Exercice 1

Partie A

1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
   $\quad$
   $\quad$
2. On a :
   $\begin{align*} p(X=2)&=p\left(\left(A_1\cap A_2\cap \conj{A_3}\right)\cup \left(A_1\cap\conj{ A_2}\cap A_3\right)\cup \left(\conj{A_1}\cap A_2\cap A_3\right)\right)\\
   &\underset{\text{(incompatibilité)}}{=}p\left(A_1\cap A_2\cap \conj{A_3}\right)+p \left(A_1\cap\conj{ A_2}\cap A_3\right)+p\left(\conj{A_1}\cap A_2\cap A_3\right)\\
   &=0,6\times 0,35\times 0,65+0,6\times 0,65\times 0,5+0,4\times 0,5\times 0,35 \\
   &=0,401~5
   \end{align*}$
   La probabilité que le joueur atteigne exactement deux fois la cible au cours des trois tirs est égale à $0,401~5$.
   $\quad$
3. a. $p(X=1)=1-\left(p(X=0)+p(X=2)+p(X=3)\right)=0,425$.
   $\begin{array}{|c||c||c||c|}
   \hline
   X=x_i&0&1&2&3\\
   \hline
   p\left(X=x_i\right)&0,1&0,425&0,401~5&0,073~5\\
   \hline
   \end{array}$
   $\quad$
   b.
   $\begin{align*}E(X)&=p(X=1)+2p(X=2)+3p(X=3) \\
   &=0,425+0,803+0,2205\\
   &=1,448~5\end{align*}$
   $\quad$
   c. En moyenne, sur $3$ tirs, le joueur atteint sa cible $1,448~5$ fois.
   $\quad$

Partie B

1. a. On répète $N=15$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,073~5$.
   $Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=15$ et $p=0,073~5$.
   $\quad$
   b. On a alors :
   $\begin{align*} p(Y=5)&=\dbinom{15}{5}0,073~5^5\times (1-0,073~5)^10 \\
   &\approx 0,003\end{align*}$
   La probabilité qu’exactement $5$ joueurs soient gagnants à ce jeu est environ égale à $0,003$.
   $\quad$
2. On répète $N$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,073~5$.
   $Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $N$ et $p=0,073~5$.
   $\begin{align*} p(Y\pg 1)\pg 0,98&\ssi 1-p(Y=0)\pg 0,98 \\
   &\ssi p(Y=0) \pp 0,02 \\
   &\ssi 0,926~5^N \pp 0,02 \\
   &\ssi N\ln(0,926~5) \pp \ln(0,02) \\
   &\ssi N\pg \dfrac{\ln(0,02)}{\ln(0,926~5)} \end{align*}$
   Or $\dfrac{\ln(0,02)}{\ln(0,926~5)}\approx 51,2$.
   Il faut donc au moins $52$ joueurs pour que la probabilité qu’il y ait au moins un joueur gagnant soit supérieure ou égale à $0,98$.
   $\quad$

 

Exercice 2

1. $\vect{AB}\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix} -1\\-2\\3\end{pmatrix}$.
   Or $\dfrac{1}{-1}\neq \dfrac{-2}{-2}$.
   $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ ne sont pas colinéaires.
   Les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.
   $\quad$
2. a. D’une part $\vec{n}.\vect{AB}=1-2+1=0$
   D’autre part $\vec{n}.\vect{AC}=-1-2+3=0$.
   $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$. Il est donc normal au plan $(ABC)$.
   $\quad$
   b. Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est de la forme $x+y+z+d=0$.
   $A(1;1;-4)$ appartient à ce plan. Donc $1+1-4+d=0\ssi d=2$.
   Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc $x+y+z+2=0$.
   $\quad$
3. a. $1+1+2+2=6\neq 0$. $\Omega$ n’appartient pas au plan $(ABC)$.
   $\quad$
   b. On appelle $(d)$ la droite orthogonale au plan $(ABC)$ passant par $\Omega$.
   Une représentation paramétrique de $(d)$ est donc $$\begin{cases} x=1+t\\y=1+t\\z=2+t\end{cases} \quad t\in \R$$
   Les coordonnées du point $H$ sont donc solution du système suivant :
   $\begin{align*} \begin{cases} x=1+t\\y=1+t\\z=2+t\\x+y+z+2=0\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=1+t\\y=1+t\\z=2+t\\1+t+1+t+2+t+2=0\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} x=1+t\\y=1+t\\z=2+t\\6+3t=0\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} t=-2\\x=-1\\y=-1\\z=0\end{cases}\end{align*}$
   Ainsi $H$ a pour coordonnées $(-1;-1;0)$.
   $\quad$
   Remarque : On peut “vérifier” le résultat obtenu en calculant la distance $\Omega H$ et vérifier que celle-ci est bien égale à la valeur fournie par l’énoncé juste après.
   $\quad$
4. $H$ est le projeté orthogonal de $\Omega$ sur $(ABC)$.
   Par conséquent, pour tout point $N$ de $(ABC)$ distinct de $H$ on a $\Omega N>\Omega H$.
   Ainsi $\Omega N>2\sqrt{3}$ et le point $N$ n’appartient pas à $S$.
   $\quad$
5. Un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}$.
   $\vect{\Omega K}\begin{pmatrix}2\\2\\-2\end{pmatrix}=2\vec{u}$.
   Ainsi $(\Omega K)$ est orthogonale au plan $\mathscr{P}$.
   $3+3-0-6=0$ : $H$ appartient à $\mathscr{P}$.
   $\begin{align*} \Omega H&=\sqrt{2^2+2^2+(-2)^2} \\
   &=\sqrt{12} \\
   &=2\sqrt{3}\end{align*}$.
   $K$ appartient à $S$.
   Le plan $\mathscr{P}$ est tangent à la sphère $S$ au point $K$.
   $\quad$
6. Soit $M(x,y,z)$ appartenant à $(\Delta)$.
   On a alors :
   $\begin{align*}\begin{cases} x+y+z+2=0\\x+y-z-6=0\end{cases} &\ssi \begin{cases} x+y+z+2=0\\2z+8=0&L_2\leftarrow L_1-L_2\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} z=-4\\x+y-2=0\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} x=k\\y=2-k\\z=-4\end{cases}\end{align*}$. Une représentation paramétrique de $(\Delta)$ est $ \begin{cases} x=k\\y=2-k\\z=-4\end{cases} \qquad k\in\R$.
   $\quad$

 

Exercice 3

1. $\begin{align*}u_1&=5\times 0-8\times 0+6\\
   &=6\end{align*}$
   $\begin{align*}u_2&=5\times 6-8\times 1+6\\
   &=28\end{align*}$
   $\quad$
2. On peut écrire :
   $$\begin{array}{l} \\
   \text{def suite_u(n) :} \\
   \quad \text{u = 0}\\
   \quad \text{for i in range(1,n+1) :}\\
   \qquad \text{u = 5 * u – 8 * (i – 1) + 6}\\
   \quad \text{return(u)}\end{array}$$
   Remarque : On écrit $i-1$ car on calcule à chaque tour de boucle la valeur de $u_i=5u_{i-1}-8(i-1)+6$.
   $\quad$
3. a. Pour tout $n\in \N$, on pose $P(n):~u_n\pg 2n$.
   Initialisation : $u_0=0$ et $2\times 0=0$ donc $u_0\pg 2\times 0$ et $P(0)$ est vraie.
   $\quad$
   Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
   $\begin{align*} u_{n+1}&=5u_n-8n+6 \\
   &\pg 5\times 2n-8n+6 \\
   &\pg 10n-8n+6 \\
   &\pg 2n+6 \\
   &\pg 2(n+3) \\
   &\pg 2(n+1)\end{align*}$
   $P(n+1)$ est vraie.
   $\quad$
   Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout $n\in \N$, $u_n\pg 2n$.
   $\quad$
   b. $\lim\limits_{n\to +\infty} 2n=+\infty$.
   D’après le théorème de comparaison, $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$.
   $\quad$
   c. $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$ donc pour tout réel $M>0$ il existe un entier naturel $n_0$ tel que, pour tout entier $n\pg n_0$, on a $u_n\pg M$.
   Pour tout $p\in \N^*$ on peut prendre $M=10^p$.
   Il existe donc un entier naturel $n_0$ tel que, pour tout entier $n\pg n_0$, on a $u_n\pg 10^p$.
   $\quad$
4. Soit $n\in \N$.
   $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=5u_n-8n+6-u_n \\
   &=4u_n+8n+6 \\
   &\pg 4\times 2n+8n+6 \\
   &\pg 6\\
   &>0\end{align*}$
   La suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
   $\quad$
5. a. Il semblerait que, pour tout $n\in \N$ on ait $v_n=5^n$.
   $\quad$
   Soit $n\in \N$
   $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-2(n+1)+1 \\
   &=5u_n-8n+6-2n-2+1 \\
   &=5u_n-10n+5\\
   &=5\left(u_n-2n+1\right) \\
   &=5v_n\end{align*}$
   La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $5$ et de premier terme $v_0=1$.
   Ainsi, pour tout $n\in \N$ on a $v_n=5^n$.
   $\quad$
   b. Pour tout $n\in \N$ on a :
   $\begin{align*} u_n&=v_n+2n+1 \\
   &=5^n+2n+1\end{align*}$
   $\quad$

 

Exercice 4

Partie A

1. $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$ et $\lim\limits_{X\to 0} \ln(1+X)=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln\left(1+\e^{-x}\right)=0$.
   Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
   $\quad$
2. a. Pour tout réel $x$ on a :
   $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{-\e^{-x}}{1+\e^{-x}}+\dfrac{1}{4} \\
   &=\dfrac{-1}{1+\e^x}+\dfrac{1}{4} \\
   &=\dfrac{-4+1+\e^x}{4\left(1+\e^x\right)} \\
   &=\dfrac{\e^x-3}{4\left(1+\e^x\right)}\end{align*}$$\quad$
   b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
   Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $\e^x-3$.
   Or $\e^x-3>0 \ssi \e^x>3\ssi x>\ln(3)$.
   La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $\left]-\infty;\ln(3)\right]$ et strictement croissante sur $\left[\ln(3);+\infty\right[$.
   $\quad$
   c. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[2;5]$ (car $\ln(3)<2$).
   De plus $f(2)\approx 0,6<1$ et $f(5)\approx 1,3>1$
   D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=1$ admet donc une unique solution dans l’intervalle $[2;5]$.
   $\quad$

Partie B

1. a. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Par conséquent, pour tout réel $x$ on a $f\dsec(x)>0$.
   $\quad$
   b. La fonction $f$ est donc convexe et la courbe $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de toutes ses tangentes et en dessous de toutes ses cordes.
   Ainsi, $\mathscr{C}_f$ est inscrite dans le quadrilatère $MNPQ$.
   $\quad$
2. a. On a
   $\begin{align*} f(-\alpha)&=\ln\left(1+\e^{\alpha}\right)-\dfrac{1}{4}\alpha \\
   &=\ln\left(\e^{\alpha}\left(\e^{-\alpha}+1\right)\right)-\dfrac{1}{4}\alpha \\
   &=\ln\left(\e^{\alpha}\right)+\ln\left(1+\e^{-\alpha}\right)-\dfrac{1}{4}\alpha \\
   &=\alpha+\ln\left(1+\e^{-\alpha}\right)-\dfrac{1}{4}\alpha \\
   &=\ln\left(1+\e^{-\alpha}\right)+\dfrac{3}{4}\alpha \end{align*}$
   $\quad$
   b. $f'(0)=-\dfrac{1}{4}$ et $f(0)=\ln(2)$.
   Une équation de $Delta$ est $y=-\dfrac{1}{4}x+\ln(2)$.
   Ainsi $P$ a pour coordonnées $\left(-\alpha;\ln(2)+\dfrac{1}{4}\alpha\right)$ et $Q$ a pour coordonnées $\left(\alpha;\ln(2)-\dfrac{1}{4}\alpha\right)$.
   $N$ a pour coordonnées $\left(-\alpha;\ln\left(1+\e^{-\alpha}+1\right)+\dfrac{3}{4}\alpha \right)$ et $M$ a pour coordonnées $\left(\alpha;\ln\left(1+\e^{-\alpha}\right)+\dfrac{1}{4}\alpha\right)$.
   Par conséquent $\vect{PN}$ a pour coordonnées :
   $\begin{align*} \begin{pmatrix} 0\\\ln\left(1+\e^{-\alpha}\right)+\dfrac{3}{4}\alpha-\ln(2)-\dfrac{1}{4}\alpha \end{pmatrix}
   &=\begin{pmatrix} 0\\\ln\left(1+\e^{-\alpha}\right)+\dfrac{1}{2}\alpha-\ln(2)\end{pmatrix}\end{align*}$.
   $\vect{QN}$ a pour coordonnées :
   $\begin{align*} \begin{pmatrix} 0\\\ln\left(1+\e^{-\alpha}\right)+\dfrac{1}{4}\alpha-\ln(2)+\dfrac{1}{4}\alpha\end{pmatrix}
   &=\begin{pmatrix} 0\\ \ln\left(1+\e^{-\alpha}\right)+\dfrac{1}{2}\alpha-\ln(2)\end{pmatrix}\end{align*}$
   Ainsi $\vect{PN}=\vect{QM}$ et $MNPQ$ est un parallélogramme.
   $\quad$

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses seront valorisées

Exercice 1     5 points

Partie A

Un jeu proposé dans une fête foraine consiste à effectuer trois tirs successivement sur une cible mouvante. On a constaté que :

• Si le joueur atteint la cible lors d’un tir alors il ne l’atteint pas lors du tir suivant dans $65 \%$ des cas ;
• Si le joueur n’atteint pas la cible lors d’un tir alors il l’atteint lors du tir suivant dans $50 \%$ des cas.

La probabilité qu’un joueur atteigne la cible lors de son premier tir est de $0,6$.
Pour tout événement $A$, on note $P(A)$ sa probabilité et $\conj{A}$ l’événement contraire de $A$.

On choisit au hasard un joueur à ce jeu de tirs. On considère les événements suivants :

• $A_1$ : « Le joueur atteint la cible lors du 1$^{\text{er}}$ tir » ;
• $A_2$ : « Le joueur atteint la cible lors du 2$\ieme$ tir » ;
• $A_3$ : « Le joueur atteint la cible lors du 3$\ieme$ tir ».

 

1. Recopier et compléter, avec les probabilités correspondantes sur chaque branche, l’arbre pondéré ci-dessous modélisant la situation.
   $\quad$
   
   $\quad$

Soit $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de fois où le joueur atteint sa cible au cours des trois tirs.

2. Montrer que la probabilité que le joueur atteigne exactement deux fois la cible au cours des trois tirs est égale à $0,401~5$.
   $\quad$
3. L’objectif de cette question est de calculer l’espérance de la variable aléatoire $X$, notée $E(X)$.
   a. Recopier et compléter le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
   \hline
   X = x_i& 0& 1& 2& 3\\
   \hline
   P\left(X=x_i\right)& ~~0,1~~&\phantom{0,0735}&\phantom{0,0735}& 0,0735\\
   \hline
   \end{array}$$
   b. Calculer $E(X)$.
   $\quad$
   c. Interpréter le résultat précédent dans le contexte de l’exercice.
   $\quad$

Partie B

On considère $N$, un entier naturel supérieur ou égal à $1$.
Un groupe de $N$ personnes se présente à ce stand pour jouer à ce jeu dans des conditions identiques et indépendantes. Un joueur est déclaré gagnant lorsqu’il atteint trois fois la cible.
On note $Y$ la variable aléatoire qui compte parmi les $N$ personnes le nombre de joueurs déclarés gagnants.

1. Dans cette question, $N = 15$.
   a. Justifier que $Y$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
   $\quad$
   b. Donner la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, qu’exactement $5$ joueurs soient gagnants à ce jeu.
   $\quad$
2. Par la méthode de votre choix, que vous expliciterez, déterminer le nombre minimum de personnes qui doivent se présenter à ce stand pour que la probabilité qu’il y ait au moins un joueur gagnant soit supérieure ou égale à $0,98$.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Dans un repère orthonormé $\Oijk$, on considère les points :
$$A(1 ; 1 ; -4),~ B(2 ; -1 ; -3),~ C(0 ;-1 ;-1) \text{ et } \Omega(1 ; 1 ; 2)$$

1. Démontrer que les points $A$, $B$, et $C$ définissent un plan.
   $\quad$
2. a. Démontrer que le vecteur $\vec{n}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ est normal au plan $(ABC)$.
   $\quad$
   b. Justifier qu’une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est $x+y+z+2=0$.
   $\quad$
3. a. Justifier que le point $\Omega$ n’appartient pas au plan $(ABC)$.
   $\quad$
   b. Déterminer les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal du point $\Omega$ sur le plan $(ABC)$.$\quad$

On admet que $\Omega H = 2\sqrt{3}$. On définit la sphère $S$ de centre $\Omega$ et de rayon $2\sqrt{3}$ comme l’ensemble de tous les points $M$ de l’espace tels que $\Omega M = 2\sqrt{3}$.

4. Justifier, sans calcul, que tout point $N$ du plan $(ABC)$, distinct de $H$, n’appartient pas à la sphère $S$.
   $\quad$

On dit qu’un plan $\mathcal{P}$ est tangent à la sphère $S$ en un point $K$ lorsque les deux conditions suivantes sont vérifiées :

• $K\in \mathcal{P}\cap S$
• $(\Omega K) \perp \mathcal{P}$

5. Soit le plan $\mathcal{P}$ d’équation cartésienne $x+y-z-6=0$ et le point $K$ de coordonnées $K(3 ; 3 ; 0)$. Démontrer que le plan $\mathcal{P}$ est tangent à la sphère $S$ au point $K$.
   $\quad$
6. On admet que les plans $(ABC)$ et $\mathcal{P}$ sont sécants selon une droite $(\Delta)$.
   Déterminer une équation paramétrique de la droite $(\Delta)$.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 0$ et, pour tout $n\in \N,~u_{n+1}=5u_n-8n+6$.

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
   $\quad$
2. Soit $n$ un entier naturel.
   Recopier et compléter la fonction $\text{suite_u}$ d’argument $\text{n}$ ci-dessous, écrite en langage Python, afin qu’elle retourne la valeur de $u_n$.
   $$\begin{array}{l}
   \text{def suite_u(n):}\\
   \quad \text{u = …}\\
   \quad \text{for i in range(1,n + 1):}\\
   \qquad \text{u = …}\\
   \quad \text{return u}\end{array}$$
   $\quad$
3. a. Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in \N$, $u_n\pg 2n$.
   $\quad$
   b. En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
   $\quad$
   c. Soit $p\in \N^*$. Pourquoi peut-on affirmer qu’il existe au moins un entier $n_0$ tel que, pour tout entier naturel $n$ vérifiant, $n\pg n_0$, $u_n\pg 10^p$ ?
   $\quad$
4. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
   $\quad$
5. On considère la suite $\left(v_n\right)$, définie pour tout $n\in \N$, par $v_n=u_n-2n+1$.
   a. En dessous de la fonction $\text{suite_u}$ précédente, on a écrit la fonction $\text{suite_v}$ ci-dessous :
   $$\begin{array}{l}
   \text{def suite_v(n):}\\
   \quad \text{L = [ ]}\\
   \quad \text{for i in range(1,n + 1):}\\
   \qquad \text{L.append(suite_u(i) – 2 * i + 1)}\\
   \quad \text{return L}\end{array}$$
   $\quad$
   La commande « $\text {L.append}$ » permet de rajouter, en dernière position, un élément dans la liste $\text{L}$.
   Lorsqu’on saisit $\text{suite_v(5)}$ dans la console, on obtient l’affichage suivant :
   $$\begin{array}{l}
   \text{>>> suite_v(5)}\\
   \text{[1, 5, 25, 125, 625, 3125]}\end{array}$$
   Conjecturer, pour tout entier naturel $n$, l’expression de $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.
   Démontrer cette conjecture.
   $\quad$
   b. En déduire, pour tout entier naturel $n$, la forme explicite de $u_n$ en fonction de $n$.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\ln\left(1+\e^{-x}\right)+\dfrac{1}{4}x$.
On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $\Oij$ du plan.

Partie A

1. Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
   $\quad$
2. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
   a. Montrer que, pour tout réel $x$, $f'(x)=\dfrac{\e^x-3}{4\left(\e^x+1\right)}$.
   $\quad$
   b. En déduire les variations de la fonction $f$ sur $\R$.
   $\quad$
   c. Montrer que l’équation $f(x)=1$ admet une unique solution $\alpha$ dans l’intervalle $[2 ; 5]$.
   $\quad$

Partie B

On admettra que la fonction $f’$ est dérivable sur $\R$ et pour tout réel $f\dsec(x)=\dfrac{\e^x}{\left(1+\e^x\right)^2}$.
On note $\Delta$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d’abscisse $0$.
Dans le graphique ci-dessous, on a représenté la courbe $\mathcal{C}_f$, la tangente $\Delta$ et le quadrilatère $MNPQ$ tel que $M$ et $N$ sont les deux points de la courbe $\mathcal{C}_f$ d’abscisses respectives $\alpha$ et $-\alpha$, et $Q$ et $P$ sont les deux points de la droite $\Delta$ d’abscisses respectives $\alpha$ et $-\alpha$.

1. a. Justifier le signe de $f\dsec(x)$ pour tout $x\in \R$.
   $\quad$
   b. En déduire que la portion de la courbe $\mathcal{C}_f$, sur l’intervalle $[-\alpha;\alpha]$, est inscrite dans le quadrilatère $MNPQ$.
   $\quad$
2. a. Montrer que $f(-\alpha)=\ln\left(\e^{-\alpha}+1\right)+\dfrac{3}{4}\alpha$.
   $\quad$
   b. Démontrer que le quadrilatère $MNPQ$ est un parallélogramme.
   $\quad$

$\quad$