E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Laura reçoit chaque jour beaucoup de courriels. Pour se protéger des courriels indésirables, elle achète un logiciel anti-spam. Chaque jour, $35 \%$ des courriels reçus par Laura sont indésirables ; $95 \%$ des courriels indésirables sont automatiquement bloqués par le logiciel anti-spam. Parmi les courriels qui ne sont pas indésirables, le logiciel anti-spam en bloque $2 \%$.
On choisit au hasard un courriel reçu par Laura. Chaque courriel a la même probabilité d’être choisi. On considère les événements suivants :

  • $I$ : « le courriel choisi est indésirable »,
  • $S$ : « le logiciel anti-spam bloque le courriel choisi ».

Pour tout événement $A$, on note $\conj{A}$ l’événement contraire de l’événement $A$.
Pour tout événement $A$ et $B$ avec $B$ un événement de probabilité non nulle, la probabilité de $A$ sachant $B$ est notée $p_B(A)$.

  1. Recopier et compléter sur la copie l’arbre de probabilité traduisant la situation.

    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que le courriel reçu par Laura ne soit pas indésirable et soit bloqué par le logiciel anti-spam.
    $\quad$
  3. Montrer que $p(S) = 0,345~5$.
    $\quad$
  4. Le logiciel anti-spam a bloqué un courriel reçu par Laura. Calculer la probabilité que ce courriel soit indésirable. On donnera le résultat arrondi à $10^{-3}$.
    $\quad$
  5. Le fournisseur du logiciel anti-spam affirme que son logiciel se trompe dans moins de $2 \%$ des cas. Est-ce vrai ? Justifier votre réponse.
    $\quad$

$\quad$.

Correction Exercice

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} p\left(\conj{I}\cap S\right)&=p\left(\conj{I}\right)\times p_{\conj{I}}(S)\\
    &=0,65\times 0,02\\
    &=0,013\end{align*}$
    La probabilité que le courriel reçu par Laura ne soit pas indésirable et soit bloqué par le logiciel anti-spam est égale à $0,013$.
    $\quad$
  3. $I$ et $\conj{I}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(S)&=P(I\cap S)+p\left(\conj{I}\cap S\right) \\
    &=0,35\times 0,95+0,65\times 0,02\\
    &=0,345~5\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_S(I)&=\dfrac{p(S\cap I)}{p(S)} \\
    &=\dfrac{0,35\times 0,95}{0,345~5} \\
    &\approx 0,962\end{align*}$
    La probabilité que le courriel reçu par Laura soit indésirable sachant que le logiciel anti-spam l’a bloqué est environ égale à $0,962$.
    $\quad$
  5. Les événements $I\cap \conj{S}$ et $\conj{I}\cap S$ sont incompatibles.
    La probabilité que le logiciel se trompe est donc égale à :
    $\begin{align*} p\left(I\cap \conj{S}\right)+p\left(\conj{I}\cap S\right) &=0,35\times 0,05+0,65\times 0,02\\
    &=0,030~5\\
    &>0,02\end{align*}$
    L’affirmation du fournisseur du logiciel anti-spam est donc fausse.
    $\quad$

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$\quad$

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