Exercice 1

1. On considère la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=(x-1)\e^x$.
   Elle est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
   Pour tout réel $x$ on a :
   $\begin{align*} F'(x)&=1\times \e^x+(x-1)\e^x \\
   &=(1+x-1)\e^x \\
   &=x\e^x \\
   &=f(x)\end{align*}$
   Réponse B
   $\quad$
2. $f$ est convexe sur $[5;+\infty[$ donc $f\dsec(x)\pg 0$ sur cet intervalle.
   Il semblerait que $f(x)\pg 0$ sur cet intervalle également.
   Réponse D
   $\quad$
3. $g(0)=2\ssi \dfrac{a}{b+1}=2$
   $\lim\limits_{t\to +\infty} \e^{-t}=0$ donc $\lim\limits_{t\to +\infty} g(t)=\dfrac{a}{b}$. Par conséquent $\dfrac{a}{b}=3$.
   On résout donc le système :
   $\begin{align*}\begin{cases} \dfrac{a}{b+1}=2\\[2mm] \dfrac{a}{b}=3 \end{cases} &\ssi \begin{cases} a=2b+2\\a=3b\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} a=3b\\3b=2b+2\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} b=2\\a=6\end{cases}\end{align*}$
   Réponse D
   $\quad$
4. On appelle $A$ l’événement “choisir l’urne A”, $B$ l’événement “choisir l’urne B” et $V$ l’événement “obtenir une boule verte”
   $(A,B)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales :
   $\begin{align*} p(V)&=p(A\cap V)+p(B\cap V) \\
   &=p(A)p_A(V)+p(B)p_B(V) \\
   &=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\times \dfrac{3}{4} \\
   &=\dfrac{5}{8}\end{align*}$
   On veut calculer :
   $\begin{align*} p_V(B)&=\dfrac{p(V\cap B)}{p(V)} \\
   &=\dfrac{p(B)p_B(V)}{p(V)} \\
   &=\dfrac{\dfrac{1}{2}\times \dfrac{3}{4}}{\dfrac{5}{8}} \\
   &=\dfrac{3}{5}\end{align*}$
   Réponse C
   $\quad$
5. Dans le script A, on calcule tous les termes de la somme mais on ne les ajoute pas.
   Dans le script C, la boucle while s’arrête si la somme est supérieure à $100$ ce qui ne correspond pas à ce qu’on veut calculer.
   Dans le script D, la boucle while est infinie puisque $k$ ne change pas de valeur.
   Réponse B
   $\quad$

 

Exercice 2

Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire

1. $\lim\limits_{x\to -1,5^+} 2x+3=0^+$ et $\lim\limits_{X\to 0^+} \ln(X)=-\infty$ donc $\lim\limits_{x\to -1,5^+} f(x)=-\infty$.
   Par conséquent $\lim\limits_{x\to -1,5^+} f(x)-x=-\infty$.
   Donc $\lim\limits_{x\to -1,5^+} g(x)=-\infty$.
   $\quad$
2. La fonction $g$ est dérivable sur $]-1,5;+\infty[$ en tant que somme et composée de fonctions dérivables.
   Pour tout $x>-1,5$
   $\begin{align*} g'(x)&=\dfrac{2}{2x+3}-1 \\
   &=\dfrac{2-2x-3}{2x+3} \\
   &=\dfrac{-2x-1}{2x+3}\\
   &=-\dfrac{2x+1}{2x+3}\end{align*}$.
   Sur $]-1,5;+\infty[$ on a $2x+3>0$.
   $g'(x)$ est donc du signe de $-(2x+1)$.
   Or $2x+1=0 \ssi 2x=-1 \ssi x=-\dfrac{1}{2}$ et $2x+1>0\ssi 2x>-1\ssi x>-\dfrac{1}{2}$.
   La fonction $g$ est donc strictement croissante sur $]-1,5;-0,5]$ et strictement décroissante sur $[-0,5;+\infty[$.
   $\quad$
3. a. La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $]-0,5;+\infty[$.
   $g(-0,5)=\ln(2)-0,5\approx 0,19>0$.
   $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=-\infty$.
   D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]-0,5;+\infty[$.
   $\quad$
   b. D’après la calculatrice $\alpha \approx 0,256$ donc $0,25\pp \alpha \pp 0,26$.
   $\quad$

Partie B : Étude de la suite $\boldsymbol{\left(u_n\right)}$

1. $g(\alpha)=0 \ssi f(\alpha)-\alpha=0\ssi f(\alpha)=\alpha$.
   $f(-1)=-1$.
   La fonction $f$ est strictement croissante sur $]-1,5;+\infty[$.
   Or $[-1;\alpha] \subset ]-1,5;+\infty[$.
   Donc, pour tout $x\in [-1;\alpha]$, $f(x)\in \left[f(-1);f(\alpha)\right]$ soit $f(x)\in [-1;\alpha]$.
   $\quad$
2. a. Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~-1 \pp u_n \pp u_{n+1} \pp \alpha$.
   Initialisation : $u_0=0$, $u_1=f(0)=\ln(3)-1\approx 0,1$.
   Par conséquent $0 \pp u_0 \pp u_1 \pp \alpha$ puisque $\alpha \approx 0,256$.
   La propriété est vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
   $-1\pp u_n \pp u_{n+1} \pp \alpha$.
   La fonction $f$ est strictement croissante sur $]-1,5;+\infty[$.
   Donc $f\left(u_n\right) \pp f\left(u_{n+1}\right)$ soit $u_{n+1} \pp u_{n+2}$.
   De plus d’après la question B.1, pour tout $x\in [-1;\alpha]$, $f(x)\in [-1;\alpha]$.
   Par conséquent, pour tout $u_{n+1}$ et $u_{n+2}$ appartiennent à $[-1;\alpha]$.
   Ainsi $-1 \pp u_{n+1} \pp u_{n+2} \pp \alpha$ et $P(n+1)$ est vraie.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire. Donc, pour tout entier naturel $n$ on a $-1\pp u_n\pp u_{n+1} \pp \alpha$.
   $\quad$
   b. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $\alpha$. Elle converge donc.
   $\quad$

Exercice 3

1. a. On a $H(0;2;2)$, $M(3,0,1)$ et $N(3,1,1)$.
   $\quad$
   b. $\vect{HM}\begin{pmatrix} 3\\-2\\-1\end{pmatrix}$
   Une représentation paramétrique de la droite $(HM)$ est donc $\begin{cases} x=3t\\y=2-2t\\z=2-t\end{cases} \quad \forall t\in \R$.
   $\quad$
2. Les abscisses des points $B$, $C$ et $F$ sont toutes égales à $2$.
   Une équation du plan $(BCF)$ est donc $x=2$.
   On appelle $P’$ le point de coordonnées $\left(2;\dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3}\right)$.
   L’abscisse de $P’$ est $2$ donc $P’$ appartient donc à $(BCF)$.
   Prenons $t=\dfrac{2}{3}$ dans la représentation paramétrique de $(HM)$.
   On obtient $x=2$, $y=2-\dfrac{4}{3}=\dfrac{2}{3}$ et $z=2-\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{3}$. Donc $P’$ appartient à $(HM)$.
   La droite $(HM)$ n’est pas incluse dans le plan $(BCF)$ puisque $H$ n’appartient pas à $(BCF)$.
   Ainsi le point d’intersection de $(HM)$ et de $(BCF)$ est $P’$ de coordonnées $\left(2;\dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3}\right)$.
   $\quad$
3. a. $\vect{PM}\begin{pmatrix}1\\-\dfrac{2}{3}\\[2mm]-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$ et $\vect{PN}\begin{pmatrix}1\\\dfrac{1}{3}\\[2mm]-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$
   Par conséquent
   $\begin{align*} \vect{PM}.\vect{PN}&=1-\dfrac{2}{9}+\dfrac{1}{9} \\
   &=\dfrac{8}{9}\end{align*}$
   $\quad$
   b.
   $\begin{align*} PM&=\sqrt{1^2+\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2} \\
   &=\sqrt{1+\dfrac{4}{9}+\dfrac{1}{9}} \\
   &=\sqrt{\dfrac{14}{9}}\\
   &=\dfrac{\sqrt{14}}{3}\end{align*}$
   $\quad$
   c. D’une part $ \vect{PM}.\vect{PN}=\dfrac{8}{9}$
   D’autre part $ \vect{PM}.\vect{PN}=PM\times PN\times \cos\left(\widehat{MPN}\right)$.
   Par conséquent
   $\cos\left(\widehat{MPN}\right)=\dfrac{\dfrac{8}{9}}{PM\times PN}$
   soit $\cos\left(\widehat{MPN}\right)=\dfrac{\dfrac{8}{9}}{\dfrac{\sqrt{14}}{3}\times \dfrac{\sqrt{11}}{3}}$
   Ainsi $\widehat{MPN} \approx 49,86$°$<55$°.
   Le toît pourra être construit.
   $\quad$
4. $E(0;0;2)$ donc $\vect{EN}\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}$.
   Méthode 1 : 
   Une représentation paramétrique de la droite $(EN)$ est $\begin{cases} x=3k\\y=k\\z=2-k\end{cases} \forall k\in \R$.
   Résolvons le système :
   $\begin{align*} \begin{cases} x=3k\\y=k\\z=2-k\\x=3t\\y=2-2t\\z=2-t\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=3k\\y=k\\z=2-k\\k=t\\2-2t=k\\2-t=2-k\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} x=3k\\y=k\\z=2-k\\k=t\\2-2t=t\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} x=3k\\y=k\\z=2-k\\k=t\\3t=2\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} t=k=\dfrac{2}{3}\\x=2\\y=\dfrac{2}{3}\\z=\dfrac{4}{3}\end{cases}\end{align*}$.
   Les droites $(HM)$ et $(EN)$ sont donc sécantes en $P$.
   $\quad$
   Méthode 2 :
   $E$ et $M$ ont la même ordonnée ce qui n’est pas le cas de $M$ et $H$. Ainsi $E$, $H$ et $M$ ne sont pas alignés.
   Les droites $(HM)$ et $(EN)$ sont donc soit sécantes soit non coplanaires.
   $\vect{EN}\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}$ et $\vect{PN}\begin{pmatrix}1\\\dfrac{1}{3}\\[2mm]-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$.
   Donc $\vect{EN}=-3\vect{PN}$.
   Ces deux vecteurs sont colinéaires. Par conséquent $E$, $P$ et $N$ sont alignés.
   Par construction, $P$ appartient à $(HM)$.
   Ainsi $(HM)$ et $(EN)$ sont sécantes en $P$.
   $\quad$

Exercice 4

On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de candidats se qualifiant lors de la première phase.
On répète de manière indépendante $4$ fois la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,6$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètre $n=4$ et $p=0,6$.
$\begin{align*}
P(X\pg 2)&=1-P(X\pp 1) \\
&=1-P(X=0)-P(X=1) \\
&=1-0,4^4-\dbinom{4}{1}0,6^1\times 0,4^3\\
&\approx 0,821\end{align*}$.
Par conséquent $P(X\pg 2) \pg 0,8$ : la première condition est vérifiée.

La durée moyenne est égale à
$\begin{align*} d_m&=5P(X=2)+9P(X=3)+11P(X=4)
&\approx 6,3\\
&>6\end{align*}$
La condition 2 n’est pas vérifiée.

Le jeu ne pourra pas être retenu.

$\quad$

Exercice 1 (QCM)       5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la proposition choisie. Aucune justification n’est demandée.

Pour chaque question, une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.

1. Question1:
   Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x\e^x$. Une primitive $F$ sur $\R$ de la fonction $f$ est définie par :
   A. $F(x)=\dfrac{x^2}{2}\e^x$
   B. $F(x)=(x-1)\e^x$
   C. $F(x)=(x+1)\e^x$
   D. $F(x)=\dfrac{1}{2}x\e^{x^2}$
   $\quad$
2. La courbe $C$ ci-dessous représente une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $]0; +\infty[$.
   On sait que :
   $\bullet$ le maximum de la fonction $f$ est atteint au point d’abscisse $3$ ;
   $\bullet$ le point $P$ d’abscisse $5$ est l’unique point d’inflexion de la courbe $C$.
   $\quad$
   
   $\quad$
   A. pour tout $x\in ]0;5[$, $f(x)$ et $f'(x)$ sont de même signe ;
   B. pour tout $x\in ]5;+\infty[$, $f(x)$ et $f'(x)$ sont de même signe ;
   C. pour tout $x\in ]0;5[$, $f'(x)$ et $f\dsec(x)$ sont de même signe ;
   D. pour tout $x\in ]5;+\infty[$, $f(x)$ et $f\dsec(x)$ sont de même signe .
   $\quad$
3. Question 3 :
   On considère la fonction $g$ définie sur $[0; +\infty[$ par $g(t)=\dfrac{a}{b+\e^{-t}}$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.
   On sait que $g(0) = 2$ et $\lim\limits_{t\to +\infty} g(t)=3$. Les valeurs de $a$ et $b$ sont :
   A. $a=2$ et $b=3$
   B. $a=4$ et $b=\dfrac{1}{3}$
   C. $a=4$ et $b=1$
   D. $a=6$ et $b=2$
   $\quad$
4. Question 4 :
   Alice dispose de deux urnes A et B contenant chacune quatre boules indiscernables au toucher. L’urne A contient deux boules vertes et deux boules rouges. L’urne B contient trois boules vertes et une boule rouge.
   Alice choisit au hasard une urne puis une boule dans cette urne. Elle obtient une boule verte. La probabilité qu’elle ait choisi l’urne B est :
   A. $\dfrac{3}{8}$
   B. $\dfrac{1}{2}$
   C. $\dfrac{3}{5}$
   D. $\dfrac{5}{8}$
   $\quad$
5. Question 5 :
   On pose $S = 1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\ldots+\dfrac{1}{100}$.
   Parmi les scripts Python ci-dessous, celui qui permet de calculer la somme $S$ est :
   $$\begin{array}{lll}
   \begin{array}{l}
   \textbf{a.}\\
   \texttt{def somme_a() :}\\
   \hspace{0.8cm}\texttt{S = 0}\\
   \hspace{0.8cm}\texttt{for k in range(100) :}\\
   \hspace{1.6cm}\texttt{S=1/(k+1)}\\
   \hspace{0.8cm}\texttt{return S}\end{array}
   &\phantom{1234}
   &\begin{array}{l}
   \textbf{b.}\\
   \texttt{def somme_b() :}\\
   \hspace{0.8cm}\texttt{S = 0}\\
   \hspace{0.8cm}\texttt{for k in range(100) :}\\
   \hspace{1.6cm}\texttt{S = S + 1/(k + 1)}\\
   \hspace{0.8cm}\texttt{return S}\end{array} \\\\
   \begin{array}{l}
   \textbf{c.}\\
   \texttt{def somme_c() :}\\
   \hspace{0.8cm}\texttt{k = 0}\\
   \hspace{0.8cm}\texttt{while S < 100}\\
   \hspace{1.6cm}\texttt{S=S + 1/(k+1)}\\
   \hspace{0.8cm}\texttt{return S}\end{array}
   &\phantom{1234}
   &\begin{array}{l}
   \textbf{d.}\\
   \texttt{def somme_d() :}\\
   \hspace{0.8cm}\texttt{k = 0}\\
   \hspace{0.8cm}\texttt{while k < 100}\\
   \hspace{1.6cm}\texttt{S = S + 1/(k + 1)}\\
   \hspace{0.8cm}\texttt{return S}\end{array} \\
   \end{array}$$
   $\quad$

$\quad$

Exercice 2       6 points

On considère la fonction $f$ définie sur $]-1,5;+\infty[$ par $f(x)=\ln(2x+3)-1$.

Le but de cet exercice est d’étudier la convergence de la suite $\left(u_n\right)$ définie par $$u_0=0 \text{ et } u_{n+1}=f\left(u_n\right) \text{ pour tout entier naturel $n$.}$$

Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire

On considère la fonction $g$ définie sur $]-1,5;+\infty[$ par $g(x)=f(x)-x$.

1. Déterminer la limite de la fonction $g$ en $-1,5$.
   $\quad$

On admet que la limite de la fonction $g$ en $+\infty$ est $-\infty$.

2. Étudier les variations de la fonction $g$ sur $]-1,5 ; +∞[$.
   $\quad$
3. a. Démontrer que, dans l’intervalle $]-0,5 ; +\infty[$, l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$.
   $\quad$
   b. Déterminer un encadrement de $\alpha$ d’amplitude $10^{-2}$.
   $\quad$

Partie B : Étude de la suite $\boldsymbol{\left(u_n\right)}$

On admet que la fonction $f$ est strictement croissante sur $]-1,5 ; +\infty[$.

1. Soit $x$ un nombre réel. Montrer que si $x\in [-1; \alpha]$ alors $f(x)\in [-1;\alpha]$.
   $\quad$
2. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ :
   $$-1\pp u_n \pp u_{n+1} \pp \alpha$$
   $\quad$
   b. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3       6 points

La figure ci-dessous correspond à la maquette d’un projet architectural.
Il s’agit d’une maison de forme cubique $(ABCDEFGH)$ accolée à un garage de forme cubique $(BIJKLMNO)$ où $L$ est le milieu du segment $[BF]$ et $K$ est le milieu du segment $[BC]$.
Le garage est surmonté d’un toit de forme pyramidale $(LMNOP)$ de base carrée $LMNO$ et de sommet $P$ positionné sur la façade de la maison.

On munit l’espace du repère orthonormé $\left(A;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$ avec $\vec{i}=\dfrac{1}{2}\vect{AB}$, $\vec{j}=\dfrac{1}{2}\vect{AD}$ et $\vec{k}=\dfrac{1}{2}\vect{AE}$.

1. a. Par lecture graphique, donner les coordonnées des points $H$, $M$ et $N$.
   $\quad$
   b. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(HM)$.
   $\quad$
2. L’architecte place le point $P$ à l’intersection de la droite $(HM)$ et du plan $(BCF)$.
   Montrer que les coordonnées de $P$ sont $\left(2;\dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3}\right)$.
   $\quad$
3. a. Calculer le produit scalaire $\vect{PM}.\vect{PN}$.
   $\quad$
   b. Calculer la distance $PM$.
   $\quad$
   On admet que la distance $PN$ est égale à $\dfrac{\sqrt{11}}{3}$
   $\quad$
   c. Pour satisfaire à des contraintes techniques, le toit ne peut être construit que si l’angle $\widehat{MPN}$ ne dépasse pas $55$°. Le toit pourra-t-il être construit ?
   $\quad$
4. Justifier que les droites $(HM)$ et $(EN)$ sont sécantes. Quel est leur point d’intersection ?
   $\quad$

$\quad$

Exercice 4       3 points

Une société de production s’interroge sur l’opportunité de programmer un jeu télévisé. Ce jeu réunit quatre candidats et se déroule en deux phases.

La première phase est une phase de qualification. Cette phase ne dépend que du hasard.
Pour chaque candidat, la probabilité de se qualifier est $0,6$ .

La deuxième phase est une compétition entre les candidats qualifiés. Elle n’a lieu que si deux candidats au moins sont qualifiés. Sa durée dépend du nombre de candidats qualifiés comme l’indique le tableau ci-dessous (lorsqu’il n’y a pas de deuxième phase, on considère que sa durée est nulle).

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
\begin{array}{l}\text{Nombre de}\\
\text{candidats qualifiés}\\
\text{pour la deuxième}\\
\text{phase}\end{array}&\phantom{123}0\phantom{123}&\phantom{123}1\phantom{123}&\phantom{123}2\phantom{123}&\phantom{123}3\phantom{123}&\phantom{123}4\phantom{123}\\
\hline
\begin{array}{l}\text{Durée de la}\\
\text{deuxième phase en}\\
\text{minutes}\end{array}&0&0&5&9&11\\
\hline
\end{array}$$

Pour que la société décide de retenir ce jeu, il faut que les deux conditions suivantes soient vérifiées :

Condition n°1 : La deuxième phase doit avoir lieu dans au moins $80\%$ des cas.

Condition n°2 : La durée moyenne de la deuxième phase ne doit pas excéder $6$ minutes.

$\quad$

Le jeu peut-il être retenu ?

$\quad$

$\quad$