E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Lorsqu’il s’entraine au tennis, Roger utilise un lance-balle.
Cette machine lance les balles soit sur le coup droit soit sur le revers du joueur.

On la remplit de balles et on la programme de la façon suivante : deux tiers des balles seront lancées sur le coup droit du joueur, le reste sur son revers.

On s’intéresse à la réussite des frappes de Roger pendant une séance d’entraînement.
On note $D$ l’événement : « le joueur reçoit la balle sur son coup droit ».
On note $\conj{D}$ l’événement contraire de l’événement $D$.

Roger réussit $\dfrac{9}{10}$ de ses coups droits et $75 \%$ de ses revers.

On note $S$ l’événement : « La frappe de Roger est un succès ».

  1. Donner $p\left(\conj{D}\right)$.
    $\quad$
  2. Compléter l’arbre pondéré situé en annexe représentant la situation.
    $\quad$
  3. Calculer $p\left(\conj{D}\cap S\right)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  4. Montrer que la probabilité que la frappe de Roger soit un succès est égale à $0,85$.
    $\quad$
  5. Sachant que la frappe que vient de réaliser Roger est un succès, calculer la probabilité que ce soit sur un revers. Arrondir le résultat au centième.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a $p(D)=\dfrac{2}{3}$ donc $p\left(\conj{D}\right)=\dfrac{1}{3}$
    $\quad$
  2. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} p\left(\conj{D}\cap S\right)&=p\left(\conj{D}\right)\times p_{\conj{D}}(S)\\
    &=\dfrac{1}{3}\times 0,75\\
    &=0,25\end{align*}$
    La probabilité que le joueur reçoive la balle sur son revers et que la frappe soit un succès est égale à $0,25$.
    $\quad$
  4. $D$ et $\conj{D}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(S)&=p(D\cap S)+p\left(\conj{D}\cap S\right) \\
    &=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{9}{10}+0,25\\
    &=0,85\end{align*}$
    La probabilité que la frappe de Roger soit un succès est égale à $0,85$.
    $\quad$
  5. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_S\left(\conj{D}\right)&=\dfrac{p\left(S\cap \conj{D}\right)}{p(S)} \\
    &=\dfrac{0,25}{0,85}\\
    &\approx 0,29\end{align*}$
    La probabilité que la frappe soit un revers sachant que la frappe de Roger est un succès est environ égale à $0,29$.
    $\quad$

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$\quad$

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