E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{\e^x}{1+x}$.
On note $C_f$ la représentation graphique de $f$ dans un repère du plan.

  1. Déterminer les coordonnées du point $A$, point d’intersection de la courbe $C_f$ avec l’axe des ordonnées.
    $\quad$
  2. La courbe $C_f$ coupe-t-elle l’axe des abscisses ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  3. On note $f’$ la dérivée de la fonction $f$ sur $[0; +\infty[$. Montrer que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;+\infty[$, $f'(x)=\dfrac{x\e^x}{(1+x)^2}$.
    $\quad$
  4. Étudier le signe de $f'(x)$ sur $[0; +\infty[$. En déduire le sens de variation de $f$ sur $[0; +\infty[$.
    $\quad$
  5. On note $T$ la tangente à $C_f$ au point $A$ d’abscisse $1,6$. La tangente $T$ passe-telle par l’origine du repère ? Justifier la réponse.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. L’abscisse du point $A$ est $0$.
    $\begin{align*} f(0)&=\dfrac{e^0}{1+0} \\
    &=\dfrac{1}{1}\\
    &=1\end{align*}$
    Le point $A$ a donc pour coordonnées $(0;1)$.
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive.
    Et pour tout réel $x\pg 0$ on a $1+x>0$.
    Par conséquent $f(x)>0$.
    La courbe $\mathscr{C_f}$ ne coupe donc pas l’axe des abscisses.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $[0;+\infty[$.
    Ainsi, pour tout réel $x \pg 0$ :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\e^x(1+x)-1\times \e^x}{(1+x)^2} \\
    &=\dfrac{(1+x-1)\e^x}{(1+x)^2} \\
    &=\dfrac{x\e^x}{(1+x)^2}\end{align*}$
    $\quad$
  4. Sur $[0;+\infty[$ on a $x\pg 0$, $\e^x>0$ et $1+x>0$
    Donc $f'(x)\pg 0$.
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  5. Une équation de $T$ est de la forme $y=f'(1,6)(x-1,6)+f(1,6)$
    Or $f(1,6)=\dfrac{\e^{1,6}}{2,6}$ et $f'(1,6)=\dfrac{1,6\e^{1,6}}{2,6^2}$
    Ainsi une équation de $T$ est $y=\dfrac{1,6\e^{1,6}}{2,6^2}(x-1,6)+\dfrac{\e^{1,6}}{2,6}$
    Soit $y=\dfrac{1,6\e^{1,6}}{2,6^2}x+\dfrac{0,04\e^{1,6}}{6,76}$
    L’ordonnée à l’origine de la droite $T$ n’est donc pas nulle.
    La droite $T$ ne passe par conséquent pas par l’origine du repère.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend cinq questions indépendantes.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Sur la figure ci-dessous, nous avons tracé dans un repère orthonormé la courbe représentative $\mathcal{C}$ d’une fonction $f$ dérivable sur $\R$ et la tangente à $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $4$.
Cette tangente est représentée par la droite $\mathcal{D}$ . On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

Le réel $f'(4)$ est égal à :

a. $-1$
b. $-2$
c. $7$
d. $1$

$\quad$

Correction Question 1

Le réel $f'(4)$ est le coefficient directeur de la droite $\mathcal{D}$. Cette droite passe par les points $A(4;-1)$ et $B(3;1)$
Donc :
$\begin{align*} f'(4)&=\dfrac{1-(-1)}{3-4} \\
&=-2\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x^3-2x^2+1$. On admet que $f$ est une fonction dérivable sur $\R$. Dans un repère, une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d’abscisse $1$ est :

a. $y=-1$
b. $y=-x$
c. $y=-x+1$
d. $y=x$

$\quad$

Correction Question 2

Une équation de cette tangente est de la forme $y=f'(1)(x-1)+f(1)$
Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} f'(x)&=3x^2-2\times 2x \\
&=3x^2-4x\end{align*}$
Ainsi $f(1)=0$ et $f'(1)=-1$
Une équation de la tangente est donc $y=-(x-1)$ soit $y=-x+1$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Pour tout réel $x$, $\dfrac{\e^x\times \e^{-3x}}{\e^{-x}}$ est égal à :

a. $\e^{-x}$
b. $\e^{3x}$
c. $\e^{-3x}$
d. $\e^x$

$\quad$

Correction Question 3

Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} \dfrac{\e^x\times \e^{-3x}}{\e^{-x}}&=\dfrac{\e^{x-3x}}{\e^{-x}} \\
&=\dfrac{\e^{-2x}}{\e^{-x}} \\
&=\e^{-2x-(-x)}\\
&=\e^{-2x+x}\\
&=\e^{-x}\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

Soit $f$ une fonction polynôme du second degré dont la courbe représentative dans un repère orthonormé est donnée ci-dessous.

Pour tout réel $x$, une expression de $f(x)$ est :

a. $f(x)=x^2+x-2$
b. $f(x)=-x^2-4$
c. $f(x)=2x^2+2x-4$
d. $f(x)=-3x^2-3x+6$

$\quad$

Correction Question 4

$\quad$

Question 5

La fonction est donc d’abord décroissante. Son coefficient principal est donc positif. On élimine donc les propositions b. et d. .
On lit que $f(0)=-4$
Par conséquent $f(x)=2x^2+2x-4$

Réponse c

$\quad$

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L’ensemble $S$ des solutions de l’inéquation d’inconnue $x\in \R$ : $-x^2-2x+8>0$ est :

a. $S=[-4;2]$
b. $S=]-4;2[$
c. $S=]-\infty;-4[\cup]2;+\infty[$
d. $\lbrace -4;2\rbrace $

$\quad$

Correction Question 5

Les racines du polynômes $-x^2-2x+8$ sont $-4$ et $2$.
Le coefficient principal de ce polynôme du second degré est $a=-1<0$.
L’ensemble $S$ des solutions de l’inéquation $-x^2-2x+8>0$ est donc $]-4;2[$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM) comportant cinq questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer la réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=6$, $AC=3$ et $\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{3}$.

a. $\vect{AB}.\vect{AC}=9$
b. $\vect{AB}.\vect{AC}=18$
c. $\vect{AB}.\vect{AC}=9\sqrt{3}$
d. les données sont insuffisantes pour calculer $\vect{AB}.\vect{AC}$

$\quad$

Correction Question 1

On a :
$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=AB\times AC\times \cos \widehat{BAC} \\
&=6\times 3 \times \cos \dfrac{\pi}{3} \\
&=18\times \dfrac{1}{2} \\
&=9\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Soit $f$ une fonction telle que, pour tout nombre réel $h$ non nul, $$\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=h^2+3h-1$$
Alors $f'(1)$ est égal à :

a. $h^2+3h-1$
b. $-1$
c. $3$
d. les données sont insuffisantes pour calculer $f'(1)$

$\quad$

Correction Question 2

$f'(1)$ est égale à, si elle existe, $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}$.
Or
$\begin{align*} \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}&=\lim\limits_{h\to 0} h^2+3h-1\\&=-1\end{align*}$

Donc $f'(1)=-1$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=(x+2)\e^x$.
Alors, la fonction $f’$ dérivée de $f$ est donnée sur $\R$ par :

a. $f'(x)=\e^x$
b. $f'(x)=(x+3)\e^x$
c. $f'(x)=(-x-1)\e^x$
d. $f'(x)=\dfrac{(-x-1)\e^x}{\e^{2x}}$

$\quad$

Correction Question 3

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ comme produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=1\times \e^x+(x+2)\times \e^x \\
&=(1+x+2)\e^x\\
&=(x+3)\e^x\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Soit $f$ une fonction telle que $f(2)=5$ et $f'(2)=-1$
Dans un repère, la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $2$ a pour équation :

a. $y=-x-3$
b. $y=-x+3$
c. $y=-x+7$
d. $y=5x-11$

$\quad$

Correction Question 4

Une équation de cette tangente est de la forme $y=f'(2)(x-2)+f(2)$
soit $y=-(x-2)+5$ ou encore $y=-x+7$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$ dont la courbe représentative $C_f$ dans un repère est la courbe ci-dessous.

La tangente à la courbe $C_f$ au point $A\left(1;\dfrac{4}{3}\right)$ passe par le point $B\left(0;-\dfrac{5}{3}\right)$.
Alors :

a. $f'(1)=\dfrac{1}{3}$
b. $f'(1)=\dfrac{4}{3}$
c. $f'(1)=-\dfrac{5}{3}$
d. $f'(1)=3$

$\quad$

Correction Question 5

$f'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente au point $A$.
Ainsi :
$\begin{align*} f'(1)&=\dfrac{-\dfrac{5}{3}-\dfrac{4}{3}}{0-1} \\
&=\dfrac{-3}{-1} \\
&=3\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend cinq questions. Pour chacune des questions, une seule des quatre
réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans
réponse n’apporte, ni ne retire aucun point.

Question 1

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=2x^2+6x-8$.
Parmi les propositions suivantes, laquelle est juste?

a. $f(x)=2(x-4)(x+1)$
b. $f(x)=(2x+8)(2x-2)$
c. $f(x)=2(x+4)(x-1)$
d. $f(x)=2(x+3)(x-2)$

$\quad$

Correction Question 1

On a $f(x)=2\left(x^2+3x-4\right)$.
La somme des racines du polynômes du second degré vaut $-3$ et leur produit vaut $-4$.
On peut donc exclure les propositions a. et d.
Or :
$\begin{align*} 2(x+4)(x-1)&=2\left(x^2-x+4x-4\right)\\
&=2\left(x^2+3x-4\right) \\
&=f(x)\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Pour tout réel $x$, $\dfrac{\left(\e^x\right)^2}{\e^{-x}}$ est égal à :

a. $\e^{x^2+x}$
b. $\e^{3x}$
c. $\e^2$
d. $\e^{-2}$

$\quad$

Correction Question 2

$\begin{align*} \dfrac{\left(\e^x\right)^2}{\e^{-x}}&=\dfrac{\e^{2x}}{\e^{-x}} \\
&=\e^{2x-(-x)}\\
&=\e^{3x}\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Dans le plan muni d’un repère, soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=\e^x$. L’équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $0$ est :

a. $y=-x-1$
b. $y=-x+1$
c. $y=x+1$
d. $y=x$

$\quad$

Correction Question 3

La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ et, pour tout réel $x$, on a $g'(x)=\e^x$.
Une équation de cette tangente est de la forme $y=g'(0)(x-0)+g(0)$.
$g'(0)=1$ et $g(0)=1$
Ainsi une équation de la tangente est $y=x+1$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=(-x+1)\e^x$
On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Parmi les propositions suivantes, laquelle est juste ?

a. $f'(x)=-x\e^x$
b. $f'(x)=(x-2)\e^x$
c. $f'(x)=(-x+2)\e^x$
d. $f'(x)=x\e^{-x}$

$\quad$

Correction Question 4

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=-1\times \e^x+(-x+1)\times \e^x \\
&=(-1-x+1)\e^x\\
&=-x\e^x
\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Dans le plan muni d’un repère orthonormal, on considère la courbe représentative d’une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$.

Parmi les propositions suivantes, laquelle n’est pas juste ?

a. $f'(-2)=0$
b. $f'(3)=-2$
c. $f(0)=3$
d. $f'(0)=-2$

$\quad$

Correction Question 5

La tangente à la courbe au point d’abscisse $2$ est parallèle à l’axe des abscisses. Donc $f'(-2)=0$.
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse $0$ est $-2$ donc $f'(0)=-2$.
On lit sur la courbe que $f(0)=3$.
Donc, par élimination, $f'(3)\neq -2$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On donne ci-dessous les représentations graphiques respectives $C_f$ et $C_g$ de deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ l’ensemble des nombres réels.

  1. La fonction $f$ est définie sur $\R$ par $f(x)=x^3+3x^2-9x-1$.
    On admet qu’elle est dérivable sur $\R$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
    a. Calculer $f'(x)$.
    $\quad$
    b. Déterminer le signe de $f'(x)$ en fonction du réel $x$ . En déduire le tableau de variation de la fonction $f$.
    $\quad$
    c. Déterminer une équation de la droite $T$ tangente à $C_f$ au point d’abscisse $-1$.
    $\quad$
  2. La fonction $g$ est une fonction polynôme du second degré, il existe donc trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que : $g(x)=ax^2+bx+c$ pour tout réel $x$ . On note $\Delta$ son discriminant.
    a. Déterminer, à l’aide du graphique, le signe de $a$ et le signe de $\Delta$.
    $\quad$
    b. La fonction $g$ est définie, pour tout réel $x$, par $g(x)=10x^2+8x+8$.
    Démontrer que les courbes $C_f$ et $C_g$ ont un point commun d’abscisse $-1$ et qu’en ce point elles ont la même tangente.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=3x^2+3\times 2x-9 \\
    &=3x^2+6x-9\end{align*}$
    $\quad$
    b. Le discriminant de $3x^2+6x-9$ est :
    $\begin{align*} \Delta&=6^2-4\times 3\times (-9) \\
    &=144\\
    &>0\end{align*}$
    Le polynôme du second degré possède donc deux racines réelles :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{-6-\sqrt{144}}{6} \\
    &=-3\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-6+\sqrt{144}}{6} \\
    &=1\end{align*}$
    Le coefficient principal est $a=3>0$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
    c. Une équation de $T$ est de la forme $y=f'(-1)\left(x-(-1)\right)+f(1)$
    Or $f'(-1)=-12$ et $f(-1)=10$
    Une équation de $T$ est donc $y=-12(x+1)+10$ soit $y=-12x-2$
    $\quad$
  2. a. La parabole est strictement au-dessus de l’axe des abscisses donc $a>0$ et $\Delta<0$.
    $\quad$
    b. On a $g(-1)=10$ donc $g(-1)=f(-1)$.
    Les courbes $C_f$ et $C_g$ ont un point en commun.
    La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x$ on a $g'(x)=20x+8$.
    $g'(-1)=-12$.
    La tangente à $C_g$ au point d’abscisse $-1$ a donc le même coefficient directeur que la droite $T$.
    Par conséquent les courbes $C_f$ et $C_g$ ont un point commun d’abscisse $-1$ et qu’en ce point elles ont la même tangente.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

La fonction f est définie sur $]-1; +\infty[$ par : $$f(x)=\dfrac{x^2+1}{x+1}$$
On se place dans un repère orthonormé du plan.

  1. Démontrer que pour tout 𝑥 appartenant à l’intervalle $]-1; +\infty[$: $$f'(x)=\dfrac{x^2+2x-1}{(x+1)^2}$$
    $\quad$
  2. Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur $]-1; +\infty[$.
    $\quad$
  3. Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $0$.
    $\quad$
  4. Etudier la position relative de la courbe représentative de $f$ et de la droite d’équation $y=x$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $]-1;+\infty[$ en tant que que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $]-1;+\infty[$.
    Pour tout réel $x>-1$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2x(x+1)-\left(x^2+1\right)\times 1}{(x+1)^2} \\
    &=\dfrac{2x^2+2x-x^2-1}{(x+1)^2} \\
    &=\dfrac{x^2+2x-1}{(x+1)^2}\end{align*}$
    $\quad$
  2. Un carré étant toujours positif, le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $x^2+2x-1$.
    Le discriminant de ce polynôme du second degré est :
    $\begin{align*} \Delta&=2^2-4\times 1\times (-1) \\
    &=8\\
    &>0\end{align*}$
    Il possède donc deux racines réelles :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{-2-\sqrt{8}}{2} \\
    &=-1-\sqrt{2}\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-2+\sqrt{8}}{2} \\
    &=-1+\sqrt{2}\end{align*}$
    Son coefficient principal est $a=1>0$.
    Ainsi $x^2+2x-1$ est :
    – positif sur $\left]-\infty;-1-\sqrt{2}\right[\cup\left]-1+\sqrt{2};+\infty\right[$;
    – nul si $x\in \lbrace -1-\sqrt{2};-1+\sqrt{2}\rbrace$
    – négatif sur $\left]-1-\sqrt{2};-1+\sqrt{2}\right[$
    Or $-1-\sqrt{2}<-1$.
    Ainsi $f$ est strictement décroissante sur $\left]-1;-1+\sqrt{2}\right]$ et strictement croissante sur $\left[-1+\sqrt{2};+\infty\right[$.
    $\quad$
  3. Une équation de la droite $T$ est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$
    Or $f'(0)=-1$ et $f(0)=1$.
    Une équation de $T$ est donc $y=-x+1$.
    $\quad$
  4. On doit étudier le signe de
    $\begin{align*} f(x)-x&=\dfrac{x^2+1}{x+1}-x\\
    &=\dfrac{x^2+1-\left(x^2+x\right)}{x+1}\\
    &=\dfrac{1-x}{x+1}\end{align*}$
    Sur $]-1;+\infty[$ on a $x+1>0$
    Donc $f(x)-x$ est du signe de $1-x$.
    Or $1-x=0 \ssi x=1$ et $1-x>0 \ssi x<1$
    Ainsi la courbe représentative de la fonction $f$ est au-dessus de la droite d’équation $y=x$ sur l’intervalle $]-1;1[$ et au-dessous sur l’intervalle $]1;+\infty[$.
    Si $x=1$ alors la courbe et la droite sont confondues.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Partie A

On considère la fonction polynôme du second degré $P$ définie sur $\R$ par : $$P(x)=x^2-7x+6$$

  1. Résoudre l’équation $P(x)=0$
    $\quad$
  2. Étudier le signe de $P$ sur $\R$.
    $\quad$

Partie B
On considère la fonction polynôme du troisième degré $f$ définie sur $\R$ par : $$f(x)=2x^3-21x^2+36x$$

  1. Calculer la dérivée $f’$ de $f$ et vérifier que $f'(x)=6P(x)$
    $\quad$
  2. Etudier les variations de la fonction $f$.
    $\quad$
  3. On se place dans un repère du plan. Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe représentative de $f$ au point $B$ d’abscisse $3$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Partie A

  1. Il s’agit d’une équation du second degré.
    $\begin{align*} \Delta&=(-7)^2-4\times 1\times 6 \\
    &=25\\
    &>0\end{align*}$
    L’équation possède donc deux racines réelles :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{7-\sqrt{25}}{2}\\
    &=1\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{7+\sqrt{25}}{2}\\
    &=6\end{align*}$
    $\quad$
  2. Le coefficient principal du polynôme du second degré $P$ est $a=1>0$.
    Par conséquent :
    – $P(x)<0$ sur $]1;6[$;
    – $P(1)=P(6)=0$
    – $P(x)>0$ sur $]-\infty;1[\cup]6;+\infty[$.
    $\quad$

Partie B

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=2\times 3x^2-21\times 2x+36\\
    &=6x^2-42x+36\\
    &=6\left(x^2-7x+6\right)\\
    &=6P(x)\end{align*}$
    $\quad$
  2. Ainsi, pour tout réel $x$, $f'(x)$ est du signe de $P(x)$.
    – la fonction $f$ est donc strictement décroissante sur l’intervalle $[1;6]$ et strictement croissante sur $]-\infty;1]\cup[6;+\infty[$.
    $\quad$
  3. Une équation de la droite $T$ est de la forme $y=f'(3)(x-3)+f(3)$
    Or $f'(3)=-36$ et $f(3)=-27$
    Une équation de $T$ est donc $y=-36(x-3)-27$ soit $y=-36x+81$
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM) comportant cinq questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer la réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Soit $a$, $b$, $c$ trois réels tels que $a\neq 0$ et soit $g$ la
fonction définie sur $\R$ par : $$g(x)=ax^2+bx+c$$
Soit $\Delta$ son discriminant.

La représentation graphique de la fonction $g$ dans un repère orthonormé est donnée ci-dessous.

Alors on peut affirmer que :

a. $a>0$ et $\Delta>0$
b. $a>0$ et $\Delta<0$
c. $a<0$ et $\Delta>0$
d. $a<0$ et $\Delta<0$

$\quad$

Correction Exercice

La parabole coupe l’axe des abscisses en deux points. Donc $\Delta >0$.
D’après la représentation graphique de la fonction $g$, celle-ci possède un maximum. Donc $a<0$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 2

On considère la fonction $f$ dont la fonction dérivée est la fonction $g$ considérée dans la question 1.
Le tableau des variations de $f$ est :

$\quad$

Correction Question 2

$g$ est positive sur $[1;5]$ et négative sur $]-\infty;1]\cup[5;+\infty[$.
Par conséquent $f$ est croissante sur $[1;5]$ et décroissante sur $]-\infty;1]\cup[5;+\infty[$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 3

On considère à nouveau la fonction $f$ dont la fonction dérivée est la fonction $g$ considérée dans la question 1. On sait de plus que $f(3)=7$.
La tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $3$ a pour équation réduite :

a. $y=4$
b. $y=4x+3$
c. $y=4x+7$
d. $y=4x-5$

$\quad$

Correction Question 3

On a $f'(3)=g(3)=4$ et $f(3)=7$
Une équation de cette tangente est de la forme $y=f'(3)(x-3)+f(3)$ soit $y=4(x-3)+7$ ou encore $y=4x-5$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(5; -1)$, $B(3; 2)$ et $C(1; -3)$. Une équation cartésienne de la droite perpendiculaire à $(AB)$ et passant par $C$ est :

a. $-2x+3y+11=0$
b. $3x-2y-9=0$
c. $x-3y-10=0$
d. $3x+2y+3=0$

$\quad$

Correction Question 4

$\vect{AB}\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite $(AB)$.
C’est donc un vecteur normal à la droite $d$ perpendiculaire à $(AB)$ passant par $C$.
Une équation cartésienne de $d$ est donc de la forme $-2x+3y+c=0$
Le point $C(1;-3)$ appartient à $d$ donc :
$-2-9+c=0 \ssi c=11$
Une équation cartésienne de $d$ est donc $-2x+3y+11=0$.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(5; -1)$, $B(3; 2)$ et $C(1; -3)$.
Une mesure, arrondie au degré, de l’angle $\widehat{ABC}$, est :

a. $11$
b. $25$
c. $55$
d. $88$

$\quad$

Correction Question 5

On a $\vect{BA}\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}$ et $\vect{BC}\begin{pmatrix}-2\\-5\end{pmatrix}$

D’une part,
$\begin{align*} \vect{BA}.\vect{BC}&=2\times (-2)+(-3)\times (-5)\\
&=11\end{align*}$

$\quad$

$\begin{align*} BA&=\sqrt{2^2+(-3)^2} \\
&=\sqrt{13}\end{align*}$
$\begin{align*} BC&=\sqrt{(-2)^2+(-5)^2} \\
&=\sqrt{29}\end{align*}$

D’autre part part,
$\begin{align*} \vect{BA}.\vect{BC}&=BA\times BC\times \cos \widehat{ABC} \\
&=\sqrt{13}\times \sqrt{29}\times \cos \widehat{ABC} \end{align*}$

Donc $\sqrt{13}\times \sqrt{29}\times \cos \widehat{ABC} =11$
Ainsi $\cos \widehat{ABC}=\dfrac{11}{\sqrt{13}\times \sqrt{29}}$
Et $\widehat{ABC} \approx 55$°

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

  1. Étudier le signe de la fonction $P$ définie sur $\R$ par $P(x) = x^2+4x+3$.
    $\quad$

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]-2; +\infty[$ par $$f(x) =\dfrac{x^2+x-1}{x+2}$$ et on note $C_d$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $]-2; +\infty[$.

  1. Montrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $]2; +\infty[$, $$f'(x)=\dfrac{P(x)}{(x+2)^2}$$ où $f’$ est la fonction dérivée de $f$.
    $\quad$
  2. Étudier le signe de $f'(x)$ sur $]-2; +\infty[$ et construire le tableau de variations de la fonction $f$ sur $]-2; +\infty[$.
    $\quad$
  3. Donner le minimum de la fonction $f$ sur $]-2; +\infty[$ et la valeur pour laquelle il est atteint (on donnera les valeurs exactes).
    $\quad$
  4. Déterminer le coefficient directeur de la tangente $T$ à la courbe $C_f$ au point d’abscisse $2$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. $P$ est une fonction polynôme du second degré.
    $\begin{align*} \Delta&=4^2-4\times 1\times 3 \\
    &=4\\
    &>0\end{align*}$
    Elle possède donc deux racines réelles :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{-4-\sqrt{4}}{2}\\
    &=-3\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-4+\sqrt{4}}{2}\\
    &=-1\end{align*}$
    Le coefficient principal est $a=1>0$.
    Ainsi :
    – $P(x)<0$ sur l’intervalle $]-3;-1[$
    – $P(x)>0$ sur $]-\infty;-3[\cup]-1;+\infty[$
    – $P(-3)=P(-1)=0$
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $]-2;+\infty[$ comme quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle dont le dénominateur ne s’annule pas.
    Pour tout réel $x>-2$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{(2x+1)(x+2)-1\times \left(x^2+x-1\right)}{(x+2)^2} \\
    &=\dfrac{2x^2+4x+x+2-x^2-x+1}{(x+2)^2} \\
    &=\dfrac{x^2+4x+3}{(x+2)^2}\\
    &=\dfrac{P(x)}{(x+2)^2}\end{align*}$
    $\quad$
  3. Sur $]-2;+\infty[$ on a $(x+2)^2>0$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $P(x)$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :
    $\quad$
  4. D’après le tableau de variations précédent, le minimum de la fonction $f$ est atteint pour $x=-1$ et il faut $-1$.
    $\quad$
  5. Une équation de la droite $T$ est de la forme $y=f'(2)(x-2)+f(2)$
    Or $f(2)=\dfrac{5}{4}$ et $f'(2)=\dfrac{15}{16}$
    Une équation de $T$ est donc $y=\dfrac{15}{16}(x-2)+\dfrac{5}{4}$ soit $y=\dfrac{15}{16}x-\dfrac{5}{8}$
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Dans la figure ci-dessous, on a tracé $C_f$, la courbe représentative d’une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ ainsi que les tangentes à $C_f$ aux points d’abscisses $-2$, $-1$ et $0$.

  1. Recopier sur la copie en le complétant le tableau de valeurs ci-dessous.
    $$\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    x&-1&0\\
    \hline
    f(x)&\phantom{123}&\phantom{123}\\
    \hline
    f'(x)&&\\
    \hline
    \end{array}$$
    On admet que la fonction $f$ est définie sur $\R$ par : $$f(x)=x^3+3x^2+2x+1$$
  2. a. Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$.
    $\quad$
    b. Résoudre dans $\R$ l’équation : $f'(x)=0$.
    $\quad$
  3. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
    $\quad$
  4. Le point $S(-4 ; -3)$ appartient-il à la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $x=-2$ ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    x&-1&0\\
    \hline
    f(x)&\phantom{1}1\phantom{1}&\phantom{1}1\phantom{1}\\
    \hline
    f'(x)&-1&2\\
    \hline
    \end{array}$$
    $C_f$ passe par le point de coordonnées $(-1;1)$ donc $f(-1)=1$.
    $C_f$ passe par le point de coordonnées $(0;1)$ donc $f(0)=1$.
    $f'(-1)$ est le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse $-1$ donc $f'(-1)=-1$.
    $f'(0)$ est le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse $-1$ donc $f'(0)=2$.
    $\quad$
  2. a. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=3x^2+3\times 2x+2\\
    &=3x^2+6x+2\end{align*}$
    $\quad$
    b. $f'(x)=0\ssi 3x^2+6x+2=0$
    $\begin{align*} \Delta&=6^2-4\times 3\times 2\\
    &=12\\
    &>0\end{align*}$
    L’équation $f'(x)=0$ possède donc deux solutions réelles :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{-6-\sqrt{12}}{6}\\
    &=-\dfrac{3+\sqrt{3}}{3}\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-6+\sqrt{12}}{6}\\
    &=\dfrac{-3+\sqrt{3}}{3}\end{align*}$.
    $\quad$
  3. Le coefficient principal du polynôme du second degré $3x^2+6x+2$ est $a=3>0$.
    On obtient donc le tableau de variation suivant :

    $\quad$
  4. Une équation de la tangente à $C_f$ au point d’abscisse $-2$ est de la forme $y=f(-2)\left(x-(-2)\right)+f(-2)$
    Or $f(-2)=1$ et $f'(-2)=2$
    Une équation de cette droite est donc $y=2(x+2)+1$ soit $y=2x+5$.
    $\begin{align*} 2x_S+5&=2\times (-4)+5 \\
    &=-3\\
    &=y_S\end{align*}$
    Le point $S$ appartient donc à la tangente à $C_f$ au point d’abscisse $-2$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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