DNB – Nouvelle Calédonie – 13 décembre 2022

Nouvelle Calédonie – Décembre 2022

DNB maths – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Affirmation n°1 fausse
En une heure, l’avion a parcouru $1~200$ km.
En une heure le son a parcouru $340,29\times 60^2=1~225~044$ m soit $1~225,044$ km.

$\quad$

Affirmation n°2 fausse
On a :
$\begin{align*} 4(4x-4)+16&=16x-16+16 \\
&=16x\end{align*}$
Et $16x \neq 16x^2$.

$\quad$

Affirmation n°3 fausse
$33=3\times 11$. Donc $33$ n’est pas un nombre premier. $33\times 13$ n’est donc pas une décomposition en produit de facteurs premiers.

$\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. On peut écrire $\text{somme(A1:C1)}$.
    Réponse A
    $\quad$
  2. On a donc $\dfrac{15+10+13+9+10+x}{6}=11$ soit $57+x=66$.
    Par conséquent $x=66-57$ c’est-à-dire $x=9$.
    Réponse A
    $\quad$
  3. L’équateur est un parallèle.
    Réponse C
    $\quad$
  4. Le rayon de la boule est $R=\dfrac{6}{2}$ soit $R=3$ cm.
    Le volume de la boule est donc
    $\begin{align*} V&=\dfrac{4}{3}\pi 3^3 \\
    &=4\times 3^2 \pi\\
    &=36\pi\end{align*}$
    Réponse A
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. On obtient :
    $\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Vitesse du vent (en nœuds)}&10&15&20&25 \\
    \hline
    \text{Nombre de jours}&3&\boldsymbol{5}&\boldsymbol{4}&3 \\
    \hline
    \text{Fréquence en % arrondie à l’unité}&\boldsymbol{20}&33&\boldsymbol{27}&\boldsymbol{20}\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  2. $5+4+3=12$. La vitesse du vent est supérieure ou égale à $15$ nœuds durant $12$ jours.
    $\dfrac{12}{15}=0,8$.
    La vitesse du vent est supérieure ou égale à $15$ nœuds $80\%$ des jours.
    $\quad$
  3. $\dfrac{15}{2}=7,5$.
    La médiane est donc la $8\ieme$ valeur c’est-à-dire $15$ (on utilise le tableau de la question 1.).
    $\quad$

 

 

Ex 4

Exercice 4

  1. On obtient la figure suivante :
    $\quad$

    $\quad$
  2. Dans le triangle $MWB$, le plus grand côté est $[MB]$.
    D’une part $MB^2=56,25$
    D’autre part $MW^2+WB^2=36+20,25=56,25$
    Par conséquent $MB^2=MW^2+WB^2$.
    D’après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle $MWB$ est rectangle en $W$.
    $\quad$
  3. Dans le triangle $MWB$ rectangle en $W$ on a :
    $\begin{align*} \tan \widehat{BMW}&=\dfrac{BW}{MW} \\
    &=\dfrac{4,5}{6} \\
    &=0,75\end{align*}$
    Par conséquent $\widehat{BMW} \approx 37$°.
    $\quad$
  4. a. voir figure
    $\quad$
    b. voir figure
    $\quad$
    c. Dans les triangles $WEF$ et $WMB$ :
    $\qquad \bullet$ $E\in [WM]$ et $F\in [WB]$;
    $\qquad \bullet$ $(MB)$ et $(EF)$ sont parallèles.
    D’après le théorème de Thalès :
    $\dfrac{WE}{WM}=\dfrac{WF}{WB}=\dfrac{EF}{MB}$
    c’est-à-dire $\dfrac{WE}{6}=\dfrac{3}{4,5}$
    Ainsi $WE=6\times \dfrac{3}{4,5}$
    Donc $WE=4$ cm.
    $\quad$
  5. a. voir figure
    $\quad$
    b. voir figure
    $\quad$
  6. $W\in [MT]$ donc $MT=MW+WT$.
    Par conséquent $10=6+WT$ et $WT=4$ cm.
    $W\in [ET]$ donc :
    $\begin{align*} ET&=EW+WT \\
    &=4+4 \\
    &=8\end{align*}$.
    Ainsi $ET=8$ cm.
    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. $4\times 1~600=6~400$.
    Le prix de $4$ heures de cours avec le tarif découverte est de $6~400$ F.
    $\quad$
  2. a. $4~800+4\times 600 = 4~800+2~400=7~200$.
    On doit donc payer $7~200$ F pour $4$ heures de cours avec le tarif personnalisé.
    $\quad$
    b. $4~800+10\times 600 = 4~800+6~000=10~800$.
    On doit donc payer $10~800$ F pour $10$ heures de cours avec le tarif personnalisé.
    $\quad$
    c. On a $P(x)=4~800+600x$.
    $\quad$
  3. a. Pour $x$ heures de cours on paye $1~600x$ F avec le tarif découverte et $9~600$ F avec le tarif renforcé.
    On veut donc résoudre $1~600x=9~600$.
    Par conséquent $x=\dfrac{9~600}{1~600}$ soit $x=6$.
    Les tarifs sont donc égaux pour $6$ heures de cours.
    $\quad$
    b. On sait que $P(4)=7~200$ et $P(10)=10~800$.
    Par conséquent la droite représentant la fonction $P$ passe par les points de coordonnées $(4,7~200)$ et $(10,10~800)$.
    $\quad$

    $\quad$
    c. On a $P(7)=9~000$ et $1~600\times 7=11~200$.
    Par conséquent $9~000<9~600<11~200$.
    Le tarif personnalisé est donc le plus économique pour $7$ heures de cours.
    $\quad$
  4. On veut résoudre l’équation $4~800+600x=9~600$ c’est-à-dire $600x=4~800$.
    Par conséquent $x=\dfrac{4~800}{600}$ soit $x=8$.
    Juliette paie le même prix avec le tarif personnalisé et le tarif renforcé pour $8$ heures de cours.
    $\quad$

 

Ex 6

Exercice 6

  1. a. Gabriel a obtenu $3$ au premier lancer.
    $\quad$
    b. Gabriel a obtenu $2$ au second lancer.
    $\quad$
  2. On peut obtenir :
    $(1;1)$, $(1;2)$, $(1;3)$, $(1;4)$, $(2;1)$, $(2;2)$, $(2;3)$, $(2;4)$, $(3;1)$, $(3;2)$, $(3;3)$, $(3;4)$, $(4;1)$, $(4;2)$, $(4;3)$ ou $(4;4)$.
    $\quad$
  3. Il est impossible d’obtenir une somme égale à $1$ puisque la plus petite somme obtenue est $2$.
    $A$ est donc l’événement impossible.
    $\quad$
  4. L’événement $C$ est obtenu à l’aide des tirages $(1;4)$, $(2;3)$, $(3;2)$ et $(4;1)$.
    $\quad$
  5. La probabilité que l’événement $C$ se réalise est :
    $\begin{align*} p(C)&=\dfrac{4}{16} \\
    &=\dfrac{1}{4}\end{align*}$
    $\quad$

Ex 7

Exercice 7

  1. On obtient :
    $\quad$

    $\quad$
  2. On obtient :
    $\quad$

    $\quad$

Énoncé

Exercice 1  : Vrai ou Faux    18 points

Pour chacune des trois affirmations ci-dessous, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

Affirmation n° 1 : La vitesse d’un avion qui vole à $1~200$ km/h est supérieure à la vitesse du son qui est $340,29$ m/s.

$\quad$

Affirmation n° 2 : Pour tout nombre $x$, on a $4(4x-4)+16 = 16x^
2$.

$\quad$

Affirmation n° 3 : $33\times 13$ est la décomposition en produit de facteurs premiers de $429$.

$\quad$

$\quad$

Exercice 2 : QCM     12 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est exacte.
Sur la copie, indiquer le numéro de la question et la réponse A, B ou C choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse.

  1. Dans un tableur, quelle formule faut-il saisir dans la cellule $\text{D1}$ pour afficher la somme des nombres des cellules $\text{A1}$, $\text{B1}$ et $\text{C1}$ ?
    $\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    &\text{A}&\text{B}&\text{C}&\text{D}\\
    \hline
    1&3&5&4&\\
    \hline
    \end{array}$
    Réponse A : $\text{=somme(A1:C1)}$
    Réponse B : $\text{=(A1:C1)}$
    Réponse C : $\text{=somme(A1*C1)}$
    $\quad$
  2. Soit la série de nombres : $15; 10; 13; 9; 10; x$.
    La moyenne de la série est $11$ pour $x$ égal à …
    Réponse A : $9$
    Réponse B : $10$
    Réponse C : $11$
    $\quad$
  3. Sur la terre, l’équateur est :
    Réponse A : un méridien
    Réponse B : un demi-cercle
    Réponse C : un parallèle
    $\quad$
  4. Le volume exact, en cm$^3$, d’une boule de $6$ cm de diamètre est :
    On rappelle le volume $V$ d’une boule de rayon $R$ : $V=\dfrac{4\pi R^3}{3}$
    Réponse A : $36\pi$
    Réponse B : $113,097~335~5$
    Réponse C : $288\pi$
    $\quad$

$\quad$

$\quad$

Exercice 13 : Le vent    12 points

On a relevé la vitesse du vent à 13 heures du 1$\ier$ au 15 novembre sur une plage de Nouvelle- Calédonie.
Les vitesses approchées sont données, en nœuds, dans le tableau ci-dessous :

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\begin{array}{l} \text{Jours du 1$\ier$ au 15}\\\text{novembre}\end{array}&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15\\
\hline
\begin{array}{l} \text{Vitesse du vent en}\\\text{nœuds}\end{array}&10&15&20&20&15&10&10&20&15&25&25&25&20&15&15\\
\hline
\end{array}$

  1. À partir des données ci-dessus, compléter le tableau figurant sur l’annexe.
    $\quad$
  2. Calculer le pourcentage de jours où la vitesse de vent est supérieure ou égale à $15$ nœuds sur la plage, entre le 1$\ier$ et le 15 novembre.
    $\quad$
  3. Déterminer la vitesse médiane du vent sur la plage durant cette période.
    $\quad$

Annexe :

  1. $\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Vitesse du vent (en nœuds)}&10&15&20&25 \\
    \hline
    \text{Nombre de jours}&3&\phantom{123456}&\phantom{123456}&3 \\
    \hline
    \text{Fréquence en % arrondie à l’unité}&\phantom{123456}&33&\phantom{123456}&\phantom{123456}\\
    \hline
    \end{array}$

$\quad$

$\quad$

Exercice 4 : Construction    20 points

Un triangle $MWB$ est tel que $MB = 7,5$ cm; $WB = 4,5$ cm et $MW = 6$ cm.

  1. Sur la copie, construire le triangle $MWB$.
    $\quad$
  2. Montrer que le triangle $MWB$ est rectangle en $W$.
    Rédiger la réponse en faisant apparaître les différentes étapes.
    $\quad$
  3. Calculer la mesure de l’angle $BMW$. Arrondir le résultat au degré près.
    $\quad$
  4. a. Placer le point $F$ sur le segment $[WB]$ tel que $WF = 3$ cm.
    $\quad$
    b. Tracer la parallèle à $(MB)$ passant par $F$. Elle coupe $(MW)$ en $E$. Placer le point $E$.
    $\quad$
    c. Calculer $WE$.
    Rédiger la réponse en faisant apparaître les différentes étapes.
    $\quad$
  5. a. Placer le point $T$ sur la demi-droite $[MW)$ de la figure précédente tel que $MT = 10$ cm.
    $\quad$
    b. Tracer le segment $[TB]$.
    $\quad$
  6. Calculer la longueur TE.
    Faire apparaître les différentes étapes du calcul.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 5 : Le club    20 points

Juliette désire apprendre la planche à voile, elle prend des renseignements auprès d’un club qui propose trois tarifs mensuels.

  • Le tarif découverte à $1~600$ F par heure de cours.
  • Le tarif personnalisé qui comprend une carte d’adhérent à $4~800$ F et un prix fixe de $600$ F par heure de
    cours.
  • Le tarif renforcé à $9~600$ F pour un nombre illimité d’heures de cours.
  1. Calculer le prix à payer pour $4$ heures de cours avec le tarif découverte.
    $\quad$
  2. a. Montrer que $4$ heures de cours avec le tarif personnalisé coûtent $7~200$ F.
    $\quad$
    b. Calculer le prix à payer pour $10$ heures de cours avec le tarif personnalisé.
    On désigne par $x$ le nombre d’heures de cours. On note $P(x)$ le prix à payer en francs avec le tarif personnalisé.
    $\quad$
    c. Exprimer $P(x)$ en fonction de $x$.
    Les fonctions donnant les prix à payer avec les tarifs découverte et renforcé sont représentées sur l’annexe.
    $\quad$
  3. a. Pour combien d’heures de cours ces deux tarifs sont-ils égaux ?
    $\quad$
    b. Tracer la représentation graphique de la fonction $P$ définie par $P(x) = 600x +4~800$ sur l’annexe.
    $\quad$
    c. Quel est le tarif le plus économique pour Juliette si elle décide de prendre $7$ heures de cours ?
    Justifier la réponse.
    $\quad$
  4. Pour combien d’heures de cours Juliette paie-t-elle le même prix avec le tarif personnalisé et le tarif renforcé ?
    $\quad$

Annexe

$\quad$

$\quad$

Exercice 6 : Les dés     13 points

Gabriel lance deux fois de suite un dé équilibré à quatre faces numérotées de $1$ à $4$ et il relève le numéro qui figure sur la face cachée du dé.
Si Gabriel obtient $2$ au premier lancer puis $4$ au second, il note $(2; 4)$.

  1. Gabriel a noté $(3; 2)$.
    a. Quel numéro a-t-il obtenu au premier lancer ?
    $\quad$
    b. Quel numéro a-t-il obtenu au second lancer ?
    $\quad$
  2. Quelles sont les $16$ issues possibles de ce jeu ?
    $\quad$
  3. Que dire de l’évènement $A$ : « Obtenir $1$ en additionnant les deux numéros obtenus » ?
    L’évènement $B$ : « Obtenir $7$ en additionnant les deux numéros obtenus » peut être réalisé avec l’issue $(3; 4)$ ou avec l’issue $(4; 3)$.
    $\quad$
  4. Donner les quatre issues possibles qui réalisent l’évènement $C$ : « Obtenir $5$ en additionnant les deux numéros obtenus ».
    $\quad$
  5. Quelle est la probabilité que l’évènement $C$ se réalise ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 7 : Le drapeau    11 points

  1. Dessiner sur la copie le motif correspondant au script Scratch ci-contre, le stylo étant en position d’écriture. On prendra $1$ cm pour $10$ pas.
    $\quad$

    $\quad$
  2. Sur l’annexe, compléter les informations manquantes du script n° 2 qui permet d’obtenir la figure ci-dessous.
    $\quad$

    $\quad$

Annexe :

$\quad$

$\quad$