Probabilités

E3C2 – 1ère

Laura reçoit chaque jour beaucoup de courriels. Pour se protéger des courriels indésirables, elle achète un logiciel anti-spam. Chaque jour, $35 \%$ des courriels reçus par Laura sont indésirables ; $95 \%$ des courriels indésirables sont automatiquement bloqués par le logiciel anti-spam. Parmi les courriels qui ne sont pas indésirables, le logiciel anti-spam en bloque $2 \%$.
On choisit au hasard un courriel reçu par Laura. Chaque courriel a la même probabilité d’être choisi. On considère les événements suivants :

$I$ : « le courriel choisi est indésirable »,
$S$ : « le logiciel anti-spam bloque le courriel choisi ».

Pour tout événement $A$, on note $\conj{A}$ l’événement contraire de l’événement $A$.
Pour tout événement $A$ et $B$ avec $B$ un événement de probabilité non nulle, la probabilité de $A$ sachant $B$ est notée $p_B(A)$.

Recopier et compléter sur la copie l’arbre de probabilité traduisant la situation.

$\quad$
Calculer la probabilité que le courriel reçu par Laura ne soit pas indésirable et soit bloqué par le logiciel anti-spam.
$\quad$
Montrer que $p(S) = 0,345~5$.
$\quad$
Le logiciel anti-spam a bloqué un courriel reçu par Laura. Calculer la probabilité que ce courriel soit indésirable. On donnera le résultat arrondi à $10^{-3}$.
$\quad$
Le fournisseur du logiciel anti-spam affirme que son logiciel se trompe dans moins de $2 \%$ des cas. Est-ce vrai ? Justifier votre réponse.
$\quad$

$\quad$.

Correction Exercice

On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} p\left(\conj{I}\cap S\right)&=p\left(\conj{I}\right)\times p_{\conj{I}}(S)\\
&=0,65\times 0,02\\
&=0,013\end{align*}$
La probabilité que le courriel reçu par Laura ne soit pas indésirable et soit bloqué par le logiciel anti-spam est égale à $0,013$.
$\quad$
$I$ et $\conj{I}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} p(S)&=P(I\cap S)+p\left(\conj{I}\cap S\right) \\
&=0,35\times 0,95+0,65\times 0,02\\
&=0,345~5\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} p_S(I)&=\dfrac{p(S\cap I)}{p(S)} \\
&=\dfrac{0,35\times 0,95}{0,345~5} \\
&\approx 0,962\end{align*}$
La probabilité que le courriel reçu par Laura soit indésirable sachant que le logiciel anti-spam l’a bloqué est environ égale à $0,962$.
$\quad$
Les événements $I\cap \conj{S}$ et $\conj{I}\cap S$ sont incompatibles.
La probabilité que le logiciel se trompe est donc égale à :
$\begin{align*} p\left(I\cap \conj{S}\right)+p\left(\conj{I}\cap S\right) &=0,35\times 0,05+0,65\times 0,02\\
&=0,030~5\\
&>0,02\end{align*}$
L’affirmation du fournisseur du logiciel anti-spam est donc fausse.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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