Fonction racine carrée

2nd – Exercices corrigés

Exercice 1

Déterminer les images par la fonction racine carrée des nombres suivants :

$81$
$\quad$
$144$
$\quad$
$225$
$\quad$
$10^8$
$\quad$

Correction Exercice 1

On appelle $f$ la fonction racine carrée.

$f(81)=\sqrt{9^2}=9$
$\quad$
$f(144)=\sqrt{12^2}=12$
$\quad$
$f(225)=\sqrt{225^2}=25$
$\quad$
$f\left(10^8\right)=\sqrt{\left(10^4\right)^2}=10^4$
$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Déterminer le ou les antécédents par la fonction racine carrée des nombres suivants :

$4$
$\quad$
$\dfrac{3}{5}$
$\quad$
$-9$
$\quad$
$10^3$
$\quad$
$\sqrt{5}$
$\quad$

Correction Exercice 2

On veut résoudre l’équation $\sqrt{x}=4 \ssi x=16$.
L’antécédent de $4$ est $16$.
$\quad$
On veut résoudre l’équation $\sqrt{x}=\dfrac{3}{5} \ssi x=\left(\dfrac{3}{5}\right)^2\ssi x=\dfrac{9}{25}$
L’antécédent de $\dfrac{3}{5}$ est $\dfrac{9}{25}$.
$\quad$
On veut résoudre l’équation $\sqrt{x}=-9$.
Cette équation n’a pas de solution.
Le nombre $-9$ n’a donc pas d’antécédent.
$\quad$
On veut résoudre l’équation $\sqrt{x}=10^3 \ssi x=\left(10^3\right)^2\ssi x=10^6$.
L’antécédent de $10^3$ est $10^6$.
$\quad$
On veut résoudre l’équation $\sqrt{x}=\sqrt{5} \ssi x=5$.
L’antécédent de $\sqrt{5}$ est $5$.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 3

Résoudre à l’aide de la représentation graphique de la fonction racine carrée les inéquations suivantes :

$\sqrt{x}<16$
$\quad$
$\sqrt{x} \pg 25$
$\quad$
$\sqrt{x} > -1$
$\quad$
$\sqrt{x} \pp 10^{-2}$
$\quad$

Correction Exercice 3

$\sqrt{x}<16$

La solution de l’inéquation est $[0;256[$.
$\quad$
$\sqrt{x} \pg 25$

La solution de l’inéquation est $[625;+\infty[$.
$\quad$
$\sqrt{x} > -1$

La solution de l’inéquation est $[0;+\infty[$.
$\quad$
$\sqrt{x} \pp 10^{-2}$

La solution de l’inéquation est $\left[0;10^{-4}\right]$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Dans chacun des cas, indiquer l’ensemble de définition de la fonction $f$ dont l’expression algébrique a été fournie.

$f(x)=\sqrt{x+2}$
$\quad$
$f(x)=\sqrt{x^2+1}$
$\quad$
$f(x)=\sqrt{-x}$
$\quad$
$f(x)=\sqrt{3-x}$
$\quad$

Correction Exercice 4

$f(x)=\sqrt{x+2}$
$f$ est définie pour tout réel $x$ tel que $x+2\pg 0 \ssi x\pg -2$.
L’ensemble de définition de la fonction $f$ est donc $\mathscr{D}_f=[-2;+\infty[$
$\quad$
$f(x)=\sqrt{x^2+1}$
Pour tout réel $x$ on a $x^2+1\pg 1\pg 0$
L’ensemble de définition de la fonction $f$ est donc $mathscr{D}_f=\R$.
$\quad$
$f(x)=\sqrt{-x}$
$f$ est définie pour tout réel $x$ tel que $-x\pg 0 \ssi x\pp 0$.
L’ensemble de définition de la fonction $f$ est donc $\mathscr{D}_f=]-\infty;0]$.
$\quad$
$f(x)=\sqrt{3-x}$
$f$ est définie pour tout réel $x$ tel que $3-x\pg 0 \ssi -x\pg -3 \ssi x\pp 3$.
L’ensemble de définition de la fonction $f$ est donc $\mathscr{D}_f=]-\infty;3]$.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

La calculatrice est autorisée pour cet exercice.

On considère la fonction racine carrée $f$ et sa courbe représentative $\mathscr{C}$ dans un repère $(O;I,J)$. Indiquer, dans chacun des cas, si le point appartient à la courbe $\mathscr{C}$.

$A(4;2)$
$\quad$
$B(3;9)$
$\quad$
$C(1,44;1,2)$
$\quad$
$D(1,7;1,3)$
$\quad$
$E(-25;5)$
$\quad$
$F\left(10^{10};10^5\right)$
$\quad$

Correction Exercice 5

On a $\sqrt{4}=2$
Le point $A(4;2)$ appartient donc à $\mathscr{C}$.
$\quad$
On a $\sqrt{3}\neq 9$
Le point $B(3;9)$ n’appartient donc pas à $\mathscr{C}$.
$\quad$
On a $\sqrt{1,44}=1,2$
Le point $C(1,44;1,2)$ appartient donc à $\mathscr{C}$.
$\quad$
On a $\sqrt{1,7} \neq 1,3$
Le point $D(1,7;1,3)$ n’appartient donc pas à $\mathscr{C}$.
$\quad$
$-25<0$ et la fonction $f$ est définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
Le point $E(-25;5)$ n’appartient donc pas à $\mathscr{C}$.
$\quad$
On a $\sqrt{10^{10}}=\sqrt{\left(10^5\right)^2}=10^5$
Le point $F\left(10^{10};10^5\right)$ appartient donc à $\mathscr{C}$.
$\quad$

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$\quad$