E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On modélise la diffusion dans le sang d’un médicament de $1$ gramme par intraveineuse (fonction $f_1$, courbe représentative $\mathcal{C}_1$) ou par voie orale (fonction $f_2$, courbe représentative $\mathcal{C}_2$) pendant une durée de $10$ heures.
Plus précisément :

  • $f_1(t)$ modélise la proportion du médicament dans le sang à l’instant $t$, où $t$ est le temps en heure après injection par intraveineuse ;
  • $f-2(t)$ modélise la proportion du médicament dans le sang à l’instant $t$, où $t$ est le temps en heure après administration par voie orale.

Pour tout réel $t$ de l’intervalle $[0 ; 10]$, on admet que $f_1(t)=\e^{-0,57t}$ et $f_2(t)=1,75t\e^{-t}$.
Les courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ de $f_1$ et $f_2$ sont représentées ci-dessous.

  1. Injection par voie intraveineuse
    a. Déterminer le sens de variation de la fonction $f_1$.
    $\quad$
    b. Résoudre graphiquement $f_1(t) < 0,1$. Interpréter la réponse dans le contexte.
    $\quad$
  2. Administration par voie orale
    On note $f_2’$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
    a. Montrer que, pour tout $t$ de $[0 ; 1]$, $f_2′(t)=1,75(1-t)\e^{-t}$
    $\quad$
    b. Construire le tableau de variations de la fonction $f_2$.
    $\quad$
    c. À quel instant 𝑡 la proportion de médicament dans le sang est-elle la plus élevée ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. La fonction $f_1$ est dérivable sur $[0;10]$ en tant que composée de la fonction exponentielle et d’une fonction affine.
    Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;10]$ on a : $f_1′(t)=-0,57\e^{-0,57t}$
    Ainsi $f'(t)<0$ sur $[0;10]$.
    La fonction $f_1$ est donc strictement décroissante sur $[0;10]$.
    $\quad$
    b. Graphiquement $f_1(t)<0,1$ si $t$ appartient à l’intervalle $]4;10]$ (valeur approchée pour $4$).
    La proportion de médicament est inférieure à $0,1$ à partir de $4$ heures.
    $\quad$
  2. a. La fonction $f_2$ est dérivable sur $[0;10]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel de l’intervalle $[0;10]$ on a :
    $\begin{align*} f_2′(t)&=1,75\e^{-t}+1,75t\times \left(-\e^{-t}\right)\\
    &=1,75(1-t)\e^{-t}\end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f_2′(t)$ ne dépend donc que de celui de $1-t$.
    $1-t=0\ssi t=1$ et $1-t>0\ssi t<1$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
    c. La proportion de médicament dans le sang est la plus élevée au bout d’une heure.
    $\quad$

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$\quad$

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