E3C – Fonctions

Séries technologiques

Une entreprise fixe à chacun de ses employés le mode de rémunération mensuel suivant : un salaire net fixe de $1~300$ € accompagné d’une prime ou d’une pénalité.
Si $𝑥$ est le chiffre d’affaire en millier d’euros réalisé par un employé dans le mois, sa prime ou pénalité exprimée en millier d’euros est de $f(x) = 0,01(x^2-2x)$.
Par exemple, si un employé réalise un chiffre d’affaire mensuel de $1~000$ €, alors $x = 1$ et $f(x) = f(1) = -0,01$. Dans ce cas, l’employé est pénalisé de $0,01$ millier d’euros, c’est-à-dire $10$ €. Son salaire net mensuel est alors de $1~300-10 = 1~290$ €.
De même, si un employé réalise un chiffre d’affaire mensuel de $10~000$ €, alors $x = 10$ et $f(x) = f(10) = 0,8$. Dans ce cas, l’employé perçoit une prime de $0,8$ millier d’euros, c’est-à-dire $800$ €. Son salaire net mensuel est alors de $1~300 + 800 = 2~100$ €.

a. Si l’employé réalise un chiffre d’affaire mensuel de $1~500$ €, aura-t-il une prime ou une pénalité ? De quel montant ? Quel sera alors son salaire net mensuel ?
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b. Mêmes questions avec un chiffre d’affaire mensuel de $20~000$ €.
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La courbe $C_f$ ci-dessous représente la fonction $f$ dans un repère du plan dont la graduation de l’axe des abscisses a été effacée.
a. Montrer que $f(x) = 0,01x(x-2)$.
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b. Donner les abscisses des points d’intersection de $C_f$ avec l’axe des abscisses.
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c. À partir du graphique estimer le chiffre d’affaire mensuel à réaliser afin d’obtenir un salaire net mensuel de $1~380$ €.
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Correction Exercice

a. $f(1,5)=0,01(1,5^2-2\times 1,5)=-0,007~5$
L’employé sera donc pénalisé de $0,007~5$ millier d’euros soit $0,75$ €. Son salaire net mensuel sera alors de $1~300-0,75=1~299,25$ €.
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b. $f(20)=3,6$
L’employé reçoit dont une prime de $3,6$ milliers d’euros soit $3~600$ €. Son salaire net mensuel sera alors de $1~300+3~600=4~900$ €.
$\quad$
a. Pour tout réel $x$ positif on a :
$\begin{align*} f(x)&=0,01\left(x^2-2x\right) \\
&=0,01\left(x\times x-2\times x\right)\\
&=0,01x(x-2)\end{align*}$
$\quad$
b. Les abscisses des points d’intersection de $C_f$ avec l’axe des abscisses sont les solutions de l’équation :
$f(x)=0 \ssi 0,01x(x-2)=0$.
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
Donc $0,01x=0$ ou $x-2=0$ soit $x=0$ ou $x=2$.
$C_f$ coupe donc l’axe des abscisses aux points d’abscisses $0$ et $2$.
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b. L’employé reçoit donc une prime de $80$ € soit $0,08$ millier d’euros.
D’après le graphique cela correspond à un chiffre d’affaire mensuel de $4$ milliers d’euros, c’est-à-dire, $4~000$ €.
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