Bac – Métropole – jour 1 – septembre 2024

Métropole – 11 septembre 2024

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. a. On a $D(0;1;0)$,$B(1;0;0)$,$I\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};0\right)$ et $G(1;1;1)$.
    $\quad$
    b. On a
    $\begin{align*} \vect{IL}=\dfrac{3}{4}\vect{IG} &\ssi \begin{cases} x_L-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{4}\left(1-\dfrac{1}{2}\right) \\[3mm]
    y_L-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{4}\left(1-\dfrac{1}{2}\right) \\[3mm]
    z_L=\dfrac{3}{4}\\[3mm]\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x_L-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{8} \\[3mm]
    y_L-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{8} \\[3mm]
    z_L=\dfrac{3}{4}\\[3mm]\end{cases} \\
    &\ssi  \begin{cases} x_L=\dfrac{7}{8} \\[3mm]
    y_L=\dfrac{7}{8} \\[3mm]
    z_L=\dfrac{3}{4}\\[3mm]\end{cases}\end{align*}$
    Donc $L$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{7}{8};\dfrac{7}{8};\dfrac{3}{4}\right)$.
    $\quad$
  2. Vérifions que les coordonnées des points $B$, $D$ et $G$ sont solution de l’équation $x+y-z-1=0$.
    Pour $B(1;0;0)$ : $1+0-0-1=0$. L’équation est vérifiée.
    Pour $D(0;1;0)$ : $0+1-0-1=0$. L’équation est vérifiée.
    Pour $G(1;1;1)$ : $1+1-1-1=0$. L’équation est vérifiée.
    Une équation cartésienne du plan $(BDG)$ est bien $x+y-z-1=0$.
    $\quad$
  3. a. Un vecteur normal au plan $(BDG)$ est donc $\vec{n}\begin{pmatrix} 1\\1\\-1\end{pmatrix}$.
    Ainsi $\vec{n}$ est un vecteur directeur de $\Delta$. Cette droite passe par $L$.
    Une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est donc $$\begin{cases} x=\dfrac{7}{8}+t\\[3mm] y=\dfrac{7}{8}+t\\[3mm] z=\dfrac{3}{4}-t\end{cases} \qquad \text{, où } t\in \R$$
    $\quad$
    b. On a $\vect{AE}\begin{pmatrix} 0\\0\\1\end{pmatrix}$.
    Une représentation paramétrique de la droite $(AE)$ est $$\begin{cases} x=0\\y=0\\z=k\end{cases} \qquad \text{, où } k\in \R$$
    Les vecteurs $\vec{n}$ et $\vect{AE}$ ne sont pas colinéaires car ils n’ont pas les mêmes composantes nulles. Ainsi, les  droites $\Delta$ et $(AE)$ ne sont ni strictement parallèles ni confondues.
    En prenant $k=\dfrac{13}{8}$ dans la représentation paramétrique de $(AE)$ on constate que le point de coordonnées $\left(0;0;\dfrac{13}{8}\right)$ appartient à $(AE)$.
    Prenons $t=-\dfrac{7}{8}$ dans la représentation paramétrique de $\Delta$ on obtient $\begin{cases} x=0\\y=0\\z=\dfrac{3}{4}+\dfrac{7}{8}\end{cases}$.
    On constate alors que le point de coordonnées $\left(0;0;\dfrac{13}{8}\right)$ appartient à $\Delta$.
    Les droites $\Delta$ et $(AE)$ sont donc sécantes au point $K$ de coordonnées $\left(0;0;\dfrac{13}{8}\right)$.
    $\quad$
    c. $L$ et $K$ appartiennent à $\Delta$, $\Delta$ est orthogonale au plan $(BDG)$ et $L$ appartient au plan $(BDG)$.
    $L$ est donc le projeté orthogonal de $K$ sur le plan $(BDG)$.
    $\quad$
  4. a. On a $\vect{KL}\begin{pmatrix}\dfrac{7}{8}\\[3mm]\dfrac{7}{8}\\[3mm]-\dfrac{7}{8}\end{pmatrix}$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} KL&=\sqrt{\left(\dfrac{7}{8}\right)^2+\left(\dfrac{7}{8}\right)^2+\left(-\dfrac{7}{8}\right)^2} \\
    &=\sqrt{\dfrac{49}{64}\times 3} \\
    &=\dfrac{7\sqrt{3}}{8}\end{align*}$
    $\quad$
    b. $DBG$ est équilatéral. Par conséquent $(IG)$ est à la fois la hauteur et la médiane de ce triangle issue de $G$.
    $\vect{DB}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$
    Donc :
    $\begin{align*} DB&=\sqrt{(-1)^2+1^2+0^2} \\
    &=\sqrt{2}\end{align*}$
    Donc $\vect{IG}\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2}\\[3mm]\dfrac{1}{2}[3mm]1\end{pmatrix}$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} IG&=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+1} \\
    &=\sqrt{\dfrac{3}{2}}\end{align*}$
    L’aire du triangle $DBG$ est donc égale à :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{DB\times IG}{2} \\
    &=\dfrac{\sqrt{2}\times \sqrt{\dfrac{3}{2}}}{2} \\
    &=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \text{ u.a.}\end{align*}$
    $\quad$
    c. Le volume du tétraèdre $KDBG$ est donc :
    $\begin{align*} V&=\dfrac{\mathscr{A}\times KL}{3} \\
    &=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times \dfrac{7\sqrt{3}}{8}}{3} \\
    &=\dfrac{7}{16} \text{ u.v.}\end{align*}$
    $\quad$
  5. a. L’aire du carré $ABCD$ est égale à $1$ u.a. et $AK_a=a$.
    Donc le volume de la pyramide $ABCDK_a$ est égale à $V_a=\dfrac{a}{3}$.
    $\quad$
    b. On constate que $\vec{n}$ est un vecteur directeur de $\Delta_a$. Ainsi, $\Delta_a$ coupe (elle est même orthogonale) le plan $(BDG)$ en un point $L_a$.
    Prenons $t’=\dfrac{a+1}{3}$ dans la représentation paramétrique de $\Delta_a$.
    On a alors $x=y=\dfrac{a+1}{3}$ et
    $\begin{align*} z&=-t’+a\\
    &=-\dfrac{a+1}{3}+a \\
    &=\dfrac{-a-1+3a}{3} \\
    &=\dfrac{2a-1}{3}\end{align*}$.
    Ainsi le point de coordonnées $\left(\dfrac{a+1}{3};\dfrac{a+1}{3};\dfrac{2a-1}{3}\right)$ appartient à $\Delta_a$.
    $\quad$
    De plus :
    $\begin{align*} \dfrac{a+1}{3}+\dfrac{a+1}{3}-\dfrac{2a-1}{3}-+1&=\dfrac{a+1+a+1-2a+1-3}{3} \\
    &=0\end{align*}$
    Donc le point de coordonnées $\left(\dfrac{a+1}{3};\dfrac{a+1}{3};\dfrac{2a-1}{3}\right)$ appartient à $(BDG)$.
    Par conséquent le point $L_a$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{a+1}{3};\dfrac{a+1}{3};\dfrac{2a-1}{3}\right)$.
    $\quad$
    c. On a alors $\vect{K_aL}\begin{pmatrix}\dfrac{a+1}{3}\\[3mm]\dfrac{a+1}{3}\\[3mm]\dfrac{-a-1}{3}\end{pmatrix}$
    Par conséquent
    $\begin{align*} K_aL&=\sqrt{\left(\dfrac{a+1}{3}\right)^2+\left(\dfrac{a+1}{3}\right)^2+\left(\dfrac{-a-1}{3}\right)^2} \\
    &=\sqrt{3\left(\dfrac{a+1}{3}\right)^2} \\
    &=\dfrac{(a+1)\sqrt{3}}{3} \qquad \text{ car }a+1>0\end{align*}$
    Ainsi le volume du tétraèdre $GBDK_a$ est égal à :
    $\begin{align*}V’_a&=\dfrac{\mathscr{A}\times K_aL}{3} \\
    &=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times \dfrac{(a+1)\sqrt{3}}{3}}{3} \\
    &=\dfrac{a+1}{6} \end{align*}$
    $\quad$
    On veut donc résoudre dans $[0;+\infty[$ l’équation :
    $\begin{align*} \dfrac{a+1}{6}=\dfrac{a}{3}&\ssi a+1=2a \\
    &\ssi a=1\end{align*}$
    Or $1\pg 0$
    Il existe donc bien un réel positif $a$ tel que le tétraèdre $GBDK_a$ et ma pyramide $ABCDK_a$ soient de même volume.
    $\quad$

    $\quad$
    $B(0,01)\approx -2,987$ et $B\left(\dfrac{1}{6}\right) \approx -1,361$.

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. a. Pour tout réel $x$ appartenant à $[-1;1]$ on a $x^2\pp 1$ donc $1-x^2\pg 0$.
    De plus la fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Par conséquent, pour tout réel $x$ appartenant à $[-1;1]$ on a $f(x)\pg 0$.
    $\quad$
    b. On réalise une intégration par parties à l’aide des fonctions $u$ et $v$ de classe $C^1$ sur $[-1;1]$ définies par $$\begin{array}{lll}u(x)=x^2&\phantom{1234}&u'(x)=2x\\v(x)=\e^x&&v'(x)=\e^x\end{array}$$
    Ainsi :
    $\begin{align*} \int_{-1}^1 f(x)\dx&=\int_{-1}^1 \left(1-x^2\right)\e^x \dx \\
    &=\int_{-1}^1 \e^x \dx -\int_{-1}^1 x^2\e^x\dx \\
    &=\Big[\e^x\Big]_{-1}^1-\left(\Big[x^2\e^x\Big]_{-1}^1-\int_{-1}^1 2x\e^x\dx\right) \\
    &=\e-\e^{-1}-\left(\e-\e^{-1}-2\int_{-1}^1 x\e^x\dx\right) \\
    &=2\int_{-1}^1 x\e^x\dx\end{align*}$
    $\quad$
  2. On réalise une intégration par parties à l’aide des fonctions $u$ et $v$ de classe $C^1$ sur $[-1;1]$ définies par $$\begin{array}{lll}u(x)=x&\phantom{1234}&u'(x)=1\\v(x)=\e^x&&v'(x)=\e^x\end{array}$$
    $\begin{align*} \int_{-1}^1 x\e^x\dx&=\Big[x\e^x\Big]_{-1}^1-\int_{-1}^1 \e^x \dx \\
    &=\e+\e^{-1}-\Big[\e^x\Big]_{-1}^1 \\
    &=\e+\e^{-1}-\left(\e-\e^{-1}\right) \\
    &=2\e^{-1}\end{align*}$
    Par conséquent $S=4\e^{-1}$
    Ainsi $V=12\e^{-1}$ cm$^3$ $\approx 4,4$ cm$^3$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. $\lim\limits_{q\to+\infty}q^2=+\infty$ et $\lim\limits_{q\to+\infty}\ln(q)=+\infty$
    Par conséquent $\lim\limits_{q\to +\infty} \left(2-3\ln(q)\right)=-\infty$
    Ainsi $\lim\limits_{q\to +\infty} B(q)=-\infty$
    $\quad$
    b. La fonction $B$ est dérivable sur $[0,01;+\infty[$ en tant que produit et sommes de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $q\pg 0,01$ on a
    $\begin{align*} B'(q)&=16q\left(2-3\ln(q)\right)-24q^2\times \dfrac{1}{q} \\
    &=32q-48q\ln(q)-24q \\
    &=8q-48q\ln(q) \\
    &=8q\left(1-6\ln(q)\right)\end{align*}$
    $\quad$
    c. Pour tout réel $q\pg 0,01$ on a $8q>0$. $B'(q)$ est donc du signe de $1-6\ln(q)$.
    $1-6\ln(q)=0 \ssi 1=6\ln(q) \ssi \ln(q)=\dfrac{1}{6} \ssi q=\e^{1/6}$
    $1-6\ln(q)>0 \ssi 1>6\ln(q) \ssi \ln(q)<\dfrac{1}{6} \ssi q<\e^{1/6}$
    La fonction $B$ est donc strictement croissante sur $\left[0,01;\dfrac{1}{6}\right]$ et strictement décroissante sur $\left[\dfrac{1}{6};+\infty\right[$.
    On obtient alors le tableau de variations suivant :
    $\quad$

    $\quad$
    $B(0,01) \approx -2,987$ et $B\left(\e^{1/6}\right)\approx 13,747$.
    $\quad$
    d. Ainsi le bénéfice maximal que peut espérer l’artisan est environ égal à $137$ euros.
    $\quad$
  2. a. $\e^{1/6} \approx 1,18$. La fonction $B$ est donc continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $[1,2;+\infty[$.
    De plus $B(1,2)\approx 13,739$ et $\lim\limits_{q\to +\infty} B(q)=-\infty$.
    Or $10$ appartient à $\left]-\infty;B(1,2)\right[$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $B(q)=10$ possède une unique solution sur $[1,2;+\infty[$.
    D’après la calculatrice $\beta\approx 1,558$.
    $\quad$
    b. $\alpha\approx 0,757$ et $\beta\approx 1,558$.
    L’artisan doit donc vendre entre $76$ et $155$ bonbons au chocolat pour réaliser un bénéfice supérieur à $100$ euros.
    $\quad$

 

 

 

Ex 3

Exercice 3

  1. Soit $n$ un entier naturel.
    $\begin{align*} w_{n+1}&=t_{n+1}-10 \\
    &=-0,8t_n+18-10 \\
    &=-0,8t_n+8 \\
    &=-0,8\left(t_n-10\right) \\
    &=-0,8w_n\end{align*}$
    La suite $\left(w_n\right)$ est donc géométrique de raison $-0,8$.
    L’affirmation 1 est vraie.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $3-\dfrac{4}{n}\pp u_n \pp 3+\dfrac{4}{n}$.
    Or $\lim\limits_{n\to +\infty} 3-\dfrac{4}{n}=3$ et  $\lim\limits_{n\to +\infty} 3+\dfrac{4}{n}=3$
    D’après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=3$.
    L’affirmation 2 est vraie.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose $P(n):~v_n=\dfrac{n+1}{n}$.
    Initialisation : $v_1=1$ et $\dfrac{1+1}{1}=3$. Donc $P(1)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n$ un entier naturel. On suppose que $P(n)$ est vraie.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=2-\dfrac{1}{v_n} \\
    &=2-\dfrac{n}{n+1} \\
    &=\dfrac{2n+2-n}{n+1} \\
    &=\dfrac{n+2}{n+1}\end{align*}$
    Donc $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel non nul $n$, on a $v_n=\dfrac{n+1}{n}$.
    $\quad$
    L’affirmation 3 est vraie.
    $\quad$
  4. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=\e^n\left(1-\dfrac{n}{\e^n}\right)$.
    Or $\lim\limits_{n\to +\infty} \e^n =+\infty$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{n}{\e^n}=0$.
    Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=+\infty$.
    L’affirmation 4 est fausse.
    $\quad$
  5. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $\sqrt{2}$. D’après le théorème de la limite monotone, la suite $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell$.
    D’après le script Python, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(u_n+\dfrac{2}{u_n}\right)$.
    La fonction $f$ définie sur $\left[\sqrt{2};2\right]$ par $f(x)=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{2}{x}\right)$ est continue sur $\left[\sqrt{2};2\right]$ en tant que somme de fonctions continues sur cet intervalle.
    $\ell$ est donc solution de l’équation
    $\begin{align*} f(x)=x&\ssi \dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{2}{x}\right)=x \\
    &\ssi x+\dfrac{2}{x}=2x \\
    &\ssi x-\dfrac{2}{x} =0 \\
    &\ssi \dfrac{x^2-2}{x}=0 \\
    &\ssi \dfrac{\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)}{x}=0 \\
    &\ssi x=\sqrt{2} \text{ ou }x=-\sqrt{2}\end{align*}$
    Or $-\sqrt{2}$ n’appartient pas à $\left[\sqrt{2};2\right]$.
    Par conséquent $\ell=\sqrt{2}$.
    L’affirmation 5 est vraie.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. On répète $100$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,02$.
    Ainsi $N$ suit la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,02$.
    $\quad$
  2. L’espérance de $N$ est :
    $\begin{align*} E(N)&=np\\
    &=2\end{align*}$
    Cela signifie donc que dans chaque boîte, en moyenne, $2$ cachets n’ont pas la bonne masse.
    $\quad$
  3. a. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(N=3)&=\dbinom{100}{3}0,02^3\times 0,98^{97} \\
    &\approx 0,182 \end{align*}$
    La probabilité qu’une boîte contienne exactement trois cachets non conformes est environ égale à $0,182$.
    $\quad$
    b. On veut calculer : $P(N\pp 5) \approx 0,985$
    La probabilité qu’une boîte contienne au moins $95$ cachets conformes est environ égale à $0,985$.
    $\quad$
  4. On appelle $n$ le nombre de cachets par boîte et $X$ la variable aléatoire égale au nombre de cachets conformes.
    On répète $n$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,02$.
    Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,02$.
    On veut donc que :
    $\begin{align*} P(X=0)\pg 0,5&\ssi 0,98^n \pg 0,5 \\
    &\ssi n\ln(0,98)\pg \ln(0,5) \\
    &\ssi n\pp \dfrac{\ln(0,5)}{\ln(0,98)} \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(0,5)}{\ln(0,98)}\approx 34,3$
    Ainsi une boîte doit contenir au maximum $34$ cachets pour respecter ce critère.
    $\quad$

Partie B

  1. On a, par linéarité de l’espérance :
    $\begin{align*} E(S)&=E\left(M_1\right)+E\left(M_2\right)+\ldots+E\left(M_{100}\right) \\
    &=100\times 2 \qquad \text{(même espérance)} \\
    &=200\end{align*}$
    En moyenne, la masse des $100$ cachets est égale à $200$ g.
    $\quad$
  2. Les variables $M_i$ sont indépendantes. Par conséquent :
    $\begin{align*} s^2&=\sigma^2\left(M_1\right)+\sigma^2\left(M_2\right)+\ldots+\sigma^2\left(M_{100}\right) \\
    &=100\sigma^2 \qquad \text{(même écart-type)} \end{align*}$
    Ainsi $s=10\sigma$.
    $\quad$
  3. a. On veut :
    $\begin{align*} P(199 < S<201) \pg 0,9 &\ssi P(-1<S-200<1)\pg 0,9 \\
    &\ssi P\left(\abs{S-200}<1\right) \pg 0,9 \\
    &\ssi P\left(\abs{S-200}\pg 1\right) \pp 0,1\end{align*}$
    $\quad$
    b. D’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev on a $P\left(\abs{S-E(S)}\pg 1\right) \pp \dfrac{s^2}{1}$
    Soit, ici, $P\left(\abs{S-200} \pg 1\right) \pp 10\sigma$
    La valeur maximale de $\sigma$ vérifie donc $10\sigma \pp 0,1 \ssi \sigma \pp 0,01$.
    Ainsi, la valeur maximale de $\sigma est égale à $0,01$ pour vérifier la condition de la question B.3.a.
    $\quad$

Énoncé

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 1     (6 points)

On considère un cube $ABCDEFGH$ de côté $1$.

Le point $I$ est le milieu du segment $[B D]$. On définit le point $L$ tel que $\vect{IL}=\dfrac{3}{4} \vect{IG}$.
On se place dans le repère orthonormé $(A ; \vect{AB}, \vect{AD}, \vect{AE})$.

  1. a. Préciser les coordonnées des points $D$, $B$, $I$ et $G$. Aucune justification n’est attendue.
    $\quad$
    b. Montrer que le point $L$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{7}{8} ; \dfrac{7}{8} ; \dfrac{3}{4}\right)$.
    $\quad$
  2. Vérifier qu’une équation cartésienne du plan $(BDG)$ est $x+y-z-1=0$.
    $\quad$
  3. On considère la droite $\Delta$ perpendiculaire au plan $(BDG)$ passant par $L$.
    a. Justifier qu’une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est :$$\begin{cases} x=\dfrac{7}{8}+t \\y=\dfrac{7}{8}+t \text { où } t \in \R . \\z=\dfrac{3}{4}-t\end{cases}$$
    $\quad$
    b. Montrer que les droites $\Delta$ et $(AE)$ sont sécantes au point $K$ de coordonnées $\left(0; 0 ; \dfrac{13}{8}\right)$.
    $\quad$
    c. Que représente le point $L$ pour le point $K$ ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  4. a. Calculer la distance $KL$.
    $\quad$
    b. On admet que le triangle $DBG$ est équilatéral. Montrer que son aire est égale a $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
    $\quad$
    c. En déduire le volume du tétraédre $KDBG$.
    $\quad$

On rappelle que :

  • le volume d’une pyramide est donné par la formule $V=\dfrac{2}{3} \times B \times h$ où $B$ est l’aire d’une base et $h$ la longueur de la hauteur relative à cette base ;
  • un tétraèdre est une pyramide à base triangulaire.
  1. On désigne par $a$ un réel appartenant à l’intervalle $]0 ;+\infty [$ et on note $K_{a}$ le point de coordonnées $(0 ; 0 ; a)$.
    a. Exprimer le volume $V_{a}$ de la pyramide $ABCDK_{a}$ en fonction de $a$.
    $\quad$
    b. On note $\Delta_{a}$ la droite de représentation paramétrique : $\begin{cases}x=t’ \\ y=t’ \\ z=-t’+a\end{cases}$ où $t’ \in \R$.
    On appelle $L_{\alpha}$ le point d’intersection de la droite $\Delta_{a}$ avec le plan  $(BDG)$. Montrer que les coordonnées du point $L_{a}$ sont $\left(\dfrac{a+1}{3} ; \dfrac{a+1}{3} ; \dfrac{2 a-1}{3}\right)$.
    $\quad$
    c. Déterminer, s’il existe, un réel strictement positif $a$ tel que le tétraèdre $GBDK_{a}$ et la pyramide $ABCDK_{a}$ soient de même volume.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     (5 points)

Partie A

Un artisan crée des bonbons au chocolat dont la forme rappelle le profil de la montagne locale comme représenté en Figure 1. La base d’un tel bonbon est modélisée par la surface grisée, définie ci-dessous dans un repère orthonormé d’unité $1$ cm (Figure 2).

Cette surface est délimitée par l’axe des abscisses et la représentation graphique notée $C_{f}$ de la fonction $f$ définie sur $[-1 ; 1]$ par:$$
f(x)=\left(1-x^{2}\right) \e^{x}$$

L’objectif de cette partie est de calculer le volume de chocolat nécessaire à la fabrication d’un bonbon au chocolat.

  1. a. Justifier que pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $[-1 ; 1]$ on a $f(x) \pg 0$.
    $\quad$
    b. Montrer à l’aide d’une intégration par parties que :$$\int_{-1}^{1} f(x) \dx=2 \int_{-1}^{1} x\e^{x} \dx$$
    $\quad$
  2. Le volume $V$ de chocolat, en cm$^{3}$, nécessaire à la fabrication d’un bonbon est donné par :$$V=3 \times S$$
    où $S$ est l’aire, en cm$^{2}$, de la surface colorée (Figure 2).
    En déduire que ce volume $V$, arrondi à $0,1$ cm$^{3}$ près, est égal à $4,4 $ cm$^{3}$.
    $\quad$

Partie B

On s’intéresse maintenant au bénéfice réalisé par l’artisan sur la vente de ces bonbons au chocolat en fonction du volume hebdomadaire des ventes.
Ce bénéfice peut être modélisé par la fonction $B$ définie sur l’intervalle $[0,01 +\infty[$ par :$$B(q)=8 q^{2}\left(2-3 \ln(q)\right)-3$$

Le bénéfice est exprimé en dizaines d’euros et la quantité $q$ en centaines de bonbons.
On admet que la fonction $B$ est dérivable sur $[0,01 ;+\infty[$. On note $B’$ sa fonction dérivée.

  1. a. Déterminer $\lim\limits_{q \to+\infty} B(q)$.
    $\quad$
    b. Montrer que, pour tout $q \pg 0,01$, $B'(q)=8 q\left(1-6 \ln (q)\right)$.
    $\quad$
    c. Étudier le signe de $B'(q)$, et en déduire le sens de variation de $B$ sur $[0,01 ;+\infty[$. Dresser le tableau de variation complet de la fonction $B$.
    $\quad$
    d. Quel est le bénéfice maximal, à l’euro près, que peut espérer l’artisan ?
    $\quad$
  2. a. Montrer que l’équation $B(q)=10$ admet une unique solution $\beta$ sur l’intervalle $[1,2 ;+\infty[$.
    Donner une valeur approchée de $\beta$ à $10^{-3}$ près.
    $\quad$
    b. On admet que l’équation $B(q)=10$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[0,01 ; 1,2]$.
    On donne $\alpha \approx 0,757$.
    En déduire le nombre minimal et le nombre maximal de bonbons au chocolat à vendre pour réaliser un bénéfice supérieur à $100$ euros.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     (5 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Les cinq questions de cet exercice sont indépendantes.

  1. On considère une suite $\left(t_{n}\right)$ vérifiant la relation de récurrence :
    $\qquad \qquad$ pour tout entier naturel $n, t_{n+1}=-0,8 t_{n}+18$.
    Affirmation 1 : La suite $\left(w_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $w_{n}=t_{n}-10$ est géométrique.
    $\quad$
  2. On considère une suite $\left(S_{n}\right)$ qui vérifie pour tout entier naturel $n$ non nul :
    $$3n-4 \pp S_{n} \pp 3 n+4$$
    La suite $\left(u_{n}\right)$ est définie, pour tout entier naturel $n$ non nul, par: $u_{n}=\dfrac{s_{n}}{n}$.
    Affirmation 2: La suite $\left(u_{n}\right)$ converge.
    $\quad$
  3. On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie par:
    $$v_{1}=2 \text { et pour tout entier naturel } n \pg 1, v_{n+1}=2-\dfrac{1}{v_{n}}$$
    Affirmation 3 : pour tout entier naturel $n \pg 1, v_{n}=\dfrac{n+1}{n}$.
    $\quad$
  4. On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n}=\e^{n}-n$.
    Affirmation 4 : la suite $\left(u_{n}\right)$ converge.
    $\quad$
  5. On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie à l’aide du script écrit ci-dessous en langage Python, qui renvoie la valeur de $u_{n}$.

    On admet que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante et vérifie pour tout entier naturel $n$ :$$
    \sqrt{2} \pp u_{n} \pp 2$$
    Affirmation 5 : La suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers $\sqrt{2}$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     (4 points)

Les deux parties sont indépendantes.

Un laboratoire fabrique un médicament conditionné sous forme de cachets.

Partie A

Un contrôle de qualité, portant sur la masse des cachets, a montré que $2 \%$ des cachets ont une masse non conforme. Ces cachets sont conditionnés par boîtes de $100$ choisis au hasard dans la chaîne de production. On admet que la conformité d’un cachet est indépendante de celle des autres.

On note $N$ la variable aléatoire qui à chaque boîte de $100$ cachets associe le nombre de cachets non conformes dans cette boîte.

  1. Justifier que la variable aléatoire $N$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
    $\quad$
  2. Calculer l’espérance de $N$ et en donner une interprétation dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  3. On arrondira les résultats à $10^{-3}$ près.
    a. Calculer la probabilité qu’une boîte contienne exactement trois cachets non conformes.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité qu’une boîte contienne au moins $95$ cachets conformes.
    $\quad$
  4. Le directeur du laboratoire veut modifier le nombre de cachets par boîte pour pouvoir affirmer: «La probabilité qu’une boîte ne contienne que des cachets conformes est supérieure à $0,5$ . »
    Combien de cachets une boîte doit-elle contenir au maximum pour respecter ce critère ? Justifier.
    $\quad$

Partie B

On admet que les masses des cachets sont indépendantes les unes des autres. On prélève $100$ cachets et on note $M_{i}$, pour $i$ entier naturel compris entre $1$ et $100$, la variable aléatoire qui donne la masse en gramme du $i$-ème cachet prélevé.

On considère la variable aléatoire $S$ définie par :$$S=M_{1}+M_{2}+\cdots+M_{100}
$$

On admet que les variables aléatoires $M_{1},~ M_{2},~ \ldots,~ M_{100}$ suivent la même loi de probabilité d’espérance $\mu=2$ et d’écart-type $\sigma$.

  1. Déterminer $E(S)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  2. On note $s$ l’écart type de la variable aléatoire $S$. Montrer que : $s=10 \sigma$.
    $\quad$
  3. On souhaite que la masse totale, en gramme, des comprimés contenus dans une boîte soit strictement comprise entre $199$ et $201$ avec une probabilité au moins égale à $0,9$.
    a. Montrer que cette condition est équivalente à :$$P\left(\abs{S-200} \pg 1\right) \pp 0,1$$
    $\quad$
    b. En déduire la valeur maximale de $\sigma$ qui permet, à l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, d’assurer cette condition.
    $\quad$

$\quad$