DNB – Polynésie – Septembre 2018

Polynésie – Septembre 2018

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici :

Ex 1

Exercice 1

Affirmation 1 vraie
Les diviseurs de $6$ sont $1$, $2$, $3$ et $6$.
La probabilité d’obtenir un diviseur de $6$ est donc $\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$.
$\quad$

Affirmation 2 vraie
$b=2\times 3^5\times 7^2=2\times 3\times 7\times 3^4\times 7=2\times 3\times 7\times a$
$\quad$

Affirmation 3 vraie 
$76~000\times \left(1+\dfrac{30}{100}\right)=76~000\times 1,3=98~800$

Affirmation 4 fausse
On appelle $p$ le prix d’un pull.
La personne B a acheté le pull en trois exemplaires. Elle a donc payé $3p$.
La personne A a acheté un pull et un pantalon de jogging. Elle a donc payé $p+54$.
La personne B a dépensé plus d’argent que la personne A.
On peut donc écrire $3p\pg p+54$ soit $2p \pg 54$ et donc $p \pg 27$.
Un pull coûte donc au moins $25$ €.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. La France a donc gagné, d’après ce tableau, $5$ fois contre le Portugal.
    $\quad$
  2. Sur les $13$ rencontres, la France a gagné $5$ fois.
    Le pourcentage de victoire est donc de $\dfrac{5}{13} \approx 38\%$.
    $\quad$
  3. Le nombre moyen de buts par match est :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{3+2+2+3+5+5+2+3+4+1+3+1+1}{13} \\
    &=\dfrac{35}{13}\\
    &\approx 2,7\end{align*}$
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. Formule A : tous les magazines ont le même prix et il n’y a pas d’abonnement. Sa représentation graphique est $(D3)$.
    Formule B : Il y a un abonnement à l’année quelque soit le nombre de magazines lus. Sa représentation graphique est donc $(D2)$.
    Par conséquent, la représentation graphique de la Formule C est $(D1)$.
    $\quad$
  2. $\quad$

    a. (traits bleus) En choisissant la formule A on dépense $60$ € si on achète $16$ magazines dans l’année.
    $\quad$
    b. (traits rouges) En choisissant la formule C on peut acheter au plus $32$ magazines avec $120$ €.
    $\quad$
    c. (droite orange) Le point d’intersection de la droite orange ne coupe que les droites $(D1)$ et $(D3)$. C’est le point d’intersection avec la droite $(D1)$ qui a la plus grande abscisse.
    Par conséquent, si on décide de ne pas dépasser un budget de $100$ € pour l’année il faut choisir la formule B.
    $\quad$
  3. On appelle $x$ le nombre de magazines achetés sur une année.
    On recherche l’abscisse du point d’intersection des droites $(D1)$ et $(D3)$.
    Elle vérifie  alors $3,75x=30+2,25x$ soit $1,5x=30$ et donc $x=20$.
    $\quad$
    On recherche l’abscisse du point d’intersection des droites $(D1)$ et $(D2)$.
    Elle vérifie $30+2,25x=130$ soit $2,25x=100$ donc $x=\dfrac{100}{2,25} \approx 44,4$
    $\quad$
    par conséquent, dans l’année :
    – si on achète entre $0$ et $20$ magazines, la formule A est la plus avantageuse;
    – si on achète entre $20$ et $44$ magazines, la formule C est la plus avantageuse;
    – si on achète $45$ magazines ou plus, la formule B est la plus avantageuse.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. Nous allons calculer la longueur $\ell$ du parcours de la fille.
    Ainsi :
    $\ell = FE+ \overset{\frown}{ED}+DC+ \overset{\frown}{BC}+AB$
    On doit donc calculer le périmètre d’un cercle de rayon $5$ m : $p=2\times \pi\times 5=10\pi$ m.
    Ainsi $\ell = 3\times 60+10\pi=180+10\pi \approx 211$ m.
    Par conséquent le parcours de la fille est plus long que celui du garçon.
    $\quad$
  2. Vitesse du garçon : $v_g=\dfrac{200}{28}\approx 7,14$ m/s.
    Vitesse de la fille : $v_f=\dfrac{180+10\pi}{28,5}\approx 7,42$ m/s.
    La fille se déplace donc le plus vite.
    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. On appelle $r$ le rayon du ballon du collégien français.
    Ainsi $4\times \pi \times r^2=1~950$
    Soit $\pi \times r^2 =487,5$
    Par conséquent $r^2=\dfrac{487,5}{\pi}$
    Et donc $r=\sqrt{\dfrac{487,5}{\pi}} \approx 12,46$.
    Le diamètre du ballon est donc $D_f=2r \approx 24,92 > 24,8$.
    Le ballon du collégien français ne respecte pas cette norme.
    $\quad$
  2. Le diamètre du ballon du collégien anglais est $D_a=9,5\times 2,54=24,13$.
    Le ballon du collégien anglais respecte cette norme.
    $\quad$

 

Ex 6

Exercice 6

  1. Deux séances par semaine pendant $10$ semaines revient à faire $20$ séances.
    Chacune coûte $15$ €.
    Par conséquent le coût de ces séances est $15\times 20=300$ €.
    $\quad$
  2. La solution affichée par le programme correspond au nombre de semaines à partir duquel l’achat du vélo de piscine est rentabilisé.
    $\quad$
  3. On appelle $x$ le nombre de semaines cherché.
    Le coût de $x$ semaines de séances au centre aquatique coûte donc $2\times x \times 15 = 30x$.
    On veut donc résoudre $30x\pg 999$ soit $x \pg 33,3$.
    $x$ est un entier naturel.
    Il faudrait donc $34$ semaines pour que l’achat du vélo de piscine soit rentabilisé.
    $\quad$

Ex 7

Exercice 7

1$\boldsymbol{^\text{ère}}$ partie

On a $DE=CF-CD-EF=4-2\times 1,5=1$ m

Dans le triangle $BCD$ rectangle en $C$ on applique le théorème de Pythagore.
$BD^2=BC^2+CD^2=2^2+1,5^2=6,25$
Donc $BD=\sqrt{6,25}=2,5$ m$

La longueur de la frise est :
$\begin{align*} L&=AH+HG+GE+DE+DB+BA \\
&=4+(10-2)+2,5+1+2,5+(10-2) \\
&=26
\end{align*}$
La frise mesure donc $26$ m.
$\quad$

2$\boldsymbol{^\text{ème}}$ partie

Dans les triangles $KLN$ et $KMO$ on a :
– le point $L$ appartient au segment $[KM]$;
– le point $N$ appartient au segment $[KO]$;
– les droites $(LN)$ et $(MO)$ sont parallèles puisque $LMON$ est un trapèze de bases $[LN]$ et $[MO]$

On peut donc appliquer le théorème de Thalès :
$\dfrac{KL}{KM}=\dfrac{KN}{KO}=\dfrac{LN}{MO}$
soit $\dfrac{5}{5+3,5}=\dfrac{LN}{10,2}$
Par conséquent $LN=\dfrac{5\times 10,2}{8,5} =6$.

La fermeture éclair mesure donc $6$ m.
$\quad$

 

Énoncé

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