Exercice 1

1. $1~600=16\times 100=2^4\times 2^2\times 5^2=2^6\times 5^2$.
   Réponse C
   $\quad$
2. Dans les triangles $EAF$ et $AMN$ on a :
   – le point $A$ appartient aux segments $[EM]$ et $[FN]$;
   – les droites $(EF)$ et $(MN)$ sont parallèles.
   D’après le théorème de Thalès on a :
   $\dfrac{AE}{AM}=\dfrac{AF}{AN}=\dfrac{EF}{MN}$
   Donc $\dfrac{2}{5}=\dfrac{4}{MN}$
   Par conséquent $MN=\dfrac{5\times 4}{2}=10$ cm
   Réponse B
   $\quad$
3. On a :
   $\begin{align*} 6x(3x-5)+7x&=18x^2-30x+7x\\
   &=18x^2-23x\end{align*}$
   Réponse A
   $\quad$

Exercice 2

1. Volume d’une boule de rayon $3$ cm : $V_{\text{sphère}}=\dfrac{4}{3}\times \pi\times 3^3=36\pi$ cm$^3$.
   Par conséquent le volume d’un moule est $V_{\text{moule}}=18\pi \approx 56,5$ cm$^3$.
   $\quad$
2.  Volume des moules utilisé : $V_{\text{utilisé}}=\dfrac{3}{4}\times 57=42,75$ cm$^3$.
   $1$ L $=1~000$ cm$^3$.
   Et $\dfrac{1~000}{42,75}\approx 23,4$.
   Elle pourra donc faire $23$ TAKOYAKI.
   $\quad$

Exercice 3

1. a. L’antécédent de $4$ par la fonction $g$ est $2$.
   $\quad$
   b. On obtient le tableau de valeur suivant :
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
   \hline
   x&-2&0&4&6\\
   \hline
   g(x)&12&8&0&-4\\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$
2. a. L’image de $-2$ par la fonction $f$ est $f(-2)=2\times (-2)=-4$.
   $\quad$
   b. $f(3)=2\times 3=6$.
   $\quad$
   c. On obtient le graphique suivant :
   $\quad$
3. Graphiquement les coordonnées du point $S$ sont donc $(2;4)$.
   $\quad$
4. a. $2x=-2x+8$ donc $4x=8$ soit $x=\dfrac{8}{4}$ ou encore $x=2$.
   par conséquent la solution de l’équation est $2$.
   $\quad$
   b. Cette valeur correspond à l’abscisse du point d’intersection des deux représentations graphiques.
   $\quad$

Exercice 4

1. La distance entre les deux stations est donc de $3\times 450=1~350$ m.
   $\quad$
2. $24$ min $=\dfrac{24}{60}$ h $=0,4$ h.
   La vitesse moyenne du bus est donc $v=\dfrac{9,9}{0,4}=24,75$ km/h.
   $\quad$
3. Le ticket de bus coûterait $190\times \left(1+\dfrac{40}{100}\right)=190\times 1,4=266$ F.
   $\quad$

Exercice 5

1. a. Le nombre moyen de médailles est :
   $N=\dfrac{1\times 6+2\times 3+3\times 1+\ldots+14\times 2}{21}\approx 4,9$.
   $\quad$
   b. $\dfrac{21}{2}=10,5$ : la médiane est donc la $11\ieme$ valeur, c’est-à-dire $4$.
   $\quad$
   c. Cela signifie donc que la moitié des pays ont obtenu au plus $4$ médailles.
   $\quad$
2. On a pu saisir $=\text{SOMME}(B2:K2)$.
   $\quad$
3. a. La probabilité que le pays ait une seule médaille d’or est $p_1=\dfrac{6}{21}=\dfrac{2}{7}$
   $\quad$
   b. La probabilité que le pays ait au moins $5$ médailles d’or est :
   $p_2=\dfrac{4+1+1+1+1+2}{21}=\dfrac{10}{21}$.
   $\quad$

Exercice 6

1. On obtient la figure suivante :
   $\quad$
2. Il faut saisir longueur $=100$ et angle $=90$ pour obtenir la figure souhaitée.
   $\quad$
3. La première fois que le lutin tourne de $75$° (pour le sommet en haut à droite) l’angle du parallélogramme associé ne mesure pas $75$° mais $180-75=105$°.
   Il s’agit donc de la figure C.
   $\quad$

Exercice 7

Affirmation 1 : Vraie
Dans le triangle $ABC$, le plus grand côté est $[AB]$.
D’une part $AB^2=7,5^2=56,25$
D’autre part $CA^2+CB^2=4,5^2+6^2=20,25+36=56,25$
Par conséquent $AB^2=CA^2+CB^2$
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.
$\quad$

Affirmation 2 : Fausse
Le produit $(-1)\times (-2)\times 3\times 4\times 5=120$ est strictement positif mais pourtant deux facteurs sont négatifs.
$\quad$

Affirmation 3 : Fausse
Le rapport de réduction est $r=\dfrac{20}{5~600}=\dfrac{1}{280} \neq \dfrac{1}{28}$.
$\quad$

Exercice 8

Aire du modèle 1 : $A_1=\dfrac{3,5\times 4}{2}=7<8$. Le modèle 1 ne convient pas.
$\quad$

Dans le triangle $OPT$ rectangle en $P$ on applique le théorème de Pythagore.
$OT^2=OP^2+PT^2$
Donc $25=9+PT^2$
Par conséquent $PT^2=16$ et $PT=4$.
Aire du modèle 2 : $A_2=\dfrac{3\times 4}{2}=6<8$. Le modèle 2 ne convient pas.
$\quad$

Dans le triangle $MRU$ rectangle et isocèle en $U$ on applique le théorème de Pythagore (avec $UM=UR$).
$UR^2+UM^2=MR^2$
Donc $2UR^2=36$
Soit $UR^2=18$
Aire du modèle 3 : $A_3=\dfrac{UR\times UM}{2}=\dfrac{UR^2}{2}=\dfrac{18}{2}=9>8$. Le modèle 3 convient.
Remarque: On pouvait également utiliser les formules de trigonométrie pour calculer $UR$ ou $UM$.
$\quad$

Exercice 1     12 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (Q. C. M.). Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est exacte. Sur la copie, écrire le numéro de la question et la réponse choisie.
On ne demande pas de justifier. Aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse.

1. La décomposition en facteurs premiers de $1~600$ est :
   Réponse A : $4^2\times 10^2$
   Réponse B : $2^8\times 5^2$
   Réponse C : $2^6\times 5^2$
   $\quad$
2. $\quad$
   
   Sachant que $(EF) // (MN)$ et $EA = 2$ cm; $AM = 5$ cm; $EF = 4$ cm la longueur $MN$ est égale à :
   Réponse A : $7$ cm
   Réponse B : $10$ cm
   Réponse C : $1,6$ cm
   $\quad$
3. La forme développée et réduite de $6x(3x −5)+7x$ est :
   Réponse A : $18x^2-23x$
   Réponse B : $-18x^2-30x+7x$
   Réponse C : $18x^2-37x$
   $\quad$

Exercice 2     9 points

Lors d’un voyage à Osaka, Jade a mangé des TAKOYAKI (gâteaux japonais) qu’elle veut refaire chez elle.
Pour cela, elle dispose d’une plaque de cuisson comportant plusieurs moules à gâteaux. Tous les moules sont identiques.
Chaque moule a la forme d’une demi-sphère de rayon $3$ cm.
Rappels : $1$ L = $1$ dm$^3$

$\qquad$ Volume d’une boule de rayon $r : V = \dfrac{4}{3}\times \pi\times r^3$.

1. Calculer le volume d’un moule (en cm$^3$), arrondir le résultat au dixième.
   $\quad$
2. Dans cette question, on considère que le volume d’un moule est de $57$ cm$^3$.
   Jade a préparé $1$ L de pâte. Elle doit remplir chaque moule aux $\dfrac{3}{4}$ de son volume.
   Combien de TAKOYAKI peut-elle faire ? Justifier la réponse.
   $\quad$

Exercice 3     12 points

1. On considère la fonction $g$ représentée dans le repère en annexe.
   a. Donner l’antécédent de $4$ par la fonction $g$ .
   $\quad$
   b. Dans l’annexe, compléter le tableau de valeurs de la fonction $g$.
   $\quad$
2. La fonction $f$ est donnée par $f(x) = 2x$.
   a. Quelle est l’image de $-2$ par la fonction $f$ ?
   $\quad$
   b. Calculer $f(3)$.
   $\quad$
   c. Dans l’annexe, tracer la représentation graphique de la fonction $f$ .
   $\quad$
3. Déterminer graphiquement l’abscisse du point d’intersection $S$ des deux représentations graphiques.
   Faire apparaître en pointillés la lecture sur le graphique de l’annexe.
   $\quad$
4. L’expression de la fonction $g$ est $g(x)=-2x+8$.
   a. Résoudre l’équation $2x=-2x+8$.
   $\quad$
   b. Que représente graphiquement le résultat précédent ?
   $\quad$

Annexe 

Représentation graphique de la fonction

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
x&-2&0&4&6\\
\hline
g(x)&12&8&0&-4\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Exercice 4: Calédorail     11 points

Calédorail est un projet de bus qui relierait différents points stratégiques de la ville de Nouméa.

1. Longueur de la ligne
   
   La distance moyenne entre deux stations est d’environ $450$ mètres. Estimer la distance entre la station 1 et la station 4.
   $\quad$
2. Vitesse moyenne
   Le bus Calédorail mettrait $24$ minutes pour effectuer un trajet de $9,9$ km.
   Quelle serait sa vitesse moyenne en km/h ?
   $\quad$
3. Tarif
   Actuellement, un ticket de bus coûte $190$ F. Le ticket de bus Calédorail coûterait $40 \%$ plus cher.
   Quel serait le prix du ticket de bus Calédorail ?
   $\quad$

Exercice 5     17 points

Voici le classement des $21$ pays ayant obtenu des médailles d’or lors des jeux olympiques d’hiver de Pyeongchang 2018 en Corée.

On considère la série constituée des nombres de médailles d’or obtenues par chaque pays.
Le classement est résumé dans la feuille de calcul ci-dessous :

1. a. Calculer le nombre moyen de médailles d’or par pays (arrondir le résultat au dixième).
   $\quad$
   b. Déterminer la médiane des nombres de médailles d’or par pays.
   $\quad$
   c. Interpréter le résultat de la question 1.b.
   $\quad$
2. Quelle formule a-t-on saisie dans la cellule $L2$ pour obtenir le nombre total de pays ayant eu au moins une médaille d’or ?
   $\quad$
3. On prend un pays au hasard parmi les pays qui ont au moins une médaille d’or.
   a. Quelle est la probabilité qu’il ait une seule médaille d’or ? Donner la réponse sous forme fractionnaire.
   $\quad$
   b. Quelle est la probabilité qu’il ait au moins $5$ médailles d’or? Donner la réponse sous forme fractionnaire.
   $\quad$

Exercice 6     10 points

Rappels Scratch

Orientation du lutin :

S’orienter à $90$° : pour se déplacer vers la droite
S’orienter à $0$° : pour se déplacer vers le haut
S’orienter à $-90$° : pour se déplacer vers la gauche
S’orienter à $180$° : pour se déplacer vers le bas

Les angles :

Dans le tracé ci-dessous, pour obtenir un angle de $60$°, on peut utiliser l’instruction :

Le chat indique la position de départ.

Voici ci-dessous un programme réalisé avec Scratch pour construire un parallélogramme.
Selon la longueur et l’angle donnés, ce parallélogramme peut être particulier (rectangle, losange, carré).

1. Dessiner en annexe le parallélogramme obtenu avec la longueur et l’angle donnés.
   $\quad$
2. Quelle valeur faut-il donner à longueur et quelle valeur à angle pour obtenir la figure ci-dessous ?
   
   Le côté d’un carreau représente $20$ unités.
3. Un élève a choisi la longueur $50$ et l’angle $75$° puis a recopié la figure obtenue après exécution du script.
   Lequel des trois parallélogrammes ci-dessous a-t-il tracé?
   Écrire sur la copie la lettre correspondante.
   

Annexe

Le côté d’un carreau représente $20$ unités
longueur : $80$
angle: $90$
$\quad$

Exercice 7     12 points

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est Vraie ou Fausse en cochant la case.
Justifier chaque réponse dans la partie réservée.
Toute trace de recherche sera valorisée

Affirmation 1 : $ABC$ est un triangle rectangle.
On donne le triangle suivant :

$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{Vraie } \square \quad \text{Fausse }\square \hspace 3cm\\
\text{Justification : }\\
\\
\\
\\
\\
\\
\hline
\end{array}$

$\quad$

Affirmation 2 :
Si un produit de cinq facteurs est strictement positif, alors aucun des facteurs n’est négatif.

$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{Vraie } \square \quad \text{Fausse }\square \hspace 3cm\\
\text{Justification : }\\
\\
\\
\\
\\
\\
\hline
\end{array}$

$\quad$

Affirmation 3 :
« Le rapport de réduction est égal à $\dfrac{1}{28}$».
La maquette ci-dessous est une maquette du Phare Amédée qui a une hauteur réelle de $56$ m.

$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{Vraie } \square \quad \text{Fausse }\square \hspace 3cm\\
\text{Justification : }\\
\\
\\
\\
\\
\\
\hline
\end{array}$

$\quad$

Exercice 8     12 points

Pour son confort, Lisa souhaite installer une voile d’ombrage triangulaire dans son jardin.
L’aire de celle-ci doit être de $8$ m$^2$ au minimum.
Pour chacun des trois modèles suivants indiquer sur la copie s’il convient en justifiant chaque réponse.

Rappel :
Aire d’un triangle rectangle : $A=\dfrac{h\times b}{2}$

$\quad$