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E3C2 – 1ère

En 2000, la production mondiale de plastique était de $187$ millions de tonnes. On suppose que depuis 2000, cette production augmente de $3,7 \%$ chaque année.

On modélise la production mondiale de plastique, en millions de tonnes, produite en l’année (2000 $+n$) par la suite de terme général $u_n$ où $n$ désigne le nombre d’année à partir de l’an
2000.
Ainsi, $u_0 = 187$.

Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on donnera la raison.
$\quad$
Pour tout $n\in \N$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
Étudier le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$ .
$\quad$
Selon cette estimation, calculer la production mondiale de plastique en 2019. Arrondir au million de tonnes.
$\quad$
Des études montrent que $20 \%$ de la quantité totale de plastique se retrouve dans les océans, et que $70 \%$ de ces déchets finissent par couler.
Montrer que la quantité totale, arrondie au million de tonnes, de déchets flottants sur l’océan dus à la production de plastique de 2000 à 2019 compris est de $324$ millions de tonnes.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Pour tout entier naturel $n$ on :
$\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{3,7}{100}\right)u_n \\
&=1,037u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,037$ et de premier terme $u_0=187$
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=187\times 1,037^n$.
$\quad$
On a $1<1,037$ et $u_0>0$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc strictement croissante.
$\quad$
On a
$\begin{align*} u_{19}&=187\times 1,037^{19} \\
&\approx 373\end{align*}$
Selon cette estimation, la production mondiale de plastique en 2019 est d’environ $373$ millions de tonnes.
$\quad$
On a :
$\begin{align*}S_{19}&=u_0+u_1+\ldots u_{19} \\
&=187\times \dfrac{1-1,037^{20}}{1-1,037}\end{align*}$
Entre 2000 et 2019 la production mondiale globale de plastique était de $S_{19}\approx 5~398$ millions de tonnes.
$30%$ des déchets se trouvant dans les océans flottent.
$0,2\times 0,3\times S_{19}\approx 324$.
La quantité totale, arrondie au million de tonnes, de déchets flottants sur l’océan dus à la production de plastique de 2000 à 2019 compris est de $324$ millions de tonnes.
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