E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[-4 ; 2]$.
La fonction dérivée de f est notée $f’$.
Dans le repère orthonormé ci-dessous, la courbe $C$ est la courbe représentative de $f$ sur l’intervalle $[-4 ; 2]$.
Le point $A$ est le point de la courbe $C$ d’abscisse $-1$. La droite $T$ est la tangente à la courbe $C$ en $A$.

  1. Par lecture graphique, donner la valeur de $f'(-1)$.
    $\quad$
  2.  Résoudre, graphiquement, l’inéquation $f'(x)\pp 0$.
    $\quad$

On admet que la fonction $f$ est définie sur $[-4 ; 2]$ par $f(x)=\left(-x^2+2,5x-1\right)\e^x$.

  1. Vérifier que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[-4;2]$, $$f'(x)=\left(-x^2+0,5x+1,5\right)\e^x$$
    $\quad$
  2. Étudier le signe de la fonction $f’$ sur l’intervalle $[-4 ; 2]$.
    $\quad$
  3. En déduire les variations de $f$ sur l’intervalle $[-4 ; 2]$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. La tangente à la courbe $C_f$ au point $A$ d’abscisse $-1$ est parallèle à l’axe des abscisses. Par conséquent $f'(-1)=0$.
    $\quad$
  2. On recherche donc les intervalles sur lesquels la fonction $f$ est décroissante.
    Graphiquement, $f'(x)\pp 0$ sur $[-4;-1]\cup[1,5;2]$.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est dérivable sur $[-4;2]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ appartenant à $[-4;2]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=(-2x+2,5)\e^x+\left(-x^2+2,5x-1\right)\e^x\\
    &=\left(-2x+2,5-x^2+2,5x-1\right)\e^x\\
    &=\left(-x^2+0,5x+1,5\right)\e^x\end{align*}$
    $\quad$
  4. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-x^2+0,5x+1,5$.
    Le discriminant de ce polynôme du second degré est donc :
    $\begin{align*} \Delta&=0,5^2-4\times (-1)\times 1,5\\
    &=6,25\\
    &>0\end{align*}$
    Ce polynôme possède deux racines réelles :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{-0,5-\sqrt{6,25}}{-2} \\
    &=1,5\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-0,5+\sqrt{6,25}}{-2} \\
    &=-1\end{align*}$
    Le coefficient principal du polynôme est $a=-1<0$.
    Par conséquent :
    – $f'(x)<0$ sur $[-4;-1[\cup]1,5;2]$
    – $f'(x)>0$ sur $]-1;1,5[$
    – $f(-1)=f(1,5)=0$
    $\quad$
  5. Cela signifie donc que la fonction $f$ est strictement décroissante sur les intervalles $[-4;-1]$ et $[1,5;2]$ et strictement croissante sur l’intervalle $[-1;1,5]$.
    $\quad$

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$\quad$

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