Exercice 1

Partie A

1. On obtient, une fois l’arbre totalement complété  :
   $\quad$
   
   $\quad$
2. On veut calculer :
   $\begin{align*} P\left(V\cap \conj{L}\right)&=P(V)\times P_V\left(\conj{L}\right) \\
   &=0,6\times 0,8\\
   &=0,48\end{align*}$
   La probabilité que le client choisisse un bateau à voile et qu’il ne prenne pas l’option PILOTE est égale à $0,48$.
   $\quad$
3. $\left(V,\conj{V}\right)$ forme un système complet d’événements fini.
   D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} P(L)=P(L\cap V)+P\left(L\cap \conj{V}\right) &\ssi 0,42=P(V)P_V(L)+P\left(L\cap \conj{V}\right)\\
   &\ssi 0,42=0,6\times 0,2+P\left(L\cap \conj{V}\right)\\
   &\ssi P\left(L\cap \conj{V}\right)=0,3\end{align*}$
   La probabilité que le client choisisse un bateau à moteur et qu’il prenne l’option PILOTE est égale à $0,30$.
   $\quad$
4. On a ainsi :
   $\begin{align*} P_{\conj{V}}(L)&=\dfrac{P\left(L\cap \conj{V}\right)}{P\left(\conj{V}\right)} \\
   &=\dfrac{0,3}{0,4}\\
   &=0,75\end{align*}$
   $\quad$
5. On a donc :
   $\begin{align*} P_L(V)&=\dfrac{P(V\cap L)}{P(L)} \\
   &=\dfrac{P(V)P_V(L)}{0,42}\\
   &=\dfrac{0,6\times 0,2}{0,42}\\
   &=\dfrac{2}{7} \\
   &\approx 0,29\end{align*}$
   La probabilité que le client ait choisi un bateau à voile sachant qu’il a pris l’option PILOTE est environ égale à $0,29$.
   $\quad$

Partie B

1. On a donc, d’après l’énoncé, $P_{\conj{L}}(A)=0,12$ et $P_L(A)=0,005$.
   Ainsi, d’une part,
   $\begin{align*} P(L\cap A)&=P(L)P_L(A) \\
   &=0,42\times 0,005\\
   &=0,0021\end{align*}$
   et d’autre part,
   $\begin{align*} P\left(\conj{L}\cap A\right)&=P\left(\conj{L}\right)P_{\conj{L}}(A)\\
   &=0,58\times 0,12\\
   &=0,069~6\end{align*}$
   $\quad$
2. $\left(L,\conj{L}\right)$ forme un système complet d’événements fini.
   D’après la formule des probabilités totales on a alors :
   $\begin{align*}P(A)&=P(L\cap A)+P\left(\conj{L}\cap A\right)\\
   &=0,0021+0,069~6\\
   &=0,071~7\end{align*}$
   Ainsi, pour $1~000$ bateaux loués, il peut s’attendre à $1~000\times 0,071~7=71,7\approx 72$ avaries.
   $\quad$

Partie C

1. $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=40$ et $p=0,42$.
   $\quad$
2. On veut calculer :
   $\begin{align*} P(X\pg 15)&=1- P(X\pp 14) \\
   &\approx 0,768\end{align*}$
   La probabilité qu’au moins $15$ clients prennent l’option PILOTE est environ égale à $0,768$.
   $\quad$

Exercice 2

1. a.
   $\begin{align*} u_1&=5u_0-4\times 0-3\\
   &=15-3\\
   &=12\end{align*}$
   $\quad$
   b. On a également :
   $\begin{align*} u_2&=5u_1-4\times 1-3\\
   &=60-4-3\\
   &=53\end{align*}$
   $\quad$
   c. D’après la calculatrice, il semblerait que la suite $\left(u_n\right)$ soit strictement croissante et que $\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=+\infty$.
   $\quad$
2. a. Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~u_n\pg n+1$.
   Initialisation : $u_0=3$ et $0+1=1$ donc $u_0\pg 0+1$ et $P(0)$ est vraie.
   $\quad$
   Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose la propriété $P(n)$ vraie.
   $\begin{align*} u_{n+1}&=5u_n-4n-3\\
   &\pg 5(n+1)-4n-3\\
   &\pg 5n+5-4n-3\\
   &\pg n+2\\
   &\pg (n+1)+1\end{align*}$
   Donc $P(n+1)$ est vraie.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire. Par conséquent, pour tout $n\in \N$ on a $u_n\pg n+1$.
   $\quad$
   b. $\lim\limits_{n\to +\infty} n+1=+\infty$ et, pour tout $n\in \N$, $u_n\pg n+1$.
   D’après le théorème de comparaison, $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$.
   $\quad$
3. a. Soit $n\in \N$.
   $\begin{align*}v_{n+1}&=u_{n+1}-(n+1)-1 \\
   &=5u_n-4n-3-n-2\\
   &=5u_n-5n-5\\
   &=5\left(u_n-n-1\right)\\
   &=5v_n\end{align*}$
   La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $5$ et de premier terme $v_0=u_0-0-1=2$.
   $\quad$
   b. Ainsi, pour tout $n\in \N$, on a $v_n=2\times 5^n$
   $\quad$
   c. Pour tout $n\in \N$ on a alors
   $\begin{align*} u_n&=v_n+n+1\\
   &=2\times 5^n+n+1\end{align*}$
   $\quad$
   d. Pour tout $n\in \N$ on a :
   $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=2\times 5^n+(n+1)+1-2\times 5^n-n-1\\
   &=2\times 5^n(5-1)+1 \\
   &=8\times 5^n+1\\
   &>0\end{align*}$
   La suite $\left(u_n\right)$ est donc strictement croissante.
   $\quad$
4. a. On peut écrire :
   $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   \text{def suite() :}\\
   \quad \text{u = 3}\\
   \quad \text{n = 0}\\
   \quad \text{while u < 10**7:}\\
   \qquad \text{u = 5 * u – 4 * n – 3}\\
   \qquad \text{n = n + 1}\\
   \quad \text{return n}\\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$
   b. La suite $\left(u_n\right)$ est strictement croissante et, $u_9=3~906~260<10^7$ alors que $u_{10}=19~531~261\pg 10^7$.
   Ainsi la fonction renvoie la valeur $10$.
   $\quad$

 

Exercice 3

1. La fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=1+x\e^x$ est dérivable en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $\R$.
   Pour tout réel $x$ on a alors :
   $\begin{align*} F'(x)&=\e^x+x\e^x \\
   &=(1+x)\e^x \\
   &=f(x)\end{align*}$
   Ainsi $F$ est une primitive de la fonction $f$.
   Réponse a
   $\quad$
2. On résout le système
   $\begin{align*} \begin{cases}x=2+r\\y=1+r\\z=-r\\x=1-s\\y=-1+s\\z=2-s\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=2+r\\y=1+r\\z=-r\\2+r=1-s\\1+r=-1+s\\r=2-s\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} x=2+r\\y=1+r\\z=-r\\2+r=1-s\\1+r=-1+s\\-r=2-s\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases}x=2+r\\y=1+r\\z=-r\\r+s=-1\\r-s=-2\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases}x=2+r\\y=1+r\\z=-r\\2r=-3-1\\2s=1\end{cases}\end{align*}$
   Le système possède donc une unique solution. Les droites sont par conséquent sécantes.
   Réponse a
   $\quad$
3. Un vecteur normal au plan $(P)$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$ et un vecteur directeur de $(\Delta)$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}$.
   $\vec{n}.\vec{u}=2-1-1=0$
   Donc $(\Delta)$ est parallèle au plan $(P)$.
   De plus le point de coordonnées $(2;4;1)$ appartient au plan $(P)$, car $2\times 2-4+1-1=0$, et à la droite $(\Delta)$.
   La droite $(\Delta)$ est donc incluse dans le plan $(P)$
   Réponse b
   $\quad$
4. Un vecteur normal au plan $\left(P_1\right)$ est $\vect{n_1}\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$ et un vecteur normal au plan $\left(P_2\right)$ est $\vect{n_2}\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}$.
   $\vect{n_1}$ et $\vect{n_2}$ ne sont pas colinéaires. Les deux plans ne sont pas parallèles (on exclut donc les réponses b et d).
   $\vect{n_1}.\vect{n_2}=2-2+1=1\neq 0$. Les plans ne sont pas perpendiculaires.
   Réponse c
   $\quad$
5. $\vect{EF}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$ et $\vect{EG}\begin{pmatrix}-3\\0\\4\end{pmatrix}$
   Ainsi :
   $\begin{align*} EF&=\sqrt{1^2+2^2+2^2}\\
   &=3\end{align*}$
   $\begin{align*} EG&=\sqrt{(-3)^2+4^2} \\
   &=5\end{align*}$
   D’une part $\vect{EF}.\vect{EG}=-3+0+8=5$
   D’autre part $\vect{EF}.\vect{EG}=EF\times EG\times \cos \widehat{FEG} = 15\cos \widehat{FEG}$.
   Donc $\cos \widehat{FEG}=\dfrac{5}{15}$ et $\widehat{FEG}  \approx 71$ °
   Réponse d
   $\quad$

 

Exercice 4

1. a. Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2\ln(x)=0$. Or $\lim\limits_{x\to 0} 5x^2+2x=0$
   Donc $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=0$.
   $\quad$
   b. Pour tout réel $x>0$ on a $f(x)=x^2\left(5+\dfrac{2}{x}-2\ln(x)\right)$
   Or $\lim\limits_{x\to +\infty} -2\ln(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2=+\infty$
   Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$.
   $\quad$
2. D’après l’énoncé, la fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$.
   Pour tout réel $x>0$ on a :
   $\begin{align*} f'(x)&=5\times 2x+2-2\times 2x\ln(x)-2x^2\times \dfrac{1}{x} \\
   &=10x+2-4x\ln(x)-2x \\
   &=8x+2-4x\ln(x)\end{align*}$.
   $\quad$
3. a. D’après l’énoncé, la fonction $f’$ est dérivable sur $]0;+\infty[$.
   Pour tout réel $x>0$ on a :
   $\begin{align*} f\dsec(x)&=8-4\ln(x)-4x\times \dfrac{1}{x} \\
   &=8-4\ln(x)-4 \\
   &=4-4\ln(x)\\
   &=4\left(1-\ln(x)\right)\end{align*}$
   $\quad$
   b. $f\dsec(x) >0 \ssi 1-\ln(x)>0 \ssi \ln(x)<1 \ssi x\in ]0;\e]$.
   $f$ est par conséquent convexe sur $]0;\e]$ et la courbe $\mathcal{C}_f$ est donc au-dessus de ses tangentes sur $]0;\e]$
   $\quad$
   c. On obtient donc le tableau de variations suivant :
   $\quad$
   
   $\quad$
4. a. Sur $]0;\e]$ on a $f'(x)>2$. L’équation $f'(x)=0$ n’admet donc aucune solution sur $]0;\e]$.
   La fonction $f’$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $]\e;+\infty[$.
   De plus $f'(\e)=4\e+2$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f'(x)=-\infty$. Or $0\in ]-\infty;4\e+2[$.
   D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $f'(x)=0$ admet une unique solution sur l’intervalle $]\e;+\infty[$.
   Par conséquent, l’équation $f'(x)=0$ admet une unique solution sur $]0;+\infty[$.
   D’après la calculatrice $7,87< \alpha < 7,88$.$\quad$
   b. Ainsi :
   $\bullet$ $f'(x)>0$ sur $]0;\alpha[$ ;
   $\bullet$ $f'(\alpha)=0$ ;
   $\bullet$ $f'(x)<0$ sur $]\alpha;+\infty[$.
   On obtient alors le tableau de variations suivant :
   $\quad$
   $\quad$
5. a. On a
   $\begin{align*} f'(\alpha)=0&\ssi 8\alpha+2-4\alpha\ln(\alpha) =0\\
   &\ssi 4\alpha\ln(\alpha)=8\alpha+2 \\
   &\ssi \ln(\alpha)=\dfrac{4\alpha+1}{2\alpha}\end{align*}$
   Ainsi :
   $\begin{align*} f(\alpha)&=5\alpha^2+2\alpha-2\alpha^2\ln(\alpha)\\
   &=5\alpha^2+2\alpha-2\alpha^2\times \dfrac{4\alpha+1}{2\alpha} \\
   &=5\alpha^2+2\alpha-4\alpha^2-\alpha\\
   &=\alpha^2+\alpha\end{align*}$
   $\quad$
   b. $7,87 < \alpha<7,88$ donc, du fait de la stricte croissance de la fonction carré sur $\R_+$, on a $7,87^2 <\alpha^2<7,88^2$
   Par conséquent $7,87^2+7,87<f(\alpha)<7,88^2+7,88$.
   Donc $69,806~9<f(\alpha)<69,974~4$.
   L’encadrement à $10^{-2}$ de $\alpha$ ne permet pas d’obtenir un encadrement à $10^{-1}$ de $f(\alpha)$
   Graphiquement $69,9<f(\alpha)<70,0$.
   $\quad$

La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 1     5 points

Une entreprise de location de bateaux de tourisme propose à ses clients deux types de bateaux : bateau à voile et bateau à moteur.

Par ailleurs, un client peut prendre l’option PILOTE. Dans ce cas, le bateau, qu’il soit à voile ou à moteur, est loué avec un pilote.

On sait que :

• $60 \%$ des clients choisissent un bateau à voile; parmi eux, 20 % prennent l’option PILOTE.
• $42 \%$ des clients prennent l’option PILOTE.

On choisit un hasard un client et on considère les événements :

• $V$ : « le client un bateau à voile » ;
• $L$ : « le client prend l’option PILOTE ».

Les trois parties peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A

1. Traduire la situation par un arbre pondéré que l’on complètera au fur et à mesure.
   $\quad$
2. Calculer la probabilité que le client choisisse un bateau à voile et qu’il ne prenne pas l’option PILOTE.
   $\quad$
3. Démontrer que la probabilité que le client choisisse un bateau à moteur et qu’il prenne l’option PILOTE est égale à $0,30$.
   $\quad$
4. En déduire $P_{ \conj{V}}(L)$, probabilité de $L$ sachant que $V$ n’est pas réalisé.
   $\quad$
5. Un client a pris l’option PILOTE.
   Quelle est la probabilité qu’il ait choisi un bateau à voile? Arrondir à $0,01$ près.
   $\quad$

Partie B
Lorsqu’un client ne prend pas l’option PILOTE, la probabilité que son bateau subisse une avarie est égale à $0,12$. Cette probabilité n’est que de $0,005$ si le client prend l’option PILOTE.
On considère un client. On note A l’événement : « son bateau subit une avarie ».

1. Déterminer $P(L\cap A)$ et $P\left(\conj{L}\cap A\right)$.
   $\quad$
2. L’entreprise loue $1~000$ bateaux. À combien d’avaries peut-on s’attendre ?
   $\quad$

Partie C
On rappelle que la probabilité qu’un client donné prenne l’option PILOTE est égale à $0,42$.
On considère un échantillon aléatoire de $40$ clients. On note $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de clients de l’échantillon prenant l’option PILOTE.

1. On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
   Donner sans justification ses paramètres.
   $\quad$
2. Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, qu’au moins $15$ clients prennent l’option PILOTE.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 3$ et, pour tout entier naturel $n$, par : $$u_{n+1} = 5u_n-4n-3$$

1. a. Démontrer que $u_1 = 12$.
   $\quad$
   b. Déterminer $u_2$ en détaillant le calcul.
   $\quad$
   c. À l’aide de la calculatrice, conjecturer le sens de variation ainsi que la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
   $\quad$
2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a :
   $$u_n \pg n+1$$
   $\quad$
   b. En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
   $\quad$
3. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $$v_n = u_n-n-1$$
   a. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique.
   Donner sa raison et son premier terme $v_0$.
   $\quad$
   b. En déduire, pour tout entier naturel $n$, l’expression de $v_n$ en fonction de $n$.
   $\quad$
   c. En déduire que pour tout entier naturel $n$ : $$u_n = 2\times 5^n +n +1$$
   $\quad$
   d. En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
   $\quad$
4. On considère la fonction ci-dessous, écrite de manière incomplète en langage Python et destinée à renvoyer le plus petit entier naturel $n$ tel que un $u_n \pg 10^7$.
   $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   \text{def suite() :}\\
   \quad \text{u = 3}\\
   \quad \text{n = 0}\\
   \quad \text{while ……… :} \phantom{123456}\\
   \qquad \text{u = ………}\\
   \qquad \text{n = n + 1}\\
   \quad \text{return n}\\
   \hline
   \end{array}$$
   a. Recopier le programme et compléter les deux instructions manquantes.
   $\quad$
   b. Quelle est la valeur renvoyée par cette fonction?
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse, une absence de réponse, ou une réponse multiple, ne rapporte ni n’enlève de point.

1. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x) = (x+1) \e^x$.
   Une primitive $F$ de $f$ sur $\R$ est définie par :
   a. $F(x) = 1+ x\ e^x$
   b. $F(x) = (1+x) \e^x$
   c. $F(x) = (2+ x) \e^x$
   d. $F(x) = \left(\dfrac{x^2}{2}+x\right)\e^x$
   $\quad$
   $$\begin{array}{c}\ast\\[-1cm]\ast\ast\end{array}$$

Dans toute la suite de l’exercice, on se place dans l’espace muni d’un repère orthonormé $\Oijk$.

2. On considère les droites $\left(d_1\right)$ et $\left(d_2\right)$ dont des représentations paramétriques sont respectivement :
   $$\left(d_1\right)~ \begin{cases} x=2+r\\y=1+r\\z=-r\end{cases} \quad (r\in\R) \quad ;\quad \left(d_2\right) ~\begin{cases} x=1-s\\y=-1+s\\z=2-s\end{cases} \quad (s\in \R)$$
   Les droites $\left(d_1\right)$ et $\left(d_2\right)$ sont :
   a. sécantes.
   b. strictement parallèles.
   c. confondues.
   d. non coplanaires.
   $\quad$
3. On considère le plan $(P)$ dont une équation cartésienne est : $2x- y +z-1 = 0$.
   On considère la droite $(\Delta)$ dont une représentation paramétrique est :$$\begin{cases} x=2+u\\y=4+u\\z=1-u\end{cases} \quad (u\in \R)$$
   La droite $(\Delta)$ est :
   a. sécante et non orthogonale au plan $(P)$.
   b. incluse dans le plan $(P)$.
   c. strictement parallèle au plan $(P)$.
   d. orthogonale au plan $(P)$.
   $\quad$
4. On considère le plan $\left(P_1\right)$ dont une équation cartésienne est $x-2y+z+1 = 0$, ainsi que le plan $\left(P_2\right)$
   dont une équation cartésienne est $2x + y+z-6 = 0.$
   Les plans $\left(P_1\right)$ et $\left(P_2\right)$ sont :
   a. sécants et perpendiculaires.
   b. confondus.
   c. sécants et non perpendiculaires.
   d. strictement parallèles.
   $\quad$
5. On considère les points $E(1 ; 2 ; 1)$, $F(2 ; 4 ; 3)$ et $G(-2 ; 2 ; 5)$.
   On peut affirmer que la mesure $\alpha$ de l’angle $\widehat{FEG}$ vérifie :
   a. $\alpha = 90$°
   b. $\alpha >90$°
   c. $\alpha=0$°
   d. $\alpha\approx 71$°
   $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0 ;+\infty[$ par : $$f (x) = 5x^2+2x-2x^2\ln(x)$$
On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal du plan.
On admet que $f$ est deux fois dérivable sut l’intervalle $]0 ;+\infty[$.
On note $f’$ sa dérivée et $f\dsec$ sa dérivée seconde.

1. a. Démontrer : que la limite de la fonction $f$ en $0$ est égale à $0$.
   $\quad$
   b. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
   $\quad$
2. Déterminer $f′(x)$ pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0 ;+\infty[$.
   $\quad$
3. a. Démontrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0 ;+\infty[$ :
   $$f\dsec(x) = 4\left(1-\ln(x)\right)$$
   $\quad$
   b. En déduire le plus grand intervalle sur lequel la courbe $\mathcal{C}_f$, est au-dessus de ses tangentes.
   $\quad$
   c. Dresser le tableau des variations de la fonction $f’$ sur l’intervalle $]0 ;+\infty[$.
   (On admettra que $\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x>0}} f'(x) = 2$ et que $\lim\limits_{x\to +\infty} f'(x) = -\infty$.)
   $\quad$
4. a. Montrer que l’équation $f'(x) = 0$ admet dans l’intervalle $]0 ;+\infty[$ une unique solution $\alpha$ dont on donnera un encadrement d’amplitude $10^{-2}$.
   $\quad$
   b. En déduire le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $]0 ;+\infty[$ ainsi que le tableau des variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0 ;+\infty[$.
   $\quad$
5. a. En utilisant l’égalité $f'(\alpha) = 0$, démontrer que : $$\ln(\alpha) = \dfrac{4\alpha+1}{2\alpha}$$
   En déduire que $f(\alpha) = \alpha^2+\alpha$.
   $\quad$
   b. En déduire un encadrement d’amplitude $10^{-1}$ du maximum de la fonction $f$.
   $\quad$

$\quad$