Suites
E3C2 – 1ère
Pour placer un capital de $5~000$ euros, une banque propose un placement à taux fixe de $5 \%$ par an. Avec ce placement, le capital augmente de $5 \%$ chaque année par rapport à l’année précédente. Pour bénéficier de ce taux avantageux, il ne faut effectuer aucun retrait d’argent durant les quinze premières années.
On modélise l’évolution du capital disponible par une suite $\left(u_n\right)$. On note $u_n$ le capital disponible après $n$ années de placement.
On dépose $5~000$ euros le 1$\ier$ janvier 2020. Ainsi $u_0 = 5~000$.
- Montrer que $u_2 = 5~512,5$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$ - Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
$\quad$ - Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? Préciser son premier terme et sa raison.
$\quad$ - Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
$\quad$ - Justifier que le capital aura doublé après $15$ années de placement.
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Correction Exercice
- On a :
$\begin{align*} u_1&=\left(1+\dfrac{5}{100}\right)u_0 \\
&=1,05\times 5~000\\
&=5~250\end{align*}$
Et donc
$\begin{align*} u_2&=\left(1+\dfrac{5}{100}\right)u_1 \\
&=1,05\times 5~250\\
&=5~512,5\end{align*}$
$2$ années après le placement le capital disponible sera de $5~512,5$ euros.
$\quad$ - Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{5}{100}\right)u_n \\
&=1,05\times u_n\end{align*}$
$\quad$ - La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,05$ et de premier terme $u_0=5~000$.
$\quad$ - Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=5~000\times 1,05^n$.
$\quad$ - $u_{15}=5~000\times 1,05^{15}\approx 10~395 >2u_0$.
Le capital aura bien doublé après $15$ années de placement.
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