Exercice 1

• L’étendue de la série est $94-18=76\neq 25$
  Affirmation 1 fausse
  $\quad$
• Déterminons la décomposition en facteurs premiers de chacun des nombres
  $70=7\times 2 \times 5$
  et $90=9\times 2\times 5=3^2\times 2\times 5$
  Les seuls diviseurs premiers communs à $70$ et $90$ sont $2$ et $5$.
  Affirmation 2 vraie
  $\quad$
• Les deux quadrilatères ne sont orientés de la même façon. Le quadrilatère $VRAC$ semble être l’image du quadrilatère $BUTS$ par une symétrie centrale.
  Affirmation 3 fausse
  $\quad$
• Quand on multiplie l’arête d’un cube par $3$, son volume est multiplié par $3^3=27$.
  Affirmation 4 fausse
  $\quad$

 

Exercice 2

1. Les familles françaises au dépensé $53$ milliards d’euros en 2015 pour l’entretien des véhicules.
   $\quad$
2. On peut saisir la formule $=\text{Somme}(B2:B5)$.
   $\quad$
3. On peut utiliser au moins deux méthodes.
   Méthode 1 : On détermine le pourcentage de baisse.
   $\dfrac{34-39}{39}\times 100\approx -12,82$
   Les dépenses annuelles liées à l’achat de carburant ont donc baissé d’environ $12,82\%$
   $\quad$
   Méthode 2 : On applique une baisse de $5\%$
   $39\times \left(1-\dfrac{5}{100}\right)=39\times 0,95=37,05 \neq 34$
   $\quad$
   Les dépenses annuelles liées à l’achat de carburant n’ont donc pas baissé de $5\%$ entre 2013 et 2015.
   $\quad$
4. On appelle $D$ les dépenses totales annuelles des familles françaises en 2015.
   On a ainsi $\dfrac{9,87}{100}\times D=152$
   Donc
   $\begin{align*} D&=\dfrac{~~152~~}{\dfrac{9,87}{100}} \\
   &=152\times \dfrac{100}{9,87} \\
   &\approx 1~540\end{align*}$En 2015 les dépenses totales annuelles des familles françaises s’élevaient à environ $1~540$ milliards d’euros.
   $\quad$

 

Exercice 3

1. Si $x=4$ alors
   $\begin{align*} 5x^2-3(2x+1)&=5\times 4^2-3(2\times 4+1) \\
   &=5\times 16-3(8+1) \\
   &=80-3\times 9 \\
   &=80-27\\
   &=53\end{align*}$
   $\quad$
2. Pour tout nombre $x$ on a :
   $\begin{align*} 5x^2-3(2x+1)&=5x^2-3\times 2x-3\times 1 \\
   &=5x^2-6x-3\end{align*}$
   $\quad$
3. On veut résoudre l’équation $5x^2-3(2x+1)=5x^2-4x+1$
   c’est-à-dire $5x^2-6x-3=5x^2-4x+1$
   soit $-6x-3=-4x+1$
   donc $-2x=4$
   d’où $x=\dfrac{4}{-2}$
   par conséquent $x=-2$
   Ainsi si $x=-2$ alors $5x^2-3(2x+1)=5x^2-4x+1$
   $\quad$

 

Exercice 4

1. Dans le triangle $CHM$ rectangle en $M$ on applique le théorème de Pythagore.
   $\begin{align*} CM^2&=CH^2+HM^2 \\
   &=8,5^2+20,4^2 \\
   &=72,25+416,16 \\
   &=488,41\end{align*}$
   Ainsi $CM=\sqrt{488,41}=22,1$
   L’ascenseur à blé mesure donc $22,1$ m de long.
   $\quad$
2. Dans les triangles $CEF$ et $CMH$ on a :
   – Le point $E$ appartient au segment $[CM]$;
   – Le point $F$ appartient au segment $[CH]$;
   – Les droites $(EF)$ et $(HM)$ sont perpendiculaires à la droite $(CP)$; elles sont donc parallèles entre elles.
   D’après le théorème de Thalès on a ainsi :
   $\dfrac{CE}{CM}=\dfrac{CF}{CH}=\dfrac{EF}{MH}$
   Donc $\dfrac{2,5}{8,5}=\dfrac{EF}{20,4}$
   Ainsi $EF=\dfrac{20,4\times 2,5}{8,5}=6$
   Le pilier mesure donc $6$ m de haut.
   $\quad$
3. Dans le triangle $CHM$ rectangle en $H$ on a :
   $\tan \widehat{HCM}=\dfrac{HM}{HC}=\dfrac{20,4}{8,5}$
   Par conséquent $\widehat{HCM}\approx 67$ °.
   $\quad$
4. Le rayon du cylindre est $R=\dfrac{4,2}{2}=2,1$ m.
   Le volume du silo est :
   $V=\pi R^2\times HM=2,1^2\times 20,4 \pi=89,964\pi$ m$^3$.
   La masse maximale de blé est donc :
   $M=800\times V \approx 226~104$ kg soit environ $226$ tonnes.
   $\quad$

 

Exercice 5

1. Pour un « trajet aller » de $30$ km le montant du remboursement est :
   $0,250~3+0,216~5\times 30=6,745~3$
   soit environ $6,75$ €.
   $\quad$
2. Montant du remboursement pour ce« trajet aller » de $386$ km :
   $13,651~4+0,103~0\times 386=53,409$ €
   $\quad$
   Consommation d’essence : $6,2\times \dfrac{386}{100}=23,932$ litres
   Coût de l’essence : $23,932\times 1,52 \approx 36,38$ €
   Coût du trajet (essence+péage) : $36,38+37=73,38$ €
   $\quad$
   Le remboursement ne sera donc pas suffisant pour couvrir les dépenses de cet employé pour effectuer le « trajet aller » de Nantes à Paris.
   $\quad$

 

Exercice 6

1. Le lutin a parcouru $20+40+40=100$ pixels.
   $\quad$
2. On obtient la frise suivante :
   
   $\quad$
3. On obtient la frise n°2.
   En effet, à la fin du motif on avance de $40$, le stylo est relevé, on avance de $30$ puis, après avoir reposé le stylo on avance de $20$.
   Cela signifie donc que le dernier trait tracé lors du premier motif et le premier trait tracé lors du deuxième sont alignés (ce qui n’est pas le cas dans la frise n°1).
   $\quad$

 

Exercice 1     20 points

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer sur la copie, si elle est vraie ou fausse.
On rappelle que chaque réponse doit être justifiée.

• Affirmation n° 1
  « Dans la série de valeurs ci-dessous, l’étendue est $25$.
  Série : $37$; $20$; $18$; $25$; $45$; $94$; $62$ ».
  $\quad$
• Affirmation n° 2
  « Les nombres $70$ et $90$ ont exactement deux diviseurs premiers en commun »
  $\quad$
• Affirmation n° 3
  « À partir du quadrilatère $BUTS$, on a obtenu le quadrilatère $VRAC$ par une translation ».
  
  $\quad$
• Affirmation n° 4
  « Quand on multiplie l’arête d’un cube par $3$, son volume est multiplié par $27$ ».
  $\quad$

$\quad$

Exercice 2     13 points

On a saisi dans un tableur les dépenses liées au transport des familles françaises pour les années 2013 et 2015. Ces dépenses sont exprimées en milliards d’euros.
Pour l’année 2013, on a aussi saisi dans ce tableur les dépenses totales annuelles qui correspondent aux dépenses liées au logement, au transport, à la santé, à l’éducation, etc.
Voici une copie de l’écran obtenu.
Par exemple : en 2015, les dépenses annuelles des familles françaises, liées à l’achat de carburant, ont été de $34$ milliards d’euros.

 

1. Pour l’année 2015, quelle est la dépense des familles françaises liée aux frais d’entretien des véhicules?
   $\quad$
2. Quelle formule peut-on saisir dans la cellule $B6$ avant de l’étirer dans la cellule $C6$ ?
   $\quad$
3. À la lecture du tableau, les dépenses annuelles liées à l’achat de carburant ont-elles baissé de $5\%$ entre 2013 et 2015 ?
   $\quad$
4. En 2015, les dépenses des familles françaises liées aux transports correspondaient à environ $9,87\%$ des dépenses totales annuelles.
   Quelles étaient alors les dépenses totales annuelles des familles françaises en 2015 ?
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3     14 points

1. Calculer $5x^2-3(2x+1)$ pour $x = 4$.
   $\quad$
2. Montrer que, pour toute valeur de $x$, on a: $5x^2-3(2x + 1) = 5x^2-6x-3$.
   $\quad$
3. Trouver la valeur de $x$ pour laquelle $5x^2-3(2x+1)= 5x^2-4x +1$.
   $\quad$

Exercice 4     23 points

Un silo à grains permet de stocker des céréales. Un ascenseur permet d’acheminer le blé dans le silo. L’ascenseur est soutenu par un pilier.

On modélise l’installation par la figure ci-dessous qui n’est pas réalisée à l’échelle :

• Les points $C$, $E$ et $M$ sont alignés.
• Les points $C, $F$, $H$ et $P$ sont alignés.
• Les droites $(EF)$ et $(MH)$ sont perpendiculaires à la droite $(CH)$.
• $CH =8,50$ m et $CF = 2,50$ m.
• Hauteur du cylindre: $HM = 20,40$ m.
• Diamètre du cylindre: $HP = 4,20$ m.

 

Les quatre questions suivantes sont indépendantes.

1. Quelle est la longueur $CM$ de l’ascenseur à blé ?
   $\quad$
2. Quelle est la hauteur $EF$ du pilier ?
   $\quad$
3. Quelle est la mesure de l’angle $\widehat{HCM}$ entre le sol et l’ascenseur à blé ? On donnera une valeur approchée au degré près.
   $\quad$
4. Un mètre-cube de blé pèse environ $800$ kg.
   Quelle masse maximale de blé peut-on stocker dans ce silo ? On donnera la réponse à une tonne près.

Rappels :

• $1$ tonne $= 1~000$ kg
• volume d’un cylindre de rayon $R$ et de hauteur $h$ : $\pi \times R^2 \times h$

$\quad$

Exercice 5     14 points

Une entreprise rembourse à ses employés le coût de leurs déplacements professionnels, quand les employés utilisent leur véhicule personnel.
Pour calculer le montant de ces remboursements, elle utilise la formule et le tableau d’équivalence ci-dessous proposés par le gestionnaire:

$$\begin{array}{|c|}
\hline
\textbf{Document 1}\\
\begin{array}{l}
\text{Formule}\\
\text{Montant du remboursement :}\\
\hspace{1cm} a + b\times d\\
\text{où :}\\
\bullet ~~a \text{ est un prix (en euros) qui ne}\\
\text{dépend que de la longueur du}\\
\text{trajet;}\\
\bullet~~ b \text{ est le prix payé (en euros) par}\\
\text{kilomètre parcouru;}\\
\bullet~~d \text{ est la longueur en kilomètres du }\\
\text{du « trajet aller ».}\\
\\\\
\\\end{array}\begin{array}{l}
\text{Tableau}\\
\begin{array}{|l|c|c|}
\hline
\begin{array}{l}\text{Longueur $d$ du « trajet }\\\text{ aller »}\end{array}  &\text{Prix } a&\text{Prix $b$ par kilomètre}\\ \hline
\text{De $1$ km à $16$ km} &0,778~1  &0,194~4\\
\hline
\text{De $17$ km à $32$ km} &0,250~3  &0,216~5\\
\hline
\text{De $33$ km à $64$ km} &2,070~6  &0,159~7\\
\hline
\text{De $65$ km à $109$ km}  &2,889~1  &0,148~9\\
\hline
\text{De $110$ km à $149$ km} &4,086~4  &0,142~5\\ \hline
\text{De $150$ km à $199$ km} &8,087~1  &0,119~3\\ \hline
\text{De $200$ km à $300$ km} &7,757~7  &0,120~9\\ \hline\text{ De $301$ km à $499$ km} &13,651~4 &0,103~0\\ \hline
\text{ De $500$ km à $799$ km} &18,444~9 &0,092~1\\ \hline
\text{De $800$ km à $9~999$ km}    &32,204~1 &0,075~5\\ \hline
\end{array} \\ \end{array}\\
\hline\end{array}$$

1. Pour un « trajet aller » de $30$ km, vérifier que le montant du remboursement est environ $6,75$ €.
   $\quad$
2. Dans le cadre de son travail, un employé de cette entreprise effectue un déplacement à Paris. Il choisit de prendre sa voiture et il trouve les informations ci-dessous sur un site internet.
   $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   \hspace{5cm}\textbf{Document 2}\\
   \text{Distance Nantes – Paris : $386$ km}\\
   \text{Coût du péage entre Nantes et Paris: $37$ €}\\
   \text{Consommation moyenne de la voiture de l’employé: $6,2$ litres d’essence aux $100$ km}\\
   \text{Prix du litre d’essence: $1,52$ €}\\
   \hline
   \end{array}$$
   À l’aide des documents 1 et 2, répondre à la question suivante :
   « Le montant du remboursement sera-t-il suffisant pour couvrir les dépenses de cet employé pour effectuer le « trajet aller » de Nantes à Paris ? »
   $\quad$

$\quad$

Exercice 6     16 points

Voici les copies d’écran d’un programme qui permet d’obtenir une frise.

1. Quelle distance le lutin a-t-il parcourue pour tracer un seul motif de la frise?
   $\quad$
2. On modifie le programme, dans cette question seulement :
   $\bullet $ on ne modifie pas le script de la frise.
   $\bullet$ dans le bloc motif, il enlève l’instruction :
   Dessiner à main levée la frise obtenue avec ce nouveau programme.
   $\quad$
3. On utilise maintenant le bloc motif ci-dessous. Laquelle des deux frises obtient-il ? Expliquer pourquoi.
   $\quad$