E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{\e^x}{1+x}$.
On note $C_f$ la représentation graphique de $f$ dans un repère du plan.

  1. Déterminer les coordonnées du point $A$, point d’intersection de la courbe $C_f$ avec l’axe des ordonnées.
    $\quad$
  2. La courbe $C_f$ coupe-t-elle l’axe des abscisses ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  3. On note $f’$ la dérivée de la fonction $f$ sur $[0; +\infty[$. Montrer que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;+\infty[$, $f'(x)=\dfrac{x\e^x}{(1+x)^2}$.
    $\quad$
  4. Étudier le signe de $f'(x)$ sur $[0; +\infty[$. En déduire le sens de variation de $f$ sur $[0; +\infty[$.
    $\quad$
  5. On note $T$ la tangente à $C_f$ au point $A$ d’abscisse $1,6$. La tangente $T$ passe-telle par l’origine du repère ? Justifier la réponse.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. L’abscisse du point $A$ est $0$.
    $\begin{align*} f(0)&=\dfrac{e^0}{1+0} \\
    &=\dfrac{1}{1}\\
    &=1\end{align*}$
    Le point $A$ a donc pour coordonnées $(0;1)$.
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive.
    Et pour tout réel $x\pg 0$ on a $1+x>0$.
    Par conséquent $f(x)>0$.
    La courbe $\mathscr{C_f}$ ne coupe donc pas l’axe des abscisses.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $[0;+\infty[$.
    Ainsi, pour tout réel $x \pg 0$ :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\e^x(1+x)-1\times \e^x}{(1+x)^2} \\
    &=\dfrac{(1+x-1)\e^x}{(1+x)^2} \\
    &=\dfrac{x\e^x}{(1+x)^2}\end{align*}$
    $\quad$
  4. Sur $[0;+\infty[$ on a $x\pg 0$, $\e^x>0$ et $1+x>0$
    Donc $f'(x)\pg 0$.
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  5. Une équation de $T$ est de la forme $y=f'(1,6)(x-1,6)+f(1,6)$
    Or $f(1,6)=\dfrac{\e^{1,6}}{2,6}$ et $f'(1,6)=\dfrac{1,6\e^{1,6}}{2,6^2}$
    Ainsi une équation de $T$ est $y=\dfrac{1,6\e^{1,6}}{2,6^2}(x-1,6)+\dfrac{\e^{1,6}}{2,6}$
    Soit $y=\dfrac{1,6\e^{1,6}}{2,6^2}x+\dfrac{0,04\e^{1,6}}{6,76}$
    L’ordonnée à l’origine de la droite $T$ n’est donc pas nulle.
    La droite $T$ ne passe par conséquent pas par l’origine du repère.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Une entreprise fabrique des pièces en acier, toutes identiques, pour l’industrie aéronautique.
Ces pièces sont coulées dans des moules à la sortie du four. Elles sont stockées dans un entrepôt dont la température ambiante est maintenue à $25$°C.
Ces pièces peuvent être modelées dès que leur température devient inférieure ou égale à $600$°C et on peut les travailler tant que leur température reste supérieure ou égale à $500$°C.
La température de ces pièces varie en fonction du temps.
On admet que la température en degré Celsius de ces pièces peut être modélisée par la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$ par : $$f(t)=1é375\e^{-0,075t}+25~,$$ où $t$ correspond au temps, exprimé en heures, mesuré après la sortie du four.

  1. Calculer la température des pièces à la sortie du four.
    $\quad$
  2. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$. Ce résultat était-il prévisible dans le contexte de l’exercice ?
    $\quad$
  3. Les pièces peuvent-elles être modelées $10$ heures après la sortie du four ? Après $14$ heures ?
    $\quad$
  4. On souhaite déterminer le temps minimum d’attente en heures après la sortie du four avant de pouvoir modeler les pièces.
    a. Compléter l’algorithme donné en annexe, qui est à rendre avec la copie, pour qu’il renvoie ce temps minimum d’attente en heure (arrondi par excès à $0,1$ près).
    $\quad$
    b. Déterminer ce temps minimum d’attente. On arrondira au dixième.
    $\quad$

Annexe

$$\begin{array}{l}
\text{from math import}\\
\text{def f(t):}\\
\hspace{1cm}\text{return 1375*exp(-0,075*t)+25}\\\\
\text{def seuil():}\\
\hspace{1cm} \text{t = }\ldots\ldots\\
\hspace{1cm} \text{temperature = }\ldots\ldots\\
\hspace{1cm} \text{while température > }\ldots\ldots :\\
\hspace{2cm} \text{t=t+0.1}\\
\hspace{2cm} \text{temperature =}\ldots\ldots\\
\hspace{1cm} \text{return t}\end{array}$$

L’énoncé original contenait une erreur dans la boucle while. Elle est corrigée ici.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a
    $\begin{align*} f(0)&=1~375\e^0+25 \\
    &=1~375+25\\
    &=1~400\end{align*}$
    La température des pièces à la sortie du four est de $1~400$ €.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que composée et somme de fonctions dérivables sur $[0;+\infty[$.
    Pour tout réel $x\pg 0$ on a :
    $\begin{align*} f'(t)&=1~375 \times (-0,075)\e^{-0,075t} \\
    &=-103,125\e^{-0,075t}\end{align*}$
    La fonction exponentielle est strictement positive.
    Donc $f'(t)<0$ pour tout réel $x\pg 0$.
    Ainsi la fonction $f$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty[$.
    Une fois sortie du four, la température de la pièce en acier baisse. Le résultat précédent était donc prévisible.
    $\quad$
  3. On a $f(10)\approx 675,5 > 600$
    Les pièces ne peuvent pas être modelées $10$h après la sortie du four.
    $f(14)\approx 506,2 \in[500;600]$
    Les pièces peuvent être modelées $14$h après la sortie du four.
    $\quad$
  4. a. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{l}
    \text{from math import}\\
    \text{def f(t):}\\
    \hspace{1cm}\text{return 1375*exp(-0,075*t)+25}\\\\
    \text{def seuil():}\\
    \hspace{1cm} \text{t = t+0.1 }\\
    \hspace{1cm} \text{temperature = f(t)}\\
    \hspace{1cm} \text{while température > 600 :} \\
    \hspace{2cm} \text{t=t+0.1}\\
    \hspace{2cm} \text{temperature = f(t)}\\
    \hspace{1cm} \text{return t}\end{array}$$
    $\quad$
    b. On a $f(11,6)\approx 601,1$ et $f(11,7) \approx 596,8$
    Il faut donc attendre environ $11,7$ heures pour pouvoir modeler les pièces.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Une entreprise fabrique $q$ milliers d’objets, $q\in [1; 20]$. Le coût total de fabrication, exprimé en euros en fonction de $q$, est donné par l’expression : $$C(q)=q^3-18q^2+750q+200$$

  1. a. Calculer le coût total de fabrication de $5~000$ objets.
    $\quad$
    b. Déterminer le coût moyen de fabrication d’un millier d’objets lorsqu’on fabrique $5~000$ objets.
    $\quad$
  2. Le coût moyen $C_M(q)$ de fabrication de $q$ milliers d’objets, exprimé en euros, est donné par l’expression : $$C_M(q)=\dfrac{C(q)}{q}=q^2-18q+750+\dfrac{200}{q}$$
    a. On note $C_M’$ la fonction dérivée, sur l’intervalle $[1; 20]$, de la fonction $C_M$.
    Montrer que, pour tout $q\in [1; 20]$, $$C_M'(q)=\dfrac{2(q-10)\left(q^2+q+10\right)}{q^2}$$
    $\quad$
    b. Étudier le signe de $C_M’$ et dresser le tableau de variation de la fonction $C_M$ sur l’intervalle $[1; 20]$.
    $\quad$
    c. Quel est le coût moyen minimal et pour quelle quantité d’objets est-il obtenu ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On a :
    $\begin{align*} C(5)&=5^3-18\times 5^2+750\times 5+200\\
    &=3~625\end{align*}$
    Le coût total de fabrication de $5~000$ objets est de $3~625$ euris.
    $\quad$
    b. $\dfrac{C(5)}{5}=725$.
    Le coût moyen de fabrication d’un millier d’objets lorsqu’on fabrique $5~000$ objets est de $725$ euros.
    $\quad$
  2. a. La fonction $C_M$ est dérivable sur l’intervalle $[1;20]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $q\in[1;20]$ on a :
    $\begin{align*} C_M'(q)&=2q-18+200\times \left(-\dfrac{1}{q^2}\right) \\
    &=\dfrac{2q^3-18q^2-200}{q^2}\end{align*}$
    Or :
    $\begin{align*} &2(q-10)\left(q^2+q+10\right)\\
    =~&(2q-20)\left(q^2+q+10\right)\\
    =~&2q^3+2q^2+20q-20q^2-20q-200\\
    =~&2q^3-18q^2-200\end{align*}$
    Ainsi $C_M'(q)=\dfrac{2(q-10)\left(q^2+q+10\right)}{q^2}$.
    $\quad$
    b. Un carré étant positif, le signe de $C_M'(q)$ ne dépend que de celui de $(q-10)\left(q^2+q+10\right)$.
    $q-10=0 \ssi q=10$ et $q-10>0 \ssi q>10$
    Le discriminant de $q^2+q+10$ est :
    $\begin{align*} \Delta&=1^2-4\times 1\times 10\\
    &=-39\\
    &<10\end{align*}$
    Le coefficient principal du polynôme du second degré est $a=1>0$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
    c. Le coût moyen est minimal lorsque l’entreprise fabrique $10~000$ objets et vaut alors $690$ euros.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-2 ; 2]$ par $f(x)=2x^3+2x^2-2x+3$ et $C$ sa représentation graphique dans le repère suivant.

  1. On considère la droite $d$ d’équation $y=2x+3$.
    a. Montrer que déterminer les abscisses des points d’intersection entre la droite $d$ et la courbe $C$ revient à résoudre l’équation $2x\left(x^2+x-2\right)$ sur l’intervalle $[-2 ; 2]$.
    $\quad$
    b. Déterminer les coordonnées des points d’intersection entre $d$ et $C$.
    $\quad$
  2. On considère la droite $d’$ d’équation $y=2x+a$ où $a$ est un nombre réel.
    À l’aide du graphique, donner une valeur de $a$ pour laquelle la droite $d’$ et la courbe $C$ ont un seul point d’intersection.
    $\quad$
  3. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$.
    a. Démontrer que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l’intervalle $[-2 ; 2]$ , $f'(x)=6(x+1)\left(x-\dfrac{1}{3}\right)$.
    $\quad$
    b. Étudier les variations de $f$ sur l’intervalle $[-2 ; 2]$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On veut résoudre l’équation :
    $\begin{align*} f(x)=2x+3&\ssi 2x^3+2x^2-2x+3=2x+3 \\
    &\ssi 2x^3+2x^2-4x=0 \\
    &\ssi 2x\left(x^2+x-2\right)=0\end{align*}$
    $\quad$
    b. On a $2x\left(x^2+x-2\right)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Ainsi $2x=0$ ou $x^2+x-2=0$
    $2x=0 \ssi x=0$
    $\quad$
    Résolution de $x^2+x-2=0$
    $\begin{align*} \Delta &=1^2-4\times 1\times (-2) \\
    &=9\\
    &>0\end{align*}$
    L’équation possède alors deux solutions réelles :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{-1-\sqrt{9}}{2}\\
    &=-2\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-1+\sqrt{9}}{2}\\
    &=1\end{align*}$
    $\quad$
    Par conséquent l’équation $2x\left(x^2+x-2\right)=0$ possède trois solutions : $-2$, $0$ et $1$.
    Si $x=-2$ alors $y=2\times (-2)+3=-1$
    Si $x=0$ alors $y=3$
    Si $x=1$ alors $y=2\times 1+3=5$
    Ainsi les points d’intersection entre $d$ et $C$ ont pour coordonnées $(-2;-1)$, $(0;3)$ et $(1;5)$.
    $\quad$
  2. On peut par exemple prendre $a=8$.
    La droite d’équation $y=2x+8$ passe par les points de coordonnées $(-2;6)$ et $(0;8)$ et ne coupe la courbe $C$ qu’en un seul point (d’abscisse strictement positive).
    $\quad$
  3. a. La fonction $f$ est dérivable sur $[-2;2]$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x$ appartenant à $[-2;2]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=2\times 3x^2+2\times 2x-2\\
    &=6x^2+4x-2\end{align*}$
    On a également :
    $\begin{align*} 6(x+1)\left(x-\dfrac{1}{3}\right)&=(x+1)(6x-2) \\
    &=6x^2-2x+6x-2\\
    &=6x^2+4x-2\\
    &=f'(x)\end{align*}$
    $\quad$
    b. $f'(x)$ est un polynôme du second degré possédant donc deux racines $-1$ et $\dfrac{1}{3}$ et dont le coefficient principal est $a=6$.
    Ainsi :
    $f'(x)>0$ sur $[-2;-1[\cup\left]\dfrac{1}{3};2\right]$
    $f'(x)<0$ sur $\left]-1;\dfrac{1}{3}\right[$
    $f(-1)=f\left(\dfrac{1}{3}\right)=0$
    Par conséquent $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[-2;-1]$ et sur $\left[\dfrac{1}{3};2\right]$ et strictement décroissante sur l’intervalle $\left[-1;\dfrac{1}{3}\right]$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chacune des cinq questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer la réponse.
Chaque réponse rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse
n’apporte, ni ne retire de point.

Question 1

Soit $P$ une probabilité sur un univers $\Omega$ et $A$ et $B$ deux évènements indépendants tels que $P(A)= 0,5$ et $P(B) = 0,2$.
Alors $P(A\cup B)$ est égal à :

a. $0,1$
b. $0,7$
c. $0,6$
d. On ne peut pas savoir

$\quad$

Correction Question 1

$A$ et $B$ sont indépendants donc $P(A\cap B)=p(A)p(B)$.
Ainsi :
$\begin{align*} P(A\cup B)&=P(A)+p(B)-P(A\cap B)\\
&=P(A)+p(B)-P(A)P(B)\\
&=0,5+0,2-0,5\times 0,2\\
&=0,6\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 2

La valeur arrondie au centième de $1+1,2+1,2^2+1,2^3+\ldots+1,2^{10}$ est :

a. $3,27$
b. $25,96$
c. $26,96$
d. $32,15$

$\quad$

Correction Question 2

Il s’agit de la somme de termes d’une suite géométrique.
$\begin{align*} S&=1+1,2+1,2^2+1,2^3+\ldots+1,2^{10} \\
&=\dfrac{1-1,2^{11}}{1-1,2}\\
&\approx 32,15\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{x}{\e^x}$.
Pour tout réel $x$, $f(x)$ est égal à :

a. $f(x)=\dfrac{\e^{-x}}{-x}$
b. $f(x)=x\e^{-x}$
c. $f(x)=-x\e^{-x}$
d. $f(x)=\dfrac{\e^{-x}}{x}$

$\quad$

Correction Question 3

Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} f(x)&=\dfrac{x}{\e^x}\\
&=x\e^{-x}\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=(2x-5)\e^x$. On admet que $g$ est dérivable sur $\R$ et on note $g’$ sa fonction dérivée.
Alors pour tout réel $x$ , $g'(x)$ est égal à :

a. $(2x-3)\e^x$
b. $(-2x+7)\e^x$
c. $2\e^x$
d. $-5\e^x$

$\quad$

Correction Question 4

On utilise la formule de dérivation d’un produit avec $u(x)=2x-5$ et $v(x)=\e^x$

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} g'(x)&=2\e^x+(2x-5)\e^x\\
&=(2+2x-5)\e^x\\
&=(2x-3)\e^x\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Le nombre $\dfrac{\e^3\times \e^{-5}}{\e^2}$ est égal à :

a. $-1$
b. $\e^{-15/2}$
c. $\dfrac{1}{\e^4}$
d. $\dfrac{3\e^{-5}}{2}$

$\quad$

Correction Question 5

$\begin{align*} \dfrac{\e^3\times \e^{-5}}{\e^2}&=\dfrac{\e^{3+(-5)}}{\e^2} \\
&=\dfrac{\e^{-2}}{\e^2}\\
&=\e^{-2-2}\\
&=\e^{-4}\\
&=\dfrac{1}{\e^4}\end{align*}$

Réponse c

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On donne ci-dessous les représentations graphiques respectives $C_f$ et $C_g$ de deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ l’ensemble des nombres réels.

  1. La fonction $f$ est définie sur $\R$ par $f(x)=x^3+3x^2-9x-1$.
    On admet qu’elle est dérivable sur $\R$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
    a. Calculer $f'(x)$.
    $\quad$
    b. Déterminer le signe de $f'(x)$ en fonction du réel $x$ . En déduire le tableau de variation de la fonction $f$.
    $\quad$
    c. Déterminer une équation de la droite $T$ tangente à $C_f$ au point d’abscisse $-1$.
    $\quad$
  2. La fonction $g$ est une fonction polynôme du second degré, il existe donc trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que : $g(x)=ax^2+bx+c$ pour tout réel $x$ . On note $\Delta$ son discriminant.
    a. Déterminer, à l’aide du graphique, le signe de $a$ et le signe de $\Delta$.
    $\quad$
    b. La fonction $g$ est définie, pour tout réel $x$, par $g(x)=10x^2+8x+8$.
    Démontrer que les courbes $C_f$ et $C_g$ ont un point commun d’abscisse $-1$ et qu’en ce point elles ont la même tangente.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=3x^2+3\times 2x-9 \\
    &=3x^2+6x-9\end{align*}$
    $\quad$
    b. Le discriminant de $3x^2+6x-9$ est :
    $\begin{align*} \Delta&=6^2-4\times 3\times (-9) \\
    &=144\\
    &>0\end{align*}$
    Le polynôme du second degré possède donc deux racines réelles :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{-6-\sqrt{144}}{6} \\
    &=-3\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-6+\sqrt{144}}{6} \\
    &=1\end{align*}$
    Le coefficient principal est $a=3>0$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
    c. Une équation de $T$ est de la forme $y=f'(-1)\left(x-(-1)\right)+f(1)$
    Or $f'(-1)=-12$ et $f(-1)=10$
    Une équation de $T$ est donc $y=-12(x+1)+10$ soit $y=-12x-2$
    $\quad$
  2. a. La parabole est strictement au-dessus de l’axe des abscisses donc $a>0$ et $\Delta<0$.
    $\quad$
    b. On a $g(-1)=10$ donc $g(-1)=f(-1)$.
    Les courbes $C_f$ et $C_g$ ont un point en commun.
    La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x$ on a $g'(x)=20x+8$.
    $g'(-1)=-12$.
    La tangente à $C_g$ au point d’abscisse $-1$ a donc le même coefficient directeur que la droite $T$.
    Par conséquent les courbes $C_f$ et $C_g$ ont un point commun d’abscisse $-1$ et qu’en ce point elles ont la même tangente.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

La fonction f est définie sur $]-1; +\infty[$ par : $$f(x)=\dfrac{x^2+1}{x+1}$$
On se place dans un repère orthonormé du plan.

  1. Démontrer que pour tout 𝑥 appartenant à l’intervalle $]-1; +\infty[$: $$f'(x)=\dfrac{x^2+2x-1}{(x+1)^2}$$
    $\quad$
  2. Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur $]-1; +\infty[$.
    $\quad$
  3. Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $0$.
    $\quad$
  4. Etudier la position relative de la courbe représentative de $f$ et de la droite d’équation $y=x$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $]-1;+\infty[$ en tant que que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $]-1;+\infty[$.
    Pour tout réel $x>-1$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2x(x+1)-\left(x^2+1\right)\times 1}{(x+1)^2} \\
    &=\dfrac{2x^2+2x-x^2-1}{(x+1)^2} \\
    &=\dfrac{x^2+2x-1}{(x+1)^2}\end{align*}$
    $\quad$
  2. Un carré étant toujours positif, le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $x^2+2x-1$.
    Le discriminant de ce polynôme du second degré est :
    $\begin{align*} \Delta&=2^2-4\times 1\times (-1) \\
    &=8\\
    &>0\end{align*}$
    Il possède donc deux racines réelles :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{-2-\sqrt{8}}{2} \\
    &=-1-\sqrt{2}\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-2+\sqrt{8}}{2} \\
    &=-1+\sqrt{2}\end{align*}$
    Son coefficient principal est $a=1>0$.
    Ainsi $x^2+2x-1$ est :
    – positif sur $\left]-\infty;-1-\sqrt{2}\right[\cup\left]-1+\sqrt{2};+\infty\right[$;
    – nul si $x\in \lbrace -1-\sqrt{2};-1+\sqrt{2}\rbrace$
    – négatif sur $\left]-1-\sqrt{2};-1+\sqrt{2}\right[$
    Or $-1-\sqrt{2}<-1$.
    Ainsi $f$ est strictement décroissante sur $\left]-1;-1+\sqrt{2}\right]$ et strictement croissante sur $\left[-1+\sqrt{2};+\infty\right[$.
    $\quad$
  3. Une équation de la droite $T$ est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$
    Or $f'(0)=-1$ et $f(0)=1$.
    Une équation de $T$ est donc $y=-x+1$.
    $\quad$
  4. On doit étudier le signe de
    $\begin{align*} f(x)-x&=\dfrac{x^2+1}{x+1}-x\\
    &=\dfrac{x^2+1-\left(x^2+x\right)}{x+1}\\
    &=\dfrac{1-x}{x+1}\end{align*}$
    Sur $]-1;+\infty[$ on a $x+1>0$
    Donc $f(x)-x$ est du signe de $1-x$.
    Or $1-x=0 \ssi x=1$ et $1-x>0 \ssi x<1$
    Ainsi la courbe représentative de la fonction $f$ est au-dessus de la droite d’équation $y=x$ sur l’intervalle $]-1;1[$ et au-dessous sur l’intervalle $]1;+\infty[$.
    Si $x=1$ alors la courbe et la droite sont confondues.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Une entreprise produit du tissu.

Le coût total de production (en €) de l’entreprise est modélisé par la fonction $C(x)=15x^3-120x^2+500x+750$ où $x$ est la longueur de tissu fabriqué exprimée en kilomètre, $x$ étant compris entre $0$ et $10$.

Chaque kilomètre de tissu est vendu $680$ €.

On note $B(x)$ le résultat de l’entreprise, c’est-à-dire la différence entre la recette et le coût de production, pour la vente de $x$ kilomètres de tissu.

  1. Quel est le résultat de l’entreprise pour la vente de $3$ kilomètres de tissu ?
    $\quad$
  2. Montrer que : $B(x)=-15x^3+120x^2+180x-750$.
    $\quad$
  3. Donner une expression de $B'(x)$, où $B’$ est la fonction dérivée de la fonction $B$.
    $\quad$
  4. Dresser le tableau de signes de $B'(x)$ sur $[0; 10]$ puis le tableau de variations de la fonction $B$.
    $\quad$
  5. Combien de kilomètres de tissu l’entreprise doit-elle produire afin d’obtenir un résultat maximal ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a $C(3)=1~575$.
    Par conséquent
    $\begin{align*}R(3)&=680\times 3-C(3) \\
    &=465\end{align*}$
    Le résultat de l’entreprise pour la vente de $3$ kilomètres de tissu est $465$ €.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;10]$ on a :
    $\begin{align*} B(x)&=680x-\left(15x^3-120x^2+500x+750\right) \\ &=-15x^3+120x^2+180x-750\end{align*}$
    $\quad$
  3. La fonction $B$ est dérivable sur $[0;10]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $[0;10]$.
    Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;10]$ on a :
    $\begin{align*} B'(x)&=-15\times 3x^2+120\times 2x+180 \\&=-45x^2+240x+180\end{align*}$
    $\quad$
  4. On considère le trinôme $-45x^2+240x+180$ où $a=-45$, $b=240$ et $c=180$.
    Le discriminant est $\Delta = 240^2-4\times (-45)\times 180=90~000>0$
    Les racines sont donc :
    $x_1=\dfrac{-240-\sqrt{90~000}}{-90}=6$ et $x_2=\dfrac{-240-\sqrt{90~000}}{-90}=-\dfrac{2}{3}$.
    $a=-45<0$
    Cela signifie donc que le trinôme est strictement négatif sur $[6;10]$, nul en $6$ et strictement positif sur $[0;6]$.
    On obtient le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  5. D’après le tableau de variations précédent, l’entreprise doit produit $6$ kilomètres de tissu pour obtenir un résultat maximal.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

La courbe ci-dessous représente dans un repère du plan une fonction $f$ définie et dérivable sur l’ensemble des nombres réels.
Les points $G (-2 ; 5)$ et $H (0 ; 1)$ appartiennent à la courbe représentative de la fonction $f$ et les tangentes à la courbe aux points $G$ et $H$ sont horizontales.

  1. Déterminer $f(0)$, $f(-2)$, $f'(0)$ et $f'(-2)$.
    $\quad$
  2. On admet que pour tout réel $x$, $f(x)$ peut s’écrire sous la forme :
    $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, où $a$, $b$, $c$ et $d$ désignent des nombres réels.
    a. Donner une expression de $f'(x)$.
    $\quad$
    b. Déterminer les valeurs des réels $c$ et $d$.
    $\quad$
    c. Déterminer deux équations que vérifient les réels $a$ et $b$.
    $\quad$
    d. En déduire que $f(x)=x^3+3x^2+1$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Le point $H(0;1)$ appartient à la courbe.
    Donc $f(0)=1$.
    Le point $G(-2;5)$ appartient à la courbe.
    Donc $f(-2)=5$.
    Les tangentes à la courbe aux points $G$ et $H$ sont horizontales.
    Donc $f'(0)=0$ et $f'(-2)=0$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout réel $x$ on a  $$f'(x)=3ax^2+2bx+c$$
    $\quad$
    b. On sait que $f'(0)=0$
    Or $f'(0)=c$ donc $c=0$
    $\quad$
    On sait que $f(0)=1$
    Or $f(0)=d$ donc $d=1$.
    Ainsi $f(x)=ax^3+bx^2+1$ et $f'(x)=3ax^2+2bx$.
    $\quad$
    c. $f(-2)=5$ et $f(-2)=-8a+4b+1$
    Donc $-8a+4b+1=5 \ssi -8a+4b=4 \ssi -2a+b=1$
    $f'(-2)=0$ et $f'(-2)=12a-4b$
    Donc $12a-4b=0\ssi 3a-b=0$
    Les réels $a$ et $b$ vérifient donc les équations
    $\begin{cases} -2a+b=1\\3a-b=0\end{cases}$
    $\quad$
    d. On a
    $\begin{align*}\begin{cases} -2a+b=1\\3a-b=0\end{cases}&\ssi \begin{cases} b=3a\\-2a+3a=1\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} a=1\\b=3\end{cases}\end{align*}$
    Par conséquent, $f(x)=x^3+3x^2+1$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

  1. Étudier le signe de la fonction $P$ définie sur $\R$ par $P(x) = x^2+4x+3$.
    $\quad$

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]-2; +\infty[$ par $$f(x) =\dfrac{x^2+x-1}{x+2}$$ et on note $C_d$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $]-2; +\infty[$.

  1. Montrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $]2; +\infty[$, $$f'(x)=\dfrac{P(x)}{(x+2)^2}$$ où $f’$ est la fonction dérivée de $f$.
    $\quad$
  2. Étudier le signe de $f'(x)$ sur $]-2; +\infty[$ et construire le tableau de variations de la fonction $f$ sur $]-2; +\infty[$.
    $\quad$
  3. Donner le minimum de la fonction $f$ sur $]-2; +\infty[$ et la valeur pour laquelle il est atteint (on donnera les valeurs exactes).
    $\quad$
  4. Déterminer le coefficient directeur de la tangente $T$ à la courbe $C_f$ au point d’abscisse $2$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. $P$ est une fonction polynôme du second degré.
    $\begin{align*} \Delta&=4^2-4\times 1\times 3 \\
    &=4\\
    &>0\end{align*}$
    Elle possède donc deux racines réelles :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{-4-\sqrt{4}}{2}\\
    &=-3\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-4+\sqrt{4}}{2}\\
    &=-1\end{align*}$
    Le coefficient principal est $a=1>0$.
    Ainsi :
    – $P(x)<0$ sur l’intervalle $]-3;-1[$
    – $P(x)>0$ sur $]-\infty;-3[\cup]-1;+\infty[$
    – $P(-3)=P(-1)=0$
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $]-2;+\infty[$ comme quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle dont le dénominateur ne s’annule pas.
    Pour tout réel $x>-2$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{(2x+1)(x+2)-1\times \left(x^2+x-1\right)}{(x+2)^2} \\
    &=\dfrac{2x^2+4x+x+2-x^2-x+1}{(x+2)^2} \\
    &=\dfrac{x^2+4x+3}{(x+2)^2}\\
    &=\dfrac{P(x)}{(x+2)^2}\end{align*}$
    $\quad$
  3. Sur $]-2;+\infty[$ on a $(x+2)^2>0$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $P(x)$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :
    $\quad$
  4. D’après le tableau de variations précédent, le minimum de la fonction $f$ est atteint pour $x=-1$ et il faut $-1$.
    $\quad$
  5. Une équation de la droite $T$ est de la forme $y=f'(2)(x-2)+f(2)$
    Or $f(2)=\dfrac{5}{4}$ et $f'(2)=\dfrac{15}{16}$
    Une équation de $T$ est donc $y=\dfrac{15}{16}(x-2)+\dfrac{5}{4}$ soit $y=\dfrac{15}{16}x-\dfrac{5}{8}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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