Bac – Spécialité mathématiques – Polynésie – sujet 1 – 4 mai 2022

Polynésie – 4 mai 2022

Spécialité maths – Sujet 1- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1     7 points

Thèmes : fonctions, suites

  1. $g$ est de la forme $ln(u)$ dont la dérivée, quand elle existe, est $\dfrac{u’}{u}$.
    Ici, pour tout $x\in ]0;+\infty[$, $u(x)=x^2+x+1$ et $u'(x)=2x+1$.
    Donc $g'(x)=\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}$
    Réponse d
    $\quad$
  2. On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=x\ln(x)-x$.
    $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables.
    Pour tout $x\in ]0;+\infty[$,
    $\begin{align*} f'(x)&=1\times \ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}-1 \\
    &=\ln(x)+1-1\\
    &=\ln(x)\end{align*}$
    Réponde c
    $\quad$
  3. Pour tout $n\in \N$ on a
    $\begin{align*}a_n&=\dfrac{3^n\left(\dfrac{1}{3^n}-1\right)}{2^n\left(\dfrac{1}{2^{-n}}+1\right)}\\
    &=\left(\dfrac{3}{2}\right)^n \times \dfrac{\dfrac{1}{3^n}-1}{\dfrac{1}{2^n}+1}\end{align*}$
    Or $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{3^n}=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{2^n}=0$
    Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{\dfrac{1}{3^n}-1}{\dfrac{1}{2^n}+1}=-1$
    de plus $1<\dfrac{3}{2}$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} \left(\dfrac{3}{2}\right)^n=+\infty$
    Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} a_n=-\infty$^.
    Réponse a
    $\quad$
  4. La fonction $f’$ est strictement décroissante sur $[-2;0]$.
    Donc $f$ est concave sur $[-2;0]$.
    Réponse d
    $\quad$
  5. On a $f'(x)>0$ sur $[0;1[$ et $f'(x)<0$ sur $]1;2]$.
    $f$ est donc strictement croissante sur $[0;1]$ et strictement décroissante sur $[1;2]$.
    $f$ admet donc un maximum en $1$ sur $[0;2]$.
    Réponse c
    $\quad$
  6. Le programme b ne convient pas car on ne rentre jamais dans la boucle “while”.
    Le programme c ne convient pas car on effectue $200$ fois la boucle “for” et la fonction renvoie la valeur de l’action après $200$ mois.
    Le programme d ne convient pas il ne teste que la valeur initiale de l’action. Il s’arrête aussitôt après.
    Réponse a
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2     7 points

Thèmes : probabilités

 

  1. On a $P(M)=0,07$ et $P_M(T)=0,8$
    Donc
    $\begin{align*} P(M\cap T)&=P(M)\times P_M(T) \\
    &=0,07\times 0,8\\
    &=0,056\end{align*}$
    $\quad$
    $\quad$
  2. $\left(M,\conj{M}\right)$ est un système complet d’événements.
    D’après la formule des probabilités totales
    $\begin{align*} P(T)&=P(M\cap T)+P\left(\conj{M}\cap T\right) \\
    &=0,056+P\left(\conj{M}\right)\times P_{\conj{M}}(T)\\
    &=0,056+0,93\times 0,01 \\
    &=0,065~3\end{align*}$
    $\quad$
  3. Il est plus pertinent de connaître $P_T(M)$ puisqu’on veut déterminer si la personne testée est malade.
    $\quad$
  4. On veut calculer
    $\begin{align*} P_T(M)&=\dfrac{P(M\cap T)}{P(T)} \\
    &=\dfrac{0,056}{0,065~3} \\
    &\approx 0,86\end{align*}$
    La probabilité que la personne soit malade sachant que son test est positif est environ égale à $0,86$.
    $\quad$
  5. a. On répète $10$ fois la même expérience de Bernoulli de paramètres $0,065~3$. $X$ est égale au nombre d’individus ayant un test positif.
    Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,065~3$.
    $\quad$
    b. On veut calculer
    $\begin{align*} P(X=2)&=\dbinom{10}{2}0,065~3^2\times (1-0,065~3)^{10-2}\\
    &=45\times 0,065~3^2\times 0,934~7^8\\
    &\approx 0,11\end{align*}$
    La probabilité pour qu’exactement deux personnes aient un test positif est environ égale à $0,11$.
    $\quad$
  6. On répète $n$ fois la même expérience de Bernoulli de paramètres $0,065~3$. On appelle $Y$ la variable aléatoire égale au nombre d’individus ayant un test positif.
    Donc $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,065~3$.
    $\begin{align*} P(Y\pg 1)>0,99 &\ssi 1-P(Y=0)>0,99 \\
    &\ssi P(Y=0)<0,01 \\
    &\ssi 0,934~7^n <0,01\\
    &\ssi n\ln(0,934~7) <\ln(0,01) \\
    &\ssi n>\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,934~7)} \qquad \text{(car $\ln(0,934~7)<0$)}
    \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,934~7)}\approx 68,2$.
    Il faut donc tester au moins $69$ personnes pour que la probabilité qu’au moins l’une d’entre elle ait un test positif soit supérieur à $99\%$.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3     7 points

Thèmes : suites

  1. a.
    $\begin{align*}u_1&=\dfrac{u_0}{1+u_0}\\
    &=\dfrac{1}{1+1}\\
    &=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
    $\begin{align*}u_2&=\dfrac{u_1}{1+u_1}\\
    &=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{1+\dfrac{1}{2}}\\
    &=\dfrac{1}{3}\end{align*}$
    $\begin{align*}u_3&=\dfrac{u_2}{1+u_2}\\
    &=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{1+\dfrac{1}{3}}\\
    &=\dfrac{1}{4}\end{align*}$
    $\quad$
    b.
    $\begin{array}{|c|l|}
    \hline
    1.&\text{def liste(k):}\\
    2.&\quad \text{L=[]}\\
    3.&\quad \text{u = 1}\\
    4.&\quad \text{for i in range(0,k+1):}\\
    5.&\qquad \text{L.append(u)}\\
    6.&\qquad \text{u = u / (1 + u)}\\
    7.&\quad \text{return(L)}\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  2. Soit $n\in \N$.
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=\dfrac{u_n}{1+u_n}-u_n \\
    &=u_n\left(\dfrac{1}{1+u_n}-1\right) \end{align*}$
    $u_n>0$ donc $1+u_n>1$ et $\dfrac{1}{1+u_n}<1$
    Ainsi $u_{n+1}-u_n<0$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc strictement décroissante.
    $\quad$
  3. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $0$.
    La suite $\left(u_n\right)$ converge donc vers un réel $\ell$.
    $\quad$
  4. On considère la fonction $f$ définie sur $]-\infty;-1[\cup]-1;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x}{1+x}$.
    La fonction $f$ est continue sur $[0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s’annule pas.
    De plus, pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
    $\ell$ est donc solution de l’équation
    $\begin{align*}x=\dfrac{x}{x+1} &\ssi x-\dfrac{x}{x+1}=0 \\
    &\ssi x\left(1-\dfrac{1}{x+1}\right)=0 \\
    &\ssi x\times \dfrac{x}{x+1}=0\\
    &\ssi x=0\end{align*}$
    Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=0$.
    $\quad$
  5. a. Il semblerait que pour tout entier naturel $n$ on ait $u_n=\dfrac{1}{1+n}$
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~u_n=\dfrac{1}{1+n}$.
    Initialisation : $u_0=1$ et $\dfrac{1}{1+0}=1$. Donc $P(1)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\dfrac{u_n}{1+u_n}\\
    &=\dfrac{\dfrac{1}{1+n}}{1+\dfrac{1}{1+n}} \\
    &=\dfrac{\dfrac{1}{1+n}}{\dfrac{1+n+1}{1+n}} \\
    &=\dfrac{1}{1+(n+1)}\end{align*}$
    Donc $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $u_n=\dfrac{1}{1+n}$.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4     7 points

Thèmes : géométrie dans le plan et dans l’espace

  1. a. $\vect{AB}(-1;1;-3)$ et $\vect{AC}(4;7;1)$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=-1\times 4+1\times 7-3\times 1\\
    &=-4+7-3 \\
    &=0\end{align*}$
    Le triangle $ABC$ est donc rectangle en $A$.
    $\quad$
    b. $\vect{BA}(1;-1;3)$ et $\vect{BC}(5;6;4)$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} \vect{BA}.\vect{BC}&=1\times 5-1\times 6+3\times 4\\
    &=5-6+12\\
    &=11\end{align*}$
    $\begin{align*} BA&=\sqrt{1^2+(-1)^2+3^2}\\
    &=\sqrt{11}\end{align*}$
    $\begin{align*} BC&=\sqrt{5^2+6^2+4^2} \\
    &=\sqrt{25+36+16}\\
    &=\sqrt{77}\end{align*}$
    $\quad$
    c. On a
    $\begin{align*} \vect{BA}.\vect{BC}=BA\times BC\times \cos\left(\widehat{ABC}\right)&\ssi 11=\sqrt{11}\times \sqrt{77} \times \cos\left(\widehat{ABC}\right) \\
    &\ssi 11=\sqrt{11}\times \sqrt{11}\times \sqrt{7}\times \cos\left(\widehat{ABC}\right) \\
    &\ssi \cos\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{7}}\end{align*}$
    Par conséquent $\widehat{ABC}\approx 68$°.
    $\quad$
  2. a. Un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$ est $\vec{n}(2;-1;-1)$.
    Les vecteurs $\vect{AB}$ et $vect{AC}$ ne sont pas colinéaires d’après la question 1.a.
    De plus :
    $\begin{align*} \vec{n}.\vect{AB}&=2\times (-1)-1\times 1-1\times (-3) \\
    &=-2-1+3 \\
    &=0\end{align*}$
    $\begin{align*} \vec{n}.\vect{AC}&=2\times 4-1\times 7-1\times 1 \\
    &=8-7-1 \\
    &=0\end{align*}$
    Ainsi $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $ABC$.
    $\vec{n}$ est donc un vecteur normal à $(ABC)$ et $\mathscr{P}$.
    Par conséquent $\mathscr{P}$ et $(ABC)$ sont parallèles.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc de la forme $2x-y-z+d=0$
    Le point $B(1;0;-3)$ appartient au plan $(ABC)$. Ses coordonnées vérifient donc son équation
    $2\times 1-0-(-3)+d=0 \ssi d=-5$
    Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc $2x-y-z-5=0$.
    $\quad$
    c. Une représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$ est
    $\begin{cases} x=1+2t\\y=2-t\\z=4-t\end{cases} \qquad ,t\in \R$
    $\quad$
    d. Les coordonnées du point $H$ sont solution du système :
    $\begin{align*}\begin{cases} x=1+2t\\y=2-t\\z=4-t\\2x-y-z-5=0\end{cases}& \ssi \begin{cases} x=1+2t\\y=2-t\\z=4-t\\2(1+2t)-(2-t)-(4-t)-5=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=1+2t\\y=2-t\\z=4-t\\6t-9=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} t=\dfrac{3}{2}\\x=4\\\dfrac{1}{2}\\z=\dfrac{5}{2}\end{cases}\end{align*}$
    Par conséquent $H$ a pour coordonnées $\left(4;\dfrac{1}{2}; \dfrac{5}{2}\right)$.
    $\quad$
  3. On a $AC=\sqrt{4^2+7^2+1^2}=\sqrt{66}$.
    Ainsi l’aire du triangle $ABC$ est
    $\begin{align*} \mathscr{B}&=\dfrac{AB\times AB}{2} \\
    &=\dfrac{\sqrt{11}\times \sqrt{66}}{2} \\
    &=\dfrac{11\sqrt{6}}{2}\end{align*}$
    $[HE]$ est la hauteur de la pyramide $ABCE$ associée à la base $ABC$
    $\vect{HE}\left(-3;\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2}\right)$
    Par conséquent $HE=\sqrt{(-3)^2+\left(\dfrac{3}{2}\right)^2+\left(\dfrac{3}{2}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{27}{2}}$
    Ainsi le volume de la pyramide $ABCE$  est :
    $\begin{align*} \mathscr{V}&=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{11\sqrt{6}}{2}\times \sqrt{\dfrac{27}{2}} \\
    &=16,5\end{align*}$
    $\quad$

Énoncé

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