Suites
E3C2 – 1ère
À la naissance de Lisa, sa grand-mère a placé la somme de $5~000$ euros sur un compte et cet argent est resté bloqué pendant $18$ ans.
Lisa retrouve dans les papiers de sa grand-mère l’offre de la banque :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\hspace{0.5cm}\textbf{Offre}\\
\hline
\hspace{0.5cm}\text{Intérêts composés au taux annuel constant de }3 \%.\\
\hspace{0.5cm}\text{À la fin de chaque année le capital produit 3 % d’intérêts qui sont intégrés au}\\
\hspace{0.5cm}\text{capital}\\
\hline\end{array}$$
On considère que l’évolution du capital acquis, en euro, peut être modélisée par une suite $\left(u_n\right)$ dans laquelle, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est le capital acquis, en euro, $n$ années après la naissance de Lisa.
On a ainsi $u_0 = 5~000$.
- Montrer que $u_1 = 5~150$ et $u_2 = 5~304,5$.
$\quad$ - a. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. En déduire la nature de la suite $\left(u_n\right)$ en précisant sa raison et son premier terme.
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
$\quad$ - Calculer le capital acquis par Lisa à l’âge de $18$ ans. Arrondir au centième.
$\quad$ - Si Lisa n’utilise pas le capital dès ses $18$ ans, quel âge aura-t-elle quand celui-ci dépassera $10~000$ euros ?
$\quad$
$\quad$
- On a
$\begin{align*} u_1&=\left(1+\dfrac{3}{100}\right)u_0 \\
&=1,03\times 5~000\\
&=5~150\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} u_2&=\left(1+\dfrac{3}{100}\right)u_1 \\
&=1,03\times 5~150\\
&=5~304,5\end{align*}$
$\quad$ - a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{3}{100}\right)u_n \\
&=1,03\times u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,03$ et de premier terme $u_0=5~000$.
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=5~000\times 1,03^n$.
$\quad$ - $\quad$
$\begin{align*} u_{18}&=5~000\times 1,03^{18} \\
&\approx 8~512,17\end{align*}$
À $18$ ans le capital de Lisa sera environ égal à $8~512,17$ euros.
$\quad$ - On a $u_{23}\approx 9~867,93$ et $u_{24}\approx 10~163,97$.
Elle aura donc $24$ ans quand son capital dépassera $10~000$ euros.
$\quad$
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