E3C – Fonctions

Séries technologiques

Une entreprise de recyclage peut produire au maximum $10$ tonnes de plastique recyclé par an. Elle revend la totalité de ce plastique recyclé au prix unitaire de $700$ € la tonne.
On rappelle que :

• le coût moyen correspondant à la production de $x$ tonnes de plastique recyclé est défini par $C_M(x) = \dfrac{C_T(x)}{x}$, où $C_T(x)$ est le coût total pour la production de $x$ tonnes de plastique recyclé.
• le coût marginal, noté $C_m(x)$, est le coût induit par la production d’une tonne de plastique recyclé supplémentaire lorsqu’on en a déjà produit $x$ tonnes.

Les courbes représentant les coûts moyen et marginal (en euro) en fonction de la quantité de plastique recyclé produite (en tonne) ainsi que le segment horizontal représentant le prix de vente unitaire sont tracés dans le repère donné en annexe à rendre avec la copie.
Répondre sur la copie aux questions suivantes avec la précision permise par le graphique.

1. Déterminer le coût moyen issu de la production de $7$ tonnes de plastique recyclé et en déduire le coût total correspondant.
   $\quad$
2. Quelle est la quantité de plastique recyclé que doit produire l’entreprise pour que le coût moyen soit minimal ? Donner ce coût moyen minimal et en déduire le coût total correspondant.
   $\quad$
3. Donner le coût induit par la production d’une tonne supplémentaire lorsque l’entreprise a déjà produit $7$ tonnes de plastique recyclé.
   $\quad$

On considère que l’entreprise réalise des bénéfices lorsque le prix de vente unitaire est strictement supérieur au coût moyen.

4. Déterminer graphiquement la quantité de plastique recyclé que doit produire et vendre l’entreprise pour réaliser des bénéfices.
   $\quad$

On admet que les bénéfices de l’entreprise sont maximum lorsque le coût marginal est égal au prix de vente unitaire.

5. Déterminer graphiquement la quantité de plastique recyclé que doit produire et vendre l’entreprise pour que les bénéfices soient maximaux.
   $\quad$

Annexe 

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