DNB – Métropole – Juin 2019

Métropole – Juin 2019

DNB – Mathématiques – Correction

 

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Ex 1

Exercice 1

  1. $69=3\times 23$
    $\begin{align*}1~150&=115\times 10\\
    &=5\times 23\times 2\times 5\\
    &=2\times 5^2\times 23\end{align*}$
    $\begin{align*} 4~140&=414\times 10\\
    &=2\times 207\times 2\times 5\\
    &=2\times 9\times 23\times 2\times 5\\
    &=2^2\times 3^2\times 5\times 23\end{align*}$
    $\quad$
  2. Le trésor est partagé équitablement entre tous les marins. Le nombre $N$ de marins doit donc diviser à la fois $69$, $1~150$ et $4~140$.
    Le seul diviseur commun, supérieur à $1$, à ces trois nombres est $23$.
    Il y a donc $23$ marins.
    $\quad$

 

 

Ex 2

Exercice 2

  1. Dans le triangle $ADM$ rectangle en $A$ on a :
    $\tan \widehat{ADM}=\dfrac{AM}{AD}$
    Donc $\tan 60=\dfrac{AM}{2}$
    Par conséquent $AM=2\tan 60 \approx 3,46$ m.
    $\quad$
  2. L’aire de la plaque est $\mathscr{A}_1=4\times 2=8$ m$^2$.
    L’aire du rectangle $AMND$ est $\mathscr{A}_2=AM\times AD\approx 2\times 3,46$
    Donc $\mathscr{A}_2\approx 6,92$ m$^2$.
    Ainsi la proportion de la plaque utilisée est : $\dfrac{6,92}{8}=0,865$.
    La proportion de la plaque qui n’est pas utilisée est donc environ égale à $1-0,865$ soit environ $0,14$.
    $\quad$
  3. Les angles $\widehat{ADM}$ et $\widehat{AMD}$ d’une part et les angles $\widehat{ADM}$ et $\widehat{PDN}$ d’autre part sont complémentaires.
    Ainsi $\widehat{AMD}=\widehat{PDN}$.
    Dans le triangle $PDN$ rectangle en $P$ les angles $\widehat{PDN}$ et $\widehat{PND}$ sont complémentaires. Donc $\widehat{PND}=\widehat{ADM}$.
    Les angles du triangles $AMD$ sont donc égaux à ceux du triangle $PDN$. Ils sont par conséquent semblables.
    $\quad$
    Les angles $\widehat{DNP}$ et $\widehat{PNM}$ sont complémentaires et le triangle $PNM$ est rectangle en $P$.
    Les triangles $PNM$ et $PDN$ sont donc également semblables.
    $\quad$
  4. Dans le triangle $AMD$ rectangle en $A$ on applique le théorème de Pythagore.
    $DM^2=AM^2+AD^2=2^2+\left(2\tan 60\right)^2=16$
    Donc $DM=4$ m.
    Ainsi le coefficient d’agrandissement pour passer du triangle $PDN$ au triangle $AMD$ est :
    $k=\dfrac{DM}{DN}=\dfrac{DM}{AM}=\dfrac{4}{2\tan 60} \approx 1,15<1,5$.
    Le coefficient d’agrandissement est donc bien plus petit que $1,5$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. a. Volume du cylindre C$_2$ :
    $V_2=\pi \times \left(\dfrac{1,5}{2}\right)^2\times 4,2=2,362~5\pi$ cm$^2$.
    Volume de sable au départ : $V=\dfrac{2}{3}\times 2,362~5\pi=1,575\pi \approx 4,95$ cm$^3$.
    $\quad$
    b. Le temps nécessaire pour le sable s’écoule dans le cylindre inférieur est :
    $t=\dfrac{V}{1,98}\approx \dfrac{4,95}{1,98}$ soit $t\approx 2,5$ min.
    Le sable va donc s’écouler en $2$ minutes et $30$ secondes.
    $\quad$
  2. a. $1+1+2+6+3+7+6+3+1+2+3+2+3=40$
    On a donc réalisé $40$ tests.
    $\quad$
    b. L’étendue des temps est $e=158-142=16$ secondes (les temps ont été convertis en secondes). Le premier critère est donc vérifié.
    $\dfrac{40}{2}=20$. La médiane de cette série statistique est donc la moyenne de la $20\ieme$ et de la $21\ieme$ valeur. Ainsi la médiane est la moyenne de $2$ min $29$ s et $2$ min $30$ s soit $2$ min $29,5$ s. Le deuxième critère est vérifié.
    Pour calculer la moyenne, puisque tous les temps sont compris entre $2$ min $22$ s et $2$ min $38$ s on ne va calculer la moyenne que la partie en secondes.
    $\dfrac{22\times 1+24\times 1+26\times 2+\ldots+38\times 3}{40}=30,1$.
    Ainsi la moyenne est égale à $2$ min $30,1$ s.
    $\quad$
    Les trois critères sont vérifiés. Le sablier ne sera pas éliminé.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. On obtient la figure suivante :

    $\quad$
  2. Avec le script 1, il y a une alternance de carré et de tiret.
    Le script 1 est donc associé au dessin B et le script B au dessin A.
    $\quad$
  3. a. La probabilité que le premier nombre tiré aléatoirement soit égal à $1$ est $\dfrac{1}{2}$.
    La probabilité que le premier élément tracé soit un carré est donc égale à $\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
    b. En réalisant un arbre de probabilité, on constate que seul un chemin sur les $4$ nous permet d’obtenir que les deux premiers éléments soient des carrés.
    Ainsi la probabilité cherchée est $\dfrac{1}{4}$.
    $\quad$
  4. On peut insérer le bloc suivant entre la ligne 6 et la ligne 7.

    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. a. Le rectangle $3$ est l’image du rectangle $4$ par la translation qui transforme $C$ en $E$.
    $\quad$
    b. Le rectangle $3$ est l’image du rectangle $1$ par la rotation de centre $F$ et d’angle $90$° dans le sens des aiguilles d’une montre.
    $\quad$
    c. Le rectangle $ABCD$ est l’image du rectangle $2$ par l’homothétie de centre $D$ et de rapport $3$.
    Remarque : On pouvait également choisir le rectangle $3$ et le centre $B$ ou le rectangle $4$ et le centre $C$.
    $\quad$
  2. Le rectangle $ABCD$ est agrandissement du petit rectangle $2$ de rapport $3$.
    L’aire d’un petit rectangle est donc égale à $\dfrac{1,215}{3^2}=0,135$ m$^2$.
    $\quad$
  3. On appelle $x$ la largeur d’un rectangle. Sa longueur est donc égale à $\dfrac{3}{2}x$ soit $1,5x$.
    Ainsi l’aire d’un petit rectangle est égale à $1,5x^2$.
    Donc $1,5x^2=0,135$ donc $x^2=0,09$.
    Puisque $x$ est positif on a alors $x=0,3$.
    La largeur d’un petit rectangle est $0,3$ m et sa longueur $0,45$ m.
    Par conséquent la largeur du rectangle $ABCD$ est $0,3\times 3=0,9$ m et sa longueur est $0,45\times 3=1,35$ m.
    $\quad$

Ex 6

Exercice 6

  1. Avec le programme 1, on obtient $5\times 3+1=16$.
    Avec le programme 2, on obtient $(5-1)\times (5+2)=4\times 7=28$.
    $\quad$
  2. a. On a donc $A(x)=3x+1$.
    $\quad$
    b. On veut résoudre l’équation $A(x)=0$ soit $3x+1=0$
    Donc $3x=-1$ et $x=-\dfrac{1}{3}$.
    Il faut donc choisir le nombre $-\dfrac{1}{3}$ pour obtenir le nombre $0$ comme résultat du programme $1$.
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} B(x)&=(x-1)(x+2)\\
    &=x²+2x-x-2\\
    &=x^2+x-2\end{align*}$
    $\quad$
  4. a. Pour tout nombre $x$ on a :
    $B(x)-A(x)=x^2+x-2-(3x+1)=x^2+x-2-3x-1=x^2-2x-3$
    Or $(x+1)(x-3)=x^2-3x+x-3=x^2-2x-3$
    Donc $B(x)-A(x)=(x+1)(x-3)$.
    $\quad$
    b. $B(x)-A(x)=0$ si, et seulement si, $(x+1)(x-3)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $x+1=0$ ou $x-3=0$
    soit $x=-1$ ou $x=3$.
    Les seuls nombres permettant aux programmes 1 et 2 de donner le même résultat sont $-1$ et $3$.
    $\quad$

 

 

Énoncé

Exercice 1     10 points

Le capitaine d’un navire possède un trésor constitué de $69$ diamants, $1~150$ perles et $4~140$ pièces d’or.

  1. Décomposer $69$ ; $1~150$ et $4~140$ en produits de facteurs premiers.
    $\quad$
  2. Le capitaine partage équitablement le trésor entre les marins.
    Combien y-a-t-il de marins sachant que toutes les pièces, perles et diamants ont été distribués ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     19 points

Dans cet exercice, on donnera, si nécessaire, une valeur approchée des résultats au centième près.

Pour construire le décor d’une pièce de théâtre (Figure 1), Joanna dispose d’une plaque rectangulaire $ABCD$ de $4$ m sur $2$ m dans laquelle elle doit découper les trois triangles du décor avant de les superposer. Elle propose un découpage de la plaque (Figure 2).

Le triangle ADM respecte les conditions suivantes :

  • Le triangle $ADM$ est rectangle en $A$
  • $AD$ = $2$ m
  • $\widehat{ADM} = 60$°
  1. Montrer que $[AM]$ mesure environ $3,46$ m.
    $\quad$
  2. La partie de la plaque non utilisée est représentée en quadrillé sur la figure 2. Calculer une valeur approchée au centième de la proportion de la plaque qui n’est pas utilisée.
    $\quad$
  3. Pour que la superposition des triangles soit harmonieuse, Joanna veut que les trois triangles $AMD$, $PNM$ et $PDN$ soient semblables. Démontrer que c’est bien le cas.
    $\quad$
  4. Joanna aimerait que le coefficient d’agrandissement pour passer du triangle $PDN$ au triangle $AMD$ soit plus petit que $1,5$. Est-ce le cas ? Justifier
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     17 points

Les questions 1 et 2 sont indépendantes.

Un sablier est composé de

  • Deux cylindres $C_₁$ et $C_₂$ de hauteur $4,2$ cm et de diamètre $1,5$ cm
  • Un cylindre $C_3$
  • Deux demi-sphères $S_₁$ et $S_₂$ de diamètre $1,5$ cm

On rappelle le volume $V$ d’un cylindre d’aire de base $B$ et de hauteur $h$ : $$V = B\times h$$

  1. a. Au départ, le sable remplit le cylindre $C_₂$ aux deux tiers. Montrer que le volume du sable est environ $4,95$ cm$^3$ .
    $\quad$
    b. On retourne le sablier. En supposant que le débit d’écoulement du sable est constant et égal à $1,98$ cm$^3$/min, calculer le temps en minutes et secondes que va mettre le sable à s’écouler dans le cylindre inférieur.
    $\quad$
  2. En réalité, le débit d’écoulement d’un même sablier n’est pas constant.
    Dans une usine où on fabrique des sabliers comme celui-ci, on prend un sablier au hasard et on teste plusieurs fois le temps d’écoulement dans ce sablier. Voici les différents temps récapitulés
    dans le tableau suivant :
    $\small{\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Temps}\\\text{mesuré}\end{array}&2\text{ min }22\text{ s}&2\text{ min }24\text{ s}&2\text{ min }26\text{ s}&2\text{ min }27\text{ s}&2\text{ min }28\text{ s}&2\text{ min }29\text{ s}&2\text{ min }30\text{ s}\\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Nombre}\\\text{de tests}\end{array}&1&1&2&6&3&7&6\\
    \hline\end{array}}$
    $\quad$
    $\small{\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Temps}\\\text{mesuré}\end{array}&2\text{ min }31\text{ s}&2\text{ min }32\text{ s}&2\text{ min }33\text{ s}&2\text{ min }34\text{ s}&2\text{ min }35\text{ s}&2\text{ min }38\text{ s}\\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Nombre}\\\text{de tests}\end{array}&3&1&2&3&2&3\\
    \hline\end{array}}$
    a. Combien de tests ont été réalisés au total ?
    $\quad$
    b. Un sablier est mis en vente s’il vérifie les trois conditions ci-dessous, sinon il est éliminé.
    $\quad$
    $\quad$ $\bullet$ L’étendue des temps est inférieure à $20$ s
    $\quad$ $\bullet$ La médiane des temps est comprise entre $2$ min $29$ s et $2$ min $31$ s
    $\quad$ $\bullet$ La moyenne des temps est comprise entre $2$ min $28$ s et $2$ min $32$ s
    Le sablier testé sera-t-il éliminé ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     19 points

On veut réaliser un dessin constitué de deux types d’éléments (tirets et carrés) mis bout à bout.
Chaque script ci-dessous trace un élément, et déplace le stylo.
On rappelle que « s’orienter à $90$ » signifie qu’on oriente le stylo vers la droite.

  1. En prenant $1$ cm pour $2$ pixels, représenter la figure obtenue si on exécute le script Carré.
    Préciser les positions de départ et d’arrivée du stylo sur votre figure.
    $\quad$

Pour tracer le dessin complet, on a réalisé 2 scripts qui se servent des blocs « Carré » et « Tiret » ci-dessus :

On exécute les deux scripts et on obtient les deux dessins ci-dessous.


$\quad$

  1. Attribuer à chaque script la figure dessinée. Justifier votre choix.
    $\quad$
  2. On exécute le script 2.
    a. Quelle est la probabilité que le premier élément tracé soit un carré ?
    $\quad$
    b. Quelle est la probabilité que les deux premiers éléments soient des carrés ?
    $\quad$
  3. Dans le script 2, on aimerait que la couleur des différents éléments, tirets ou carrés, soit aléatoire, avec à chaque fois $50 \%$ de chance d’avoir un élément noir et $50 \%$ de chance d’avoir un élément rouge.
    Écrire la suite d’instructions qu’il faut alors créer et préciser où l’insérer dans le script 2.
    Indication : on pourra utiliser les instructions et
    pour choisir la couleur du stylo.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 5     18 points

Olivia s’est acheté un tableau pour décorer le mur de son salon.
Ce tableau, représenté ci-dessous, est constitué de quatre rectangles identiques nommés ①, ②, ③ et ④ dessinés à l’intérieur d’un grand rectangle $ABCD$ d’aire égale à $1,215$ m$^2$. Le ratio longueur : largeur est égal à $3 : 2$ pour chacun des cinq rectangles.

  1. Recopier, en les complétant, les phrases suivantes. Aucune justification n’est demandée.
    a. Le rectangle $\ldots$ est l’image du rectangle $\ldots$ par la translation qui transforme $C$ en $E$.
    $\quad$
    b. Le rectangle ③ est l’image du rectangle $\ldots$ par la rotation de centre $F$ et d’angle $90$° dans le sens des aiguilles d’une montre.
    $\quad$
    c. Le rectangle $ABCD$ est l’image du rectangle $\ldots$ par l’homothétie de centre $\ldots$ et de rapport $3$.
    (Il y a plusieurs réponses possibles, une seule est demandée.)
    $\quad$
  2. Quelle est l’aire d’un petit rectangle ?
    $\quad$
  3. Quelles sont la longueur et la largeur du rectangle $ABCD$ ?
    $\quad$

 

$\quad$

Exercice 6     17 points

Voici deux programmes de calcul.

  1. Vérifier que si on choisit $5$ comme nombre de départ,
    $\quad$ Le résultat du programme 1 vaut $16$.
    $\quad$ Le résultat du programme 2 vaut $28$.

On appelle $A(x)$ le résultat du programme 1 en fonction du nombre $x$ choisi au départ.
La fonction $B ∶ x \mapsto (x−1)(x + 2)$ donne le résultat du programme 2 en fonction du nombre 𝑥 choisi au départ.

  1. a. Exprimer $A(x)$ en fonction de $x$.
    $\quad$
    b. Déterminer le nombre que l’on doit choisir au départ pour obtenir $0$ comme résultat du programme 1.
    $\quad$
  2. Développer et réduire l’expression : $$B(x) = (x-1)(x+2)$$
    $\quad$
  3. a. Montrer que $B(x)-A(x) = (x+ 1)(x-3)x.
    $\quad$
    b. Quels nombres doit-on choisir au départ pour que le programme 1 et le programme 2 donnent le même résultat ? Expliquer la démarche.
    $\quad$