E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Une banque propose un placement. Le compte est rémunéré et rapporte $5 \%$ par an. La banque prend des frais de gestion qui se montent à $12$ euros par an.

Ainsi, chaque année la somme sur le compte augmente de $5 \%$ puis la banque prélève $12$ euros.

Noémie place la somme de $1~000$ euros dans cette banque.

On appelle $u_n$ la somme disponible sur le compte en banque de Noémie après $n$ années, où $n$ désigne un entier naturel.

On a donc $u_0 = 1~000$ et pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1} = 1,05 u_n-12$.

  1. Avec un tableur on a calculé les premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$ :

    a.
    Quelle formule a-t-on entrée dans la cellule $B3$ avant de l’étirer pour obtenir ces résultats ?
    $\quad$
    b. En utilisant les valeurs calculées de la suite, indiquer à Noémie combien de temps elle doit attendre pour que son placement lui rapporte $20 \%$.
    $\quad$

On pose $\left(v_n\right)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n=u_n-240$.

  1. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $1,05$.
    $\quad$
  2. Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de l’entier $n$.
    $\quad$
  3. Calculer à partir de cette dernière formule la somme disponible sur le compte en banque de Noémie après $20$ ans de placement.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On a pu saisir la formule $=B2*1.05-12$
    $\quad$
    b. $1~000\times \left(1+\dfrac{20}{100}\right)=1~200$.
    Elle doit donc attendre $5$ ans avant que son placement lui rapporte $20\%$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-240\ssi u_n=v_n+240$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-240\\
    &=1,05u_n-12-240\\
    &=1,05u_n-242\\
    &=1,05\left(v_n+240\right)-242\\
    &=1,05v_n+242-242\\
    &=1,05v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,05$.
    Son premier terme est :
    $\begin{align*} v_0&=u_0-240\\
    &=1~000-240\\
    &=760\end{align*}$
    $\quad$
  3. Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=760\times 1,05^n$ et
    $\begin{align*} u_n&=v_n+240\\
    &=760\times 1,05^n+240\end{align*}$
    $\quad$
  4. On a :
    $\begin{align*} u_{20}&=760\times 1,05^{20}+240\\
    &\approx 2~256,51\end{align*}$
    À partir de cette dernière formule Noémie disposera après 20 ans de placement d’environ $2~256,51$ €.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la
lettre correspondante à la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des
recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.

Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question
sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

On considère la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ donnée par le tableau ci-dessous :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
k&-5&0&10&20&50\\
\hline
P(X=k)&0,71&0,03&0,01&0,05&0,2\\
\hline
\end{array}$$
L’espérance de $X$ est :

a. $15$
b. $0,2$
c. $7,55$
d. $17$

$\quad$

Correction Question 1

L’espérance de $X$ est :

$\begin{align*} E(X)&=\small{-5\times 0,71+0\times 0,03+10\times 0,01+20\times 0,05+50\times 0,2} \\
&=7,55\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 2

On se place dans un repère orthonormé.
Le cercle de centre A( -2 ; 4) et de rayon 9 a pour équation :

a. $(x+2)^2+(y-4)^2=81$
b. $(x-2)^2+(y+4)^2=81$
c. $(x+2)^2+(y-4)^2=9$
d. $(x-2)^2+(y+4)^2=9$

$\quad$

Correction Question 2

Une équation du cercle est $\left(x-(-2)\right)^2+(y-4)^2=9^2$ soit $(x+2)^2+(y-4)^2=81$.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=ax^2+bx+c$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels.

On considère dans un repère la courbe représentative de $f$ tracée ci-dessous.

On appelle $\Delta$ son discriminant.

On peut affirmer que :

a. $a>0$ ou $c<0$
b. $c$ et $\Delta$ sont du même signe
c. $a<0$ et $c<0$
d. $a<0$ et $\Delta<0$

$\quad$

Correction Question 3

D’après le graphique $a<0$ (la fonction $f$ admet un maximum) et $\Delta>0$ (il y a deux racines)
Les deux racines $x_1$ et $x_2$ sont de signes différents.
Or $ax_1x_2=c$ donc $c>0$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

On considère la suite $\left(U_n\right)$ définie par $U_0=-2$ et $U_{n+1}=2U_n-5$.
Un algorithme permettant de calculer la somme $S=U_0+U_1+\ldots+U_{36}$ est :

$\begin{array}{llll}
\textbf{a.}&\begin{array}{|l|}
\hline
\text{U=-2}\\
\text{S=0}\\
\text{Pour i de 1 à 37}\\
\hspace{0.5cm}\text{U$\leftarrow$2U-5}\\
\hspace{0.5cm}\text{S$\leftarrow$S+U}\\
\text{Fin Pour}\\
\hline\end{array}&\textbf{b.}&\begin{array}{|l|}
\hline
\text{U=-2}\\
\text{S=0}\\
\text{Pour i de 1 à 36}\\
\hspace{0.5cm}\text{U$\leftarrow$2U-5}\\
\hspace{0.5cm}\text{S$\leftarrow$S+U}\\
\text{Fin Pour}\\
\hline\end{array}\\\\
\textbf{c.}&\begin{array}{|l|}
\hline
\text{U=-2}\\
\text{S=-2}\\
\text{Pour i de 1 à 37}\\
\hspace{0.5cm}\text{S$\leftarrow$S+U}\\
\hspace{0.5cm}\text{U$\leftarrow$2U-5}\\
\text{Fin Pour}\\
\hline\end{array}&\textbf{d.}&\begin{array}{|l|}
\hline
\text{U=-2}\\
\text{S=-2}\\
\text{Pour i de 1 à 36}\\
\hspace{0.5cm}\text{U$\leftarrow$2U-5}\\
\hspace{0.5cm}\text{S$\leftarrow$S+U}\\
\text{Fin Pour}\\
\hline\end{array}\end{array}$

$\quad$

Correction Question 4

Si la variable $\text{U}$ est transformée avant la variable $\text{S}$ alors $\text{S}$ doit être initialisée à $-2$.
Dans l’algorithme c., quand $\text{i}=1$, la variable $S$ prend la valeur $u_0+u_0$ au lieu de $u_0+u_1$.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

La suite $\left(U_n\right)$ définie par $U_0=-2$ et $U_{n+1}=2U_n-5$ est :

a. arithmétique mais pas géométrique
b. géométrique mais pas arithmétique
c. ni arithmétique, ni géométrique
d. à la fois arithmétique et géométrique

$\quad$

Correction Question 5

On $U_0=-2$
$\begin{align*} U_1&=2U_0-5\\
&=2\times (-2)-5 \\
&=-9\end{align*}$
$\begin{align*} U_2&=2U_1-5\\
&=2\times (-9)-5\\
&=-23\end{align*}$

Ainsi :

  • $U_1-U_0=-7$ et $U_2-U_1=-14$
    Ces différences ne sont pas égales : la suite n’est pas arithmétique
  • $\dfrac{U_1}{U_0}=\dfrac{9}{2}$ et $\dfrac{U_2}{U_1}=\dfrac{23}{9}$
    Ces quotients ne sont pas égaux : la suite n’est pas géométrique

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Un apiculteur souhaite étendre son activité de production de miel à une nouvelle région.
Au printemps 2019, il achète $300$ colonies d’abeilles qu’il installe dans cette région.
Il consulte les services spécialisés de la région et s’attend à perdre $8\%$ des colonies chaque hiver. Pour maintenir son activité et la développer, il prévoit d’installer $50$ nouvelles colonies chaque printemps, à partir de l’année suivante.

  1. On donne le programme suivant écrit en langage Python :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def algo( ) :}\\
    \hspace{1cm} \text{C = 300}\\
    \hspace{1cm} \text{N = 0}\\
    \hspace{1cm} \text{while C < 400 :}\\
    \hspace{1.5cm} \text{C = C*0.92+50}\\
    \hspace{1.5cm} \text{N = N+1}\\
    \hspace{1cm} \text{return (N)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Recopier et compléter en ajoutant des colonnes, le tableau ci-dessous qui
    reproduit l’avancement du programme pas à pas :
    Les valeurs seront arrondies à l’entier le plus proche.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c}
    \hline
    \text{C}&300&326&\ldots\ldots&\phantom{\ldots\ldots}\\
    \hline
    \text{« C < 400 » ?}&\text{oui}&\text{oui}&\ldots\ldots&\phantom{\ldots\ldots}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Quelle est la valeur de $\text{N}$ renvoyée par le programme ?
    Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

Le nombre de colonies est modélisée par une suite. On note $C_n$ une estimation du nombre de colonies au printemps de l’année 2019 $+ 𝑛$ .

Ainsi $C_0= 300$ est le nombre de colonies au printemps 2019.

On admet que pour tout entier naturel $n$, on a : $$C_{n+1}=0,92C_n+50$$

  1. La suite $\left(C_n\right)$ est-elle arithmétique? La suite $\left(C_n\right)$ est-elle géométrique?
    $\quad$
  2. On admet que $C_n=625-325\times 0,92^n$ pour tout entier naturel $n$.
    L’apiculteur pourra-t-il atteindre les $700$ colonies?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{C}&300&326&350&372&392&411\\
    \hline
    \text{« C < 400 » ?}&\text{oui}&\text{oui}&\text{oui}&\text{oui}&\text{oui}&\text{non}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Le programme renvoie la valeur $5$.
    Cela signifie que l’apiculteur doit attendre $5$ ans pour avoir au moins $400$ colonies d’abeilles.
    $\quad$
  2. On a $C_0=300$
    $\begin{align*} C_1&=0,92C_0+50\\
    &=0,92\times 300+50\\
    &=326\end{align*}$
    $\begin{align*} C_2&=0,92C_1+50\\
    &=0,92\times 326+50\\
    &=349,92\end{align*}$
    Ainsi $C_1-C_0=26$ et $C_2-C_1=23,92$.
    Ces différences ne sont pas égales : la suite $\left(C_n\right)$ n’est pas arithmétique.
    $\dfrac{C_1}{C_0}\approx 1,087$ et $\dfrac{C_2}{C_1}\approx 1,073$.
    Ces quotients ne sont pas égaux : la suite $\left(C_n\right)$ n’est pas géométrique.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a $325\times 0,92^n>0$.
    Donc $C_n<625$.
    L’apiculteur ne pourra pas atteindre $700$ colonies.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=100$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n-\dfrac{13}{100}u_n$.
Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$?

a. géométrique de raison $1$
b. arithmétique de raison $-\dfrac{13}{100}$
c. géométrique de raison $^1$ et arithmétique de raison $-\dfrac{13}{100}$
d. géométrique de raison $0,87$

Correction Question 1

Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} u_{n+1}&=u_n-\dfrac{13}{100}u_n\\
&=0,87u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,87$.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

On considère la variable aléatoire $X$ qui prend les valeurs $x_i$ pour $i$ entier naturel allant de $1$ à $5$. La loi de probabilité incomplète de la variable aléatoire $X$ est donnée ci-dessous : $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
X=x_i&-6& -3& 0& 3& x_5\\
\hline
P\left(X=x_i\right)& 0,2& 0,1& 0,2& 0,4& 0,1\\
\hline
\end{array}$$
L’espérance de la variable aléatoire $X$ est égale à $0,7$.
Quelle est la valeur $x_5$ prise par la variable aléatoire $X$?

a. $6$
b. $1$
c. $10$
d. $100$

$\quad$

Correction Question 2

On a :
$\begin{align*} E(X)=0,7&\ssi -6\times 0,2-3\times 0,1+0+3\times 0,4+0,1x_5=0,7 \\
&\ssi-0,3+0,1x_5=0,7\\
&\ssi 0,1x_5=1 \\
&\ssi x_5=10\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Soit $f$ la fonction dérivable définie sur $\left]-\dfrac{7}{3};+\infty\right[$ par $f(x)=\dfrac{2x+3}{3x+7}$ et $f’$ sa fonction dérivée.

a. $f'(x)=\dfrac{2}{3}$
b. $f'(x)=\dfrac{23}{(3x+7)^2}$
c. $f'(x)=\dfrac{5}{(3x+7)^2}$
d. $f'(x)=\dfrac{5}{3x+7}$

$\quad$

Correction Question 3

Pour tout réel $x\in \left]-\dfrac{7}{3};+\infty\right[$ on a
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2(3x+7)-3(2x+3)}{(3x+7)^2} \\
&=\dfrac{6x+14-6x-9}{(3x+7)^2} \\
&=\dfrac{5}{(3x+7)^2}\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

De 2017 à 2018, le prix d’un article a augmenté de $10 \%$. En 2019, ce même article a retrouvé son prix de 2018. Quelle a été l’évolution du prix entre 2018 et 2019 ?

a. une baisse de $10 \%$
b. une baisse de plus de $10 \%$
c. on ne peut pas savoir
d. une baisse de moins de $10 \%$

$\quad$

Correction Question 4

On appelle $x$ le pourcentage de diminution appliqué au prix entre 2018 et 2019.
On a ainsi
$\begin{align*} \left(1+\dfrac{10}{100}\right)\times \left(1-\dfrac{x}{100}\right)=1 &\ssi 1,01\left(1-\dfrac{x}{100}\right)=1 \\
&\ssi 1-\dfrac{x}{100}=\dfrac{1}{1,01}\\
&\ssi -\dfrac{x}{100}=\dfrac{1}{1,01}-1\\
&\ssi x=-100\left(\dfrac{1}{1,01}-1\right)\end{align*}$
Ainsi $x\approx 0,99$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0=4$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=3u_n-5$. On souhaite qu’à la fin de l’exécution de l’algorithme, la valeur contenue dans la variable $u$ soit celle de $u_5$ . Quel algorithme doit-on choisir ?

$\begin{array}{llll}
\textbf{a.}&\begin{array}{|l|}\hline
u=4\\n=0\\\text{For $k$ in range $(5)$ :}\\
\hspace{0.5cm} u=3*n-5\\\hspace{0.5cm}n=n+1\\\hline\end{array}
&\textbf{b.}&\begin{array}{|l|}\hline
u=4\\n=0\\\text{For $k$ in range $(5)$ :}\\
\hspace{0.5cm} u=3*u_n-5\\\hspace{0.5cm}n=n+1\\\hline\end{array}\\\\
\textbf{c.}&\begin{array}{|l|}\hline
u=4\\\text{For $k$ in range $(5)$ :}\\
\hspace{0.5cm} u=3*u-5\\\hline\end{array}
&\textbf{d.}&\begin{array}{|l|}\hline
u=4\\n=0\\\text{While $\pp 5$ :}\\
\hspace{0.5cm} u=3*u-5\\\hspace{0.7cm}n=n+1\\\hline\end{array}\end{array}$

$\quad$

Correction Question 5

Algorithme a : il faudrait avoir $u=3*u-5$
Algorithme b : $u_n$ n’a pas de sens en python
Algorithme d : dans $\text{While }\pp 5$ il manque une variable avant le $\pp$.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Dans une usine, un four cuit des céramiques à la température de $1~000$°C.
À la fin de la cuisson, on éteint le four et commence alors la phase de refroidissement.
Pour un nombre entier naturel $n$, on note $T_n$ la température en degré Celsius du four au bout de $n$ heures écoulées à partir de l’instant où il a été éteint. On a donc $T_0= 1~000$.
La température $T_n$ est calculée grâce à l’algorithme suivant :$$\begin{array}{|l|}
\hline
T  \leftarrow 1~000\\
\text{Pour $i$ allant de $1$ à $n$}\\
\hspace{0.5cm} T\leftarrow 0,82\times T+3,6\\
\text{Fin Pour}\\
\hline
\end{array}$$

  1. Quelle est la température du four après une heure de refroidissement ?
    $\quad$
  2. Exprimer $T_{n+1}$ en fonction de $T_n$.
    $\quad$
  3. Déterminer la température du four arrondie à l’unité après $4$ heures de refroidissement.
    $\quad$
  4. La porte du four peut être ouverte sans risque pour les céramiques dès que sa température est inférieure à $70$°C. Afin de déterminer le nombre d’heures au bout duquel le four peut être ouvert sans risque, on définit une fonction « froid » en langage Python.
    $$\begin{array}{|ll|}
    \hline
    1&\hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{def }}\text{froid() :}\\
    2&\hspace{1cm}\text{T=}\textcolor{Green}{1000}\\
    3&\hspace{1cm}\text{n=}\textcolor{Green}{0}\\
    4&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{while} }\ldots :\hspace{1cm}\\
    5&\hspace{1.5cm}\text{T= }\ldots\\
    6&\hspace{1.5cm}\text{n=n+}\textcolor{Green}{1}\\
    7&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return }} \text{n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Recopier et compléter les instructions $4$ et $5$.
    $\quad$
  5. Déterminer le nombre d’heures au bout duquel le four peut être ouvert sans risque pour les céramiques.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. $0,82\times 1~000+3,6=823,6$
    Ainsi $T_1=823,6$.
    La température du four après une heure de refroidissement est $823,6$°C.
    $\quad$
  2. D’après l’algorithme, pour tout entier naturel $n$, on a $T_{n+1}=0,82T_n+3,6$.
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} T_2&=0,82T_1+3,6\\
    &=678,952\end{align*}$
    $\begin{align*} T_3&=0,82T_2+3,6\\
    &\approx 560\end{align*}$
    $\begin{align*} T_4&=0,82T_3+3,6\\
    &\approx 463\end{align*}$
    La température du four arrondie à l’unité après $4$ heures de refroidissement est $463$°C.
    $\quad$
  4. On obtient le code suivant :
    $$\begin{array}{|ll|}
    \hline
    1&\hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{def }}\text{froid() :}\\
    2&\hspace{1cm}\text{T=}\textcolor{Green}{1000}\\
    3&\hspace{1cm}\text{n=}\textcolor{Green}{0}\\
    4&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{while} }\text{ T>}\textcolor{Green}{70} :\hspace{1cm}\\
    5&\hspace{1.5cm}\text{T=}\textcolor{Green}{0.82}\times \text{T +}\textcolor{Green}{3.6}\\
    6&\hspace{1.5cm}\text{n=n+}\textcolor{Green}{1}\\
    7&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return }} \text{n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  5. Voici les premières valeurs prises par $T_n$, arrondies au centième.
    $\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    n& T_n\\ \hline
    0& 1000\\ \hline
    1& 823,6\\ \hline
    2& 678,95\\ \hline
    3& 560,34\\ \hline
    4& 463,08\\ \hline
    5& 383,33\\ \hline
    6& 317,93\\ \hline
    7& 264,30\\ \hline
    8& 220,33\\ \hline
    9& 184,27\\ \hline
    10& 154,70\\ \hline
    11& 130,45\\ \hline
    12& 110,57\\ \hline
    13& 94,27\\ \hline
    14& 80,90\\ \hline
    15& 69,94\\ \hline
    \end{array}$
    On peut donc ouvrir le four sans risque pour les céramiques au bout de $15$ heures.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

En 2000, la production mondiale de plastique était de $187$ millions de tonnes. On suppose que depuis 2000, cette production augmente de $3,7 \%$ chaque année.

On modélise la production mondiale de plastique, en millions de tonnes, produite en l’année (2000 $+n$) par la suite de terme général $u_n$ où $n$ désigne le nombre d’année à partir de l’an
2000.
Ainsi, $u_0 = 187$.

  1. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on donnera la raison.
    $\quad$
  2. Pour tout $n\in \N$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  3. Étudier le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$ .
    $\quad$
  4. Selon cette estimation, calculer la production mondiale de plastique en 2019. Arrondir au million de tonnes.
    $\quad$
  5. Des études montrent que $20 \%$ de la quantité totale de plastique se retrouve dans les océans, et que $70 \%$ de ces déchets finissent par couler.
    Montrer que la quantité totale, arrondie au million de tonnes, de déchets flottants sur l’océan dus à la production de plastique de 2000 à 2019 compris est de $324$ millions de tonnes.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Pour tout entier naturel $n$ on :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{3,7}{100}\right)u_n \\
    &=1,037u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,037$ et de premier terme $u_0=187$
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=187\times 1,037^n$.
    $\quad$
  3. On a $1<1,037$ et $u_0>0$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc strictement croissante.
    $\quad$
  4. On a
    $\begin{align*} u_{19}&=187\times 1,037^{19} \\
    &\approx 373\end{align*}$
    Selon cette estimation, la production mondiale de plastique en 2019 est d’environ $373$ millions de tonnes.
    $\quad$
  5. On a :
    $\begin{align*}S_{19}&=u_0+u_1+\ldots u_{19} \\
    &=187\times \dfrac{1-1,037^{20}}{1-1,037}\end{align*}$
    Entre 2000 et 2019 la production mondiale globale de plastique était de $S_{19}\approx 5~398$ millions de tonnes.
    $30%$ des déchets se trouvant dans les océans flottent.
    $0,2\times 0,3\times S_{19}\approx 324$.
    Ma quantité totale, arrondie au million de tonnes, de déchets flottants sur l’océan dus à la production de plastique de 2000 à 2019 compris est de $324$ millions de tonnes.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.
Relevez sur votre copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Question 1

Quelle est la forme factorisée de $f(x)=0,5(x-2)^2-8$?

a. $0,5x^2-2x-6$
b. $0,5(x-6)(x+2)$
c. $0,5(x+10)(x-6)$
d. $0,5(x-10)(x+6)$

$\quad$

Correction Question 1

$\begin{align*} f(x)&=0,5(x-2)^2-8 \\
&=0,5\left[(x-2)^2-16\right]\\
&=0,5\left[(x-2)^2-4^2\right]\\
&=0,5\left[(x-2)-4\right]\left[(x-2)+4\right] \\
&=0,5(x-6)(x+2)\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 2

$\left(u_n\right)$ est une suite arithmétique de raison $r = 0,5$ telle que $u_{10} = -4$. Quelle est la valeur du terme $u_2$ ?

a. $8$
b. $0$
c. $-10$
d. $-8$

$\quad$

Correction Question 2

On a $u_{10}=u_2+8r$
Donc $u_2=u_{10}-8r$ soit $u_2=-8$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Soit la fonction $f$ définie pour tout $x\neq -2$ par : $f(x)=\dfrac{2x-1}{x+2}$.
Parmi les expressions suivantes, laquelle définit la dérivée $f’$ de la fonction $f$ sur $\R\backslash \lbrace -2\rbrace$ ?

a. $f'(x)=-\dfrac{5}{(x+2)^2}$
b. $f'(x)=\dfrac{5}{(x+2)^2}$
c. $f'(x)=\dfrac{3}{(x+2)^2}$
d. $f'(x)=2$

$\quad$

Correction Question 3

$f$ est dérivable sur $]-\infty;-2[\cup]-2;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
Pour tout réel $x \neq -2$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2\times(x+2)-1\times(2x-1)}{(x+2)^2} \\
&=\dfrac{2x+4-2x+1}{(x+2)^2} \\
&=\dfrac{5}{(x+2)^2}\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

On se place dans un repère orthonormé $\Oij$. Laquelle de ces équations est une équation cartésienne de la droite $\Delta$ de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}$ et passant par le point $A(-1;3)$?

a. $2x-y+1=0$
b. $-x+2y-7=0$
c. $x+2y+1=0$
d. $-2x-2y+1=0$

$\quad$

Correction Question 4

$\vec{u}\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $\Delta$.
Une équation de $\Delta$ est donc de la forme $2x+y+c=0$
Le point $A(-1;3)$ appartient à $\Delta$.
Donc $^2\times (-1)+3+c=0 \ssi c=-1$.
Une équation de $\Delta$ est donc $2x+y-1=0$.
En multipliant les deux membres par $-1$ on obtient l’équation $-2x-y+1=0$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 5

On se place dans un repère orthonormé $\Oij$. Parmi ces propositions, quelle est l’équation cartésienne du cercle de centre $A(2 ; 4)$ et de rayon $3$ ?

a. $(x-2)^2+(y-4)^2=3$
b. $(x+2)^2+(y+4)^2=9$
c. $x^2+y^2-4x-8y+11=0$
d. $x^2+y^2+11=0$

$\quad$

Correction Question 5

Une équation du cercle est :
$\begin{align*} &(x-2)^2+(y-4)^2=3^2 \\
\ssi~&x^2-4x+4+y^2-8y+16=9 \\
\ssi~&x^2-4x+y^2-8y+11=0\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Aujourd’hui les chardons (une plante vivace) ont envahi $300$ m² des champs d’une région.
Chaque semaine, la surface envahie augmente de $5 \%$ par le développement des racines, auquel s’ajoutent $15$ m² suite à la dissémination des graines.
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la surface envahie par les chardons, en m$^2$, après $n$ semaines ; on a donc $u_0 = 300$ m$^2$.

  1. a. Calculer $u_1$ et $u_2$.
    $\quad$
    b. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ ainsi définie, n’est ni arithmétique ni géométrique.
    $\quad$
    On admet dans la suite de l’exercice que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 1,05u_n + 15$.
  2. On considère la suite $\left(v_n\right)$, définie pour tout entier naturel $n$, par : $v_n = u_n + 300$.
    a. Calculer $v_0$, puis montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $q= 1,05$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$, puis montrer que $u_n = 600 \times 1,05^n-300$.
    $\quad$
  3. Est-il correct d’affirmer que la surface envahie par les chardons aura doublé au bout de $8$ semaines ? Justifier la réponse.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On a :
    $\begin{align*} u_1&=\left(1+\dfrac{5}{100}\right)\times u_0+15\\
    &=1,05\times 300+15\\
    &=330\end{align*}$
    et
    $\begin{align*} u_2&=\left(1+\dfrac{5}{100}\right)\times u_1+15\\
    &=1,05\times 330+15\\
    &=361,5\end{align*}$
    $\quad$
    b. On a $u_1-u_0=30$ et $u_2-u_1=31,5$.
    Les différences ne sont pas égales : la suite $\left(u_n\right)$ n’est pas arithmétique.
    $\dfrac{u_1}{u_0}=1,1$ et $\dfrac{u_2}{u_1}\approx 1,092$
    Les quotients ne sont pas égaux : la suite $\left(u_n\right)$ n’est pas géométrique.
    $\quad$
  2. a. On a :
    $\begin{align*} v_0&=u_0+300\\
    &=300+300\\
    &=600\end{align*}$
    Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n+300\ssi u_n=v_n-300$
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}+300\\
    &=1,02u_n+15+300\\
    &=1,05\left(v_n-300\right)+315\\
    &=1,05v_n-315+315\\
    &=1,05v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,05$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=600\times 1,05^n$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} u_n&=v_n-300\\
    &=600\times 1,05^n-300\end{align*}$
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} u_8&=600\times 1,05^8-300 \\
    &\approx 586,47\end{align*}$
    Par conséquent $u_8<2\times u_0$.
    L’affirmation est donc fausse.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

En 2002, Camille a acheté une voiture, son prix était alors de $10~500$ €. La valeur de cette voiture a baissé de $14 \%$ par an.

  1. La valeur de cette voiture est modélisée par une suite. On note $P_n$ la valeur de la voiture en l’année 2002$+𝑛$. On a donc $P_0 = 10~500$.
    a. Déterminer la nature de la suite $\left(P_n\right)$.
    $\quad$
    b. Quelle était la valeur de cette voiture en 2010 ?
    $\quad$
  2. Camille aimerait savoir à partir de quelle année la valeur de sa voiture est inférieure à $1~500$ €. Pour l’aider, on réalise le programme Python incomplet ci-dessous.
    a. Recopier et compléter sur votre copie les deux parties en pointillé du programme ci-dessous :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def algo():}\\
    \hspace{1cm} \text{P=10500}\\
    \hspace{1cm} \text{n=2002}\\
    \hspace{1cm} \text{while P} \ldots\ldots\ldots\ldots :\hspace{2cm}\\
    \hspace{2cm} \text{P=}\ldots\ldots\ldots\ldots\\
    \hspace{2cm} \text{n=n+1}\\
    \hspace{1cm} \text{return(n)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    b. Donner la valeur renvoyée par ce programme.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} P_{n+1}&=\left(1-\dfrac{14}{100}\right)P_n\\
    &=0,86P_n\end{align*}$
    La suite $\left(P_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,86$ et de premier terme $P_0=10~500$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $P_n=10~500\times 0,86^n$
    $\begin{align*} P_8&=10~500\times 0,86^8\\
    &\approx 3~141,79\end{align*}$
    La voiture valait environ $3~141,79$ euros en 2010.µ
    $\quad$
  2. a.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def algo():}\\
    \hspace{1cm} \text{P=10500}\\
    \hspace{1cm} \text{n=2002}\\
    \hspace{1cm} \text{while P>=1500}:\hspace{2cm}\\
    \hspace{2cm} \text{P=0,86*P}\\
    \hspace{2cm} \text{n=n+1}\\
    \hspace{1cm} \text{return(n)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    b. $0<0,86<1$ et $P_0>0$.
    La suite $\left(P_n\right)$ est donc décroissante.
    $P_{12}\approx 1~718,6$ et $P_{13}\approx 1~478,0$
    Ainsi le programme renvoie la valeur $2015$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les cinq questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Lors d’une même expérience aléatoire, deux événements $A$ et $B$ vérifient : $$P(A)=0,4 \quad;\quad P(B)=0,6\quad;\quad P\left(A\cap \conj{B}\right)=0,3$$
Alors :

a. $P(A\cap B)=0,1$
b. $P(A\cap B)=0,24$
c. $P(A\cup B)=1$
d. $P(A\cup B)=0,7$

$\quad$

Correction Question 1

$B$ et $\conj{B}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} &P(A)=P(A\cap B)+P\left(A\cap \conj{B}\right) \\
\ssi~&0,4=P(A\cap B)+0,3\\
\ssi~&P(A\cap B)=0,1\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 2

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^2-3x+4$ . L’abscisse du minimum de $f$ est :

a. $-\dfrac{3}{2}$
b. $\dfrac{2}{3}$
c. $\dfrac{3}{2}$
d. $1$

$\quad$

Correction Question 2

$f$ est une fonction du second degré dont le coefficient principal est $a=1>0$.
La fonction possède donc un minimum dont l’abscisse est :
$\begin{align*} \alpha&=-\dfrac{b}{2a} \\
&=-\dfrac{-3}{2} \\
&=\dfrac{3}{2}\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Soit $\left(u_n\right)$ une suite arithmétique telle que $u_5=26$ et $u_9=8$. La raison de $\left(u_n\right)$ vaut :

a. $-18$
b. $\dfrac{8}{26}$
c. $4,5$
d. $-4,5$

$\quad$

Correction Question 3

$\left(u_n\right)$ est une suite arithmétique de raison $r$.
On a donc
$\begin{align*} u_9=u_5+4r&\ssi 8=26+4r\\
&\ssi -18=4r\\
&\ssi r=-4,5\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

On considère l’algorithme suivant, écrit en langage usuel :
$$\begin{array}{l}
\text{Suite(N)}\\
\hspace{1cm} \text{A}\leftarrow 10\\
\hspace{1cm} \text{Pour k de 1 à N}\\
\hspace{2cm} \text{A}\leftarrow \text{2*A-4}\\
\hspace{1cm} \text{Fin Pour}\\
\hspace{1cm} \text{Renvoyer A}\end{array}$$
Pour la valeur $N=4$ le résultat affiché sera :

a. $4$
b. $100$
c. $52$
d. $196$

$\quad$

Correction Question 4

Voici les différentes valeurs prises par les variables $\text{A}$ et $\text{k}$.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{k}&&1&2&3&4\\
\hline
\text{A}&10&16&28&52&100\\
\hline
\end{array}$$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 5

On considère un rectangle $ABCD$ tel que $AB=3$ et $AD=2$.

Alors le produit scalaire $\vect{AC}.\vect{DB}$ vaut :

a. $0$
b. $5$
c. $6$
d. $-6$

$\quad$

Correction Question 5

$\begin{align*} \vect{AC}.\vect{DB}&=\left(\vect{AB}+\vect{BC}\right).\left(\vect{DA}+\vect{AB}\right) \\
&=\vect{AB}.\vect{DA}+\vect{AB}.\vect{AB}+\vect{BC}.\vect{DA}+\vect{BC}.\vect{AB} \\
&=0+AB^2-BC^2+0 \qquad (*)\\
&=9-4\\
&=5\end{align*}$

$(*)$ car $\vect{BC}$ et $\vect{DA}$ sont colinéaires de sens contraire.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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