Exercice 1     7 points

Thèmes : fonctions, suites

1. $g$ est de la forme $\ln(u)$ dont la dérivée, quand elle existe, est $\dfrac{u’}{u}$.
   Ici, pour tout $x\in ]0;+\infty[$, $u(x)=x^2+x+1$ et $u'(x)=2x+1$.
   Donc $g'(x)=\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}$
   Réponse d
   $\quad$
2. On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=x\ln(x)-x$.
   $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables.
   Pour tout $x\in ]0;+\infty[$,
   $\begin{align*} f'(x)&=1\times \ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}-1 \\
   &=\ln(x)+1-1\\
   &=\ln(x)\end{align*}$
   Réponde c
   $\quad$
3. Pour tout $n\in \N$ on a
   $\begin{align*}a_n&=\dfrac{3^n\left(\dfrac{1}{3^n}-1\right)}{2^n\left(\dfrac{1}{2^{-n}}+1\right)}\\
   &=\left(\dfrac{3}{2}\right)^n \times \dfrac{\dfrac{1}{3^n}-1}{\dfrac{1}{2^n}+1}\end{align*}$
   Or $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{3^n}=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{2^n}=0$
   Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{\dfrac{1}{3^n}-1}{\dfrac{1}{2^n}+1}=-1$
   de plus $1<\dfrac{3}{2}$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} \left(\dfrac{3}{2}\right)^n=+\infty$
   Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} a_n=-\infty$^.
   Réponse a
   $\quad$
4. La fonction $f’$ est strictement décroissante sur $[-2;0]$.
   Donc $f$ est concave sur $[-2;0]$.
   Réponse d
   $\quad$
5. On a $f'(x)>0$ sur $[0;1[$ et $f'(x)<0$ sur $]1;2]$.
   $f$ est donc strictement croissante sur $[0;1]$ et strictement décroissante sur $[1;2]$.
   $f$ admet donc un maximum en $1$ sur $[0;2]$.
   Réponse c
   $\quad$
6. Le programme b ne convient pas car on ne rentre jamais dans la boucle “while”.
   Le programme c ne convient pas car on effectue $200$ fois la boucle “for” et la fonction renvoie la valeur de l’action après $200$ mois.
   Le programme d ne convient pas il ne teste que la valeur initiale de l’action. Il s’arrête aussitôt après.
   Réponse a
   $\quad$
   Remarque : Le programme a renvoie effectivement la bonne réponse mais il contient malgré tout une erreur. Il faudrait mettre un “<=” dans la boucle “while” pour exclure la situation (qui ne se produira pas au regard de la valeur initiale de “v”) où $v=200$.
   $\quad$

Exercice 2     7 points

Thèmes : probabilités

 

1. On a $P(M)=0,07$ et $P_M(T)=0,8$
   Donc
   $\begin{align*} P(M\cap T)&=P(M)\times P_M(T) \\
   &=0,07\times 0,8\\
   &=0,056\end{align*}$
   $\quad$
   $\quad$
2. $\left(M,\conj{M}\right)$ est un système complet d’événements.
   D’après la formule des probabilités totales
   $\begin{align*} P(T)&=P(M\cap T)+P\left(\conj{M}\cap T\right) \\
   &=0,056+P\left(\conj{M}\right)\times P_{\conj{M}}(T)\\
   &=0,056+0,93\times 0,01 \\
   &=0,065~3\end{align*}$
   $\quad$
3. Il est plus pertinent de connaître $P_T(M)$ puisqu’on veut déterminer si la personne testée est malade.
   $\quad$
4. On veut calculer
   $\begin{align*} P_T(M)&=\dfrac{P(M\cap T)}{P(T)} \\
   &=\dfrac{0,056}{0,065~3} \\
   &\approx 0,86\end{align*}$
   La probabilité que la personne soit malade sachant que son test est positif est environ égale à $0,86$.
   $\quad$
5. a. On répète $10$ fois la même expérience de Bernoulli de paramètres $0,065~3$. $X$ est égale au nombre d’individus ayant un test positif.
   Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,065~3$.
   $\quad$
   b. On veut calculer
   $\begin{align*} P(X=2)&=\dbinom{10}{2}0,065~3^2\times (1-0,065~3)^{10-2}\\
   &=45\times 0,065~3^2\times 0,934~7^8\\
   &\approx 0,11\end{align*}$
   La probabilité pour qu’exactement deux personnes aient un test positif est environ égale à $0,11$.
   $\quad$
6. On répète $n$ fois la même expérience de Bernoulli de paramètres $0,065~3$. On appelle $Y$ la variable aléatoire égale au nombre d’individus ayant un test positif.
   Donc $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,065~3$.
   $\begin{align*} P(Y\pg 1)>0,99 &\ssi 1-P(Y=0)>0,99 \\
   &\ssi P(Y=0)<0,01 \\
   &\ssi 0,934~7^n <0,01\\
   &\ssi n\ln(0,934~7) <\ln(0,01) \\
   &\ssi n>\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,934~7)} \qquad \text{(car $\ln(0,934~7)<0$)}
   \end{align*}$
   Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,934~7)}\approx 68,2$.
   Il faut donc tester au moins $69$ personnes pour que la probabilité qu’au moins l’une d’entre elle ait un test positif soit supérieur à $99\%$.
   $\quad$

 

Exercice 3     7 points

Thèmes : suites

1. a.
   $\begin{align*}u_1&=\dfrac{u_0}{1+u_0}\\
   &=\dfrac{1}{1+1}\\
   &=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
   $\begin{align*}u_2&=\dfrac{u_1}{1+u_1}\\
   &=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{1+\dfrac{1}{2}}\\
   &=\dfrac{1}{3}\end{align*}$
   $\begin{align*}u_3&=\dfrac{u_2}{1+u_2}\\
   &=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{1+\dfrac{1}{3}}\\
   &=\dfrac{1}{4}\end{align*}$
   $\quad$
   b.
   $\begin{array}{|c|l|}
   \hline
   1.&\text{def liste(k):}\\
   2.&\quad \text{L=[]}\\
   3.&\quad \text{u = 1}\\
   4.&\quad \text{for i in range(0,k+1):}\\
   5.&\qquad \text{L.append(u)}\\
   6.&\qquad \text{u = u / (1 + u)}\\
   7.&\quad \text{return(L)}\\
   \hline
   \end{array}$
   $\quad$
2. Soit $n\in \N$.
   $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=\dfrac{u_n}{1+u_n}-u_n \\
   &=u_n\left(\dfrac{1}{1+u_n}-1\right) \end{align*}$
   $u_n>0$ donc $1+u_n>1$ et $\dfrac{1}{1+u_n}<1$
   Ainsi $u_{n+1}-u_n<0$
   La suite $\left(u_n\right)$ est donc strictement décroissante.
   $\quad$
3. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $0$.
   La suite $\left(u_n\right)$ converge donc vers un réel $\ell$.
   $\quad$
4. On considère la fonction $f$ définie sur $]-\infty;-1[\cup]-1;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x}{1+x}$.
   La fonction $f$ est continue sur $[0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s’annule pas.
   De plus, pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
   $\ell$ est donc solution de l’équation
   $\begin{align*}x=\dfrac{x}{x+1} &\ssi x-\dfrac{x}{x+1}=0 \\
   &\ssi x\left(1-\dfrac{1}{x+1}\right)=0 \\
   &\ssi x\times \dfrac{x}{x+1}=0\\
   &\ssi x=0\end{align*}$
   Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=0$.
   $\quad$
5. a. Il semblerait que pour tout entier naturel $n$ on ait $u_n=\dfrac{1}{1+n}$
   $\quad$
   b. Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~u_n=\dfrac{1}{1+n}$.
   Initialisation : $u_0=1$ et $\dfrac{1}{1+0}=1$. Donc $P(0)$ est vraie.
   $\quad$
   Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
   $\begin{align*} u_{n+1}&=\dfrac{u_n}{1+u_n}\\
   &=\dfrac{\dfrac{1}{1+n}}{1+\dfrac{1}{1+n}} \\
   &=\dfrac{\dfrac{1}{1+n}}{\dfrac{1+n+1}{1+n}} \\
   &=\dfrac{1}{1+(n+1)}\end{align*}$
   Donc $P(n+1)$ est vraie.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $u_n=\dfrac{1}{1+n}$.
   $\quad$

 

Exercice 4     7 points

Thèmes : géométrie dans le plan et dans l’espace

1. a. $\vect{AB}(-1;1;-3)$ et $\vect{AC}(4;7;1)$.
   Par conséquent :
   $\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=-1\times 4+1\times 7-3\times 1\\
   &=-4+7-3 \\
   &=0\end{align*}$
   Le triangle $ABC$ est donc rectangle en $A$.
   $\quad$
   b. $\vect{BA}(1;-1;3)$ et $\vect{BC}(5;6;4)$
   Par conséquent :
   $\begin{align*} \vect{BA}.\vect{BC}&=1\times 5-1\times 6+3\times 4\\
   &=5-6+12\\
   &=11\end{align*}$
   $\begin{align*} BA&=\sqrt{1^2+(-1)^2+3^2}\\
   &=\sqrt{11}\end{align*}$
   $\begin{align*} BC&=\sqrt{5^2+6^2+4^2} \\
   &=\sqrt{25+36+16}\\
   &=\sqrt{77}\end{align*}$
   $\quad$
   c. On a
   $\begin{align*} \vect{BA}.\vect{BC}=BA\times BC\times \cos\left(\widehat{ABC}\right)&\ssi 11=\sqrt{11}\times \sqrt{77} \times \cos\left(\widehat{ABC}\right) \\
   &\ssi 11=\sqrt{11}\times \sqrt{11}\times \sqrt{7}\times \cos\left(\widehat{ABC}\right) \\
   &\ssi \cos\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{7}}\end{align*}$
   Par conséquent $\widehat{ABC}\approx 68$°.
   $\quad$
2. a. Un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$ est $\vec{n}(2;-1;-1)$.
   Les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ ne sont pas colinéaires d’après la question 1.a.
   De plus :
   $\begin{align*} \vec{n}.\vect{AB}&=2\times (-1)-1\times 1-1\times (-3) \\
   &=-2-1+3 \\
   &=0\end{align*}$
   $\begin{align*} \vec{n}.\vect{AC}&=2\times 4-1\times 7-1\times 1 \\
   &=8-7-1 \\
   &=0\end{align*}$
   Ainsi $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $ABC$.
   $\vec{n}$ est donc un vecteur normal à $(ABC)$ et $\mathscr{P}$.
   Par conséquent $\mathscr{P}$ et $(ABC)$ sont parallèles.
   $\quad$
   b. Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc de la forme $2x-y-z+d=0$
   Le point $B(1;0;-3)$ appartient au plan $(ABC)$. Ses coordonnées vérifient donc son équation
   $2\times 1-0-(-3)+d=0 \ssi d=-5$
   Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc $2x-y-z-5=0$.
   $\quad$
   c. Une représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$ est
   $\begin{cases} x=1+2t\\y=2-t\\z=4-t\end{cases} \qquad ,t\in \R$
   $\quad$
   d. Les coordonnées du point $H$ sont solution du système :
   $\begin{align*}\begin{cases} x=1+2t\\y=2-t\\z=4-t\\2x-y-z-5=0\end{cases}& \ssi \begin{cases} x=1+2t\\y=2-t\\z=4-t\\2(1+2t)-(2-t)-(4-t)-5=0\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} x=1+2t\\y=2-t\\z=4-t\\6t-9=0\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} t=\dfrac{3}{2}\\x=4\\y=\dfrac{1}{2}\\z=\dfrac{5}{2}\end{cases}\end{align*}$
   Par conséquent $H$ a pour coordonnées $\left(4;\dfrac{1}{2}; \dfrac{5}{2}\right)$.
   $\quad$
3. On a $AC=\sqrt{4^2+7^2+1^2}=\sqrt{66}$.
   Ainsi l’aire du triangle $ABC$ est
   $\begin{align*} \mathscr{B}&=\dfrac{AB\times AC}{2} \\
   &=\dfrac{\sqrt{11}\times \sqrt{66}}{2} \\
   &=\dfrac{11\sqrt{6}}{2}\end{align*}$
   $[HE]$ est la hauteur de la pyramide $ABCE$ associée à la base $ABC$
   $\vect{HE}\left(-3;\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2}\right)$
   Par conséquent $HE=\sqrt{(-3)^2+\left(\dfrac{3}{2}\right)^2+\left(\dfrac{3}{2}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{27}{2}}$
   Ainsi le volume de la pyramide $ABCE$  est :
   $\begin{align*} \mathscr{V}&=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{11\sqrt{6}}{2}\times \sqrt{\dfrac{27}{2}} \\
   &=16,5\end{align*}$
   $\quad$

Le sujet propose 4 exercices
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices
Chaque exercice est noté sur 7 points (le total sera ramené sur 20 points).
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront prises en compte.

Exercice 1     7 points

Thèmes : fonctions, suites

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des six questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

1. On considère la fonction $g$ définie et dérivable sur $] 0 ;+\infty[$ par :
   $$
   g(x)=\ln \left(x^2+x+1\right)
   $$
   Pour tout nombre réel $x$ strictement positif :
   a. $g^{\prime}(x)=\dfrac{1}{2 x+1}$
   b. $g^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x^2+x+1}$
   c. $g^{\prime}(x)=\ln (2 x+1)$
   d. $g^{\prime}(x)=\dfrac{2 x+1}{x^2+x+1}$.
   $\quad$
2. La fonction $x \mapsto \ln (x)$ admet pour primitive sur $] 0; +\infty[$ la fonction :
   a. $x \mapsto \ln (x)$
   b. $x \mapsto \dfrac{1}{x}$
   c. $x \mapsto x \ln (x)-x$
   d. $x \mapsto \dfrac{\ln (x)}{x}$.
   $\quad$
3. On considère la suite $\left(a_n\right)$ définie pour tout $n$ dans $\mathbb{N}$ par :
   $$
   a_n=\dfrac{1-3^n}{1+2^n}
   $$
   La limite de la suite $\left(a_n\right)$ est égale à :
   a. $-\infty$
   b. $-1$
   c. $1$
   d. $+\infty$.
   $\quad$
4. On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $[-2 ; 2]$. Le tableau de variations de la fonction $\boldsymbol{f}^{\prime}$ dérivée de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-2 ; 2]$ est donné par :
   $\quad$

   $\quad$

   La fonction $f$ est :
   a. convexe sur $[-2 ;-1]$.
   b. concave sur $[0 ; 1]$.
   c. convexe sur $[-1 ; 2]$.
   d. concave sur $[-2 ; 0]$.
   $\quad$

5. On donne ci-dessous la courbe représentative de la dérivée $\boldsymbol{f}^{\prime}$ d’une fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-2 ; 4]$.
   $\quad$

   $\quad$

   Par lecture graphique de la courbe de $f^{\prime}$, déterminer l’affirmation correcte pour $f$ :
   a. $f$ est décroissante sur $[0 ; 2]$.
   b. $f$ est décroissante sur $[-1 ; 0]$.
   c. $f$ admet un maximum en $1$ sur $[0 ; 2]$.
   d. $f$ admet un maximum en $3$ sur $[2 ; 4]$.
   $\quad$

    

6. Une action est cotée à $57$ euros. Sa valeur augmente de $3\%$ tous les mois.
   La fonction python $\text{seuil()}$ qui renvoie le nombre de mois à attendre pour que sa valeur dépasse $200$ euros est :
   $\quad$
   
   $\quad$

$\quad$

 

Exercice 2     7 points

Thème : probabilités

Selon les autorités sanitaires d’un pays, $7 \%$ des habitants sont infectés par une certaine maladie.
Dans ce pays, un test est mis au point pour détecter cette maladie. Ce test a les caractéristiques suivantes :

• pour les individus malades, le test donne un résultat négatif dans $20 \%$ des cas ;
• pour les individus sains, le test donne un résultat positif dans $1 \%$ des cas.

Une personne est choisie au hasard dans la population et testée.
On considère les événements suivants :

• $M$ : «la personne est malade» ;
• $T$ : le test est positif».

1. Calculer la probabilité de l’événement $M \cap T$. On pourra s’appuyer sur un arbre pondéré.
   $\quad$
2. Démontrer que la probabilité que le test de la personne choisie au hasard soit positif, est de $0,065~3$.
   $\quad$
3. Dans un contexte de dépistage de la maladie, est-il plus pertinent de connaître $P_M(T)$ ou $P_T(M) ?$
   $\quad$
4. On considère dans cette question que la personne choisie au hasard a eu un test positif.
   Quelle est la probabilité qu’elle soit malade ? On arrondira le résultat à $10^{-2}$ près.
   $\quad$
5. On choisit dix personnes au hasard dans la population. La taille de la population de ce pays permet d’assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.
   On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre d’individus ayant un test positif parmi les dix personnes.
   a. Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
   $\quad$
   b. Déterminer la probabilité pour qu’exactement deux personnes aient un test positif. On arrondira le résultat à $10^{-2}$ près.
   $\quad$
6. Déterminer le nombre minimum de personnes à tester dans ce pays pour que la probabilité qu’au moins l’une d’entre elles ait un test positif, soit supérieure à $99 \%$.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3     7 points

Thème : suites

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$ :
$$
u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n}
$$

1. a. Calculer les termes $u_1$, $u_2$ et $u_3$. On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles.
   $\quad$
   b. Recopier le script Python ci-dessous et compléter les lignes 3 et 6 pour que $\text{liste(k)}$ prenne en paramètre un entier naturel $k$ et renvoie la liste des premières valeurs de la suite $\left(u_n\right)$ de $u_0$ à $u_k$.
   $$\begin{array}{|l|l|}
   \hline
   1. &\text{def liste(k):} \\
   2. & \quad\text{L = []} \\
   3. & \quad\text{u = }\ldots  \\
   4. & \quad\text{for i in range (0, k+1):}\\
   5.& \qquad \text{L.append(u)} \\
   6. &\qquad \text{u =}\ldots \\
   7. & \quad \text{return L}\\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$
2. On admet que, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est strictement positif. Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
   $\quad$
3. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
   $\quad$
4. Déterminer la valeur de sa limite.
   $\quad$
5. a. Conjecturer une expression de $u_n$ en fonction de $n$.
   $\quad$
   b. Démontrer par récurrence la conjecture précédente.
   $\quad$

Exercice 4     7 points

Thèmes : géométrie dans le plan et dans l’espace

L’espace est rapporté à un repère orthonormé où l’on considère :

• les points $A(2 ;-1 ; 0)$, $B(1 ; 0 ;-3)$, $C(6 ; 6 ; 1)$ et $E(1 ; 2 ; 4)$;
• le plan $\mathcal{P}$ d’équation cartésienne : $2 x-y-z+4=0$.

1. a. Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
   $\quad$
   b. Calculer le produit scalaire $\vect{BA}.\vect{BC}$ puis les longueurs $BA$ et $BC$.
   $\quad$
   c. En déduire la mesure en degrés de l’angle $\widehat{ABC}$, arrondie au degré.
   $\quad$
2. a. Démontrer que le plan $\mathcal{P}$ est parallèle au plan $(ABC)$.
   $\quad$
   b. En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
   $\quad$
   c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$ orthogonale au plan $(ABC)$ et passant par le point $E$.
   $\quad$
   d. Démontrer que le projeté orthogonal $H$ du point $E$ sur le plan $(ABC)$ a pour coordonnées $\left(4 ; \dfrac{1}{2} ; \dfrac{5}{2}\right)$.
   $\quad$
3. On rappelle que le volume d’une pyramide est donné par $\mathcal{V}=\dfrac{1}{3} \mathcal{B} h$ où $\mathcal{B}$ désigne l’aire d’une base et $h$ la hauteur de la pyramide associée à cette base.
   Calculer l’aire du triangle $ABC$ puis démontrer que le volume de la pyramide $ABCE$ est égal à $16,5$ unités de volume.
   $\quad$

$\quad$