E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Un cafetier propose à ses clients des cookies au chocolat ou aux noisettes en s’approvisionnant dans trois boulangeries. Un client prend un cookie au hasard.

On note :

$C$ l’événement « le cookie est au chocolat »,
$N$ l’événement « le cookie est aux noisettes »,
$B_1$ l’événement « le cookie provient de la boulangerie 1 »,
$B_2$ l’événement « le cookie provient de la boulangerie 2 »
$B_3$ l’événement « le cookie provient de la boulangerie 3 ».

On suppose que :

  • la probabilité que le cookie provienne de la boulangerie 1 est de $0,49$ ;
  • la probabilité que le cookie provienne de la boulangerie 2 est de $0,36$ ;
  • $P_{B_2}(C)$ est la probabilité conditionnelle de $C$ sachant $B_2$ ;
  • La probabilité que le cookie soit aux noisettes sachant qu’il provient de la troisième boulangerie est de $0,3$.
    $\quad$

L’arbre pondéré ci-dessous correspond à la situation et donne une information supplémentaire : le nombre $0,6$ sur la branche de $B_1$ à $C$.

  1. Exprimer par une phrase l’information donnée par le nombre $0,6$ sur la branche de $B_1$ à $C$.
    $\quad$
  2. Recopier et compléter sur la copie l’arbre pondéré ci-dessus.
    $\quad$
  3. Définir par une phrase l’événement $B_1\cap C$ et calculer sa probabilité.
    $\quad$
  4. Montrer la probabilité $P(C)$ d’avoir un cookie au chocolat est égale à $0,543$.
    $\quad$
  5. Calculer la probabilité d’avoir un cookie provenant de la boulangerie 2 sachant qu’il est au chocolat. On donnera le résultat arrondi au millième.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. La probabilité que le cookie soit au chocolat sachant qu’il provient de la boulangerie est égale à $0,6$.
    $\quad$
  2. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  3. $B_1\cap C$ est l’événement « le cookie provient de la boulangerie 1 et est au chocolat».
    $\begin{align*} P\left(B_1\cap C\right)&=P\left(B_1\right)\times P_{B_1}(C)\\
    &=0,49\times 0,6\\
    &=0,294\end{align*}$
    $\quad$
  4. Les événements $B_1$, $B_2$ et $B_3$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(C)&=P\left(B_1\cap C\right)+P\left(B_2\cap C\right)+P\left(B_3\cap C\right) \\
    &=0,294+0,36\times 0,4+0,15\times 0,7\\
    &=0,543\end{align*}$
    $\quad$
  5. On veut calculer
    $\begin{align*} P_C\left(B_2\right)&=\dfrac{P\left(B_2\cap C\right)}{P(C)} \\
    &=\dfrac{0,36\times 0,4}{0,543}\\
    &\approx 0,265\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

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