2nd – Exercice – Equations

Équations

2nd – Exercices Corrigés

Exercice 1

Résoudre les équations suivantes :

  1. $4x-3=2x+9$
    $\quad$
  2. $6x-9=3x+4$
    $\quad$
  3. $8-(3x+2)=5x-5$
    $\quad$
  4. $7+2(3-x)=4x-1$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $4x-3=2x+9$
    $\ssi 4x-2x-3=9$ : On ajoute $-2x$ aux deux membres
    $\ssi 2x=9+3$ : On ajoute $3$ aux deux membres
    $\ssi 2x=12$
    $\ssi x=6$ : On divise les deux membres par $2$
    La solution de l’équation est $6$.
    $\quad$
  2. $6x-9=3x+4$
    $\ssi 6x-3x-9=4$ : On ajoute $-3x$ aux deux membres
    $\ssi 3x=4+9$ : On ajoute $9$ aux deux membres
    $\ssi 3x=13$
    $\ssi x=\dfrac{13}{3}$ : On divise les deux membres par $3$
    La solution de l’équation est $\dfrac{13}{3}$.
    $\quad$
  3. $8-(3x+2)=5x-5$
    $\ssi 8-3x-2=5x-5$
    $\ssi 6-3x=5x-5$
    $\ssi 6=5x+3x-5$ : On ajoute $3x$ aux deux membres
    $\ssi 6+5=8x$ : On ajoute $5$ aux deux membres
    $\ssi 11=8x$
    $\ssi x=\dfrac{11}{8}$ : On divise les deux membres par $8$
    La solution de l’équation est $\dfrac{11}{8}$.
    $\quad$
  4. $7+2(3-x)=4x-1$
    $\ssi 7+6-2x=4x-1$
    $\ssi 13-2x=4x-1$
    $\ssi 13=4x+2x-1$ : On ajoute $2x$ aux deux membres
    $\ssi 13+1=6x$ : On ajoute $1$ aux deux membres
    $\ssi 14=6x$
    $\ssi x=\dfrac{14}{6}$ : On divise les deux membres par $6$
    $\ssi x=\dfrac{7}{3}$
    La solution de l’équation est $\dfrac{7}{3}$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Résoudre les équations suivantes :

  1. $4x-5(3-2x)=4-(2x-7)$
    $\quad$
  2. $9x-3(4-3x)=2-\left[35-3(4-2x)\right]$
    $\quad$
  3. $5x-3\left[7-4(3-2x)\right]=5(3-x)-4$
    $\quad$
  4. $3x-5(3-2x)=6x-15$
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. $4x-5(3-2x)=4-(2x-7)$
    $\ssi 4x-15+10x=4-2x+7$
    $\ssi 14x-15=11-2x$
    $\ssi 14x+2x=11+15$
    $\ssi 16x=26$
    $\ssi x=\dfrac{26}{16}$
    $\ssi x=\dfrac{13}{8}$
    La solution de l’équation est $\dfrac{13}{8}$.
    $\quad$
  2. $9x-3(4-3x)=2-\left[35-3(4-2x)\right]$
    $\ssi 9x-12+9x=2-35+3(4-2x)$
    $\ssi 18x-12=-33+12-6x$
    $\ssi 18x+6x=-33+12+12$
    $\ssi 24x=-9$
    $\ssi x=-\dfrac{9}{24}$
    $\ssi x=-\dfrac{3}{8}$
    La solution de l’équation est $-\dfrac{3}{8}$.
    $\quad$
  3. $5x-3\left[7-4(3-2x)\right]=5(3-x)-4$
    $\ssi 5x-21+12(3-2x)=15-5x-4$
    $\ssi 5x-21+36-24x=11-5x$
    $\ssi 15-19x=11-5x$
    $\ssi 15-11=-5x+19x$
    $\ssi 4=14x$
    $\ssi x=\dfrac{4}{14}$
    $\ssi x=\dfrac{2}{7}$
    La solution de l’équation est $\dfrac{2}{7}$.
    $\quad$
  4. $3x-5(3-2x)=6x-15$
    $\ssi 3x-15+10x=6x-15$
    $\ssi 13x-15=6x-15$
    $\ssi 13x-6x=-15+15$
    $\ssi 7x=0$
    $\ssi x=0$
    La solution de l’équation est $0$.
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Résoudre les équations suivantes :

  1. $\dfrac{3x}{2}=\dfrac{1}{5}$
    $\quad$
  2. $0=-3-2x$
    $\quad$
  3. $\dfrac{x-4}{3}=\dfrac{x+3}{4}$
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. $\dfrac{3x}{2}=\dfrac{1}{5}$
    $\ssi 3x=\dfrac{2}{5}$ : On multiplie les deux membres par $2$
    $\ssi x=\dfrac{2}{15}$ : On divise les deux membres par $3$
    La solution de l’équation est $\dfrac{2}{15}$.
    $\quad$
  2. $0=-3-2x$
    $\ssi 2x=-3$
    $\ssi x=-\dfrac{3}{2}$
    La solution de l’équation est $-\dfrac{3}{2}$.
    $\quad$
  3. $\dfrac{x-4}{3}=\dfrac{x+3}{4}$
    $\ssi 4(x-4)=3(x+3)$ : On multiplie les deux membres par $3\times 4$
    $\ssi 4x-16=3x+9$
    $\ssi 4x-3x=9+16$
    $\ssi x=25$
    La solution de l’équation est $25$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Résoudre les équations suivantes :

  1. $(7x-1)(-2x-5)=0$
    $\quad$
  2. $(4x+3)(-5x+1)=0$
    $\quad$
  3. $(-5x+2)(3x-7)=0$
    $\quad$
  4. $(4x-1)(-7x+2)=0$
    $\quad$
  5. $(4x-1)(x+5)-(4x-1)(2x+3)=0$
    $\quad$
  6. $(5x+2)(-2x+3)+4(-2x+3)-7x(-2x+3)=0$
    $\quad$
Correction Exercice 4

Il s’agit de $6$ équations de produit nul.

  1. $(7x-1)(-2x-5)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $\phantom{\ssi }7x-1=0$ ou $-2x-5=0$
    $\ssi 7x=1$ ou $-2x=5$
    $\ssi x=\dfrac{1}{7}$ ou $x=-\dfrac{5}{2}$
    Les solutions de l’équation sont $\dfrac{1}{7}$ et $-\dfrac{5}{2}$.
    $\quad$
  2. $(4x+3)(-5x+1)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $\phantom{\ssi } 4x+3=0$ ou $-5x+1=0$
    $\ssi 4x=-3$ ou $-5x=-1$
    $\ssi x=-\dfrac{3}{4}$ ou $x=\dfrac{1}{5}$
    Les solutions de l’équation sont $-\dfrac{3}{4}$ et $\dfrac{1}{5}$.
    $\quad$
  3. $(-5x+2)(3x-7)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $\phantom{\ssi }-5x+2=0$ ou $3x-7=0$
    $\ssi -5x=-2$ ou $3x=7$
    $\ssi x=\dfrac{2}{5}$ ou $x=\dfrac{7}{3}$
    Les solutions de l’équation sont $\dfrac{2}{5}$ ou $\dfrac{7}{3}$.
    $\quad$
  4. $(4x-1)(-7x+2)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $\phantom{\ssi } 4x-1=0$ ou $-7x+2=0$
    $\ssi 4x=1$ ou $-7x=-2$
    $\ssi x=\dfrac{1}{4}$ ou $x=\dfrac{2}{7}$
    Les solutions de l’équation sont $\dfrac{1}{4}$ et $\dfrac{2}{7}$
    $\quad$
  5. $(4x-1)(x+5)-(4x-1)(2x+3)=0$
    $\ssi (4x-1)\left[(x+5)-(2x+3)\right]=0$
    $\ssi (4x-1)(x+5-2x-3)=0$
    $\ssi (4x-1)(-x+2)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $\phantom{\ssi } 4x-1=0$ ou $-x+2=0$
    $\ssi 4x=1$ ou $-x=-2$
    $\ssi x=\dfrac{1}{4}$ ou $x=2$
    Les solutions de l’équation sont $\dfrac{1}{4}$ ou $2$.
    $\quad$
  6. $(5x+2)(-2x+3)+4(-2x+3)-7x(-2x+3)=0$
    $\ssi (-2x+3)\left[(5x+2)+4-7x\right]=0$
    $\ssi (-2x+3)(5x+2+4-7x)=0$
    $\ssi (-2x+3)(-2x+6)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $\phantom{\ssi } -2x+3=0$ ou $-2x+6=0$
    $\ssi -2x=-3$ ou $-2x=-6$
    $\ssi x=\dfrac{3}{2}$ ou $x=3$
    Les solutions de l’équations sont $\dfrac{3}{2}$ et $3$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Résoudre les équations suivantes :

  1. $(2x-3)^2-(4x+2)^2=0$
    $\quad$
  2. $(5x+7)^2-(-2x+5)^2=0$
    $\quad$
  3. $(7x-5)^2=(-2x+3)^2$
    $\quad$
  4. $(-4x-3)^2=(-5x+6)^2$
    $\quad$
Correction Exercice 5

Pour chacune de ces équations on va utiliser l’identité remarquable $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ pour obtenir ensuite une équation de produit nul.

  1. $(2x-3)^2-(4x+2)^2=0$
    Ici $a=2x-3$ et $b=4x+2$
    $(2x-3)^2-(4x+2)^2=0$
    $\ssi \left[(2x-3)-(4x+2)\right]\left[(2x-3)+(4x+2)\right]=0$
    $\ssi (2x-3-4x-2)(2x-3+4x+2)=0$
    $\ssi (-2x-5)(6x-1)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $\phantom{\ssi } -2x-5=0$ ou $6x-1=0$
    $\ssi -2x=5$ ou $6x=1$
    $\ssi x=-\dfrac{5}{2}$ ou $x=\dfrac{1}{6}$
    Les solutions de l’équation sont $-\dfrac{5}{2}$ et $\dfrac{1}{6}$.
    $\quad$
  2. $(5x+7)^2-(-2x+5)^2=0$
    Ici $a=5x+7$ et $b=-2x+5$
    $(5x+7)^2-(-2x+5)^2=0$
    $\ssi \left[(5x+7)-(-2x+5)\right]\left[(5x+7)+(-2x+5)\right]=0$
    $\ssi (5x+7+2x-5)(5x+7-2x+5)=0$
    $\ssi (7x+2)(3x+12)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $\phantom{\ssi } 7x+2=0$ ou $3x+12=0$
    $\ssi 7x=-2$ ou $3x=-12$
    $\ssi x=-\dfrac{2}{7}$ ou $x=-4$
    Les solutions de l’équation sont $-\dfrac{2}{7}$ et $-4$.
    $\quad$
  3. $(7x-5)^2=(-2x+3)^2$
    $\ssi (7x-5)^2-(-2x+3)^2=0$
    Ici $a=7x-5$ et $b=-2x+3$
    $(7x-5)^2-(-2x+3)^2=0$
    $\ssi \left[(7x-5)-(-2x+3)\right]\left[(7x-5)+(-2x+3)\right]=0$
    $\ssi (7x-5+2x-3)(7x-5-2x+3)=0$
    $\ssi (9x-8)(5x-2)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $\phantom{\ssi } 9x-8=0$ ou $5x-2=0$
    $\ssi 9x=8$ ou $5x=2$
    $\ssi x=\dfrac{8}{9}$ ou $x=\dfrac{2}{5}$
    Les solutions de l’équation sont $\dfrac{8}{9}$ et $\dfrac{2}{5}$.
    $\quad$
  4. $(-4x-3)^2=(-5x+6)^2$
    $\ssi (-4x-3)^2-(-5x+6)^2=0$
    Ici $a=-4x-3$ et $b=-5x+6$
    $(-4x-3)^2-(-5x+6)^2=0$
    $\ssi \left[(-4x-3)-(-5x+6)\right]\left[(-4x-3)+(-5x+6)\right]=0$
    $\ssi (-4x-3+5x-6)(-4x-3-5x+6)=0$
    $\ssi (x-9)(-9x+3)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $\phantom{\ssi } x-9=0$ ou $-9x+3=0$
    $\ssi x=9$ ou $-9x=-3$
    $\ssi x=9$ ou $x=\dfrac{1}{3}$
    Les solutions de l’équation sont $9$ et $\dfrac{1}{3}$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 6

Résoudre les équations suivantes, en précisant au préalable l’ensemble d’étude.

  1. $\dfrac{4}{3}x-\dfrac{5}{4} = x + \dfrac{1}{12}$
    $\quad$
  2. $\dfrac{4x-1}{x-4} = 0$
    $\quad$
  3. $x-3 + 2(x^2-9) + (x-3)(2x + 6) = 0$
    $\quad$
  4. $x-2-\dfrac{1-5x}{6} = 2x-\dfrac{3}{4}(x-1)$
    $\quad$
  5. $\dfrac{x+1}{3}-\dfrac{x-4}{5} = \dfrac{8x-7}{15}$
    $\quad$
  6. $\dfrac{x^2-5}{x-5} = 1$
    $\quad$
  7. $(x^2 + 1)(x + 2)(x- 3) = 0$
    $\quad$
  8. $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x + 1} = 0$
    $\quad$
  9. $(x + 1)(x + 3) = 4x^2-4$
    $\quad$
  10. $(x + 1)^2 = 16$
    $\quad$
  11. $\dfrac{2x + 1}{2x-1} = \dfrac{2x + 5}{2x + 3}$
    $\quad$
  12. $\dfrac{1}{x + 1} = 0$
    $\quad$
  13. $(x-3)^2-(2x + 1)^2 = 0$
    $\quad$
  14. $\dfrac{3}{x-1}- 4 = \dfrac{4x}{2-x}$
    $\quad$
  15. $x^2-6 = 0$
    $\quad$
  16. $\dfrac{2}{x + 1}-\dfrac{1}{x-1} = \dfrac{-2}{x^2- 1}$
    $\quad$
  17. $(x + 1)^3 = (2x-5)^2(x+ 1)$
    $\quad$
  18. $x^2 =-5x$
    $\quad$
  19. $\dfrac{x + 8}{4x + 1} = \dfrac{1}{4}$
    $\quad$
  20. $x^2-2x + 1 = (x-3)^2$

$\quad$

Correction Exercice 6

  1. On peut résoudre cette équation sur $\R$.
    $\begin{align} \dfrac{4}{3}x-\dfrac{5}{4} = x + \dfrac{1}{12} & \Leftrightarrow \dfrac{4}{3}x-x = \dfrac{1}{12} + \dfrac{5}{4} \\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{1}{3} x = \dfrac{16}{12} \\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{1}{3} x = \dfrac{4}{3} \\\\
    & \Leftrightarrow x = 4
    \end{align}$
    La solution de l’équation est $4$.
    $\quad$
    $\quad$
  2. Il ne faut pas que $x-4 = 0$. Par conséquent l’intervalle d’étude est $\R\setminus \{4\} = ]-\infty;4[\cup]4;+\infty[$.
    Pour $x \ne 4$
    $\dfrac{4x-1}{x-4} = 0$ $ \Leftrightarrow 4x-1 = 0$ $ \Leftrightarrow 4x = 1$ $ \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{4}$
    La solution de l’équation est $\dfrac{1}{4}$.
    $\quad$
    $\quad$
  3. On peut résoudre cette équation sur $\R$.
    $\begin{align} x-3 + 2(x^2-9) + (x-3)(2x + 6) = 0 & \Leftrightarrow x-3 + 2(x-3)(x + 3) + (x-3)(2x + 6) = 0 \\\\
    & \Leftrightarrow (x-3) \left[1 + 2(x + 3) + (2x + 6)\right] = 0 \\\\
    & \Leftrightarrow (x-3) (1 + 2x + 6 + 2x + 6) \\\\
    & \Leftrightarrow (x-3)(4x + 13)
    \end{align}$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs est nul.
    $x-3 = 0 \qquad$ ou $\qquad 4x + 13 = 0$
    $x = 3 \qquad$ ou $\qquad x =-\dfrac{13}{4}$
    Les solutions de l’équation sont $3$ et $-\dfrac{13}{4}$.
    $\quad$
    $\quad$
  4. On peut résoudre cette équation sur $\R$.
    Pour ne pas être embêté par les dénominateurs, on multiplie par $12$ (multiple commun à $6$ et $4$ ) les deux membres.
    $\begin{align} x-2-\dfrac{1-5x}{6} = 2x-\dfrac{3}{4}(x-1) & \Leftrightarrow 12x-24-2(1-5x) = 24x-3 \times 3(x-1) \\\\
    & \Leftrightarrow 12x-24-2 + 10x = 24x-9x + 9 \\\\
    & \Leftrightarrow 22x-26 = 15x + 9 \\\\
    & \Leftrightarrow 22x-15x = 9 + 26 \\\\
    & \Leftrightarrow 7x = 35 \\\\
    & \Leftrightarrow x = \dfrac{35}{7} \\\\
    & \Leftrightarrow x = 5
    \end{align}$
    La solution de l’équation est $5$.
    $\quad$
    $\quad$
  5. On peut résoudre cette équation sur $\R$.
    Pour simplifier un peu les calculs, on va multiplier les deux membres de l’équation par $15$.
    $\begin{align} \dfrac{x + 1}{3}-\dfrac{x-4}{5} = \dfrac{8x-7}{15} &\Leftrightarrow 5(x + 1)-3(x-4) = 8x-7 \\\\
    & \Leftrightarrow 5x + 5-3x + 12 = 8x-7 \\\\
    & \Leftrightarrow 2x + 17 = 8x-7 \\\\
    & \Leftrightarrow 17 + 7 = 8x-2x \\\\
    & \Leftrightarrow 24 = 6x \\\\
    & \Leftrightarrow x = \dfrac{24}{6} \\\\
    & \Leftrightarrow x = 4
    \end{align}$
    La solution de l’équation est $4$.
    $\quad$
    $\quad$
  6. Il ne faut pas que $x-5 = 0$. L’ensemble d’étude est donc $\R\setminus\{5\} = ]-\infty;5[\cup]5;+\infty[$.
    Pour $x \ne 5$
    $\begin{align} \dfrac{x^2-5}{x-5} = 1 & \Leftrightarrow \dfrac{x^2-5}{x-5}-1 = 0 \\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{x^2-5-(x-5)}{x-5} = 0 \\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{x^2-x}{x-5 } = 0 \\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{x(x-1)}{x-5} = 0 \\\\
    & \Leftrightarrow x(x-1) = 0
    \end{align}$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $x = 0 \qquad$ ou $\qquad x-1 = 0$
    $x = 0 \qquad$ ou $\qquad x = 1$
    Les solutions de l’équation sont $0$ et $1$.
    $\quad$
    $\quad$
  7. On peut résoudre cette équation sur $\R$.
    $(x^2 + 1)(x + 2)(x-3) = 0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $x^2 + 1 =0$ $\qquad$ ou $x + 2 = 0 \qquad$ ou $x-3 = 0$
    $x^2=-1$ $\qquad$ ou $x =-2 \qquad$ ou $\qquad x = 3$
    $x^2=-1$ n’a pas de solution car un carré est toujours positif.
    Les solutions de l’équation sont donc $-2$ et $3$.
    $\quad$
    $\quad$
  8. Il ne faut pas que $x=0$ et $x+1=0$. L’ensemble d’étude est donc $\R \setminus \{-1;0\} = ]-\infty;-1[\cup]-1;0[\cup]0;+\infty[$.
    Si $x \ne 0$ et $x \ne-1$
    $\begin{align} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x + 1} = 0 & \Leftrightarrow \dfrac{x+1}{x(x + 1)} + \dfrac{x}{x(x + 1)} = 0 \\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{2x + 1}{x(x + 1)} = 0 \\\\
    & \Leftrightarrow 2x + 1 = 0 \\\\
    & \Leftrightarrow x =-\dfrac{1}{2}
    \end{align}$
    La solution de l’équation est $- \dfrac{1}{2}$
    $\quad$
    $\quad$
  9. On peut résoudre cette équation sur $\R$.
    $\begin{align} (x + 1)(x + 3) = 4x^2-4 & \Leftrightarrow (x + 1)(x + 3) = 4(x^2-1) \\\\
    & \Leftrightarrow (x + 1)(x + 3) = 4(x + 1)(x-1) \\\\
    & \Leftrightarrow (x + 1)(x + 3)-4(x + 1)(x-1) = 0 \\\\
    & \Leftrightarrow (x + 1)\left[(x + 3)-4(x-1)\right] = 0 \\\\
    & \Leftrightarrow (x + 1)(x + 3-4x + 4) = 0\\\\
    & \Leftrightarrow (x + 1)(-3x + 7) = 0
    \end{align}$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $x + 1 = 0 \qquad$ ou $\qquad-3x + 7 = 0$
    $x =-1 \qquad$ ou $\qquad-3x =-7$
    $x =-1 \qquad$ ou $\qquad x = \dfrac{7}{3}$
    Les solutions de l’équation sont $-1$ et $\dfrac{7}{3}$
    $\quad$
    $\quad$
  10. On peut résoudre cette équation sur $\R$.
    $\begin{align} (x + 1)^2 = 16 &\Leftrightarrow (x + 1)^2-16 = 0 \\\\
    & \Leftrightarrow (x + 1)^2-4^2 = 0 \\\\
    & \Leftrightarrow \left[(x + 1)-4\right] \left[(x + 1) + 4\right] = 0 \\\\
    & \Leftrightarrow (x-3)(x + 5) = 0
    \end{align}$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $x-3 = 0 \qquad$ ou $\qquad x + 5 = 0$
    $x = 3 \qquad$ ou $\qquad x =-5$
    Les solutions de l’équation sont $-5$ et $3$.
    Remarque : on pouvait aussi dire dès le départ : $x+1 = 4$ ou $x + 1 =-4$ en utilisant la propriété sur les égalités des carrés.
    $\quad$
    $\quad$
  11. Il ne faut pas que $2x-1 =0$ et que $2x + 3 = 0$. L’ensemble d’étude est donc $\R \setminus \left\{ \dfrac{1}{2};-\dfrac{3}{2} \right\} = \left]-\infty;-\dfrac{3}{2}\right[\cup\left]-\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}\right[\cup\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$.
    Si $x \ne-\dfrac{3}{2}$ et $x \ne \dfrac{1}{2}$
    $\begin{align} \dfrac{2x + 1}{2x-1} = \dfrac{2x + 5}{2x + 3} & \Leftrightarrow (2x + 1)(2x + 3) = (2x-1)(2x + 5) \\\\
    & \Leftrightarrow 4x^2 + 6x + 2x + 3 = 4x^2 + 10x-2x-5 \\\\
    & \Leftrightarrow 8x + 3 = 8x-5 \\\\
    & \Leftrightarrow 3 =-5
    \end{align}$
    Cette équation ne possède pas de solution.
    $\quad$
    $\quad$
  12. Il ne faut pas que $x + 1 = 0$. L’ensemble d’étude est donc $\R \setminus \{-1\} = ]-\infty;-1[\cup]-1;+\infty[$.
    $\dfrac{1}{x + 1} = 0 \Leftrightarrow 1 = 0$
    Cette équation ne possède pas de solution.
    $\quad$
    $\quad$
  13. On peut résoudre cette équation sur $\R$
    $\begin{align} (x-3)^2-(2x + 1)^2 = 0 &\Leftrightarrow \left[(x-3)-(2x + 1)\right]\left[(x-3) + (2x + 1)\right] = 0 \\\\
    & \Leftrightarrow (x-3-2x-1)(x-3 + 2x + 1) = 0 \\\\
    & \Leftrightarrow (-x-4)(3x-2) = 0
    \end{align}$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $-x-4 = 0 \qquad$ ou $\qquad 3x-2 = 0$
    $x =-4 \qquad$ ou $\qquad 3x = 2$
    $x =-4 \qquad$ ou $\qquad x = \dfrac{2}{3}$
    Les solutions de l’équation sont $-4$ et $\dfrac{2}{3}$
    $\quad$
    $\quad$
  14. Il ne faut pas que $x-1 =0$ et $2-x = 0$. L’ensemble d’étude est donc $\R \setminus \{1;2\} = ]-\infty;1[\cup]1;2[\cup]2;+\infty[$.
    Si $x \ne 1$ et $x \ne 2$
    $\begin{align} \dfrac{3}{x-1}-4 = \dfrac{4x}{2-x} & \Leftrightarrow \dfrac{3}{x-1}-\dfrac{4(x-1)}{x-1}-\dfrac{4x}{2-x} = 0\\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{3-4x + 4}{x-1}-\dfrac{4x}{2-x} = 0 \\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{7-4x}{x-1}-\dfrac{4x}{2-x} = 0 \\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{(7-4x)(2-x)-4x(x-1)}{(x-1)(2-x)} = 0 \\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{14-7x-8x + 4x^2-4x^2 + 4x}{(x-1)(2-x)} = 0 \\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{-11x +14}{(x-1)(2-x)}= 0 \\\\
    & \Leftrightarrow-11x + 14 = 0 \\\\
    & \Leftrightarrow x = \dfrac{14}{11}
    \end{align}$
    $\quad$
    La solution de l’équation est $\dfrac{14}{11}$
    $\quad$
    $\quad$
  15. On peut résoudre cette équation sur $\R$
    $\begin{align} x^2-6 = 0 & \Leftrightarrow x^2-\sqrt{6}^2 = 0 \\\\
    & \Leftrightarrow \left(x-\sqrt{6} \right)\left(x + \sqrt{6}\right) = 0
    \end{align}$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs est nul.
    $x-\sqrt{6} = 0 \qquad$ ou $\qquad x + \sqrt{6} = 0$
    $x = \sqrt{6} \qquad$ ou $\qquad x =-\sqrt{6}$
    Les solutions de l’équation sont $-\sqrt{6}$ et $\sqrt{6}$.
    $\quad$
    $\quad$
  16. Il ne faut pas que $x + 1 =0$ et $x-1 = 0$ et $x^2-1 = 0$.
    Or $x^2-1 = (x + 1)(x-1)$.
    L’ensemble d’étude est donc $\R \setminus \{-1;1\} = ]-\infty;-1[\cup]-1;1[\cup]1;+\infty[$.
    Pour $x \ne-1$ et $x \ne 1$
    $\begin{align} \dfrac{2}{x + 1}-\dfrac{1}{x-1} = \dfrac{-2}{x^2-1} & \Leftrightarrow \dfrac{2(x-1)}{(x + 1)(x-1)}-\dfrac{x + 1}{(x-1)(x + 1)} = \dfrac{-2}{x^2-1} \\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{2x-2-(x + 1)}{x^2-1}-\dfrac{-2}{x^2-1} = 0 \\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{2x-2-x-1 + 2}{x^2-1} = 0 \\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{x-1}{x^2-1} = 0 \\\\
    & \Leftrightarrow x-1 = 0 \\\\
    \end{align}$
    Notre ensemble d’étude nous impose que $x-1 \ne 0$. L’équation ne possède donc pas de solution.
    $\quad$
    $\quad$
  17. On peut résoudre cette équation sur $\R$.
    $\begin{align} (x + 1)^3 = (2x-5)^2(x+ 1) & \Leftrightarrow (x + 1)^3-(2x-5)^2 (x + 1) = 0 \\\\
    & \Leftrightarrow (x + 1) \left[(x + 1)^2-(2x-5)^2\right] = 0 \\\\
    & \Leftrightarrow (x + 1) \left[(x + 1)-(2x-5) \right]\left[(x + 1) + (2x-5) \right] = 0 \\\\
    & \Leftrightarrow (x + 1)(x + 1-2x + 5)(x + 1 + 2x-5) = 0 \\\\
    & \Leftrightarrow (x + 1)(-x + 6)(3x-4) = 0
    \end{align}$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs est nul.
    $x + 1 = 0 \qquad$ ou $\qquad-x + 6 = 0 \qquad$ ou $\qquad 3x-4 = 0$
    $x =-1 \qquad$ ou $\qquad x = 6 \qquad$ ou $\qquad x = \dfrac{4}{3}$
    Les solutions de l’équation sont donc $-1$, $\dfrac{4}{3}$ et $6$.
    $\quad$
    $\quad$
  18. On peut résoudre cette équation sur $\R$.
    $x^2 =-5x \Leftrightarrow x^2 + 5x = 0 \Leftrightarrow x(x + 5) = 0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs est nul.
    $x = 0 \qquad$ ou $\qquad x + 5 = 0$
    $x = 0 \qquad$ ou $\qquad x =-5$
    Les solutions de l’équation sont $-5$ et $0$.
    $\quad$
    $\quad$
  19. Il ne faut pas que $4x + 1 = 0$. L’ensemble d’étude est donc $\R \setminus \left\{-\dfrac{1}{4} \right\} = \left]-\infty;-\dfrac{1}{4}\right[\cup\left]-\dfrac{1}{4};+\infty\right[$
    Si $x \ne-\dfrac{1}{4}$
    $ \begin{align} \dfrac{x + 8}{4x + 1} = \dfrac{1}{4} & \Leftrightarrow 4(x + 8) = 4x + 1 \\\\
    & \Leftrightarrow 4x + 32 = 4x + 1 \\\\
    & \Leftrightarrow 32 = 1
    \end{align}$
    Cette équation ne possède donc pas de solution.
    $\quad$
    $\quad$
  20. On peut résoudre cette équation sur $\R$.
    $\begin{align} x^2-2x + 1 = (x-3)^2 & \Leftrightarrow x^2-2x + 1 = x^2-6x + 9 \\\\
    & \Leftrightarrow-2x + 1 =-6x + 9 \\\\
    & \Leftrightarrow-2x + 6x = 9-1 \\\\
    & \Leftrightarrow 4x = 8 \\\\
    & \Leftrightarrow x = 2
    \end{align}$
    La solution de l’équation est $2$.

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$\quad$