TES/TL – Exercices – AP – Lois normales

Lois normales (AP)

Exercice 1

On appelle $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite.
On donne $P(0<X<1,4)=0,42$ arrondie au centième.
Déterminer les probabilités suivantes sans utiliser la calculatrice.

  1. $P(X<1,4)$
    $\quad$
  2. $P(X<-1,4)$
    $\quad$
  3. $P(-1,4<X<1,4)$
    $\quad$
  4. $P(X=1,4)$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $P(X<1,4)=P(X<0)+P(0<X<1,4)=0,5+0,42=0,92$
    $\quad$
  2. Par symétrie on a $P(-1,4<X<0)=P(0<X<1,4)=0,42$.
    Ainsi $P(X<-1,4)=P(X<0)-P(-1,4<X<0)=0,5+0,42=0,92$
    $\quad$
  3. Par symétrie on a $P(-1,4<X<0)=P(0<X<1,4)=0,42$
    $P(-1,4<X<1,4)=2P(0<X<1,4)=0,84$
    $\quad$
  4. Si $X$ est une variable aléatoire qui suit une loi à densité alors, pour tout réel $a$, on a $P(X=a)=0$.
    Donc $P(X=1,4)=0$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

On appelle $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite.
Déterminer une valeur des probabilités suivante à l’aide de la calculatrice. Les réponses seront arrondies au centième.

  1. $P(0<X<1)$
    $\quad$
  2. $P(-1<X<1)$
    $\quad$
  3. $P(-2<X<0)$
    $\quad$
  4. $P(X<1)$
    $\quad$
  5. $P(X>-1)$
    $\quad$
  6. $P(X<-2)$
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. $P(0<X<1)\approx 0,34$
    $\quad$
  2. $P(-1<X<1)\approx 0,68$
    $\quad$
  3. $P(-2<X<0)\approx 0,48$
    $\quad$
  4. $P(X<1)=0,5+P(0<X<1)\approx 0,84$
    $\quad$
  5. $P(X>-1)=0,5+P(-1<X<0)\approx 0,84$
    $\quad$
  6. $P(X<-2)=0,5-P(-2<X<0)\approx 0,02$
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

On appelle $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite.
Tous les résultats seront arrondis au centième.

  1. Déterminer le réel $a$ tel que $P(X<a)=0,7$.
    $\quad$
  2. Déterminer le réel $a$ tel que $P(X<a)=0,3$.
    $\quad$
  3. Déterminer le réel $a$ tel que $P(-1<X<a)=0,6$.
    $\quad$
  4. Déterminer le réel $a$ tel que $P(0,5<X<a)=0,1$.
    $\quad$
  5. Déterminer le réel $a$ tel que $P(-a<X<a)=0,5$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. À l’aide de la fonction Inverse loi normale de la calculatrice on obtient $a\approx 0,52$.
    $\quad$
  2. À l’aide de la fonction Inverse loi normale de la calculatrice on obtient $a\approx -0,52$.
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} P(-1<X<a)=0,6&\ssi P(X<a)-P(X<-1)=0,6\\
    &\ssi P(X<a)=0,6+P(X<-1)\\
    &\ssi P(X<a) = 0,6+0,5-P(-1<X<0)\\
    &\ssi P(X<a)=1,1-P(-1<X<0)\end{align*}$
    Ainsi $P(X<a)\approx 0,76$.
    D’où $a\approx 0,70$.
    $\quad$
  4. On a :
    $\begin{align*} P(0,5<X<a)=0,1&\ssi P(X<a)-P(X<0,5)=0,1\\
    &\ssi P(X<a)=0,1+P(X<0,5)\\
    &\ssi P(X<a)=0,1+0,5+P(0<X<0,5)\\
    &\ssi P(X<a)=0,6+P(0<X<0,5)\end{align*}$
    Ainsi $P(X<a)\approx 0,79$.
    D’où $a\approx 0,81$.
    $\quad$
  5. On a :
    $\begin{align*} P(-a<X<a)=0,5 &\ssi 2\Phi(a)-1=0,5\\
    &\ssi 2\Phi(a)=1,5\\
    &\ssi \Phi(a)=0,75\end{align*}$
    D’où $a\approx 0,67$.

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$\quad$

Exercice 4

$X$ est une variable aléatoire qui suit une loi normale $\mathscr{N}\left(\mu,\sigma^2\right)^2$ avec $\mu=100$ et $\sigma=30$.
Déterminer les probabilités suivantes, arrondies au centième, à l’aide de la calculatrice.

  1. $P(100<X<110)$
    $\quad$
  2. $P(X<110)$
    $\quad$
  3. $P(-110<X<110)$
    $\quad$
  4. $P(90<X<110)$
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $P(100<X<110)\approx 0,13$
    $\quad$
  2. $P(X<110)=0,5+P(100<X<110)\approx 0,63$
    $\quad$
  3. $P(-110<X<110)$\approx 0,63$
    $\quad$
  4. $P(90<X<100)=P(100<X<110)$ par symétrie.
    Donc $P(90<X<110)=P(100<X<110)\approx 0,26$.
    Remarque : On pouvait bien évidemment utiliser la calculatrice comme pour la question 3.
    $\quad$

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$\quad$