E3C – Séries technologiques – Suites – Janvier 2020

E3C – Suites

Séries technologiques

On trouve dans le tableau suivant les quantités de chocolat vendues en France en 2017 et 2018, exprimées en tonnes.

$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Année}&2017&2018\\
\hline
\text{Tonnes de chocolat vendues}&378~850&333~029\\
\hline
\end{array}$$

Quel a été le pourcentage d’évolution de la quantité de chocolat vendue en France entre 2017 et 2018 ? Arrondir le résultat à $1\%$ près.

On s’intéresse maintenant aux années à venir. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la quantité de chocolat vendue en France l’année 2018$+n$, exprimée en tonnes. Ainsi, on a $u_0 = 333~029$. On
suppose que le taux d’évolution annuel sera de $-12,1\%$ à partir de 2018.

Calculer les valeurs de $u_1$ et $u_2$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique et donner sa raison.
$\quad$
a. Compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’à la fin de l’algorithme la variable 𝑛 contienne le plus grand entier $n$ tel que $u_n \pp 250~000$.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
n\leftarrow 0\\
u\leftarrow 333~029\\
\text{Tant que }\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\\
\hspace{0.5cm} u\leftarrow \ldots\ldots\ldots\ldots\\
\hspace{0.5cm} n\leftarrow n+1\\
\text{Fin Tant que}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
b. En déduire l’année à partir de laquelle la quantité de chocolat vendue en France passera en dessous de $250~000$ tonnes.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

$\dfrac{333~029-378~850}{378~850}\approx -0,12$
La quantité de chocolat vendue en France entre 2017 et 2018 a donc diminué d’environ $12\%$.
$\quad$
On a donc :
$\begin{align*} u_1&=\left(1-\dfrac{12,1}{100}\right)u_0 \\
&=0,879\times 333~029\\
&=292~732,491\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} u_2&=\left(1-\dfrac{12,1}{100}\right)u_1 \\
&=0,879\times 392~732,491\\
&=257~311,859~6\end{align*}$
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1-\dfrac{12,1}{100}\right)u_n \\
&=0,879\times u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,879$ et de premier terme $u_0=333~029$.
$\quad$
a. On obtient l’algorithme suivant :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
n\leftarrow 0\\
u\leftarrow 333~029\\
\text{Tant que }u> 250~000\\
\hspace{0.5cm} u\leftarrow 0,879 \times u\\
\hspace{0.5cm} n\leftarrow n+1\\
\text{Fin Tant que}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
b. On a :
$u_0=333~029$, $u_1 \approx 292~732$, $u_2\approx 257~312$ et $u_3 \approx 229~177$
C’est donc en 2021 que la quantité de chocolat venue en France passera en dessous de $250~000$ tonnes.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Un complexe cinématographique a ouvert ses portes en 2018 en périphérie d’une ville.
En 2018, le complexe a accueilli $180$ mille spectateurs. La gestionnaire du complexe prévoit une augmentation de $4 \%$ par an de la fréquentation du complexe.

Soit $n$ un entier naturel. On note $u_n$ le nombre de spectateurs, en milliers, du complexe cinématographique pour l’année (2018 $+n$). On a donc $u_0 = 180$.

Étude de la suite $\left(u_n\right)$.
a. Calculer le nombre de spectateurs en 2019.
$\quad$
b. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique. Préciser sa raison.
$\quad$
c. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
$\quad$
Un cinéma était déjà installé au centre-ville.
En 2018, il a accueilli $260~000$ spectateurs. Avec l’ouverture du complexe, le cinéma du centre-ville prévoit de perdre $10~000$ spectateurs par an.
Pour $n$, entier naturel, on note $v_n$ le nombre de spectateurs, en milliers, accueillis dans le
cinéma du centre-ville l’année (2018 $+n$). On a donc $v_0 = 260$.
a. Quelle est la nature de la suite $\left(v_n\right)$ ?
$\quad$
b. On donne le programme ci-dessous, écrit en Python.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def cinema() :}\\
\hspace{1cm}\text{n = 0}\\
\hspace{1cm}\text{u = 180}\\
\hspace{1cm}\text{v = 260}\\
\hspace{1cm}\text{while u < v :}\\
\hspace{2cm}\text{n = n + 1}\\
\hspace{2cm}\text{u = 1.04*u}\\
\hspace{2cm}\text{v = v – 10}\\
\hspace{1cm}\text{return n}\\
\hline
\end{array}$$
Quelle est la valeur renvoyée lors de l’exécution de la fonction $\text{cinema()}$ ?
L’interpréter dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a. On a :
$\begin{align*} u_1&=\left(1+\dfrac{4}{100}\right)u_0\\
&=1,04\times 180\\
&=187,2\end{align*}$
En 2019 le cinéma a accueilli $187~200$ spectateurs.
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{4}{100}\right)u_n\\
&=1,04u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,04$ et de premier terme $u_0=180$.
$\quad$
c. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=180\times 1,04^n$.
$\quad$
a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_{n+1}=v_n-10$.
La suite $\left(v_n\right)$ est donc arithmétique de raison $-10$ et de premier terme $v_0=260$.
$\quad$
b. La fonction $\text{cinema()}$ détermine le plus petite entier naturel $n$ tel que $u_n \pg v_n$.
Voici les premières valeurs prises, arrondies au millième si nécessaire, par les termes des deux suites.
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
n& 0& 1& 2& 3& 4& 5\\
\hline
u_n& 180& 187,2& 194,688& 202,476& 210,575& 218,998\\
\hline
~~v_n~~& ~~~~260~~~~& ~~~~250~~~~& ~~240~~& ~~230~~& ~~220~~& ~~210~~\\
\hline
\end{array}$
La fonction $\text{cinema()}$ renvoie donc la valeur $5$.
Cela signifie que c’est au bout de $5$ ans que la fréquentation du complexe sera supérieure pour la première fois à celle du cinéma de centre-ville.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Un globe-trotter a comme objectif de parcourir $2~000$ km à pied. Il peut parcourir $50$ km en une journée, mais, la fatigue s’accumulant, la distance qu’il parcourt diminue de $2\%$ chaque nouvelle journée.
On note la distance $D_n$ la distance parcourue durant le $n$-ième jour.
Le premier jour de son périple, il parcourt donc $D_1 = 50$ km.

Calculer la distance parcourue le deuxième jour.
$\quad$
Quelle est la nature de la suite $\left(D_n\right)$ ? Donnez ses éléments caractéristiques.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n\pg 1$, déterminer l’expression de $D_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
Pour calculer le nombre de jours qu’il faudra au globe-trotter pour atteindre son objectif, on a écrit le programme Python suivant :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def nb_jours:}\\
\hspace{1cm}\text{j=1}\\
\hspace{1cm}\text{u=50}\\
\hspace{1cm}\text{S=50}\\
\hspace{1cm}\text{while $\ldots\ldots$:}\\
\hspace{2cm}\text{u=0.98*u}\\
\hspace{2cm}\text{S=S+u}\\
\hspace{2cm}\text{j= $\ldots\ldots$}\\
\hspace{1cm}\text{return j}\\
\hline
\end{array}$$
Compléter les deux lignes incomplètes de ce programme.
$\quad$
À l’aide de l’extrait de tableur ci-dessous, déterminer
quand le globe-trotter aura atteint son objectif.

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Le deuxième jour, il a parcouru $50\times \left(1-\dfrac{2}{100}\right)=49$ km.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n\pg 1$ on a :
$\begin{align*} D_{n+1}&=\left(1-\dfrac{2}{100}\right)D_n\\
&=0,98D_n\end{align*}$
La suite $\left(D_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,98$ et de premier terme $D_1=50$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n\pg 1$ on a donc $D_n=50\times 0,98^{n-1}$.
$\quad$
On obtient le programme Python suivant :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def nb_jours:}\\
\hspace{1cm}\text{j=1}\\
\hspace{1cm}\text{u=50}\\
\hspace{1cm}\text{S=50}\\
\hspace{1cm}\text{while S<2000:}\\
\hspace{2cm}\text{u=0.98*u}\\
\hspace{2cm}\text{S=S+u}\\
\hspace{2cm}\text{j= j+1}\\
\hspace{1cm}\text{return j}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
D’après le tableur, le globe-trotter atteindra son objectif au bout de $80$ jours.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Durant l’été, une piscine extérieure perd chaque semaine $4 \%$ de son volume d’eau par évaporation. On étudie ici un bassin qui contient $80$ m$^3$ après son remplissage.

Montrer par un calcul que ce bassin contient $76,8$ m$^3$ d’eau une semaine après son remplissage.
$\quad$
On ne rajoute pas d’eau dans le bassin et l’eau continue à s’évaporer. On modélise le volume d’eau contenue dans la piscine par une suite $\left(V_n\right)$ : pour tout entier naturel $n$, on note $V_n$ la quantité d’eau en m$^3$ contenue dans la piscine $n$ semaines après son remplissage. Ainsi $V_0=80$.
a. Justifier que pour tout entier naturel $n$, $V_{n+1} = 0,96V_n$ et préciser la nature de la suite $\left(V_n\right)$ ainsi définie.
$\quad$
b. Donner une expression de $V_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
c. Quelle quantité d’eau contient le bassin au bout de $7$ semaines ?
$\quad$
Pour compenser en partie les pertes d’eau provoquées par l’évaporation, on décide de rajouter $2$ m$^3$ d’eau chaque semaine dans le bassin. On souhaite déterminer au bout de
combien de semaines, le volume d’eau contenu dans la piscine devient inférieur à $70$ m$^3$.
Compléter la fonction Python suivante afin que l’appel $\text{nombreJour(70)}$ renvoie le nombre de semaines à partir duquel le volume d’eau de la piscine sera inférieur à $70$ m$^3$.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def nombreJour(U) :}\\
\hspace{0.5cm}\text{N=0}\\
\hspace{0.5cm}\text{V=80}\\
\hspace{0.5cm}\text{while $\ldots$ >= $\ldots$ :}\\
\hspace{1cm}\text{N=N+1}\\
\hspace{1cm}\text{V=$\ldots\ldots\ldots$}\\
\hspace{0.5cm}\text{return $\ldots$}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Une semaine après son remplissage,le volume d’eau, en m$^3$, contenu dans le bassin est :
$\begin{align*} V&=\left(1-\dfrac{4}{100}\right)\times 80\\
&=0,96\times 80\\
&=76,8\end{align*}$
$\quad$
a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} V_{n+1}&=\left(1-\dfrac{4}{100}\right) V_n\\
&=0,96V_n\end{align*}$
La suite $\left(V_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,96$ et de premier terme $V_0=80$.
$\quad$
b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $V_n=80\times 0,96^n$.
$\quad$
c. $V_7=80\times 0,96^7 \approx 60,12$.
Au bout de $7$ semaines, le bassin contient $60,12$ m$^3$ d’eau.
$\quad$
On obtient le programme suivant :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def nombreJour(U) :}\\
\hspace{0.5cm}\text{N=0}\\
\hspace{0.5cm}\text{V=80}\\
\hspace{0.5cm}\text{while V >= U :}\\
\hspace{1cm}\text{N=N+1}\\
\hspace{1cm}\text{V=0.96*V+2}\\
\hspace{0.5cm}\text{return N}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Un biologiste étudie une population de bactéries dans un milieu fermé. À l’instant initial, il y a $10~000$ bactéries et la population augmente de $15\%$ par heure.
On modélise la situation par une suite $\left(u_n\right)$ pour laquelle, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente une estimation du nombre de bactéries au bout de $n$ heures.
On a donc $u_0=10~000$.

Expliquer pourquoi la suite $\left(u_n\right)$ vérifie pour tout entier naturel $n$ : $$u_n=10~000\times 1,15^n$$
$\quad$
Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$. On précisera le premier terme et la raison.
$\quad$
Combien y aura-t-il de bactéries au bout de $10$ heures ?
$\quad$
On considère la fonction suivante définie en langage Python.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def bacteries(N) :}\\
\hspace{1cm}\text{u=10000}\\
\hspace{1cm}\text{for i in range(N) :}\\
\hspace{2cm}\text{u=u*1.15}\\
\hspace{1cm}\text{return u }\\
\hline
\end{array}$$
On a appelé cette fonction en donnant différentes valeurs au paramètre $n$ et l’on a dressé le tableau suivant.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
n& 10& 100& 1~ 000& 10~ 000\\
\hline
\text{bacteries}(n)& 40~455& 1,2 \times 10^{10}& 4,99 \times 10^{64}& 3,052 \times 10^{307 }\\
\hline
\end{array}$$
Quelle interprétation peut-on donner de ces résultats dans le contexte de l’exercice ?
$\quad$
Lorsque la population atteint $200~000$ bactéries, le biologiste répand un désinfectant afin de tester son efficacité. Une heure plus tard, il reste $4~000$ bactéries. Quel est le pourcentage de diminution du nombre de bactéries?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{15}{100}\right)\times u_n\\
&=1,15u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,15$ et de premier terme $u_0=10~000$.
Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=10~000\times 1,15^n$.
$\quad$
voir question précédente
$\quad$
On a $u_{10}=10~000\times 1,15^{10}\approx 40~456$
Au bout de $10$ heures il y aura $40~456$ bactéries.
$\quad$
Le nombre de bactéries semble tendre vers $+\infty$ quand le nombre d’heures tend vers $+\infty$.
$\quad$
$\dfrac{4~000}{200~000}=0,02$
Le pourcentage de diminution du nombre de bactéries est donc égal à $98\%$ (si on considère que les bactéries ne se sont pas reproduites durant cette période d’une heure).
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Une balle en caoutchouc est lâchée sans vitesse initiale d’une hauteur de $2$ mètres au-dessus du sol.
Le choc n’étant pas parfaitement élastique, la balle rebondit jusqu’à une hauteur de $1,60$ mètre et continue à rebondir, en atteignant après chaque rebond une hauteur égale au $\dfrac{4}{5}$ de la hauteur du rebond précédent.

On modélise les hauteurs atteintes par la balle par une suite $\left(h_n\right)$ où pour tout entier naturel $n$, $h_n$ est la hauteur, exprimée en mètres, atteinte par la balle au $n$-ième rebond. On a alors $h_0=2$.

a. Donner $h_1$ et $h_2$ .
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $h_{n+1}$ en fonction de $h_n$.
$\quad$
c. En déduire la nature de la suite $\left(h_n\right)$. On précisera sa raison et son premier terme.
$\quad$
d. Déterminer le sens de variation de la suite $\left(h_n\right)$.
$\quad$
Déterminer le nombre minimal $N$ de rebonds à partir duquel la hauteur atteinte par la balle est inférieure à $20$ cm. Expliquer la démarche employée.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a. On a :
$\begin{align*} h_1&=\dfrac{4}{5}h_0 \\
&=0,8\times 2\\
&=1,6\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} h_2&=\dfrac{4}{5}h_1 \\
&=0,8\times 1,6\\
&=1,28\end{align*}$
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n$ on a $h_{n+1}=0,8h_n$.
$\quad$
c. La suite $\left(h_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $h_0=2$.
$\quad$
d. On a $0<0,8<1$ et $h_0>0$.
La suite $\left(h_n\right)$ est donc strictement décroissante.
$\quad$
On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $h_n<0,2$.
D’après la question précédente, la suite $\left(h_n\right)$ est donc décroissante.
On a $h_{10}\approx 0,21$ et $h_{11}\approx 0,17$.
Il faut donc au minimum $11$ rebonds pour que la hauteur atteinte par la balle soit inférieure à $20$ cm.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Dans un pays, le nombre de créations d’entreprise augmente $1,5\%$ par mois.
En janvier 2018 on compte $50~000$ créations d’entreprise.
On modélise le nombre de créations d’entreprise au $n$-ième mois par une suite $\left(u_n\right)$ telle que $u_{n+1}=u_n\times 1,015$ et $u_0=50$, $u_n$ est exprimé en milliers d’euros.

a. Calculer $u_1$.
$\quad$
b. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
a. Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ?
$\quad$
b. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
c. Un journaliste annonce qu’au total dans l’année 2018, près de $652~ 000$ entreprises se sont créées. Donner un calcul permettant de justifier les propos du journaliste.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a. On a $u_1=1,015\times 50=50,75$
$\quad$
b. En février 2018 on compte donc $50~750$ créations d’entreprise.
$\quad$
a. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=1,015u_n$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,015$ et de premier terme $u_0=50$.
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=50\times 1,015^n$.
$\quad$
c. On calcule :
$\begin{align*} S&=u_0+u_1+\ldots +u_{11} \\
&=50\times \dfrac{1-1,015^{12}}{1-1,015} \\
&\approx 652\end{align*}$
Il y a donc bien eu environ $652~000$ créations d’entreprise en 2018.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

La population d’une ville A augmente chaque année de $2\%$. La ville A avait $4~600$ habitants en 2010.
La population d’une ville B augmente de $110$ habitants par année. La ville B avait $5~100$ habitants en 2010.

Pour tout entier $n$, on note $u_n$ le nombre d’habitants de la ville A et $v_n$ le nombre d’habitants de la ville B à la fin de l’année 2010 $+n$.

Calculer le nombre d’habitants de la ville A et le nombre d’habitants de la ville B à la fin de l’année 2011.
$\quad$
Quelle est la nature des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ ?
$\quad$
Donner l’expression de $u_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$ et calculer le nombre d’habitants de la ville A en 2020.
$\quad$
Donner l’expression de $v_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$ et calculer le nombre d’habitants de la ville B en 2020.
$\quad$
Reproduire et compléter sur la copie l’algorithme ci-dessous qui permet de déterminer au bout de combien d’années la population de la ville A dépasse celle de la ville B.
$$\begin{array}{l}
\text{def année ():}\\
\hspace{0.5cm}\text{u=4600}\\
\hspace{0.5cm}\text{v=5100}\\
\hspace{0.5cm}\text{n=0}\\
\hspace{0.5cm}\text{while $\ldots$:}\\
\hspace{1cm}\text{u=$\ldots$}\\
\hspace{1cm}\text{v=$\ldots$}\\
\hspace{1cm}\text{n=$\ldots$}\\
\hspace{0.5cm}\text{return n}
\end{array}$$
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

En 2011, le nombre d’habitants de la ville A est :
$\begin{align*} u_1&=\left(1+\dfrac{2}{100}\right)u_0\\
&=1,02\times 4~600\\
&=4~692\end{align*}$
et celui de la ville B est :
$\begin{align*} v_1&=v_0+110\\
&=5~100+110\\
&=5~210\end{align*}$
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{2}{100}\right)u_n\\
&=1,02u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,02$ et de premier terme $u_0=4~600$.
$v_{n+1}=v_n+110$
La suite $\left(v_n\right)$ est donc arithmétique de raison $110$ et de premier terme $v_0=5~100$.
$\quad$
Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=4~600\times 1,02^n$
En 2020, on a $n=10$
$u_{10}=4~600\times 1,02^{10} \approx 5~607$.
En 2020, la ville A compte $5~607$ habitants.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=5~100+110n$
$v_{10}=5~100+110\times 10=6~200$
En 2020, la ville B compte $6~200$ habitants.
$\quad$
On obtient l’algorithme suivant :
$$\begin{array}{l}
\text{def année ():}\\
\hspace{0.5cm}\text{u=4600}\\
\hspace{0.5cm}\text{v=5100}\\
\hspace{0.5cm}\text{n=0}\\
\hspace{0.5cm}\text{while u<=v :}\\
\hspace{1cm}\text{u=1.02*u}\\
\hspace{1cm}\text{v=v+110}\\
\hspace{1cm}\text{n=n+1}\\
\hspace{0.5cm}\text{return n}
\end{array}$$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Pour placer un capital de $5~000$ euros, une banque propose un placement à taux fixe de $5 \%$ par an. Avec ce placement, le capital augmente de $5 \%$ chaque année par rapport à l’année précédente. Pour bénéficier de ce taux avantageux, il ne faut effectuer aucun retrait d’argent durant les quinze premières années.
On modélise l’évolution du capital disponible par une suite $\left(u_n\right)$. On note $u_n$ le capital disponible après $n$ années de placement.
On dépose $5~000$ euros le 1$\ier$ janvier 2020. Ainsi $u_0 = 5~000$.

Montrer que $u_2 = 5~512,5$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
$\quad$
Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? Préciser son premier terme et sa raison.
$\quad$
Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
Justifier que le capital aura doublé après $15$ années de placement.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a :
$\begin{align*} u_1&=\left(1+\dfrac{5}{100}\right)u_0 \\
&=1,05\times 5~000\\
&=5~250\end{align*}$
Et donc
$\begin{align*} u_2&=\left(1+\dfrac{5}{100}\right)u_1 \\
&=1,05\times 5~250\\
&=5~512,5\end{align*}$
$2$ années après le placement le capital disponible sera de $5~512,5$ euros.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{5}{100}\right)u_n \\
&=1,05\times u_n\end{align*}$
$\quad$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,05$ et de premier terme $u_0=5~000$.
$\quad$
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=5~000\times 1,05^n$.
$\quad$
$u_{15}=5~000\times 1,05^{15}\approx 10~395 >2u_0$.
Le capital aura bien doublé après $15$ années de placement.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

En 2016, a été lancée une plateforme de streaming par abonnement.
Le tableau suivant donne le nombre d’abonnés (en million) au 31 décembre de chaque année de 2016 jusqu’en 2019. $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
\hline
\text{Rang de l’année}&1&2&3&4\\
\hline
\text{31 décembre de l’année:}&2016&2017&2018&2019\\
\hline
\text{Nombre d’abonnés (en millions)}&12&13,7&15,8&18,2\\
\hline
\end{array}$$
Les responsables de cette plateforme étudient l’évolution du nombre d’abonnés afin d’adapter leurs investissements.

Quelle a été en pourcentage l’évolution du nombre d’abonnés entre 2016 et 2017 ?
$\quad$
Expliquer pourquoi le taux moyen d’évolution par an entre 2016 et 2019, arrondi au centième, est de $14,89\%$.
$\quad$
On considère que le nombre d’abonnés a augmenté de $15\%$ par an à partir de 2016. On décide de modéliser ce nombre d’abonnés (en millions) par une suite de premier terme $12$.
Préciser la nature de cette suite et sa raison.
$\quad$
Quel sera selon ce modèle, le nombre d’abonnés au 31 décembre 2020 ?
$\quad$
Pour déterminer en quelle année, selon ce modèle, sera obtenu l’objectif de $40$ millions d’abonnés, on a défini en langage Python la fonction Seuil ci-dessous.
$$\begin{array}{|ll|}
\hline
1&\textcolor{blue}{\text{def }}\text{Seuil():}\\
2&\hspace{0.5cm}\text{n=}\textcolor{Emerald}{2016}\\
3&\hspace{0.5cm}\text{A=}\textcolor{Emerald}{12}\\
4& \hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{while }}\ldots \text{:}\\
5& \hspace{1cm}\text{A= $\ldots$}\\
6& \hspace{1cm}\text{n=n+}\textcolor{Emerald}{1}\\
7& \hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{n}\\
\hline
\end{array}$$
Recopier et compléter les instructions $4$ et $5$ afin que ce programme fournisse l’année où cet objectif sera atteint.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

$\dfrac{13,7-12}{12}\approx 0,141~7$
Le nombre d’abonnés a augmenté d’environ $14,17\%$ entre 2016 et 2017.
$\quad$
On a $12\left(1+\dfrac{14,89}{100}\right)^3\approx 18,2$.
Le taux moyen d’évolution par an entre 2016 et 2019 est donc environ égal à $14,89\%$.
$\quad$
On appelle $u_n$ le nombre d’abonnés de l’année 2016$+n$. On a donc $u_1=12$.
Pour tout entier naturel on a :
$\begin{align*}u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{15}{100}\right)u_n \\
&=1,15u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,15$ et de premier terme $u_1=12$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=12\times 1,15^{n-1}$.
En 2020 on a $n=5$.
Par conséquent $u_5=12\times 1,15^4 \approx 20,99$.
Selon ce modèle, il y aura $20,99$ millions d’abonnés au 31 décembre 2020.
$\quad$
On obtient le programme suivant :
$$\begin{array}{|ll|}
\hline
1&\textcolor{blue}{\text{def }}\text{Seuil():}\\
2&\hspace{0.5cm}\text{n=}\textcolor{Emerald}{2016}\\
3&\hspace{0.5cm}\text{A=}\textcolor{Emerald}{12}\\
4& \hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{while }}\text{A< } \textcolor{Emerald}{40 } \text{:}\\
5& \hspace{1cm}\text{A= A*}\textcolor{Emerald}{1.15}\\
6& \hspace{1cm}\text{n=n+}\textcolor{Emerald}{1}\\
7& \hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{n}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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