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E3C2 – 1ère

À la naissance de Lisa, sa grand-mère a placé la somme de $5~000$ euros sur un compte et cet argent est resté bloqué pendant $18$ ans.
Lisa retrouve dans les papiers de sa grand-mère l’offre de la banque :

$$\begin{array}{|l|}
\hline
\hspace{0.5cm}\textbf{Offre}\\
\hline
\hspace{0.5cm}\text{Intérêts composés au taux annuel constant de }3 \%.\\
\hspace{0.5cm}\text{À la fin de chaque année le capital produit 3 % d’intérêts qui sont intégrés au}\\
\hspace{0.5cm}\text{capital}\\
\hline\end{array}$$

On considère que l’évolution du capital acquis, en euro, peut être modélisée par une suite $\left(u_n\right)$ dans laquelle, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est le capital acquis, en euro, $n$ années après la naissance de Lisa.
On a ainsi $u_0 = 5~000$.

1. Montrer que $u_1 = 5~150$ et $u_2 = 5~304,5$.
   $\quad$
2. a. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. En déduire la nature de la suite $\left(u_n\right)$ en précisant sa raison et son premier terme.
   $\quad$
   b. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
   $\quad$
3. Calculer le capital acquis par Lisa à l’âge de $18$ ans. Arrondir au centième.
   $\quad$
4. Si Lisa n’utilise pas le capital dès ses $18$ ans, quel âge aura-t-elle quand celui-ci dépassera $10~000$ euros ?
   $\quad$

$\quad$

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