Exercice 1

Partie A

1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
   $\quad$
   

   $\quad$

2. On veut calculer
   $\begin{align*}P\left(C_3\cap D\right)&=P\left(C_3\right)\times P_{C_3}(D) \\
   &=0,2\times 0,04 \\
   &=0,008\end{align*}$
   La probabilité que le composant prélevé provienne de la chaîne n° 3 et soit défectueux est égale à $0,008$.
   $\quad$
3. $\left(C_1,C_2,C_3\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a
   $\begin{align*} P(D)&=P\left(C_1\cap D\right)+P\left(C_2\cap D\right)+P\left(C_3\cap D\right) \\
   &=P\left(C_1\right)\times P_{C_1}(D) +P\left(C_2\right)\times P_{C_2}(D) +0,008 \\
   &=0,5\times 0,01+0,3\times 0,005+0,008 \\
   &=0,014~5\end{align*}$
   $\quad$
4. On veut calculer
   $\begin{align*} P_D\left(C_3\right)&=\dfrac{P\left(C_3\cap D\right)}{P(D)} \\
   &=\dfrac{0,008}{0,014~5} \\
   &\approx 0,551~7\end{align*}$
   La probabilité qu’un composant défectueux provienne de la chaîne n° 3 est environ égale à $0,551~7$.
   $\quad$

Partie B

1. a. On veut calculer :
   $\begin{align*} P(X=3)&=\dbinom{20}{3}0,014~5^3\times (1-0,014~5)^{17} \\
   &\approx 0,002~7\end{align*}$
   La probabilité pour qu’un lot possède exactement trois composants défectueux est environ égale à $0,002~7$.
   $\quad$
   b. On a
   $\begin{align*} P(X=0)&=(1-0,014~5)^{20}\\
   &\approx 0,746~7\end{align*}$
   La probabilité pour qu’un lot ne possède aucun composant défectueux est environ égale $0,746~7$.
   $\quad$
   $\begin{align*} P(X\pg 1)&=1-P(X=0) \\
   &\approx 0,253~3\end{align*}$
   La probabilité qu’un lot possède au moins un composant défectueux est environ égale $0,253~3$.
   $\quad$
2. $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,014~5$.
   $\begin{align*} P(X=0)\pg 0,85&\ssi (1-0,014~5)^n\pg 0,85 \\
   &\ssi 0,985~5^n\pg 0,85 \\
   &\ssi n\ln(0,985~5)\pg \ln(0,85) \\
   &\ssi n\pp \dfrac{\ln(0,85)}{\ln(0,985~5)}\end{align*}$
   Or $\dfrac{\ln(0,85)}{\ln(0,985~5)} \approx 11,13$.
   La proposition de former des lots de $11$ composants au maximum est donc exact.
   $\quad$

Partie C

$0,5\times 15+0,3\times 12+0,2\times 9=12,9$
Le coût moyen de fabrication d’un composant pour cette entreprise est égale à $12,90$ euros.

$\quad$

 

Exercice 2

PARTIE A : Étude d’une fonction auxiliaire $\boldsymbol{g}$

1. $g(1)=0$ et $g(\e)=2(\e-1)-\e$ soit $g(\e)=\e-2$.
   $\quad$
2. Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to 0^-} x\ln(x)=0$.
   Par conséquent $\lim\limits_{x\to 0^-} g(x)=-2$.
   $\quad$
3. La fonction $g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   Pour tout réel $x>0$ on a
   $\begin{align*} g'(x)&=2-\left(\ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}\right) \\
   &=2-\ln(x)-1 \\
   &=1-\ln(x)\end{align*}$
   $g'(x)>0 \ssi 1-\ln(x)>0 \ssi \ln(x)<1 \ssi x<\e$
   $g'(x)=0\ssi 1-\ln(x)=0 \ssi x=\e$
   On obtient donc le tableau de variations suivant :
   $\quad$
   $\quad$
4. La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $]0;\e]$.
   $\lim\limits_{x\to 0^-}  g(x)=-2<0$ et $g(\e)=\e-2>0$
   D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur $]0;\e]$.
   Or $g(1)=0$. L’unique solution de l’équation appartenant à $]0;\e]$ est donc $1$.
   $\quad$
   La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $[\e;+\infty$.
   $g(\e)=\e-2>0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty}g(x)=-\infty$
   D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[\e;+\infty[$.
   $\quad$
   Finalement l’équation $g(x)=0$ admet exactement deux solutions $1$ et $\alpha$ où $\alpha\in[\e;+\infty[$.
   D’après la calculatrice, $4,92<\alpha<4,93$.
   $\quad$.
5. D’après le tableau de variations et la question précédente on obtient le tableau de signes suivant :
   $\quad$$\quad$

PARTIE B : Étude de la fonction $\boldsymbol{f}$

1. Pour tout $x>0$ on a $f(x)=x\left(3-\ln(x)-2\dfrac{\ln(x)}{x}\right)$.
   Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln(x)=+\infty$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$.
   Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty}3-\ln(x)-2\dfrac{\ln(x)}{x}=-\infty$.
   Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$.
   $\quad$
2. a. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   Pour tout réel $x>0$ on a
   $\begin{align*}f'(x)&=3-\left(\ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}\right)-2\times \dfrac{1}{x} \\
   &=3-\ln(x)-1-\dfrac{2}{x} \\
   &=2-\ln(x)-\dfrac{2}{x} \\
   &=2\times \dfrac{x-1}{x}-\ln(x) \\
   &=\dfrac{2(x-1)-x\ln(x)}{x} \\
   &=\dfrac{g(x)}{x}\end{align*}$
   $\quad$
   b. On obtient donc le tableau de variations suivant :
   $\quad$
   
   $\quad$
3. $f\dsec(x)>0 \ssi 2-x>0 \ssi x<2$
   $f\dsec(x)=0 \ssi 2-x=0 \ssi x=2$
   La fonction $f$ est donc convexe sur $]0;2]$ et concave sur $[2;+\infty[$.
   $f(2)=6-4\ln(2)$
   $\mathscr{C}_f$ admet donc un unique point d’inflexion de coordonnées $\left(2;6-4\ln(2)\right)$.
   $\quad$

Exercice 3

1. Chaque année la population diminue de $10\%$. Il reste donc $90\%$ de cette population soit $0,9u_n$.
   On réintroduit $100$ individus dans cette réserve à la fin de chaque année.
   Ainsi, pour tout $n\in \N$, $u_{n+1}=0,9u_n+100$.
   $\quad$
2. $u_1=1~900$ et $u_2=1~810$.
   $\quad$
3. Pour tout entier naturel $n\in \N$ on pose $P(n):~1~000<u_{n+1}\pp u_n$.
   Initialisation : $u_0=2~000$ et $u_1=1~900$. Donc $1~000<u_1\pp u_0$ et $P(0)$ est vraie.
   $\quad$
   Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
   $\begin{align*}1~000 <u_{n+1} \pp u_n &\ssi 900 <0,9u_{n+1} \pp 0,9u_n \\
   &\ssi 1~000 <0,9u_{n+1}+100\pp 0,9u_n+100 \\
   &\ssi 1~000< u_{n+2}\pp u_{n+1}\end{align*}$
   La propriété $P(n+1)$ est donc vraie.
   $\quad$
   D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ on a $1~000<u_{n+1} \pp u_n$.
   $\quad$
4. La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante et minorée par $1~000$. Par conséquent $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell$.
   $\quad$
5. a. Pour tout $n\in \N$ on a
   $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-1~000 \\
   &=0,9u_n+100-1~000 \\
   &=0,9u_n-900 \\
   &=0,9\left(u_n-1~000\right) \\
   &=0,9v_n\end{align*}$
   La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,9$.
   $\quad$
   b. $v_0=1~000$. Par conséquent, pour tout $n\in \N$, $v_n=1~000\times 0,9^n$.
   Or $v_n=u_n-1~000 \ssi u_n=v_n+1~000$.
   Donc
   $\begin{align*} u_n&=v_n+1~000 \\
   &=1~000\times 0,9^n+1~000 \\
   &=1~000\left(0,9^n+1\right)\end{align*}$
   $\quad$
   c. $-1<0,9<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,9^n=0$
   Ainsi, $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=1~000$.
   Sur le long terme, la population de cette espèce sera de $1~000$ individus dans cette réserve.
   $\quad$
6. a.
   $\begin{align*} u_n\pp 1~020&\ssi 1~000\left(1+0,9^n\right)\pp 1~020 \\
   &\ssi 1+0,9^n \pp 1,02 \\
   &\ssi 0,9^n \pp 0,02 \\
   &\ssi n\ln(0,9)\pp \ln(0,02) \\
   &\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,02)}{\ln(0,9)} \end{align*}$
   Or $\dfrac{\ln(0,02)}{\ln(0,9)}\approx 37,13$.
   Le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n\pp 1~020$ est donc $38$.
   $\quad$
   b. On peut écrire
   $\begin{array}{|cl|}
   \hline
   1&\text{def population(S) :}\\
   2& \text{  n=0}\\
   3&\text{  u=2000}\\
   4&\\
   5&\text{  while u > 1020 :}\\
   6&\text{    u = 0.9 * u + 100}\\
   7&\text{    n = n + 1}\\
   8&\text{  return n}\\
   \hline
   \end{array}$
   $\quad$

Exercice 4

1. a. $\vect{AB}\begin{pmatrix}6\\-4\\-2\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}2\\-4\\-6\end{pmatrix}$
   $\dfrac{6}{2}\neq \dfrac{-2}{-6}$.
   Les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ ne sont pas colinéaires. Les points $A$, $B$ et $C$ ne sont donc pas alignés.
   $\quad$
   b. D’une part $\vect{AB}.\vec{n}=6-8+2=0$
   D’autre part $\vect{AC}.\vec{n}=2-8+6=0$
   Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$.
   Par conséquent $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
   $\quad$
   c. Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc de la forme $x+2y-z+d=0$.
   $A(0;8;6)$ appartient au plan $(ABC)$. Ainsi $0+16-6+d=0 \ssi d=-10$.
   Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc $x+2y-z-10=0$.
   $\quad$
2. a. On a $\vect{DE}\begin{pmatrix}6\\6\\-6\end{pmatrix}$.
   Une représentation paramétrique de la droite $(DE)$ est donc $\begin{cases} x=6t\\y=6t\\z=6-6t\end{cases} \quad t\in \R$.
   $\quad$
   b. $I$ a pour coordonnées $(4;4;2)$.
   En prenant $t=\dfrac{4}{6}$ dans la représentation paramétrique précédente on obtient le point de coordonnées $(4;4;2)$.
   Le point $I$ appartient bien à la droite $(DE)$.
   $\quad$
3. a. $\vect{BC}\begin{pmatrix} -4\\0\\-4\end{pmatrix}$
   Par conséquent $\vect{AC}.\vect{BC}\neq 0$, $\vect{AB}.\vect{BC}\neq 0$ et $\vect{AC}.\vect{AB}\neq 0$.
   $\begin{align*} AC^2&=2^2+(-4)^2+(-6)^2 \\
   &=4+16+36 \\
   &=56\end{align*}$
   $\begin{align*} AB^2&=6^2+(-4)^2+(-2)^2 \\
   &=36+16+4 \\
   &=56\end{align*}$
   $\begin{align*} BC^2&=(-4)^2+0^2+(-4)^2 \\
   &=32\end{align*}$.
   Le triangle $ABC$ est donc isocèle en $A$.
   $\quad$
   b. $\vect{AI}\begin{pmatrix} 4\\-4\\-4\end{pmatrix}$.
   Donc
   $\begin{align*} AI^2&=4^2+(-4)^2+(-4)^2 \\
   &=16+16+16 \\
   &=48\end{align*}$
   L’aire du triangle $ABC$ est :
   $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{\sqrt{48}\times \sqrt{32}}{2} \\
   &=8\sqrt{6} \text{u.a.}\end{align*}$
   $\quad$
   c.
   $\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=12+16+12 \\
   &=40\end{align*}$
   $\quad$
   d.
   $\begin{align*}
   \vect{AB}.\vect{AC}=40&\ssi AB\times AC\times \cos \widehat{BAC}=40 \\
   &\ssi 56\cos \widehat{BAC}=40 \\
   &\ssi \cos \widehat{BAC}=\dfrac{5}{7}\end{align*}$
   Par conséquent $\widehat{BAC}\approx 44,4$°.
   $\quad$
4. $\vect{OH}\begin{pmatrix} \dfrac{5}{3}\\\dfrac{10}{3}\\-\dfrac{5}{3}\end{pmatrix}$.
   Par conséquent $\vect{OH}=\dfrac{5}{3}\vec{n}$.
   $\vect{OH}$ est orthogonal au plan $(ABC)$.
   $\begin{align*} \dfrac{5}{3}+2\times \dfrac{10}{3}+\dfrac{5}{3}-10&=\dfrac{30}{3}-10 \\
   &=0\end{align*}$
   Le point $H$ appartient donc au plan $(ABC)$.
   Ainsi $H$ est le projeté orthogonal du point $O$ sur le plan $(ABC)$.
   La distance du point $O$ au plan $(ABC)$ est
   $\begin{align*} OH&=\sqrt{\left(\dfrac{5}{3}\right)^2+\left(\dfrac{10}{3}\right)^2+\left(\dfrac{5}{3}\right)^2} \\
   &=\sqrt{\dfrac{150}{9}}\\
   &=\dfrac{5\sqrt{6}}{3}\end{align*}$

Le sujet propose 4 exercices
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Exercice 1     7 points
Thème : Probabilités

Une entreprise fabrique des composants pour l’industrie automobile. Ces composants sont conçus sur trois chaînes de montage numérotées de 1 à 3.

• • La moitié des composants est conçue sur la chaîne n°1;
• $30 \%$ des composants sont conçus sur la chaîne n°2;
• les composants restant sont conçus sur la chaîne n°3.

À l’issue du processus de fabrication, il apparaît que $1 \%$ des pièces issues de la chaîne n°1 présentent un défaut, de même que $0,5 \%$ des pièces issues de la chaîne n°2 et $4 \%$ des pièces issues de la chaîne n°3.

On prélève au hasard un de ces composants. On note :

• $C_1$ l’évènement « le composant provient de la chaîne n°1 »;
• $C_2$ l’évènement « le composant provient de la chaîne n°2 »;
• $C_3$ l’évènement « le composant provient de la chaîne n° 3 »;
• $D$ l’évènement « le composant est défectueux » et $\conj{D}$ son évènement contraire.

Dans tout l’exercice, les calculs de probabilité seront donnés en valeur décimale exacte ou arrondie à $10^{-4}$ si nécessaire.

PARTIE A

1. Représenter cette situation par un arbre pondéré.
   $\quad$
2. Calculer la probabilité que le composant prélevé provienne de la chaîne n°3 et soit défectueux.
   $\quad$
3. Montrer que la probabilité de l’évènement $D$ est $P(D) = 0,014~5$.
   $\quad$
4. Calculer la probabilité qu’un composant défectueux provienne de la chaîne n°3.

PARTIE B

L’entreprise décide de conditionner les composants produits en constituant des lots de $n$ unités. On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque lot de $n$ unités, associe le nombre de composants défectueux de ce lot.
Compte tenu des modes de production et de conditionnement de l’entreprise, on peut considérer que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 0,014~5$.

1. Dans cette question, les lots possèdent $20$ unités. On pose $n = 20$.
   a. Calculer la probabilité pour qu’un lot possède exactement trois composants défectueux.
   $\quad$
   b. Calculer la probabilité pour qu’un lot ne possède aucun composant défectueux.
   En déduire la probabilité qu’un lot possède au moins un composant défectueux.
   $\quad$
2. Le directeur de l’entreprise souhaite que la probabilité de n’avoir aucun composant défectueux dans un lot de $n$ composants soit supérieure à $0,85$.
   Il propose de former des lots de $11$ composants au maximum. A-t-il raison ? Justifier la réponse.
   $\quad$

PARTIE C

Les coûts de fabrication des composants de cette entreprise sont de $15$ euros s’ils proviennent de la chaîne de montage n°1, $12$ euros s’ils proviennent de la chaîne de montage n°2 et $9$ euros s’ils proviennent de la chaîne de montage n°3.
Calculer le coût moyen de fabrication d’un composant pour cette entreprise.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2     7 points
Thème : Fonctions, fonction logarithme

Le but de cet exercice est d’étudier la fonction $f$, définie sur $]0;+\infty[$, par : $$f(x)=3x-x\ln(x)-2\ln(x)$$

PARTIE A : Étude d’une fonction auxiliaire $\boldsymbol{g}$

Soit $g$ la fonction définie sur $]0 ; +\infty[$ par $$g(x) = 2(x-1)-x \ln(x)$$
On note $g’$ la fonction dérivée de $g$. On admet que $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=-\infty$

1. Calculer $g(1)$ et $g(\e)$.
   $\quad$
2. Déterminer $\lim\limits_{x\to 0} g(x)$ en justifiant votre démarche.
   $\quad$
3. Montrer que, pour tout $x > 0$, $g'(x) = 1-\ln(x)$.
   En déduire le tableau des variations de $g$ sur $]0 ; +\infty[$.
   $\quad$
4. Montrer que l’équation $g(x) = 0$ admet exactement deux solutions distinctes sur $]0 ; +\infty[$ : $1$ et $\alpha$ avec $\alpha$ appartenant à l’intervalle $[\e ; +\infty[$.
   On donnera un encadrement de $\alpha$ à $0,01$ près.
   $\quad$
5. En déduire le tableau de signes de $g$ sur $]0 ; +\infty[$.
   $\quad$

PARTIE B : Étude de la fonction $\boldsymbol{f}$

On considère dans cette partie la fonction $f$ , définie sur $]0 ; +\infty[$,par
$$f(x) = 3x-x \ln(x)-2\ln(x)$$
On note $f’$ la fonction dérivée de $f$.
La représentation graphique $\mathscr{C}_f$ de cette fonction $f$ est donnée dans le repère $\Oij$ ci-dessous. On admet que : $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=+\infty$.

1. Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ en justifiant votre démarche.
   $\quad$
2. a. Justifier que pour tout $x > 0$, $f'(x)=\dfrac{g(x)}{x}$.
   $\quad$
   b. En déduire le tableau des variations de $f$ sur $]0 ; +\infty[$.
   $\quad$
3. On admet que, pour tout $x > 0$, la dérivée seconde de $f$ , notée $f\dsec$, est définie par $f\dsec(x)=\dfrac{2-x}{x^2}$.
   Étudier la convexité de $f$ et préciser les coordonnées du point d’inflexion de $\mathscr{C}_f$.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3     7 points
Thème : Suites

La population d’une espèce en voie de disparition est surveillée de près dans une réserve naturelle.
Les conditions climatiques ainsi que le braconnage font que cette population diminue de $10 \%$ chaque année.
Afin de compenser ces pertes, on réintroduit dans la réserve 100 individus à la fin de chaque année.
On souhaite étudier l’évolution de l’effectif de cette population au cours du temps. Pour cela, on modélise l’effectif de la population de l’espèce par la suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente l’effectif de la population au début de l’année 2020$+n$.
On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_n > 0$.
Au début de l’année 2020, la population étudiée compte $2~000$ individus, ainsi $u_0 = 2~000$.

1. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ vérifie la relation de récurrence :
   $u_{n+1} = 0,9u_n +100$.
   $\quad$
2. Calculer $u_1$ puis $u_2$.
   $\quad$
3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ : $1~000 < u_{n+1}\pp u_n$.
   $\quad$
4. La suite $\left(u_n\right)$ est-elle convergente ? Justifier la réponse.
   $\quad$
5. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n −1~000$.
   a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,9$.
   $\quad$
   b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 1~000(1+0,9^n
   )$.
   $\quad$
   c. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
   En donner une interprétation dans le contexte de cet exercice.
   $\quad$
6. On souhaite déterminer le nombre d’années nécessaires pour que l’effectif de la population passe en dessous d’un certain seuil $S$ (avec $S > 1~000$).
   a. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_n \pp 1~020$.
   Justifier la réponse par un calcul.
   $\quad$
   b. Dans le programme Python ci-dessous, la variable $n$ désigne le nombre d’années écoulées depuis 2020, la variable $u$ désigne l’effectif de la population.
   $$\begin{array}{|ll|}
   \hline
   1&\text{def population(S) :}\\
   2&\quad \text{n=0}\\
   3&\quad \text{u=2000}\\
   4&\\5&\quad \text{while …… :}\\
   6& \qquad \text{u= …}\\
   7& \qquad \text{n = …}\\
   8& \quad \text{return …}\\
   \hline
   \end{array}$$
   Recopier et compléter ce programme afin qu’il retourne le nombre d’années nécessaires pour que l’effectif de la population passe en dessous du seuil $S$.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 4     7 points
Thème : Géométrie dans l’espace

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé $\Oijk$, on considère les points $$
A(0 ; 8 ; 6), B(6 ; 4 ; 4) \text{ et } C(2 ; 4 ; 0)$$

1. a. Justifier que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
   $\quad$
   b. Montrer que le vecteur $\vec{n}(1 ; 2 ; -1)$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
   $\quad$
   c. Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
   $\quad$
2. Soient $D$ et $E$ les points de coordonnées respectives $(0; 0; 6)$ et $(6; 6; 0)$.
   a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(DE)$.
   $\quad$
   b. Montrer que le milieu $I$ du segment $[BC]$ appartient à la droite $(DE)$.
   $\quad$
3. On considère le triangle $ABC$.
   a. Déterminer la nature du triangle $ABC$.
   $\quad$
   b. Calculer l’aire du triangle $ABC$ en unité d’aire.
   $\quad$
   c. Calculer $\vect{AB}.\vect{AC}$.
   $\quad$
   d. En déduire une mesure de l’angle $\widehat{BAC}$ arrondie à $0,1$ degré.
   $\quad$
4. On considère le point $H$ de coordonnées $\left(\dfrac{5}{3};\dfrac{10}{3};-\dfrac{5}{3}\right)$.
   Montrer que $H$ est le projeté orthogonal du point $O$ sur le plan $(ABC)$.
   En déduire la distance du point $O$ au plan $(ABC)$.
   $\quad$

$\quad$