Bac – Spécialité mathématiques – Amérique du Nord – sujet 2 – 19 mai 2022

Amérique du nord – 19 mai 2022

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
    $\quad$
  2. a. $\left(A_1,B_1\right)$ forme un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales :
    $\begin{align*} a_2&=P\left(A_2\right) \\
    &=P\left(A_1\cap A_2\right)+P\left(B_1\cap A_2\right) \\
    &=P\left(A_1\right)\times P_{A_1}\left(A_2\right)+P\left(B_1\right)\times P_{B_1}\left(A_2\right) \\
    &=0,5\times 0,84+0,5\times 0,24 \\
    &=0,54\end{align*}$
    $\quad$
    b. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{A_2}\left(B_1\right)&=\dfrac{P\left(A_2\cap B_1\right)}{P\left(A_2\right)} \\
    &=\dfrac{0,5\times 0,24}{0,54}\\
    &=\dfrac{2}{9}\end{align*}$
    La probabilité que le vélo se trouve au point B le premier matin sachant qu’il se trouve au point A le deuxième matin est égale à $\dfrac{2}{9}$ soit environ égale à $0,222$.
    $\quad$
  3. a. On obtient l’arbre suivant :$\quad$
    b. Soit $n\in \N^*$. $\left(A_n,B_n\right)$ forme un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a
    $\begin{align*} a_{n+1}&=P\left(A_{n+1}\right) \\
    &=P\left(A_n\cap A_{n+1}\right)+P\left(B_n\cap A_{n+1}\right) \\
    &=P\left(A_n\right)\times P_{A_n}\left(A_{n+1}\right)+P\left(B_n\right)\times P_{B_n}\left(A_{n+1}\right) \\
    &=0,84a_n+0,24\left(1-a_n\right) \\
    &=0,6a_n+0,24\end{align*}$
    $\quad$
  4. Pour tout entier naturel $n$ non nul on pose $R(n):~a_n=0,6-0,1\times 0,6^{n-1}$.
    Initialisation : $a_1=0,5$ et $0,6-0,1^1=0,5$ donc $R(1)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $R(n)$ vraie.
    $\begin{align*} a_{n+1}&=0,6a_n+0,24 \\
    &=0,6\left(0,6-0,1\times 0,6^{n-1}\right)+0,24\\
    &=0,36-0,1\times 0,6^n+0,24 \\
    &=0,6-0,1\times 0,6^n\end{align*}$
    Donc $R(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $a_n=0,6-0,1\times 0,6^{n-1}$.
    $\quad$
  5. $-1<0,6<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,6^n=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} a_n=0,6$.
    Sur le long terme, la probabilité que le vélo se trouve au point $A$ est égale à $0,6$.
    $\quad$
  6. $\quad$
    $\begin{align*} a_n\pg 0,599&\ssi 0,6-0,1\times 0,6^{n-1}\pg 0,599 \\
    &\ssi -0,1\times 0,6^{n-1} \pg -0,001 \\
    &\ssi 0,6^{n-1} \pp 0,01 \\
    &\ssi (n-1)\ln(0,6)\pp \ln(0,01) \\
    &\ssi n-1\pg \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,6)} \quad \text{car } \ln(0,6)<0\\
    &\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,6)}+1\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,6)}+1\approx 10,02$
    Le plus petit entier naturel $n$ tel que $a_n\pg 0,599$ est donc $11$.
    La probabilité que le vélo se trouve au point $A$ est supérieure à $0,599$ à partir du $11$-ième jour.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. La fonction $p$ est dérivable sur $[-3;4]$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x\in [-3;4]$ on a $p'(x)=3x^2-6x+5$.
    Il s’agit d’un polynôme du second degré dont le discriminant est $\Delta=-24<0$
    Ainsi $p'(x)$ est du signe du coefficient principal $a=3>0$.
    Par conséquent $p$ est strictement croissante sur $[-3;4]$.
    $\quad$
  2. La fonction $p$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[-3;4]$.
    $p(-3)=-68<0$ et $p(4)=37>0$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $p(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[-3;4]$.
    $\quad$
  3. D’après la calculatrice $\alpha\approx -0,2$.
    $\quad$
  4. La fonction $p$ est strictement croissante sur $[-3;4]$ et s’annule en $\alpha$. On obtient alors le tableau de signes suivant :
    $\quad$

Partie B

  1. a. La fonction $f$ est dérivable sur $[-3;4]$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
    Pour tout réel $x\in [-3;4]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\e^x\left(1+x^2\right)-2x\e^x}{\left(1+x^2\right)^2} \\
    &=\dfrac{\left(x^2-2x+1\right)\e^x}{\left(1+x^2\right)^2} \\
    &=\dfrac{(x-1)^2\e^x}{\left(1+x^2\right)^2} \end{align*}$
    $\quad$
    b. On a fonc $f'(1)=0$.
    La courbe $\mathscr{C}_f$ admet une tangente horizontale au point d’abscisse $1$.
    $\quad$
  2. a. Il semblerait que la fonction change de convexité (et donc $\mathscr{C}_f$ possède un point d’inflexion) environ en $0$ et en $1$.
    Le toboggan semble dont assurer de bonnes sensations.
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$ et pour tout réel $x\in [-3;4]$ on a $\left(1+x^2\right)^3>0$.
    Le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend donc que de celui de $p(x)(x-1)$.
    $x-1=0 \ssi x=1$ et $x-1>0\ssi x>1$.
    D’après le tableau de signes obtenu à la question A.4. on obtient le tableau de signes de $f\dsec(x)$.
    La fonction $f$ est donc convexe sur $[-3;\alpha]$ et $[1;4]$ et concave sur $[\alpha;1]$. $f\dsec(x)$ s’annule en $\alpha$ et $1$.
    Donc $\mathscr{C}_f$ possède deux points d’inflexion et le toboggan assurera de bonnes sensations.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. a. $\vect{AR}\begin{pmatrix}0\\3\\2\end{pmatrix}$ et $\vect{AT}\begin{pmatrix}-3\\0\\2\end{pmatrix}$
    Par conséquent
    $\begin{align*} AR&=\sqrt{0^2+3^2+2^2} \\
    &=\sqrt{13}\end{align*}$
    $\begin{align*} AT&=\sqrt{(-3)^2+0^2+2^2} \\
    &=\sqrt{13}\end{align*}$
    Ainsi $AR=AT$. Le triangle $ART$ est isocèle en $A$.
    b. $\quad$
    $\begin{align*} \vect{AR}.\vect{AT}&=0\times -(-3)+3\times 0+2\times 2\\
    &=4\end{align*}$
    $\quad$
    c. On a également $\vect{AR}.\vect{AT}=AR\times AT\times \cos \widehat{RAT}$.
    Par conséquent
    $\begin{align*} \cos \widehat{RAT}&=\dfrac{\vect{AR}.\vect{AT}}{AR\times AT} \\
    &=\dfrac{4}{13} \end{align*}$
    Donc $\widehat{RAT}\approx 72,1$°
    $\quad$
  2. a. D’une part
    $\begin{align*} \vec{n}.\vect{AR}&=2\times 0+(-2)\times 3+3\times 2\\
    &=0\end{align*}$
    D’autre part
    $\begin{align*} \vec{n}.\vect{AT}&=2\times (-3)+(-2)\times 0+3\times 2\\
    &=0\end{align*}$
    Ainsi $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires (l’angle $\widehat{RAT}$ n’est ni plat ni nul) du plan $(ART)$.
    $\vec{n}$ est donc un vecteur normal au plan $(ART)$.
    $\quad$
    b. Une équation du plan $(ART)$ est par conséquent de la forme $2x-2y+3z+d=0$.
    Or $A(6;0;2)$ appartient à ce plan.
    Donc $12-0+6+d=0 \ssi d=-18$
    Une équation cartésienne du plan $(ART)$ est $2x-2y+3z-18=0$.
    $\quad$
  3. a. $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-2\\3\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta$ et le point $S\left(3;\dfrac{5}{2};0\right)$ appartient à cette droite.
    Une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est bien $\begin{cases} x=3+2k\\y=\dfrac{5}{2}-2k\\z=3k\end{cases} \quad k\in \R$.
    $\quad$
    b. Prenons $k=1$ dans la représentation paramétrique précédente. Le point de coordonnées $\left(5;\dfrac{1}{2};3\right)$ appartient à la droite $\Delta$.
    $2\times 5-2\times \dfrac{1}{2}+3\times 3-18=10-1+9-18=0$. Le point de coordonnées $\left(5;\dfrac{1}{2};3\right)$ appartient au plan $(ART)$.
    Ainsi $L$ a pour coordonnées $\left(5;\dfrac{1}{2};3\right)$.
    $\quad$
  4. a. On a $D(0,8,0)$ et $K(0;4;4)$ donc $\vect{DK}\begin{pmatrix}0\\-4\\4\end{pmatrix}$ et $\vect{DN}\begin{pmatrix} 0\\-4t\\4t\end{pmatrix}$
    Par conséquent $\vect{DN}=t\vect{DK}$.
    Les points $D$, $N$ et $K$ sont alignés.
    $T\in[0;1]$ donc $N$ appartient au segment $[DK]$.
    $\quad$
    b. On a $\vect{SL}\begin{pmatrix}2\\-2\\3\end{pmatrix}$ et $\vect{SN}\begin{pmatrix} -3\\\dfrac{11}{2}-4t\\4t\end{pmatrix}$.$\begin{align*} &(SL) \text{ et }(SN)\text{ sont perpendiculaires}\\
    &\ssi\vect{SL}.\vect{SN}=0 \\
    &\ssi 2\times (-3)+(-2)\times  \left(\dfrac{11}{2}-4t\right)+3\times 4t=0 \\
    &\ssi -6-11+8t+12t=0 \\
    &\ssi 20t=17 \\
    &\ssi t=0,85\end{align*}$
    Le point $N$ doit donc avoir pour coordonnées $(0;4,6;3,4)$ pour que les deux rayons lasers soient perpendiculaires.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. $\quad$
    $\begin{align*}a&=\ln(9)+\ln\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)+\ln\left(\dfrac{1}{9}\right) \\
    &=\ln(9)+\ln\left(\sqrt{3}\right)-\ln(3)-\ln(9)\\
    &=\dfrac{1}{2}\ln(3)-\ln(3) \\
    &=-\dfrac{1}{2}\ln(3)\end{align*}$
    Réponse d
    $\quad$
  2. $x-10>0\ssi x>10$ : l’équation est définie sur $]10;+\infty[$
    Sur $]10;+\infty[$
    $\begin{align*} &\ln(x)+\ln(x-10)=\ln(3)+\ln(7) \\
    &\ssi \ln\left(x(x-10)\right)=\ln(21) \\
    &\ssi x(x-10)=21 \\
    &\ssi x^2-10x-21=0\end{align*}$
    Le discriminant de $x^2-10x-21$ est $\Delta=184>0$.
    Les racines de ce polynômes sont $x_1=\dfrac{10-\sqrt{184}}{2}<0$ et $x_2=\dfrac{10+\sqrt{184}}{2}>10$
    Donc l’unique solution de $(E)$ est $\dfrac{10+\sqrt{184}}{2}$.
    Réponse c
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables.
    Pour tout réel $x\in ]0;+\infty[$,
    $\begin{align*} f'(x)&=2x\left(-1+\ln(x)\right)+x^2\times \dfrac{1}{x} \\
    &=-2x+2x\ln(x)+x \\
    &=x\left(2\ln(x)-1\right)\end{align*}$
    $\ln\left(\sqrt{e}\right)=\dfrac{1}{2}$
    Par conséquent $f’\left(\sqrt{e}\right)=0$
    Réponse c
    $\quad$
  4. On répète $5$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli. On appelle $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de jetons jaunes tirés.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=\dfrac{2}{5}$
    Ainsi
    $\begin{align*} P(X=2)&=\dbinom{5}{2}\left(\dfrac{2}{5}\right)^2\left(\dfrac{3}{5}\right)^3\\
    &\approx 0,346\end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$
  5. On reprend la variable aléatoire $X$ définie à la question précédente.
    $\begin{align*} P(X\pg 1)&=1-P(X=0) \\
    &=1-\left(\dfrac{3}{5}\right)^5\\
    &\approx 0,922\end{align*}$
    Réponse d
    $\quad$
  6. On reprend la variable aléatoire $X$ définie à la question 4..
    Son espérance mathématiques est :
    $\begin{align*} E(X)&=np\\
    &=5\times \dfrac{2}{5} \\
    &=2\end{align*}$
    Réponse c
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     7 points

Thème : probabilités, suites

Dans une région touristique, une société propose un service de location de vélos pour la journée.
La société dispose de deux points de location distinctes, le point A et le point B. Les vélos peuvent être empruntés et restitués indifféremment dans l’un où l’autre des deux points de location.
On admettra que le nombre total de vélos est constant et que tous les matins, à l’ouverture du service, chaque vélo se trouve au point A ou au point B.

D’après une étude statistique :

  • Si un vélo se trouve au point A un matin, la probabilité qu’il se trouve au point A le matin suivant est égale à $0,84$;
  • Si un vélo se trouve au point B un matin la probabilité qu’il se trouve au point B le matin suivant est égale à $0,76$.

À l’ouverture du service le premier matin, la société a disposé la moitié de ses vélos au point A, l’autre moitié au point B.

On considère un vélo de la société pris au hasard.

Pour tout entier naturel non nul n, on définit les évènements suivants :

  • $A_n$ : « le vélo se trouve au point A le $n$-ième matin »
  • $B_n$ : « le vélo se trouve au point B le $n$-ième matin ».

Pour tout entier naturel non nul $n$, on note $a_n$ la probabilité de l’évènement $A_n$ et $b_n$ la probabilité de l’évènement $B_n$. Ainsi $a_1 = 0,5$ et $b_1 = 0,5$.

  1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation pour les deux premiers matins :$\quad$
  2. a. Calculer $a_2$.
    $\quad$
    b. Le vélo se trouve au point A le deuxième matin. Calculer la probabilité qu’il se soit trouvé au point B le premier matin. La probabilité sera arrondie au millième.
    $\quad$
  3. a. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation pour les $n$-ième et $n +1$-ième matins.
    $\quad$
    b. Justifier que pour tout entier naturel non nul $n$, $a_{n+1} = 0,6a_n +0,24$.
    $\quad$
  4. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul $n$, $a_n = 0,6−0,1×0,6^{n−1}$.
    $\quad$
  5. Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$ et interpréter cette limite dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  6. Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $a_n > 0,599$ et interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     7 points

Thème : fonctions, fonction exponentielle

Partie A

Soit p la fonction définie sur l’intervalle $[-3 ; 4]$ par : $$p(x)=x^3-3x^2+5x+1$$

  1. Déterminer les variations de la fonction $p$ sur l’intervalle $[-3 ; 4]$.
    $\quad$
  2. Justifier que l’équation $p(x) = 0$ admet dans l’intervalle $[-3 ; 4]$ une unique solution qui sera notée $\alpha$.
    $\quad$
  3. Déterminer une valeur approchée du réel $\alpha$ au dixième près.
    $\quad$
  4. Donner le tableau de signes de la fonction $p$ sur l’intervalle $[-3 ; 4]$.
    $\quad$

Partie B

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[-3 ; 4]$ par :$$f(x)=\dfrac{\e^x}{1+x^2}$$
On note $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

  1. a. Déterminer la dérivée de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-3 ; 4]$.
    $\quad$
    b. Justifier que la courbe $\mathscr{C}_f$ admet une tangente horizontale au point d’abscisse $1$.
    $\quad$
  2. Les concepteurs d’un toboggan utilisent la courbe $\mathscr{C}_f$ comme profil d’un toboggan. Ils estiment que le toboggan assure de bonnes sensations si le profil possède au moins deux points d’inflexion.
    $\quad$
    a. D’après le graphique ci-dessus, le toboggan semble-t-il assurer de bonnes sensations ?
    Argumenter.
    b. On admet que la fonction $f\dsec$, dérivée seconde de la fonction $f$ , a pour expression pour tout réel $x$ de l’intervalle $[-3 ; 4]$ :
    $$f\dsec(x)=\dfrac{p(x)(1-x)\e^x}{\left(1+x^2\right)^3}$$
    où $p$ est la fonction définie dans la partie A.
    En utilisant l’expression précédente de $f\dsec$, répondre à la question : « le toboggan assure-t-il de bonnes sensations ? ». Justifier.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     7 points

Thème : géométrie dans l’espace

Une exposition d’art contemporain a lieu dans une salle en forme de pavé droit de largeur $6$ m, de longueur $8$ m et de hauteur $4$ m.
Elle est représentée par le parallélépipède rectangle $OBCDEFGH$ où $OB = 6$ m, $OD = 8$ m et $OE = 4$ m.
On utilise le repère orthonormé $\Oijk$ tel que $\vec{i}=\dfrac{1}{6}\vect{OB}$, $\vec{j}=\dfrac{1}{8}\vect{OD}$ et $\vec{k}=\dfrac{1}{4}\vect{OE}$.

 

Dans ce repère on a, en particulier $C(6; 8; 0)$, $F(6; 0; 4)$ et $G(6; 8; 4)$.
Une des œuvres exposées est un triangle de verre représenté par le triangle $ART$ qui a pour sommets $A(6; 0; 2)$, $R(6; 3; 4)$ et $T(3; 0; 4)$, Enfin, $S$ est le point de coordonnées $\left(3;\dfrac{5}{2};0\right)$.

  1. a. Vérifier que le triangle $ART$ est isocèle en $A$.
    $\quad$
    b. Calculer le produit scalaire $\vect{AR}.\vect{AT}$.
    $\quad$
    c. En déduire une valeur approchée à $0,1$ degré près de l’angle $\widehat{RAT}$.
    $\quad$
  2. a. Justifier que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-2\\3\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ART)$.
    $\quad$
    b. En déduire une équation cartésienne du plan $(ART)$.
    $\quad$
  3. Un rayon laser dirigé vers le triangle $ART$ est émis du plancher à partir du point $S$. On admet que ce rayon est orthogonal au plan $(ART)$.
    a. Soit $\Delta$ la droite orthogonale au plan $(ART)$ et passant par le point $S$.
    Justifier que le système ci-dessous est une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ : $$\begin{cases} x=3+2k\\[3pt]y=\dfrac{5}{2}-2k\\[3pt]z=3k\end{cases} \quad, \text{avec } k\in \R$$
    $\quad$
    b. Soit $L$ le point d’intersection de la droite $\Delta$, avec le plan $(ART)$.
    Démontrer que $L$ a pour coordonnées $\left(5;\dfrac{1}{2};3\right)$.
    $\quad$
  4. L’artiste installe un rail représenté par le segment $[DK]$ ou $K$ est le milieu du segment $[EH]$.
    Sur ce rail, il positionne une source lumineuse laser en un point $N$ du segment $[DK]$ et il oriente ce second rayon laser vers le point $S$.
    $\quad$a. Montrer que, pour tout réel $t$ de l’intervalle $[0; 1]$, le point $N$ de coordonnées $(0 ; 8−4t ; 4t)$ est un point du segment $[DK]$.
    $\quad$
    b. Calculer les coordonnées exactes du point $N$ tel que les deux rayons laser représentés par les segments $[SL]$ et $[SN]$ soient perpendiculaires.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     7 points

Thème : : fonction logarithme népérien, probabilités

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM) qui comprend six questions. Les six questions sont indépendantes. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse exacte.
Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

Question 1

Le réel $a$ est définie par $a = \ln(9)+\ln\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)+\ln\left(\dfrac{1}{9}\right)$ est égal à :
a. $1-\dfrac{1}{2}\ln(3)$
b. $\dfrac{1}{2}\ln(3)$
c. $3\ln(3)-\dfrac{1}{2}$
d. $-\dfrac{1}{2}\ln(3)$
$\quad$

Question 2

On note $(E)$ l’équation suivante $\ln(x) +\ln(x −10) = ln (3)+ln (7)$ d’inconnue le réel $x$.
a. $3$ est solution de $(E)$.
b. $5-\sqrt{46}$ est solution de $(E)$.
c. L’équation $(E)$ admet une unique solution réelle.
d. L’équation $(E)$ admet deux solutions réelles.
$\quad$

Question 3

La fonction $f$ est définie sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$ par l’expression $f(x)=x^2\left(-1+\ln(x)\right)$.
On note $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère.
a. Pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0 ; +\infty[$, $f'(x)=2x+\dfrac{1}{x}$.
b. La fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
c. $f’\left(\sqrt{\e}\right)$ est différent de $0$.
d. La droite d’équation $y=-\dfrac{1}{2}\e$ est tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point d’abscisse $\sqrt{\e}$.
$\quad$

Question 4

Un sac contient $20$ jetons jaunes et $30$ jetons bleus. On tire successivement et avec remise $5$ jetons du sac.
La probabilité de tirer exactement $2$ jetons jaunes, arrondie au millième, est :
a. $0,683$
b. $0,346$
c. $0,230$
d. $0,165$
$\quad$

Question 5

Un sac contient $20$ jetons jaunes et $30$ jetons bleus. On tire successivement et avec remise $5$ jetons du sac.
La probabilité de tirer au moins un jeton jaune, arrondie au millième, est :
a. $0,078$
b. $0,259$
c. $0,337$
d. $0,922$
$\quad$

Question 6

Un sac contient $20$ jetons jaunes et $30$ jetons bleus.
On réalise l’expérience aléatoire suivante : on tire successivement et avec remise cinq jetons du sac.
On note le nombre de jetons jaunes obtenus après ces cinq tirages.
Si on répète cette expérience aléatoire un très grand nombre de fois alors, en moyenne, le nombre de jetons jaunes est égal à:
a. $0,4$
b. $1,2$
c. $2$
d. $2,5$
$\quad$

$\quad$

 

E3C – Séries technologiques – Suites – Janvier 2020

E3C – Suites

Séries technologiques

On trouve dans le tableau suivant les quantités de chocolat vendues en France en 2017 et 2018, exprimées en tonnes.

$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Année}&2017&2018\\
\hline
\text{Tonnes de chocolat vendues}&378~850&333~029\\
\hline
\end{array}$$

  1. Quel a été le pourcentage d’évolution de la quantité de chocolat vendue en France entre 2017 et 2018 ? Arrondir le résultat à $1\%$ près.

On s’intéresse maintenant aux années à venir. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la quantité de chocolat vendue en France l’année 2018$+n$, exprimée en tonnes. Ainsi, on a $u_0 = 333~029$. On
suppose que le taux d’évolution annuel sera de $-12,1\%$ à partir de 2018.

  1. Calculer les valeurs de $u_1$ et $u_2$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique et donner sa raison.
    $\quad$
  3. a. Compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’à la fin de l’algorithme la variable 𝑛 contienne le plus grand entier $n$ tel que $u_n \pp 250~000$.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    n\leftarrow 0\\
    u\leftarrow 333~029\\
    \text{Tant que }\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\\
    \hspace{0.5cm} u\leftarrow \ldots\ldots\ldots\ldots\\
    \hspace{0.5cm} n\leftarrow n+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. En déduire l’année à partir de laquelle la quantité de chocolat vendue en France passera en dessous de $250~000$ tonnes.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. $\dfrac{333~029-378~850}{378~850}\approx -0,12$
    La quantité de chocolat vendue en France entre 2017 et 2018 a donc diminué d’environ $12\%$.
    $\quad$
  2. On a donc :
    $\begin{align*} u_1&=\left(1-\dfrac{12,1}{100}\right)u_0 \\
    &=0,879\times 333~029\\
    &=292~732,491\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} u_2&=\left(1-\dfrac{12,1}{100}\right)u_1 \\
    &=0,879\times 392~732,491\\
    &=257~311,859~6\end{align*}$
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1-\dfrac{12,1}{100}\right)u_n \\
    &=0,879\times u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,879$ et de premier terme $u_0=333~029$.
    $\quad$
  4. a. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    n\leftarrow 0\\
    u\leftarrow 333~029\\
    \text{Tant que }u> 250~000\\
    \hspace{0.5cm} u\leftarrow 0,879 \times u\\
    \hspace{0.5cm} n\leftarrow n+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. On a :
    $u_0=333~029$, $u_1 \approx 292~732$, $u_2\approx 257~312$ et $u_3 \approx 229~177$
    C’est donc en 2021 que la quantité de chocolat venue en France passera en dessous de $250~000$ tonnes.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Un complexe cinématographique a ouvert ses portes en 2018 en périphérie d’une ville.
En 2018, le complexe a accueilli $180$ mille spectateurs. La gestionnaire du complexe prévoit une augmentation de $4 \%$ par an de la fréquentation du complexe.

Soit $n$ un entier naturel. On note $u_n$ le nombre de spectateurs, en milliers, du complexe cinématographique pour l’année (2018 $+n$). On a donc $u_0 = 180$.

  1. Étude de la suite $\left(u_n\right)$.
    a. Calculer le nombre de spectateurs en 2019.
    $\quad$
    b. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique. Préciser sa raison.
    $\quad$
    c. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
  2. Un cinéma était déjà installé au centre-ville.
    En 2018, il a accueilli $260~000$ spectateurs. Avec l’ouverture du complexe, le cinéma du centre-ville prévoit de perdre $10~000$ spectateurs par an.
    Pour $n$, entier naturel, on note $v_n$ le nombre de spectateurs, en milliers, accueillis dans le
    cinéma du centre-ville l’année (2018 $+n$). On a donc $v_0 = 260$.
    a. Quelle est la nature de la suite $\left(v_n\right)$ ?
    $\quad$
    b. On donne le programme ci-dessous, écrit en Python.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def cinema() :}\\
    \hspace{1cm}\text{n = 0}\\
    \hspace{1cm}\text{u = 180}\\
    \hspace{1cm}\text{v = 260}\\
    \hspace{1cm}\text{while u < v :}\\
    \hspace{2cm}\text{n = n + 1}\\
    \hspace{2cm}\text{u = 1.04*u}\\
    \hspace{2cm}\text{v = v – 10}\\
    \hspace{1cm}\text{return n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Quelle est la valeur renvoyée lors de l’exécution de la fonction $\text{cinema()}$ ?
    L’interpréter dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On a :
    $\begin{align*} u_1&=\left(1+\dfrac{4}{100}\right)u_0\\
    &=1,04\times 180\\
    &=187,2\end{align*}$
    En 2019 le cinéma a accueilli $187~200$ spectateurs.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{4}{100}\right)u_n\\
    &=1,04u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,04$ et de premier terme $u_0=180$.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=180\times 1,04^n$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_{n+1}=v_n-10$.
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc arithmétique de raison $-10$ et de premier terme $v_0=260$.
    $\quad$
    b. La fonction $\text{cinema()}$ détermine le plus petite entier naturel $n$ tel que $u_n \pg v_n$.
    Voici les premières valeurs prises, arrondies au millième si nécessaire, par les termes des deux suites.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    n& 0& 1& 2& 3& 4& 5\\
    \hline
    u_n& 180& 187,2& 194,688& 202,476& 210,575& 218,998\\
    \hline
    ~~v_n~~& ~~~~260~~~~& ~~~~250~~~~& ~~240~~& ~~230~~& ~~220~~& ~~210~~\\
    \hline
    \end{array}$
    La fonction $\text{cinema()}$  renvoie donc la valeur $5$.
    Cela signifie que c’est au bout de $5$ ans que la fréquentation du complexe sera supérieure pour la première fois à celle du cinéma de centre-ville.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Un globe-trotter a comme objectif de parcourir $2~000$ km à pied. Il peut parcourir $50$ km en une journée, mais, la fatigue s’accumulant, la distance qu’il parcourt diminue de $2\%$ chaque nouvelle journée.
On note la distance $D_n$ la distance parcourue durant le $n$-ième jour.
Le premier jour de son périple, il parcourt donc $D_1 = 50$ km.

  1. Calculer la distance parcourue le deuxième jour.
    $\quad$
  2. Quelle est la nature de la suite $\left(D_n\right)$ ? Donnez ses éléments caractéristiques.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n\pg 1$, déterminer l’expression de $D_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  4. Pour calculer le nombre de jours qu’il faudra au globe-trotter pour atteindre son objectif, on a écrit le programme Python suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def nb_jours:}\\
    \hspace{1cm}\text{j=1}\\
    \hspace{1cm}\text{u=50}\\
    \hspace{1cm}\text{S=50}\\
    \hspace{1cm}\text{while $\ldots\ldots$:}\\
    \hspace{2cm}\text{u=0.98*u}\\
    \hspace{2cm}\text{S=S+u}\\
    \hspace{2cm}\text{j= $\ldots\ldots$}\\
    \hspace{1cm}\text{return j}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Compléter les deux lignes incomplètes de ce programme.
    $\quad$
  5. À l’aide de l’extrait de tableur ci-dessous, déterminer
    quand le globe-trotter aura atteint son objectif.

    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Le deuxième jour, il a parcouru $50\times \left(1-\dfrac{2}{100}\right)=49$ km.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n\pg 1$ on a :
    $\begin{align*} D_{n+1}&=\left(1-\dfrac{2}{100}\right)D_n\\
    &=0,98D_n\end{align*}$
    La suite $\left(D_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,98$ et de premier terme $D_1=50$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n\pg 1$ on a donc $D_n=50\times 0,98^{n-1}$.
    $\quad$
  4. On obtient le programme Python suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def nb_jours:}\\
    \hspace{1cm}\text{j=1}\\
    \hspace{1cm}\text{u=50}\\
    \hspace{1cm}\text{S=50}\\
    \hspace{1cm}\text{while S<2000:}\\
    \hspace{2cm}\text{u=0.98*u}\\
    \hspace{2cm}\text{S=S+u}\\
    \hspace{2cm}\text{j= j+1}\\
    \hspace{1cm}\text{return j}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  5. D’après le tableur, le globe-trotter atteindra son objectif au bout de $80$ jours.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Durant l’été, une piscine extérieure perd chaque semaine $4 \%$ de son volume d’eau par évaporation. On étudie ici un bassin qui contient $80$ m$^3$ après son remplissage.

  1. Montrer par un calcul que ce bassin contient $76,8$ m$^3$ d’eau une semaine après son remplissage.
    $\quad$
  2. On ne rajoute pas d’eau dans le bassin et l’eau continue à s’évaporer. On modélise le volume d’eau contenue dans la piscine par une suite $\left(V_n\right)$ : pour tout entier naturel $n$, on note $V_n$ la quantité d’eau en m$^3$ contenue dans la piscine $n$ semaines après son remplissage. Ainsi $V_0=80$.
    a. Justifier que pour tout entier naturel $n$, $V_{n+1} = 0,96V_n$ et préciser la nature de la suite $\left(V_n\right)$ ainsi définie.
    $\quad$
    b. Donner une expression de $V_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. Quelle quantité d’eau contient le bassin au bout de $7$ semaines ?
    $\quad$
  3. Pour compenser en partie les pertes d’eau provoquées par l’évaporation, on décide de rajouter $2$ m d’eau chaque semaine dans le bassin. On souhaite déterminer au bout de
    combien de semaines, le volume d’eau contenu dans la piscine devient inférieur à $70$ m$^3$.
    Compléter la fonction Python suivante afin que l’appel $\text{nombreJour(70)}$ renvoie le nombre de semaines à partir duquel le volume d’eau de la piscine sera inférieur à $70$ m$^3$.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def nombreJour(U) :}\\
    \hspace{0.5cm}\text{N=0}\\
    \hspace{0.5cm}\text{V=80}\\
    \hspace{0.5cm}\text{while $\ldots$ >= $\ldots$ :}\\
    \hspace{1cm}\text{N=N+1}\\
    \hspace{1cm}\text{V=$\ldots\ldots\ldots$}\\
    \hspace{0.5cm}\text{return $\ldots$}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Une semaine après son remplissage,le volume d’eau, en m$^3$, contenu dans le bassin est :
    $\begin{align*} V&=\left(1-\dfrac{4}{100}\right)\times 80\\
    &=0,96\times 80\\
    &=76,8\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} V_{n+1}&=\left(1-\dfrac{4}{100}\right) V_n\\
    &=0,96V_n\end{align*}$
    La suite $\left(V_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,96$ et de premier terme $V_0=80$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $V_n=80\times 0,96^n$.
    $\quad$
    c. $V_7=80\times 0,96^7 \approx 60,12$.
    Au bout de $7$ semaines, le bassin contient $60,12$ m$^3$ d’eau.
    $\quad$
  3. On obtient le programme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def nombreJour(U) :}\\
    \hspace{0.5cm}\text{N=0}\\
    \hspace{0.5cm}\text{V=80}\\
    \hspace{0.5cm}\text{while V >= U :}\\
    \hspace{1cm}\text{N=N+1}\\
    \hspace{1cm}\text{V=0.96*V+2}\\
    \hspace{0.5cm}\text{return N}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Un biologiste étudie une population de bactéries dans un milieu fermé. À l’instant initial, il y a $10~000$ bactéries et la population augmente de $15\%$ par heure.
On modélise la situation par une suite $\left(u_n\right)$ pour laquelle, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente une estimation du nombre de bactéries au bout de $n$ heures.
On a donc $u_0=10~000$.

  1. Expliquer pourquoi la suite $\left(u_n\right)$ vérifie pour tout entier naturel $n$ : $$u_n=10~000\times 1,15^n$$
    $\quad$
  2. Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$. On précisera le premier terme et la raison.
    $\quad$
  3. Combien y aura-t-il de bactéries au bout de $10$ heures ?
    $\quad$
  4. On considère la fonction suivante définie en langage Python.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def bacteries(N) :}\\
    \hspace{1cm}\text{u=10000}\\
    \hspace{1cm}\text{for i in range(N) :}\\
    \hspace{2cm}\text{u=u*1.15}\\
    \hspace{1cm}\text{return u }\\
    \hline
    \end{array}$$
    On a appelé cette fonction en donnant différentes valeurs au paramètre $n$ et l’on a dressé le tableau suivant.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    n& 10& 100& 1~ 000& 10~ 000\\
    \hline
    \text{bacteries}(n)& 40~455& 1,2 \times 10^{10}& 4,99 \times 10^{64}& 3,052 \times 10^{307 }\\
    \hline
    \end{array}$$
    Quelle interprétation peut-on donner de ces résultats dans le contexte de l’exercice ?
    $\quad$
  5. Lorsque la population atteint $200~000$ bactéries, le biologiste répand un désinfectant afin de tester son efficacité. Une heure plus tard, il reste $4~000$ bactéries. Quel est le pourcentage de diminution du nombre de bactéries?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{15}{100}\right)\times u_n\\
    &=1,15u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,15$ et de premier terme $u_0=10~000$.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=10~000\times 1,15^n$.
    $\quad$
  2. voir question précédente
    $\quad$
  3. On a $u_{10}=10~000\times 1,15^{10}\approx 40~456$
    Au bout de $10$ heures il y aura $40~456$ bactéries.
    $\quad$
  4. Le nombre de bactéries semble tendre vers $+\infty$ quand le nombre d’heures tend vers $+\infty$.
    $\quad$
  5. $\dfrac{4~000}{200~000}=0,02$
    Le pourcentage de diminution du nombre de bactéries est donc égal à $98\%$ (si on considère que les bactéries ne se sont pas reproduites durant cette période d’une heure).
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Une balle en caoutchouc est lâchée sans vitesse initiale d’une hauteur de $2$ mètres au-dessus du sol.
Le choc n’étant pas parfaitement élastique, la balle rebondit jusqu’à une hauteur de $1,60$ mètre et continue à rebondir, en atteignant après chaque rebond une hauteur égale au $\dfrac{4}{5}$ de la hauteur du rebond précédent.

On modélise les hauteurs atteintes par la balle par une suite $\left(h_n\right)$ où pour tout entier naturel $n$, $h_n$ est la hauteur, exprimée en mètres, atteinte par la balle au $n$-ième rebond. On a alors $h_0=2$.

  1. a. Donner $h_1$ et $h_2$ .
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $h_{n+1}$ en fonction de $h_n$.
    $\quad$
    c. En déduire la nature de la suite $\left(h_n\right)$. On précisera sa raison et son premier terme.
    $\quad$
    d. Déterminer le sens de variation de la suite $\left(h_n\right)$.
    $\quad$
  2. Déterminer le nombre minimal $N$ de rebonds à partir duquel la hauteur atteinte par la balle est inférieure à $20$ cm. Expliquer la démarche employée.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On a :
    $\begin{align*} h_1&=\dfrac{4}{5}u_0 \\
    &=0,8\times 2\\
    &=1,6\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} h_2&=\dfrac{4}{5}u_1 \\
    &=0,8\times 1,6\\
    &=1,28\end{align*}$
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a $h_{n+1}=0,8h_n$.
    $\quad$
    c. La suite $\left(h_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $u_0=2$.
    $\quad$
    d. On a $0<0,8<1$ et $u_0>0$.
    La suite $\left(h_n\right)$ est donc décroissante.
    $\quad$
  2. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n<0,2$.
    D’après la question précédente, la suite $\left(h_n\right)$ est donc décroissante.
    On a $u_{10}\approx 0,21$ et $u_{11}\approx 0,17$.
    Il faut donc au minimum $11$ rebonds pour que la hauteur atteinte par la balle soit inférieure à $20$ cm.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Dans un pays, le nombre de créations d’entreprise augmente $1,5\%$ par mois.
En janvier 2018 on compte $50~000$ créations d’entreprise.
On modélise le nombre de créations d’entreprise au $n$-ième mois par une suite $\left(u_n\right)$ telle que $u_{n+1}=u_n\times 1,015$ et $u_0=50$, $u_n$ est exprimé en milliers d’euros.

  1. a. Calculer $u_1$.
    $\quad$
    b. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  2. a. Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ?
    $\quad$
    b. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. Un journaliste annonce qu’au total dans l’année 2018, près de $652~ 000$ entreprises se sont créées. Donner un calcul permettant de justifier les propos du journaliste.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On a $u_1=1,015\times 50=50,75$
    $\quad$
    b. En février 2018 on compte donc $50~750$ créations d’entreprise.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=1,015u_n$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,015$ et de premier terme $u_0=50$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=50\times 1,015^n$.
    $\quad$
    c. On calcule :
    $\begin{align*} S&=u_0+u_1+\ldots +u_{11} \\
    &=50\times \dfrac{1-1,015^{12}}{1-1,015} \\
    &\approx 652\end{align*}$
    Il y a donc bien eu environ $652~000$ créations d’entreprise en 2018.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

La population d’une ville A augmente chaque année de $2\%$. La ville A avait $4~600$ habitants en 2010.
La population d’une ville B augmente de $110$ habitants par année. La ville B avait $5~100$ habitants en 2010.

Pour tout entier $n$, on note $u_n$ le nombre d’habitants de la ville A et $v_n$ le nombre d’habitants de la ville B à la fin de l’année 2010 $+n$.

  1. Calculer le nombre d’habitants de la ville A et le nombre d’habitants de la ville B à la fin de l’année 2011.
    $\quad$
  2. Quelle est la nature des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ ?
    $\quad$
  3. Donner l’expression de $u_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$ et calculer le nombre d’habitants de la ville A en 2020.
    $\quad$
  4. Donner l’expression de $v_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$ et calculer le nombre d’habitants de la ville B en 2020.
    $\quad$
  5. Reproduire et compléter sur la copie l’algorithme ci-dessous qui permet de déterminer au bout de combien d’années la population de la ville A dépasse celle de la ville B.
    $$\begin{array}{l}
    \text{def année ():}\\
    \hspace{0.5cm}\text{u=4600}\\
    \hspace{0.5cm}\text{v=5100}\\
    \hspace{0.5cm}\text{n=0}\\
    \hspace{0.5cm}\text{while $\ldots$:}\\
    \hspace{1cm}\text{u=$\ldots$}\\
    \hspace{1cm}\text{v=$\ldots$}\\
    \hspace{1cm}\text{n=$\ldots$}\\
    \hspace{0.5cm}\text{return n}
    \end{array}$$
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. En 2011, le nombre d’habitants de la ville A est :
    $\begin{align*} u_1&=\left(1+\dfrac{2}{100}\right)u_0\\
    &=1,02\times 4~600\\
    &=4~692\end{align*}$
    et celui de la ville B est :
    $\begin{align*} v_1&=v_0+110\\
    &=5~100+110\\
    &=5~210\end{align*}$
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{2}{100}\right)u_n\\
    &=1,02u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,02$ et de premier terme $u_0=4~600$.
    $v_{n+1}=v_n+110$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc arithmétique de raison $110$ et de premier terme $v_0=5~100$.
    $\quad$
  3. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=4~600\times 1,02^n$
    En 2020, on a $n=10$
    $u_{10}=4~600\times 1,02^{10} \approx 5~607$.
    En 2020, la ville A compte $5~607$ habitants.
    $\quad$
  4. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=5~100+110n$
    $v_{10}=5~100+110\times 10=6~200$
    En 2020, la ville B compte $6~200$ habitants.
    $\quad$
  5. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{l}
    \text{def année ():}\\
    \hspace{0.5cm}\text{u=4600}\\
    \hspace{0.5cm}\text{v=5100}\\
    \hspace{0.5cm}\text{n=0}\\
    \hspace{0.5cm}\text{while u<=v :}\\
    \hspace{1cm}\text{u=1.02*u}\\
    \hspace{1cm}\text{v=v+110}\\
    \hspace{1cm}\text{n=n+1}\\
    \hspace{0.5cm}\text{return n}
    \end{array}$$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Pour placer un capital de $5~000$ euros, une banque propose un placement à taux fixe de $5 \%$ par an. Avec ce placement, le capital augmente de $5 \%$ chaque année par rapport à l’année précédente. Pour bénéficier de ce taux avantageux, il ne faut effectuer aucun retrait d’argent durant les quinze premières années.
On modélise l’évolution du capital disponible par une suite $\left(u_n\right)$. On note $u_n$ le capital disponible après $n$ années de placement.
On dépose $5~000$ euros le 1$\ier$ janvier 2020. Ainsi $u_0 = 5~000$.

  1. Montrer que $u_2 = 5~512,5$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  2. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
    $\quad$
  3. Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? Préciser son premier terme et sa raison.
    $\quad$
  4. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  5. Justifier que le capital aura doublé après $15$ années de placement.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} u_1&=\left(1+\dfrac{5}{100}\right)u_0 \\
    &=1,05\times 5~000\\
    &=5~250\end{align*}$
    Et donc
    $\begin{align*} u_2&=\left(1+\dfrac{5}{100}\right)u_1 \\
    &=1,05\times 5~250\\
    &=5~512,5\end{align*}$
    $2$ années après le placement le capital disponible sera de $5~512,5$ euros.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{5}{100}\right)u_n \\
    &=1,05\times u_n\end{align*}$
    $\quad$
  3. La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,05$ et de premier terme $u_0=5~000$.
    $\quad$
  4. Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=5~000\times 1,05^n$.
    $\quad$
  5. $u_{15}=5~000\times 1,05^{15}\approx 10~395 >2u_0$.
    Le capital aura bien doublé après $15$ années de placement.
    $\quad$

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$\quad$

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