E3C – Fonctions

Séries technologiques

Un skateur se lance sur une rampe d’un skate park. On assimile le skateur à un point et on note $\left(x;h(x)\right)$ les coordonnées du skateur sur la rampe dans le repère ci-dessous :

La fonction $h$ est définie sur l’intervalle $[0;7]$ par $h(x)=0,5x^2-4,5x+7$, où $h(x)$ sont exprimés en mètres.

À quelle hauteur le skateur se lance-t-il sur la rampe ?
$\quad$
a. Sans justification, donner la valeur de $h(2)$.
$\quad$
b. Calculer $h(7)$. En déduire la forme factorisée de $h(x)$.
$\quad$
Déterminer l’ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles le skateur est en dessous de son point d’arrivée.
$\quad$
Déterminer le minimum de $h$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

$h(0)=7$.
Le skateur se lance sur la rampe à une hauteur de $7$ mètres.
$\quad$
a. $h(2)=0$ (on peut le lire sur le graphique ou le calculer avec l’expression de $h(x)$).
$\quad$
b. $h(7)=0,5\times 7^2-4,5\times 7+7=0$
Ainsi $2$ et $7$ sont les racines du polynôme du second degré $h(x)$ dont le coefficient principal est $0,5$.
Par conséquent $h(x)=0,5(x-2)(x-7)$.
$\quad$
On veut donc résoudre $h(x)<0$.
$0,5>0$ par conséquent $h(x)<0$ sur $]2;7[$.
$\quad$
Le minimum est atteint pour $x=-\dfrac{b}{2a}=4,5$.
$h(4,5)=-3,125$.
Le minimum de $h$ est donc $-3,125$.
La position la plus basse du skateur est donc $3,125$ mètres en dessous de son point d’arrivée.
$\quad$

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$\quad$

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