Exercice 1

Question 1 : La fonction $g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout réel $x\pg 0$, $g'(x)= 2x+2+\dfrac{3}{x^2}$.
Une équation de cette tangente est de la forme $y=g'(1)(x-1)+g(1)$.
Or $g(1)=0$ et $g'(1)=7$.
Une équation de cette tangente est donc $y=7(x-1)$.
Réponse a
$\quad$

Question 2 : Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=\dfrac{3}{1+\dfrac{2}{n}}$
Or $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{2}{n}=0$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=3$.
Remarque : On pouvait également utiliser la limite des termes de plus haut degré.
Réponse b
$\quad$

Question 3 : On appelle $X$ la variable comptant le nombre de boules noires tirées. On effectue $10$ tirages aléatoires, indépendants et identiques. À chaque tirage il n’y a que deux issues $N$ « La boule tirée est noire » et $\conj{N}$. De plus $p(N)=0,6$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,6$.
Ainsi $P(X=4) = \dbinom{10}{4} 0,6^4 \times 0,4^6 \approx 0,111~5$
Réponse c
$\quad$

Question 4 : Pour tout réel $x$ on a $f(x)=\e^{x}\left(3-\dfrac{x}{\e^x}\right)$.
Or, par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{e^x}{x}=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x}{e^x}=0$
De plus $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$
Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$
Réponse b
$\quad$

Question 5 : Il y a $36^8$ combinaisons possibles.
Il faut donc au maximum $\dfrac{36^8}{10^8} \approx 28~211$ secondes pour découvrir le code.
Cela correspond à environ $8$ heures.
Réponse b
$\quad$

 

 

Exercice 2

Partie A – Modélisation à l’aide d’une suite

1. a. Si $2\%$ des panneaux se sont détériorés cela signifie que $98\%$ sont en état de fonctionner. Pour tout entier naturel $n$, cela correspond donc à $0,98u_n$ panneaux.
   Chaque année $250$ nouveaux panneaux sont installés.
   Par conséquent $u_{n+1}=0,98u_n+250$.
   En 2020, la société possédait $10~560$ panneaux. Donc $u_0=10~560$.
   $\quad$
   b. D’après la calculatrice, c’est-à-partir du rang $68$ que $u_n> 12~000$.
   Il faut $68$ ans pour que le nombre de panneaux solaires soit strictement supérieur à $12~000$.
   $\quad$
   c.
   $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   \text{u = 10560} \\
   \text{n = 0} \\
   \textbf{while }\text{u  <= 12000 :} \\
   \quad \text{u =  0.98 * u + 250}\\
   \quad \text{n = n + 1}\\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$
2. Initialisation : On a $u_0 = 10~560 < 12~500$
   La propriété est vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : Soit $n \in \N$. On suppose la propriété vraie au rang $n$.
   $\begin{align*} u_{n+1} &= 0,98u_n +250 \\
   &< 0,98 \times 12~500+250 \\
   &< 12~250+250\\
   &< 12~500\end{align*}$
   La propriété est vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n < 12~500$.
   $\quad$
3. Pour tout entier naturel $n$ on a
   $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=0,98u_n+250-u_n \\
   &=-0,02u_n+250 \\
   &=0,02\left(-u_n+12~500\right)\end{align*}$
   Or, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n< 12~500$.
   Par conséquent $u_{n+1}-u_n> 0$.
   La suite $\left(u_n\right)$ est strictement croissante.
   $\quad$
4. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $12~500$. Elle converge donc.
   $\quad$
5. a. Pour tout entier naturel $n$,
   $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-12~500 \\
   &=0,98u_n+250-12~500 \\
   &=0,98u_n-12~250 \\
   &=0,98\left(u_n-12~500\right)\\
   &=0,98v_n\end{align*}$
   La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $q=0,98$ et de premier terme $v_0=u_0-12~500=-1~940$.
   $\quad$
   b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=-1~940\times 0,98^n$.
   $\quad$
   c. Donc, pour tout entier naturel $n$, $u_n=v_n+12~500=12~500-1~940\times 0,98^n$.
   $\quad$
   d. $-1<0,98<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} -1~940\times 0,98^n=0$.
   Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=12~500$.
   Sur le long terme, la centra solaire Big Sun possèdera $12~500$ panneaux solaires.
   $\quad$

Partie B

1. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que composée et somme de fonctions dérivables.
   Pour tout réel $x\pg 0$
   $\begin{align*} f'(x)&=-500\times (-0,02)\e^{-0,02x+1,4} \\
   &=10\e^{-0,02x+1,4}\end{align*}$
   La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$ donc $f'(x)>0$.
   La fonction $f$ est par conséquent strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
   $\quad$
2. $\lim\limits_{x\to +\infty} -0,02x+1,4=-\infty$ or $\lim\limits_{X\to -\infty} \e^X=0$
   Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-0,02x+1,4}=0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=12~500$.
   $\quad$
3. On veut résoudre l’inéquation :
   $\begin{align*} f(x)>12~000 &\ssi 12~500-500\e^{-0,02x+1,4} > 12~000 \\
   &\ssi -500\e^{-0,02x+1,4} > -500 \\
   &\ssi \e^{-0,02x+1,4} < 1 \\
   &\ssi -0,02x+1,4< 0\\
   &\ssi -0,02x<-1,4 \\
   &\ssi x> 70\end{align*}$
   C’est donc au bout de $70$ ans, selon ce modèle, que le nombre de panneaux solaires dépassera $12~000$.
   $\quad$

 

 

 

Exercice 3

Partie A

1. On a $F(1;0;1)$, $I(0;0,5;0,5)$ et $J\left(1;1;\dfrac{2}{3}\right)$
   $\quad$
2. Ainsi $\vect{FJ}\begin{pmatrix} 0\\1\\-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$
   Une représentation paramétrique de la droite $(d)$ est par conséquent $$\begin{cases} x=0\\y=0,5+t\\z=0,5-\dfrac{1}{3}t\end{cases} \quad, t\in \R$$
   $\quad$
3. a. Le point de coordonnées $\left(0;0;\dfrac{2}{3}\right)$ appartient bien à la droite $(AE)$.
   En prenant $t=-0,5$, dans la représentation paramétrique de $(d)$, on trouve $\begin{cases} x=0\\y=0\\z=\dfrac{2}{3}\end{cases}$.
   Le point de coordonnées $\left(0;0;\dfrac{2}{3}\right)$ appartient aux droites $(d)$ et $(AE)$. C’est donc le point $K$.
   $\quad$
   b. Le point $L$ appartient à la droite $(DH)$. Ses coordonnées sont donc de la forme $(0;1;\gamma)$.
   En prenant $t=0,5$, dans la représentation paramétrique de $(d)$, on trouve $\begin{cases} x=0\\y=1\\z=\dfrac{1}{3}\end{cases}$.
   Ainsi, le point $L$ a pour coordonnées $\left(0;1;\dfrac{1}{3}\right)$.
   $\quad$
4. a. On a $\vect{LK}\begin{pmatrix} 0\\1\\-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$.
   Par conséquent $\vect{LK}=\vect{FJ}$ et $FJLK$ est un paralélogramme.
   $\quad$
   b. $FJ=\sqrt{1+\dfrac{1}{9}}=\sqrt{\dfrac{10}{9}}$
   $\vect{FK}\begin{pmatrix} -1\\0\\-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$ donc $FK=\sqrt{1+\dfrac{1}{9}}=\sqrt{\dfrac{10}{9}}$
   Le parallélogramme $FJLK$ possède deux côtés consécutifs de même longueur. C’est donc un losange.
   $\quad$
   c. $\vect{FJ}.\vect{FK}=0+0+\dfrac{1}{9}\neq 0$
   Ces deux vecteurs ne sont pas orthogonaux. Par conséquent $FJLK$ n’est pas un carré.
   $\quad$

Partie B : Cas général

1. On a $\vect{CG}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$
   Donc
   $\begin{align*} \vect{CJ}=a\vect{CG}&\ssi \begin{cases} x_J-1=0\\y_J=1=0\\z_J-0=a\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} x_j=1\\y_J=1\\z_J=a\end{cases}\end{align*}$
   $\quad$
2. Ainsi $\vect{FJ}\begin{pmatrix} 0\\1\\a-1\end{pmatrix}$ et $\vect{KL}\begin{pmatrix} 0\\1\\a-1\end{pmatrix}$
   Donc $\vect{FJ}=\vect{KL}$ et $FJKL$ est un parallélogramme.
   $\quad$
3. D’après la question A.4.b. si $a=\dfrac{2}{3}$ alors $FJKL$ est un losange.
   $\quad$
4. On a $\vect{FK}\begin{pmatrix} -1\\0\\-\dfrac{a}{2}\end{pmatrix}$
   $\begin{align*} \vect{FK}.\vect{FJ}=0&\ssi 0+0-\dfrac{a}{2}(a-1)=0 \\
   &\ssi a=0\text{ ou } a=1\end{align*}$
   Ainsi, les deux seules valeurs de $a$ pour lesquelles $\vect{FK}$ et $\vect{FJ}$ soient orthogonaux sont $0$ et $1$.
   Or si $a=0$ alors $FJ=FC=\sqrt{2}$ (d’après le théorème de Pythagore) et $FK=FE=1$. $FJLK$ n’est pas un losange et donc pas un carré.
   Si $a=1$ alors $FJ=FG=1$ et $FK=FA=\sqrt{2}$ et ce n’est toujours pas un carré.
   Il n’existe donc pas de valeurs de $a$ telles que le quadrilatère $FJLK$ soit un carré.
   $\quad$

 

 

Exercice A

Partie A

1. Si le test du mélange est négatif alors on n’a fait qu’un seul test et $X_n$ prend la valeur $1$.
   Si le test est positif alors on teste tous les individus. On a donc fait $1+n$ tests au total et $X$ prend la valeur $n+1$.
   $\quad$
2. Si l’événement $\left[X_n=1\right]$  est réalisé alors aucun individu n’est positif. La probabilité qu’un individu ne soit pas malade est égale à $0,95$.
   Par conséquent, la probabilité que tous les individus ne soient pas malade est $0,95^n$.
   Donc $P\left(X_n=n+1\right)=1-0,95^n$.
   On obtient le tableau suivant :
   $$\begin{array}{|c|c|c|}
   \hline
   x_i&1&n+1\\
   \hline
   P\left(X_n=x_i\right)&0,95^n&1-0,95^n\\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$
3. L’espérance de $X_n$ indique le nombre moyen qu’on va réaliser.
   $\begin{align*}
   E\left(X_n\right)&=1\times 0,95^n+(n+1)\times \left(1-0,95^n\right)\\
   &=0,95^n +n+1 -(n+1)\times 0,95^n \\
   &=n+1-n\times 0,95^n\end{align*}$
   $\quad$

Partie B

1. La fonction $f$ est dérivable sur $[20;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   Pour tout réel $x\pg 20$, $f'(x)=\dfrac{1}{x}+\ln(0,95)$
   $\begin{align*} f(x)<0 &\ssi \dfrac{1}{x} < -\ln(0,95)\\
   &\ssi x>-\dfrac{1}{\ln(0,95)}\end{align*}$
   Or $-\dfrac{1}{\ln(0,95)} \approx 19,5<20$
   Donc $f'(x)<0$ sur $[20;+\infty[$.
   $f$ est strictement décroissante sur $[20;+\infty[$.
   $\quad$
2. Pour tout réel $x$ on a $f(x)=x\left(\dfrac{\ln(x)}{x}+\ln(0,95)\right)$
   Or, par croissance comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}+\ln(0,95)=\ln(0,95)<0$
   Ainsi, $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$.
   $\quad$
3. La fonction $f$ est strictement décroissante et continue (car dérivable) sur $[20;+\infty[$.
   De plus $f(20) \approx 1,97>0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$.
   D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $[20;+\infty[$.
   D’après la calculatrice, $87<\alpha \approx< 87,1$.
   $\quad$
4. La fonction $f$ est strictement décroissante sur $[20;+\infty[$ et s’annule en $\alpha$.
   Par conséquent :
   $\bullet f(x)>0$ sur $[20;\alpha[$;
   $\bullet f(\alpha)=0$;
   $\bullet f(x)<0$ sur $]\alpha;+\infty[$.
   $\quad$

Partie C

$\begin{align*} E\left(X_n\right)<n &\ssi n+1-n\times 0,95^n < n\\
&\ssi -n\times 0,95^n <-1 \\
&\ssi 0,95^n > \dfrac{1}{n} \\
&\ssi n\ln(0,95) > \ln\left(\dfrac{1}{n}\right) \\
&\ssi n\ln(0,95)> -\ln(n) \\
&\ssi n\ln(0,95)+\ln(n)>0\\
&\ssi f(n)>0\end{align*}$

D’après la partie B, cela signifie que $n<\alpha$.
La première méthode diminue le nombre d’analysés pour des échantillons comportant au maximum $87$ personnes.
$\quad$

 

 

 

Exercice B

Partie A : : Détermination d’une fonction $\boldsymbol{f}$ et résolution d’une équation différentielle

1. Graphiquement $f(0)=3$ et $f'(0)=-2$.
   $\quad$
2. On a $f(0)=1+b$.
   Donc $1+b=3 \ssi b=2$.
   $\quad$
3. a. Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=\e^x+a-b\e^{-x}$.
   Soit $f'(x)=\e^x+a-2\e^{-x}$
   $\quad$
   b. Par conséquent $f'(0)=1+a-2=a-1$.
   $\quad$
   c. $f'(0)=-2 \ssi a-1=-2 \ssi a=-1$.
   Par conséquent, pour tout réel $x$, $f(x)=\e^x-x+2\e{-x}$.
   $\quad$
4. a. La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonction dérivables sur $\R$.
   Pour tout réel $x$ on a
   $\begin{align*}
   g'(x)+g(x)&=\left(e^x-1-2\e^{-x}\right)+\left(\e^x-x+2\e^{-x}\right)\\
   &=2e^x-1-x\end{align*}$
   La fonction $g$ est donc solution de l’équation $(E)$.
   $\quad$
   b. $y’+y=0 \ssi y’=-y$
   Les solutions de cette équation sont les fonctions $h$ définies sur $\R$ par $h(x)=K\e^{-x}$ où $K\in \R$.
   $\quad$
   c. Soit $j$ une solution de l’équation $(E)$.
   Ainsi $j-g$ est solution de l’équation différentielle homogène $y’-y=0$.
   Par conséquent, pour tout réel $x$ on a $j(x)-g(x)=K\e^{-x}$.
   Soit $j(x)=\e^x-x+(2+K)\e^{-x}$
   Les solutions de l’équation $(E)$ sont les fonctions $j$ définies sur $\R$ par $j(x)=\e^x-x+(2+K)\e^{-x}$ où $K\in \R$.
   $\quad$

Partie B : Étude de la fonction $\boldsymbol{g}$ sur $\boldsymbol{[1;+\infty[}$

1. Pour tout réel $x$ on a
   $\begin{align*} \left(\e^x-2\right)\left(\e^x+1\right) &=\e^{2x}+\e^x-2\e^x-2 \\
   &=\e^{2x}-\e^x-2\end{align*}$
   $\quad$
2. Pour tout réel $x$ on a
   $\begin{align*}
   g'(x)&=\e^x-2\e^{-x} \\
   &=\e^{-x}\left(\e^{2x}-2\e^x-2\right) \\
   &=\e^{-x}\left(\e^x-2\right)\left(\e^x+1\right)\end{align*}$
   $\quad$
3. Pour tout réel $x$ on a $\e^x>0$ donc $e^x+1>0$.
   Par conséquent $g'(x)>0$ sur $[1;+\infty[$.
   La fonction $g$ est donc strictement croissante sur $[1;+\infty[$.
   $\quad$

 

Exercice 1     5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des cinq questions, quatre réponses sont proposées ; une seule de ces réponses est exacte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte sans justifier le choix effectué.

Barème : une bonne réponse rapporte un point. Une réponse inexacte ou une absence de réponse n’apporte ni n’enlève aucun point.

Question 1 :

On considère la fonction $g$ définie sur $]0;+\infty[$ par $g(x)=x^2+2x-\dfrac{3}{x}$.
Une équation de la tangente à la courbe représentative de $g$ au point d’abscisse $1$ est :

a. $y=7(x-1)$
b. $y=x-1$
c. $y=7x+7$
d. $y=x+1$
$\quad$

Question 2 :

On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie sur $\N$ par $v_n=\dfrac{3n}{n+2}$. On cherche à déterminer la limite de $v_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

a. $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=1$
b. $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=3$
c. $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=\dfrac{3}{2}$
d. On ne peut pas la déterminer
$\quad$

Question 3 :

Dans une urne il y a $6$ boules noires et $4$ boules rouges. On effectue successivement $10$ tirages aléatoires avec remise. Quelle est la probabilité (à $10^{-4}$ près) d’avoir $4$ boules noires et $6$ boules rouges ?

a. $0,166~2$
b. $0,4$
c. $0,111~5$
d. $0,888~6$
$\quad$

Question 4 :

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=3\e^x-x$.

a. $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=3$
b. $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$
c. $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$
d. On ne peut pas déterminer la limite de la fonction $f$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
$\quad$

Question 5 :

Un code inconnu est constitué de $8$ signes. Chaque signe peut être une lettre ou un chiffre. Il y a donc $36$ signes utilisables pour chacune des positions.
Un logiciel de cassage de code teste environ cent millions de codes par seconde.
En combien de temps au maximum le logiciel peut-il découvrir le code ?

a. environ $0,3$ seconde
b. environ $8$ heures
c. environ $3$ heures
d. environ $470$ heures
$\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Au 1$\ier$ janvier 2020, la centrale solaire de Big Sun possédait $10~560$ panneaux solaires. On observe, chaque année, que $2 \%$ des panneaux se sont détériorés et nécessitent d’être retirés tandis que $250$ nouveaux panneaux solaires sont installés.

Partie A – Modélisation à l’aide d’une suite

On modélise l’évolution du nombre de panneaux solaires par la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 10~560$ et, pour tout entier naturel $n$, $u{n+1}= 0,98u_n + 250$, où $u_n$ est le nombre de panneaux solaires au 1er janvier de l’année 2020 $+ n$.

1. a. Expliquer en quoi cette modélisation correspond à la situation étudiée.
   $\quad$
   b. On souhaite savoir au bout de combien d’années le nombre de panneaux solaires sera strictement supérieur à $12~000$. À l’aide de la calculatrice, donner la réponse à ce problème.
   $\quad$
   c. Recopier et compléter le programme en Python ci-dessous de sorte que la valeur cherchée à la question précédente soit stockée dans la variable $\text{n}$ à l’issue de l’exécution de ce dernier.
   $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   \text{u = 10560} \\
   \text{n = 0} \\
   \textbf{while } \text{……….} \\
   \quad \text{u = ……….}\\
   \quad \text{n = ……….}\\
   \hline
   \end{array}$$
2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n < 12~500$.
   $\quad$
3. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
   $\quad$
4. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge. Il n’est pas demandé, ici, de calculer sa limite.
   $\quad$
5. On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n=u_n-12~500$, pour tout entier naturel $n$.
   a. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,98$ dont in précisera le premier terme.
   $\quad$
   b. Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $v_n$ en fonction de $n$.
   $\quad$
   c. En déduire, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ en fonction de $n$.
   $\quad$
   d. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Interpréter ce résultat dans le contexte du modèle.
   $\quad$

Partie B – Modélisation à l’aide d’une fonction

Une modélisation plus précise a permis d’estimer le nombre de panneaux solaires de la centrale à l’aide de la fonction $f$ définie pour tout $x \in [0 ; +\infty[$ par $f(x) = 12~500-500\e^{-0,02x+1,4}$, où $x$ représente le nombre d’années écoulées depuis le 1$\ier$ janvier 2020.

1. Étudier le sens de variation de la fonction $f$.
   $\quad$
2. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
   $\quad$
3. En utilisant ce modèle, déterminer au bout de combien d’années le nombre de panneaux solaires dépassera $12~000$.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

$ABCDEFGH$ est un cube. $I$ est le centre de la face $ADHE$ et $J$ est un point du segment $[CG]$. Il existe donc $a \in [0 ; 1] $tel que $\vect{CJ}=a\vect{CG}$.

On note $(d)$ la droite passant par $I$ et parallèle à $(FJ)$.

On note $K$ et $L$ les points d’intersection de la droite $(d)$ et des droites $(AE)$ et $(DH)$.

On se place dans le repère $\left(A;\vect{AB};\vect{AD};\vect{AE}\right)$.

Partie A : Dans cette partie $a=\dfrac{2}{3}$

 

 

1. Donner les coordonnées des points $F$, $I$ et $J$.
   $\quad$
2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$.
   $\quad$
3. a. Montrer que le point de coordonnées $\left(0;0;\dfrac{2}{3}\right)$ est le point $K$.
   $\quad$
   b. Déterminer les coordonnées du point $L$, intersection des droites $(d)$ et $(DH)$.
   $\quad$
4. a. Démontrer que le quadrilatère $FJLK$ est un parallélogramme.
   $\quad$
   b. Démontrer que le quadrilatère $FJLK$ est un losange.
   $\quad$
   c. Le quadrilatère $FJLK$ est-il un carré?
   $\quad$

Partie B : Cas général

On admet que les coordonnées des points $K$ et $L$ sont : $K\left(0; 0; 1-\dfrac{a}{2}\right)$ et $L\left(0; 1; \dfrac{a}{2}\right)$.
On rappelle que $a \in [0 ; 1]$.

1. Déterminer les coordonnées de $J$ en fonction de $a$.
   $\quad$
2. Montrer que le quadrilatère $FJLK$ est un parallélogramme.
   $\quad$
3. Existe-t-il des valeurs de $a$ telles que le quadrilatère $FJLK$ soit un losange ? Justifier.
   $\quad$
4. Existe-t-il des valeurs de $a$ telles que le quadrilatère $FJLK$ soit un carré ? Justifier.
   $\quad$

$\quad$

Exercice au choix du candidat     5 points

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B.

Exercice A

Fonction $\boldsymbol{\ln}$

Partie A

Dans un pays, une maladie touche la population avec une probabilité de $0,05$. On possède un test de dépistage de cette maladie.
On considère un échantillon de $n$ personnes $(n \pg 20)$ prises au hasard dans la population assimilé à un tirage avec remise.

On teste l’échantillon suivant cette méthode : on mélange le sang de ces $n$ individus, on teste le mélange. Si le test est positif, on effectue une analyse individuelle de chaque personne.
Soit $X_n$ la variable aléatoire qui donne le nombre d’analyses effectuées.

1.  Montrer $X_n$ prend les valeurs $1$ et $(n + 1)$.
   $\quad$
2. Prouver que $P\left(X_n = 1\right) = 0,95^n$.
   Établir la loi de $X_n$ en recopiant sur la copie et en complétant le tableau suivant :
   $$\begin{array}{|c|c|c|}
   \hline
   x_i&1&n+1\\
   \hline
   P\left(X_n=x_i\right)&\phantom{123456}&\phantom{123456}\\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$
3.  Que représente l’espérance de $X_n$ dans le cadre de l’expérience ?
   Montrer que $E\left(X_ n\right) = n + 1-n \times 0,95^n$.
   $\quad$

Partie B

1. On considère la fonction $f$ définie sur $[20;+\infty[$ par $f(x)=\ln(x)+x\ln(0,95)$.
   Montrer que $f$ est décroissante sur $[20;+\infty[$.
   $\quad$
2. On rappelle que $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$. Montrer que $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$.
   $\quad$
3. Montrer que $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[20;+\infty[$.
   Donner un encadrement à $0,1$ près de cette solution.
   $\quad$
4. En déduire le signe de $f$ sur $[20;+\infty[$.
   $\quad$

Partie C

On cherche à comparer deux types de dépistages. La première méthode est décrite dans la partie A, la seconde, plus classique, consiste à tester tous les individus.
La première méthode permet de diminuer le nombre d’analyses dès que $E\left(X_n\right) < n$.

En utilisant la partie B, montrer que la première méthode diminue le nombre d’analyses pour des échantillons comportant $87$ personnes maximum.
$\quad$

$\quad$

Exercice B

Équation différentielle

Partie A : Détermination d’une fonction $\boldsymbol{f}$ et résolution d’une équation différentielle

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $$f(x)=\e^x+ax+b\e^{-x}$$
où $a$ et $b$ sont des nombres réels que l’on propose de déterminer dans cette partie.

Dans le plan muni d’un repère d’origine $O$, on a représenté ci-dessous la courbe $\mathcal{C}$, représentant la fonction $f$, et la tangente $(T)$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $0$.

1.  Par lecture graphique, donner les valeurs de $f(0)$ et de $f'(0)$.
   $\quad$
2. En utilisant l’expression de la fonction $f$, exprimer $f(0)$ en fonction de $b$ et en déduire la valeur de $b$.
   $\quad$
3. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
   a. Donner, pour tout réel $x$, l’expression de $f'(x)$.
   $\quad$
   b. Exprimer $f'(0)$ en fonction de $a$.
   $\quad$
   c. En utilisant les questions précédentes, déterminera, puis en déduire l’expression de $f(x)$.
   $\quad$
4. On considère l’équation différentielle : $$(E) : y’ + y = 2\e^x-x-1$$
   a. Vérifier que la fonction $g$ définie sur $\R$ par : $$g(x) = \e^x-x+2\e^{-x}$$
   est solution de l’équation $(E)$.
   $\quad$
   b. Résoudre l’équation différentielle $y’ + y = 0$.
   $\quad$
   c. En déduire toutes les solutions de l’équation $(E)$.
   $\quad$

Partie B : Étude de la fonction $\boldsymbol{g}$ sur $\boldsymbol{[1 ; +oo[}$

1. Vérifier que pour tout réel $x$, on a $$\e^{2x}-\e^x-2=\left(\e^x-2\right)\left(\e^x+1\right)$$
   $\quad$
2. En déduire une epression factorisée de $g'(x)$, pour tout réel $x$.
   $\quad$
3. On admettra que, pour tout $x\in [1;+\infty[$, $\e^x-2>0$.
   Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur $[1 ; +\infty[$.
   $\quad$

$\quad$