Exercice 1

Affirmation 1 vraie
Les diviseurs de $6$ sont $1$, $2$, $3$ et $6$.
La probabilité d’obtenir un diviseur de $6$ est donc $\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$.
$\quad$

Affirmation 2 vraie
$b=2\times 3^5\times 7^2=2\times 3\times 7\times 3^4\times 7=2\times 3\times 7\times a$
$\quad$

Affirmation 3 vraie 
$76~000\times \left(1+\dfrac{30}{100}\right)=76~000\times 1,3=98~800$

Affirmation 4 fausse
On appelle $p$ le prix d’un pull.
La personne B a acheté le pull en trois exemplaires. Elle a donc payé $3p$.
La personne A a acheté un pull et un pantalon de jogging. Elle a donc payé $p+54$.
La personne B a dépensé plus d’argent que la personne A.
On peut donc écrire $3p\pg p+54$ soit $2p \pg 54$ et donc $p \pg 27$.
Un pull coûte donc au moins $27$ €.
$\quad$

Exercice 2

1. La France a donc gagné, d’après ce tableau, $5$ fois contre le Portugal.
   $\quad$
2. Sur les $13$ rencontres, la France a gagné $5$ fois.
   Le pourcentage de victoire est donc de $\dfrac{5}{13} \approx 38\%$.
   $\quad$
3. Le nombre moyen de buts par match est :
   $\begin{align*} m&=\dfrac{3+2+2+3+5+5+2+3+4+1+3+1+1}{13} \\
   &=\dfrac{35}{13}\\
   &\approx 2,7\end{align*}$
   $\quad$

Exercice 3

1. Formule A : tous les magazines ont le même prix et il n’y a pas d’abonnement. Sa représentation graphique est $(D3)$.
   Formule B : Il y a un abonnement à l’année quelque soit le nombre de magazines lus. Sa représentation graphique est donc $(D2)$.
   Par conséquent, la représentation graphique de la Formule C est $(D1)$.
   $\quad$
2. $\quad$
   
   a. (traits bleus) En choisissant la formule A on dépense $60$ € si on achète $16$ magazines dans l’année.
   $\quad$
   b. (traits rouges) En choisissant la formule C on peut acheter au plus $32$ magazines avec $120$ €.
   $\quad$
   c. (droite orange) Le point d’intersection de la droite orange ne coupe que les droites $(D1)$ et $(D3)$. C’est le point d’intersection avec la droite $(D1)$ qui a la plus grande abscisse.
   Par conséquent, si on décide de ne pas dépasser un budget de $100$ € pour l’année il faut choisir la formule B.
   $\quad$
3. On appelle $x$ le nombre de magazines achetés sur une année.
   On recherche l’abscisse du point d’intersection des droites $(D1)$ et $(D3)$.
   Elle vérifie  alors $3,75x=30+2,25x$ soit $1,5x=30$ et donc $x=20$.
   $\quad$
   On recherche l’abscisse du point d’intersection des droites $(D1)$ et $(D2)$.
   Elle vérifie $30+2,25x=130$ soit $2,25x=100$ donc $x=\dfrac{100}{2,25} \approx 44,4$
   $\quad$
   par conséquent, dans l’année :
   – si on achète entre $0$ et $20$ magazines, la formule A est la plus avantageuse;
   – si on achète entre $20$ et $44$ magazines, la formule C est la plus avantageuse;
   – si on achète $45$ magazines ou plus, la formule B est la plus avantageuse.
   $\quad$

Exercice 4

1. Nous allons calculer la longueur $\ell$ du parcours de la fille.
   Ainsi :
   $\ell = FE+ \overset{\frown}{ED}+DC+ \overset{\frown}{BC}+AB$
   On doit donc calculer le périmètre d’un cercle de rayon $5$ m : $p=2\times \pi\times 5=10\pi$ m.
   Ainsi $\ell = 3\times 60+10\pi=180+10\pi \approx 211$ m.
   Par conséquent le parcours de la fille est plus long que celui du garçon.
   $\quad$
2. Vitesse du garçon : $v_g=\dfrac{200}{28}\approx 7,14$ m/s.
   Vitesse de la fille : $v_f=\dfrac{180+10\pi}{28,5}\approx 7,42$ m/s.
   La fille se déplace donc le plus vite.
   $\quad$

Exercice 5

1. On appelle $r$ le rayon du ballon du collégien français.
   Ainsi $4\times \pi \times r^2=1~950$
   Soit $\pi \times r^2 =487,5$
   Par conséquent $r^2=\dfrac{487,5}{\pi}$
   Et donc $r=\sqrt{\dfrac{487,5}{\pi}} \approx 12,46$.
   Le diamètre du ballon est donc $D_f=2r \approx 24,92 > 24,8$.
   Le ballon du collégien français ne respecte pas cette norme.
   $\quad$
2. Le diamètre du ballon du collégien anglais est $D_a=9,5\times 2,54=24,13$.
   Le ballon du collégien anglais respecte cette norme.
   $\quad$

 

Exercice 6

1. Deux séances par semaine pendant $10$ semaines revient à faire $20$ séances.
   Chacune coûte $15$ €.
   Par conséquent le coût de ces séances est $15\times 20=300$ €.
   $\quad$
2. La solution affichée par le programme correspond au nombre de semaines à partir duquel l’achat du vélo de piscine est rentabilisé.
   $\quad$
3. On appelle $x$ le nombre de semaines cherché.
   Le coût de $x$ semaines de séances au centre aquatique coûte donc $2\times x \times 15 = 30x$.
   On veut donc résoudre $30x\pg 999$ soit $x \pg 33,3$.
   $x$ est un entier naturel.
   Il faudrait donc $34$ semaines pour que l’achat du vélo de piscine soit rentabilisé.
   $\quad$

Exercice 7

1$\boldsymbol{^\text{ère}}$ partie

On a $DE=CF-CD-EF=4-2\times 1,5=1$ m

Dans le triangle $BCD$ rectangle en $C$ on applique le théorème de Pythagore.
$BD^2=BC^2+CD^2=2^2+1,5^2=6,25$
Donc $BD=\sqrt{6,25}=2,5$ m$

La longueur de la frise est :
$\begin{align*} L&=AH+HG+GE+DE+DB+BA \\
&=4+(10-2)+2,5+1+2,5+(10-2) \\
&=26
\end{align*}$
La frise mesure donc $26$ m.
$\quad$

2$\boldsymbol{^\text{ème}}$ partie

Dans les triangles $KLN$ et $KMO$ on a :
– le point $L$ appartient au segment $[KM]$;
– le point $N$ appartient au segment $[KO]$;
– les droites $(LN)$ et $(MO)$ sont parallèles puisque $LMON$ est un trapèze de bases $[LN]$ et $[MO]$

On peut donc appliquer le théorème de Thalès :
$\dfrac{KL}{KM}=\dfrac{KN}{KO}=\dfrac{LN}{MO}$
soit $\dfrac{5}{5+3,5}=\dfrac{LN}{10,2}$
Par conséquent $LN=\dfrac{5\times 10,2}{8,5} =6$.

La fermeture éclair mesure donc $6$ m.
$\quad$

 

Exercice 1     12 points

Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Justifier vos réponses.

Affirmation 1
On lance un dé équilibré à six faces numérotées de $1$ à $6$.
Un élève affirme qu’il a deux chances sur trois d’obtenir un diviseur de $6$.
A-t-il raison ?
$\quad$

Affirmation 2
On considère le nombre $a=3^4 \times 7$.
Un élève affirme que le nombre $b= 2 \times 3^5 \times 7^2$ est un multiple du nombre $a$.
A-t-il raison ?
$\quad$

Affirmation 3
En 2016, le football féminin comptait en France $98~800$ licenciées alors qu’il y en avait $76~000$ en 2014.
Un journaliste affirme que le nombre de licenciées a augmenté de $30 \%$ de 2014 à 2016.
A-t-il raison ?
$\quad$

Affirmation 4
Une personne A a acheté un pull et un pantalon de jogging dans un magasin.
Le pantalon de jogging coûtait $54$ €. Dans ce magasin, une personne B a acheté le même pull en trois exemplaires ; elle a dépensé plus d’argent que la personne A.
La personne B affirme qu’un pull coûte $25$ €.
A-t-elle raison ?
$\quad$

Exercice 2     14 points

Un amateur de football, après l’Euro 2016, décide de s’intéresser à l’historique des treize dernières rencontres entre la France et le Portugal, regroupées dans le tableau ci-dessous.
On rappelle la signification des résultats ci-dessous en commentant deux exemples :

• la rencontre du 3 mars 1973, qui s’est déroulée en France, a vu la victoire du Portugal par 2 buts à 1 ;
• la rencontre du 8 mars 1978, qui s’est déroulée en France, a vu la victoire de la France par 2 buts à 0.

$$\text{Rencontres de football opposant la France et le Portugal depuis 1973}\\
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{3 mars 1973}&\text{France – Portugal}& 1-2\\
\hline
\text{26 avril 1975}&\text{France – Portugal}&0-2\\
\hline
\text{8 mars 1978}&\text{France – Portugal}&2-0\\
\hline
\text{16 février 1983}&\text{Portugal – France}&0-3\\
\hline
\text{23 juin 1984}&\text{France – Portugal}&3-2\\
\hline
\text{24 janvier 1996}&\text{France – Portugal}&3-2\\
\hline
\text{22 janvier 1997}&\text{Portugal – France}&0-2\\
\hline
\text{28 juin 2000}&\text{Portugal – France}&1-2\\
\hline
\text{25 avril 2001}&\text{France – Portugal}&4-0\\
\hline
\text{5 juillet 2006}&\text{Portugal – France}&0-1\\
\hline
\text{11 octobre 2014}&\text{France – Portugal}&2-1\\
\hline
\text{4 septembre 2015}&\text{Portugal – France}&0-1\\
\hline
\text{10 juillet 2016}&\text{France – Portugal}&0-1\\
\hline
\end{array}$$

1. Depuis 1973, combien de fois la France a-t-elle gagné contre le Portugal ?
   $\quad$
2. Calculer le pourcentage du nombre de victoires de la France contre le Portugal depuis 1973. Arrondir le résultat à l’unité de $\%$.
   $\quad$
3. Le 3 mars 1973, 3 buts ont été marqués au cours du match. Calculer le nombre moyen de buts par match sur l’ensemble des rencontres. Arrondir le résultat au dixième.
   $\quad$

Exercice 3     16 points

Une personne s’intéresse à un magazine sportif qui parait une fois par semaine. Elle étudie plusieurs formules d’achat de ces magazines qui sont détaillées ci-après.

• Formule A – Prix du magazine à l’unité : $3,75$ € ;
• Formule B – Abonnement pour l’année : $130$ € ;
• Formule C – Forfait de $30$ € pour l’année et $2,25$ € par magazine.

On donne ci-dessous les représentations graphiques qui correspondent à ces trois formules.

1. Sur votre copie, recopier le contenu du cadre ci-dessous et relier par un trait chaque formule d’achat avec sa représentation graphique.
   $$\begin{array}{|llcrl|}
   \hline
   \text{Formule A}&\times&\hspace{4cm}&\times&\left(\text{D}_1\right)\\
   \text{Formule B}&\times&\hspace{4cm}&\times&\left(\text{D}_2\right)\\
   \text{Formule C}&\times&\hspace{4cm}&\times&\left(\text{D}_3\right)\\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$
2. En utilisant le graphique, répondre aux questions suivantes.
   Les traits de construction devront apparaître sur le graphique en ANNEXE qui est à rendre avec la copie.
   a. En choisissant la formule A, quelle somme dépense-t-on pour acheter $16$ magazines dans l’année ?
   $\quad$
   b. Avec $120$ €, combien peut-on acheter de magazines au maximum dans une année avec la formule C ?
   $\quad$
   c. Si on décide de ne pas dépasser un budget de $100$ € pour l’année, quelle est alors la formule qui permet d’acheter le plus grand nombre de magazines ?
   $\quad$
3. Indiquer la formule la plus avantageuse selon le nombre de magazines achetés dans l’année.
   $\quad$

Annexe 

$\quad$

Exercice 4     14 points

Un garçon et une fille pratiquent le roller. Ils décident de faire une course en empruntant deux parcours différents. La fille, qui part du point F et arrive au point A, met $28,5$ secondes. Le garçon, qui part du point G et arrive aussi au point A, met $28$ secondes.

Le dessin ci-après, qui n’est pas à l’échelle, représente les deux parcours ; celui de la fille comporte deux demi-cercles de $5$ m de rayon.

1. Quel est le parcours le plus long ?
   $\quad$
2. Qui se déplace le plus vite, le garçon ou la fille ?
   $\quad$

Exercice 5     14 points

Un collégien français et son correspondant anglais ont de nombreux centres d’intérêt communs comme le basket qu’ils pratiquent tous
les deux.
Le tableau ci-dessous donne quelques informations sur leurs ballons.

$$\begin{array}{|l|l|}
\hline
\hspace{1.cm}\textbf{Ballon du collégien français}&\hspace{0.2cm} \textbf{Ballon du correspondant anglais}\\
\hline
\hspace{2.5cm}A\approx 1~950~\text{cm}^2&\hspace{2.5cm}D\approx 9,5~\text{inch}\\
\hline
A\text{ désigne l’aire de la surface du ballon et}&D \text{ désigne le diamètre du ballon.}\\
r \text{son rayon. On a } A=4\times \pi\times r^2.&\text{L’inch est une unité de longueur anglo-}\\
&\text{saxonne. On a $1$ inch }=2,54~\text{cm}.\\
\hline
\end{array}$$

Pour qu’un ballon soit utilisé dans un match officiel, son diamètre doit être compris entre $23,8$ cm et $24,8$ cm.

1. Le ballon du collégien français respecte-t-il cette norme ?
   $\quad$
2. Le ballon du collégien anglais respecte-t-il cette norme ?
   $\quad$

Exercice 6     12 points

Une personne pratique le vélo de piscine depuis plusieurs années dans un centre aquatique à raison de deux séances par semaine. Possédant une piscine depuis peu, elle envisage d’acheter un vélo de piscine pour pouvoir l’utiliser exclusivement chez elle et ainsi ne plus se rendre au centre aquatique.

• Prix de la séance au centre aquatique : $15$ €.
• Prix d’achat d’un vélo de piscine pour une pratique à la maison : $999$ €.

1. Montrer que $10$ semaines de séances au centre aquatique lui coûtent $300$ €.
   $\quad$
2. Que représente la solution affichée par le programme ci-après ?
   $\quad$
3. Combien de semaines faudrait-il pour que l’achat du vélo de piscine soit rentabilisé ?
   $\quad$

Exercice 7     18 points

$\boldsymbol{1^{\text{ière}}}$ partie

Une personne possède une piscine. Elle veut coller une frise en carrelage au niveau de la ligne d’eau.

La piscine vue de haut, est représentée à l’échelle par la partie grisée du schéma ci-après.

Données :

• le quadrilatère $ACFH$ est un rectangle ;
• le point $B$ est sur le côté $[AC]$ et le point $G$ est sur le côté $[FH]$ ;
• les points $D$ et $E$ sont sur le côté $[CF]$ ;
• $AC = 10$ m ; $AH = 4$ m ; $BC = FG = 2$ m ; $CD = EF = 1,5$ m.

Question : Calculer la longueur de la frise.
$\quad$

$\boldsymbol{2\ieme}$ partie

La personne décide d’installer, au-dessus de la piscine, une grande voile d’ombrage qui se compose de deux parties détachables reliées par une fermeture éclair comme le montre le schéma ci-dessous qui n’est pas à l’échelle.

Données :

• la première partie couvrant une partie de la piscine est représentée par le triangle $KLN$ ;
• la deuxième partie est représentée par le trapèze $LMON$ de bases $[LN]$ et $[MO]$ ;
• la fermeture éclair est représentée par le segment $[LN]$ ;
• les poteaux, soutenant la voile d’ombrage positionnés sur les points $K$, $L$ et $M$, sont alignés ;
• les poteaux, soutenant la voile d’ombrage positionnés sur les points $K$, $N$ et $O$, sont alignés ;
• $KL = 5$ m ; $LM = 3,5$ m ; $NO = 5,25$ m ; $MO = 10,2$ m.

Question : Calculer la longueur de la fermeture éclair.
$\quad$