2nd – fonction carré – Ex 8

Exercice 8

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = (x+2)^2 – 4$.

  1. Démontrer que $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;-2[$.
    $\quad$
  2. Démontrer que $f$ est strictement croissante sur $]-2;+\infty[$.
    $\quad$
  3. En déduire le tableau de variation de $f$.
    $\quad$
  4. Quel est donc le minimum de de la fonction $f$? En quel point est-il atteint?

  1. On considère deux réels $a$ et $b$ tels que $a < b < -2$.
    $\begin{align*} f(a) – f(b) & = (a+2)^2 – 4 – \left((b+2)^2 – 4\right) \\\\
    & = (a+2)^2 – 4 – (b+2)^2 + 4 \\\\
    & = (a + 2)^2 – (b + 2)^2 \\\\
    & = \left((a+2) – (b+2)\right) \left((a+2) + (b+2)\right) \\\\
    &= (a-b)(a+b+4)
    \end{align*}$
    Puisque $a<b$ alors $(a-b)<0$.
    Puisque $a<b<-2$ alors $a+b+4 < -2 -2 + 4$ soit $a+b+4<0$.
    $\quad$
    Par conséquent $(a-b)(a+b+4) >0$
    Donc $f(a) – f(b) >0$ et la fonction $f$ est décroissante sur $]-\infty;-2[$.
    $\quad$
  2. On considère deux réels $a$ et $b$ tels que $-2<a < b $.
    $\begin{align*} f(a) – f(b) & = (a+2)^2 – 4 – \left((b+2)^2 – 4\right) \\\\
    & = (a+2)^2 – 4 – (b+2)^2 + 4 \\\\
    & = (a + 2)^2 – (b + 2)^2 \\\\
    & = \left((a+2) – (b+2)\right) \left((a+2) + (b+2)\right) \\\\
    &= (a-b)(a+b+4)
    \end{align*}$
    Puisque $a<b$ alors $(a-b)<0$.
    Puisque $-2<a<b$ alors $a+b+4 > -2 -2 + 4$ soit $a+b+4>0$.
    $\quad$
    Par conséquent $(a-b)(a+b+4) <0$
    Donc $f(a) – f(b) <0$ et la fonction $f$ est croissante sur $]-2;+\infty[$.
    $\quad$
  3. $\quad$
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  4. La fonction $f$ admet donc un minimum pour $x=-2$ qui vaut $-4$.