E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Une résidence de vacances propose uniquement deux formules :

  • la formule « pension complète » dans laquelle 3 repas par jour sont fournis ;
  • la formule « demi-pension » dans laquelle sont fournis uniquement le petit
    déjeuner et le dîner.

Pour l’année 2018, $65 \%$ des clients ont choisi la pension complète ; les autres ont choisi la formule « demi-pension ».
Parmi les clients qui ont choisi la demi-pension, $30 \%$ ont réservé l’option « ménage » en fin de semaine. De plus, $70 \%$ des clients qui ont choisi la pension complète ont réservé l’option ménage.
On choisit un client au hasard parmi ceux de l’année 2018 et l’on considère les évènements suivants :
$C$ : le client a choisi la formule « pension complète » ;
$M$: le client a choisi l’option « ménage ».

  1. Recopier sur la copie et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.
    $\quad$
  2. Calculer $P(C\cap M)$.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité que le client ait réservé l’option ménage est égale à $0,56$.
    $\quad$
  4. Calculer la probabilité que le client ait choisi la formule « pension complète » sachant qu’il a réservé l’option ménage.
    $\quad$
  5. Voici la grille de tarifs de la résidence de vacances pour l’année 2018:
    $$\begin{array}{|ll|}
    \hline
    \text{Une semaine de pension complète}&800\text{€}\\
    \text{Une semaine de demi-pension}&650\text{€}\\
    \text{Option ménage}&50\text{€}\\
    \hline
    \end{array}$$
    On note $X$ la variable aléatoire égale au montant payé par un client de 2018.
    Calculer $P(X=850)$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
  2. On a :
    $\begin{align*} P(C\cap M)&=P(C)\times P_C(M)\\
    &=0,65\times 0,7\\
    &=0,455\end{align*}$
    $\quad$
  3. $C$ et $\conj{C}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(M)&=P(C\cap M)+P\left(\conj{C}\cap M\right) \\
    &=0,455+0,35\times 0,3\\
    &=0,56\end{align*}$
    La probabilité que le client ait réservé l’option ménage est égale à $0,56$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_M(C)&=\dfrac{P(M\cap C)}{P(M)}\\
    &=\dfrac{0,455}{0,56}\\
    &=0,812~5\end{align*}$
    La probabilité que le client ait choisi la formule « pension complète » sachant qu’il a réservé l’option ménage est égale à $0,812~5$.
    $\quad$
  5. On a :
    $\begin{align*} P(X=850)&=P(C\cap M) \\
    &=0,455\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

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