z_A$.
    Par conséquent $\vect{OA}=\vect{BF}$ et le quadrilatère $OAFB$ est un parallélogramme.
    De plus $OA=OB$ puisque $A$ et $B$ appartiennent au cercle de centre $O$ et de rayon $2$.
    $OAFB$ est donc un losange.
    $\quad$
    b. Par conséquent $\left(\vect{OA};\vect{OF}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\vect{OA};\vect{OF}\right)$.
    Une mesure de l’angle $\left(\vect{OA};\vect{OF}\right)$ est $\dfrac{\pi}{12}$ rad.
    $\quad$
    On a $\left(\vec{u};\vect{OF}\right)=\left(\vec{u};\vect{OA}\right)+\left(\vect{OA};\vect{OF}\right)$
    Une mesure de l’angle $\left(\vec{u};\vect{OF}\right)$ est donc $\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{5}{12}$ rad.
    $\quad$
    c. $z_F=z_A+z_B=1+\ic\left(\sqrt{3}+2\right)$.
    Donc
    $\begin{align*} \left|z_F\right|&=\sqrt{1^2+\left(\sqrt{3}+2\right)^2}\\
    &=\sqrt{1+3+4+4\sqrt{3}} \\
    &=\sqrt{8+4\sqrt{3}}
    \end{align*}$
    Par conséquent $z_F=\sqrt{8+4\sqrt{3}}\e^{5\ic\pi/12}$.
    $\quad$
    d. On a donc : $\sqrt{8+4\sqrt{3}}\e^{5\ic\pi/12}=1+\ic\left(\sqrt{3}+2\right)$
    $\ssi \sqrt{8+4\sqrt{3}}\left(\cos\left(\dfrac{5\ic\pi}{12}\right)+\ic \sin\left(\dfrac{5\ic\pi}{12}\right)\right)=1+\ic\left(\sqrt{3}+2\right)$
    Donc $\cos\left(\dfrac{5\ic\pi}{12}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{8+4\sqrt{3}}}$.
    $\quad$
  4. Comparons les carrés de ces deux nombres.
    $\left(\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}\right)^2=\dfrac{2-\sqrt{3}}{4}$
    et
    $\left(\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)^2=\dfrac{6+2-2\sqrt{12}}{16}=\dfrac{2-\sqrt{3}}{4}$.
    Les carrés des deux nombres sont donc égaux.
    De plus les deux nombres sont positifs puisqu’une racine carré est toujours positif et $\sqrt{6}>\sqrt{2}$.
    Par conséquent : $\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

Question 1

On a la représentation paramétrique de la droite $(D)$ : $\begin{cases} x=2+t\\y=1-3t\\z=2t\end{cases} \quad t\in \R$.
On a donc :
$x+y+z-3=2+t+1-3t+2t-3=0$.
La représentation paramétrique de la droite $(D)$ vérifie donc l’équation cartésienne du plan $(P)$.
La droite $(D)$ est incluse dans le plan $(P)$.
Réponse B
$\quad$

Question 2

Le temps d’attente moyen est de $20$ minutes. Par conséquent $\dfrac{1}{\lambda} = 20 \ssi \lambda =\dfrac{1}{20}=0,05$.
On veut calculer :
$P_{(T>20)}(T>30)=P_{(T>20)}(T>20+10)=P(T>10)$ puisque la loi exponentielle est une loi à durée de vie sans vieillissement.
Or $P(T>10)=\e^{-10\lambda}=\e^{-0,5}$.
Réponse A
$\quad$

Question 3

La variable aléatoire $X=\dfrac{D-\mu}{\sigma}=\dfrac{D-65,1}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
On veut que :
$\begin{align*} P(63,5 < D <66,7)=0,99&\ssi P(-1,6<D-65,1<1,6)=0,99 \\
&\ssi P\left(\dfrac{-1,6}{\sigma}<\dfrac{D-65,1}{\sigma}<\dfrac{1,6}{\sigma}\right)=0,99 \\
&\ssi P\left(\dfrac{-1,6}{\sigma}<X<\dfrac{1,6}{\sigma}\right)=0,99 \\
&\ssi 2P\left(X<\dfrac{1,6}{\sigma}\right)-1=0,99 \\
&\ssi 2P\left(X<\dfrac{1,6}{\sigma}\right)=1,99 \\
&\ssi P\left(X<\dfrac{1,6}{\sigma}\right)=0,995 \end{align*}$
D’après la calculatrice on a $\dfrac{1,6}{\sigma} \approx 2576$ donc $\sigma \approx 0,621$.
Réponse C
$\quad$

Remarque : Il faut bien penser à vérifier que la valeur trouvée permet d’avoir la probabilité demandée
Remarque 2 : Comme il s’agit d’un QCM, on peut également tester à la calculatrice toutes les valeurs proposées.
$\quad$

Question 4

On a $f(x)=\dfrac{4x}{x^2+1}=\dfrac{2\times 2x}{x^2+1}$. Ainsi une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=2\ln\left(x^2+1\right)$.
La fonction $f$ est continue et positive sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
On veut donc que :
$\begin{align*} \ds \int_0^a f(x)\dx=\dfrac{1}{2}\int_0^2 f(x)\dx &\ssi F(a)-F(0)=\dfrac{1}{2}\left(F(2)-F(0)\right) \\
&\ssi 2\ln\left(a^2+1\right)=\dfrac{2\ln(5)}{2} \\
&\ssi \ln\left(a^2+1\right)=\dfrac{\ln(5)}{2} \\
&\ssi \ln \left(a^2+1\right)=\ln\left(\sqrt{5}\right) \\
&\ssi a^2+1=\sqrt{5} \\
&\ssi a^2=\sqrt{5}-1 \\
&\ssi a=\sqrt{\sqrt{5}-1} \quad \text{car } a>0\end{align*}$.
Réponse B
$\quad$
Remarque : ici encore, il faut penser à vérifier la valeur trouvée à l’aide de la calculatrice .
Remarque 2 : Il était possible de tester les valeurs proposées et de ne retenir que celle qui permettait d’obtenir le résultat escompté.
$\quad$

Ex 4 obl

Exercice 4

Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

  1. Si $a=2,9$.
    alors $u_0=2,9$ ; $u_1=2,805$ ; $u_2 \approx 2,63$ ; $u_3 \approx 2,33$ ; $u_4 \approx 1,88$ ; $u_9 \approx 1$ ; $u_{20} \approx 1$.
    Il semblerait que la suite $\left(u_n\right)$ soit, dans ce cas, décroissante et converge vers $1$.
    $\quad$
    Si $a=3,1$
    alors $u_0=3,1$ ; $u_1=3,205$ ; $u_2 \approx 3,43$ ; $u_3 \approx 3,95$ ; $u_4 \approx 5,37$ et $u_5 \approx 10,53$.
    Il semblerait que la suite $\left(u_n\right)$ soit, dans  ce cas, croissante et que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty$.
    $\quad$
  2. a. Si la suite $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell$ alors $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n= \ell$ et  $\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n+1} = \ell$
    $u_{n+1}=f\left(u_n\right) \ssi u_{n+1}=\dfrac{1}{2}{u_n}^2-u_n+\dfrac{3}{2}$
    En prenant la limite de chacun des membres de cette dernière équation on obtient $\ell=\dfrac{1}{2}\ell^2-\ell+\dfrac{3}{2}$
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} \ell=\dfrac{1}{2}\ell^2-\ell+\dfrac{3}{2} &\ssi 2\ell=\ell^2-2\ell+3 \\
    &\ssi \ell^2-4\ell+3=0 \end{align*}$
    Le discriminant est $\Delta = (-4)^2-4\times 3\times 1 = 4>0$
    L’équation possède donc $2$ racines réelles $\ell_1=\dfrac{4-\sqrt{4}}{2}=1$ et $\ell_2=\dfrac{4+\sqrt{4}}{2}=3$.
    Les valeurs possobmes de $\ell$ sont donc $1$ et $3$.
    $\quad$
  3. a. La fonction $f$ est une fonction du second degré dont le coefficient principal est $a=\dfrac{1}{2}>0$.
    De plus l’abscisse du sommet de la parabole représentant cette fonction est $\alpha=-\dfrac{b}{2a}=1$.
    La fonction $f$ est donc croissante sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
    Remarque : on pouvait bien entendu, après montré que la fonction était dérivable, étudier le signe de sa dérivée.
    $\quad$
    b. Initialisation : si $n=0$ alors $u_0=2,9$ et $u_1=2,805$.
    On a bien : $1 \pp u_1 \pp u_0$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $1\pp u_{n+1} \pp u_n$.
    Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $1\pp u_{n+2} \pp u_{n+1}$.
    La fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[1;+\infty[$ par conséquent :
    $1\pp u_{n+1} \pp u_n \ssi f(1) \pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f\left(u_n\right)$
    soit $1\pp u_{n+2} \pp u_{n+1}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $1\pp u_{n+1} \pp u_n$.
    $\quad$
    c. La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante et minorée par $1$. Par conséquent elle converge soit vers $1$ soit vers $3$.
    Puisque la suite est décroissante et que $u_0<3$ la seule limite possible est $1$.
    $\quad$.
  4. a. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
    Supposons que la suite soit majorée. Elle converge donc soit vers $1$ soit vers $3$.
    Or $u_0>3$. Puisque la suite est croissante elle ne peut pas converger vers l’une de ces $2$ limites.
    L’hypothèse “la suite est majorée” est par conséquent absurde.
    La suite $\left(u_n\right)$ n’est pas majorée.
    b. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et non majorée. Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty$.
    $\quad$
    c. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    P\leftarrow 0 \\
    U\leftarrow 3,1 \\
    \text{Tant que } U\pp 10^6 \\
    \hspace{1cm} P\leftarrow P+1 \\
    \hspace{1cm} U\leftarrow \dfrac{1}{2}U^2-U+\dfrac{3}{2}\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

Ex spé

Exercice 4

Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. On a $u_0=1$, $u_1=6$ et $u_{n+2}=6u_{n+1}-8u_n$
    alors $u_2=6u_1-8u_0=28$ et $u_3=6u_2-8u_1=120$
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $AU_n=\begin{pmatrix}0&1\\-8&6\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}u_n\\u_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} u_{n+1}\\-8u_n+6u_{n+1}\end{pmatrix}=U_{n+1}$
    $\quad$
  3. a. Initialisation : Si $n=0$ alors $2^0B+4^0C=B+C=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=A^0$.
    La propriété est donc vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $A^n=2^nB+4^nC$.
    Montrons que la propriété est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $A^{n+1}=2^{n+1}B+4^{n+1}C$.
    $\begin{align*} A^{n+1}&=A\times A^n \\
    &=A\left(2^nB+4^nC\right) \\
    &=2^nA\times B+4^nA\times C\end{align*}$
    Or $AB=\begin{pmatrix}4&-1\\8&-2\end{pmatrix}=2B$
    et $AC=\begin{pmatrix}-4&2\\16&8\end{pmatrix}=4C$
    Par conséquent $A^{n+1}=2^n\times 2B+4^n\times 4C=2^{n+1}B+4^{n+1}C$.
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $A^n=2^nB+4^nC$.
    $\quad$
    b. On sait que $U_0=\begin{pmatrix}1\\6\end{pmatrix}$.
    Pour tout entier naturel $n$ on a $U_n=A^nU_0=2^nBU_0+4^nCU_0$
    Or $BU_0=\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}$ et $CU_0=\begin{pmatrix}2\\8\end{pmatrix}$
    Par conséquent, $U_n=\begin{pmatrix}2^n+2\times 4^n\\-2^{n+1}+8\times 4^n\end{pmatrix}$
    Donc $u_n=2^n+2\times 4^n$ pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$

Partie B

  1. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $2^np_n=2^n\left(2^{n+1}-1\right)=2^{2n+1}-2^n=2\times 2^{2n}-2^n=2\times 4^n-2^n$.
    $\quad$
  2. a. Dans $S$ on a stocké la somme des diviseurs entiers positifs de $U$.
    On teste si $S=2U$, c’est-à-dire si $U$ est un nombre parfait.
    L’algorithme permet donc de déterminer si, pour un entier naturel $N$ donné, le nombre $2^N\left(2^{n+1}-1\right)$ est parfait, c’est-à-dire, par conséquent, si $u_N$ est un nombre parfait.
    $\quad$
    On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    N&P&U&S&\text{Affichage final}\\
    \hline
    0&1&1&1&\text{non}\\
    \hline
    1&3&6&12&\text{oui}\\
    \hline
    2&7&28&56&\text{oui}\\
    \hline
    3&15&120&360&\text{non}\\
    \hline
    4&31&496&992&\text{oui}\\
    \hline
    5&63&2~016&6~552&\text{non}\\
    \hline
    6&127&8~128&16~256&\text{oui}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Il semblerait que si $P$ est un nombre premier alors l’algorithme affiche “oui”.
    $\quad$
  3. a. On a $u_n=2^np_n$ et $p_n$ est un nombre premier.
    Les seuls diviseurs de $u_n$ sont donc de la forme $2^k$ et $2^kp_n$ avec $k\in \left\{0;1;\ldots;n\right\}$.
    Par conséquent
    $\begin{align*} S_n&=2^0+2^1+\ldots+2^n+p_n+2p_n+2^2p_n+\ldots+2^np_n \\
    &=\left(2^0+2^1+\ldots +2^n\right)\left(1+p_n\right) \\
    &=\dfrac{1-2^{n+1}}{1-2}\left(1+p_n\right) \\
    &=\left(2^{n+1}-1\right)\left(1+p_n\right) \\
    &=p_n\left(1+p_n\right) \end{align*}$
    $\quad$
    b. $u_n=2^np_n$ et $p_n$ est un nombre premier.
    On a, d’après la question précédente :
    $\begin{align*} S_n&=\left(1+p_n\right)p_n \\
    &=\left(2^{n+1}+1-1\right)p_n \\
    &=2^{n+1}p_n\\
    &=2\times 2^np_n\\
    &=2u_n
    \end{align*}$
    Le nombre $u_n$ est donc parfait.
    $\quad$

Énoncé

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