Exercice 1

1. a. Parmi les $5$ jetons, seuls $1$, $3$ et $5$ sont impairs.
   Donc $P_B(G)=\dfrac{3}{5}$.
   $\quad$
   b. On obtient l’arbre pondéré suivant :
   $\quad$
   $\quad$
2. a. $P(B)=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}$.
   $(B,~R)$ forme un système complet d’événements fini.
   D’après la formule des probabilités totales :
   $\begin{align*} P(G)&=P(G\cap B)+P(G\cap R)\\
   &=P(B)\times P_B(G)+P(R)\times P_R(G)\\
   &=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{3}{5}+\dfrac{2}{3}\times 0,3 \\
   &=0,4\end{align*}$
   $\quad$
   b. On veut calculer
   $\begin{align*} P_G(B)&=\dfrac{P(G\cap B)}{P(G)} \\
   &=\dfrac{\dfrac{1}{3}\times \dfrac{3}{5}}{0,4}\\
   &=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
   La probabilité que le joueur ait obtenu une case blanche en lançant la roue sachant qu’il a gagner la partie est égale à $\dfrac{1}{2}$.
   $\quad$
3. $P(G)=0,4$ et $P_B(G)=0,6$ donc $P(G)\neq P_B(G)$
   Les événements $B$ et $G$ ne sont pas indépendants.
   $\quad$
4. a. On effectue de façon indépendante $10$ expériences de Bernoulli identiques.
   $X$ est égale au nombre de parties gagnées.
   $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,4$.
   $\quad$
   b. On veut calculer
   $\begin{align*} P(X=3)&=\dbinom{10}{3}0,4^3\times 0,6^7 \\
   &\approx 0,215\end{align*}$
   La probabilité que le joueur gagne exactement trois parties sur les dix parties jouées est environ égale à $0,215$.
   $\quad$
   c. On a
   $\begin{align*} P(X\pg 4)&=1-P(X<4) \\
   &=1-P(X\pp 3) \\
   &\approx 0,618\end{align*}$
   La probabilité de remporter au moins $4$ parties sur les $10$ jouées est environ égale à $0,618$.
   $\quad$
5. a. On effectue de façon indépendante $n$ expériences de Bernoulli identiques.
   On appelle $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées.
   $Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,4$.
   $\begin{align*} p_n&=P(Y\pg 1) \\
   &=1-P(Y=0) \\
   &=1-0,6^n \end{align*}$
   $\quad$
   b. $\quad$
   $\begin{align*} p_n\pg 0,99&\ssi 1-0,6^n \pg 0,99 \\
   &\ssi -0,6^n \pg -0,01 \\
   &\ssi 0,6^n \pp 0,01 \\
   &\ssi n\ln(0,6) \pp \ln(0,01) \\
   &\ssi n \pg \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,6)} \qquad \text{car } \ln(0,6)<0\end{align*}$
   Or $\dfrac{\ln(0,1)}{\ln(0,6)}\approx 9,02$
   Le plus petit entier naturel $n$ pour lequel la probabilité de gagner au moins une partie est supérieur ou égale à $0,99$ est donc $10$.
   $\quad$

 

Exercice 2

Partie A : modèle discret de la quantité médicamenteuse

1. $\quad$
   $\begin{align*} u_1&=\left(1-\dfrac{1}{10}\right)\times u_0+0,25 \\
   &=0,9\times 1+0,25\\
   &=1,15\end{align*}$
   Au bout d’une demi-heure il y avait donc $1,15$ mg de médicament dans le sang.
   $\quad$
2. Toutes les $30$ minutes l’organisme élimine $10\%$ de la quantité de médicament présente dans le sang. Il reste donc $90\%$ de la quantité de médicament soit $0,9u_n$.
   Il reçoit une dose supplémentaire de $0,25$ mg de la substance médicamenteuse.
   Donc $u_{n+1}=0,9u_n+0,25$.
   $\quad$
3. a. Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~u_n\pp u_{n+1} <5$.
   Initialisation : $u_0=1$ et $u_1=1,15$ donc $u_0\pp u_1<5$ et $P(0)$ est vraie.
   $\quad$
   Hérédité : Soit $n$ un entier naturel. On suppose $P(n)$ vraie.
   $\begin{align*} u_n\pp u_{n+1} <5 &\ssi 0,9u_n\pp 0,9u_{n+1} < 4,5 \\
   &\ssi 0,9u_n+0,25\pp 0,9u_{n+1}+0,25<4,75\end{align*}$
   Donc $u_{n+1}\pp u_{n+2} <4,75<5$ et $P(n+1)$ est vraie.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $u_n \pp u_{n+1} <5$.
   $\quad$
   b. La suite $\left(u_n\right)$ est  croissante et majorée par $5$. Par conséquent elle converge vers un réel $\ell$.
   $\quad$
4. a. On obtient le script suivant :
   $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   \text{def efficace():}\\
   \quad \text{u = 1}\\
   \quad \text{n = 0}\\
   \quad \text{while u < 1.8:}\\
   \qquad \text{u = 0.9 * u + 0.25}\\
   \qquad \text{n = n + 1}\\
   \quad \text{return n}\\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$
   b. On a $u_7 \approx 1,78$ et $u_8\approx 1,85$.
   Par conséquent le script renvoie la valeur $8$.
   C’est donc au bout de $4$ heures que le médicament est réellement efficace.
   $\quad$
5. a. Soit $n\in \N$. $v_n=2,5-u_n$ donc $u_n=2,5-v_n$.
   $\begin{align*} v_{n+1}&=2,5-u_{n+1} \\
   &=2,5-0,9u_n-0,25 \\
   &=-0,9u_n+2,25 \\
   &=-0,9\left(2,5-v_n\right)+2,25 \\
   &=0,9v_n-2,25+2,25 \\
   &=0,9v_n\end{align*}$
   La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,9$ et de premier terme $v_0=1,5$.
   $\quad$
   b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=1,5\times 0,9^n$.
   Par conséquent :
   $\begin{align*} u_n&=2,5-v_n\\
   &=2,5-1,5\times 0,9^n\end{align*}$
   $\quad$
   c. Pour tout entier naturel $n$ on a $1,5\times 0,9^n>0$ donc $u_n<2,5<3$.
   Le traitement de présente donc aucun risque pour le patient.
   $\quad$

Partie B : modèle continu de la quantité médicamenteuse

1. $f(3,75)\approx 1,791<1,8$.
   Le médicament n’est donc pas réellement efficace au bout de $3$ h $45$ min.
   $\quad$
2. $\quad$
   $\begin{align*} f(t)\pg 1,8 &\ssi 2,5-1,5\e^{-0,2t}\pg 1,8 \\
   &\ssi -1,5\e^{-0,2t}\pg -0,7 \\
   &\ssi \e^{-0,2t}\pp \dfrac{7}{15} \\
   &\ssi -0,2t\pp \ln\left(\dfrac{7}{15}\right) \\
   &\ssi t\pg -5\ln\left(\dfrac{7}{15}\right) \end{align*}$
   Le médicament est donc efficace au bout d’environ $3,810~7$ heures soit environ $3$ h $49$ min.
   $\quad$
3. Selon le modèle de la partie A, le médicament était réellement efficace au bout de $4$ heures.
   Le modèle continu est donc réellement efficace plus rapidement.
   $\quad$

 

Exercice 3

1. On obtient la figure suivante :
   $\quad$
2. On a $\vect{RP}\begin{pmatrix}-1\\0\\-2\end{pmatrix}$ et $\vect{RQ}\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}$
   Donc
   $\begin{align*} RP&=\sqrt{(-1)^2+0^2+(-2)^2} \\
   &=\sqrt{5}\end{align*}$
   et
   $\begin{align*} RQ&=\sqrt{(-1)^2+2^2+0^2} \\
   &=\sqrt{5}\end{align*}$
   Donc $RP=RQ$.
   Le triangle $RPQ$ est bien isocèle en $R$.
   $\quad$
3. Les vecteurs $\vect{RP}$ et $\vect{RQ}$ ne sont clairement pas colinéaires (le coefficient $0$ ne se trouve à la même coordonnée). Les points $P$, $R$ et $Q$ définissent donc un plan.
   $\quad$
4. a. D’une part
   $\begin{align*} \vec{u}.\vect{PR}&=2\times (-1)+1\times 0+(-1)\times (-2) \\
   &=-2+0+2 \\
   &=0\end{align*}$
   D’autre part
   $\begin{align*} \vec{u}.\vect{PQ}&=2\times (-1)+1\times 2+(-1)\times 0 \\
   &=-2+2+0 \\
   &=0\end{align*}$
   Le vecteur $\vec{u}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(PQR)$.
   $\vec{u}$ est par conséquent un vecteur normal au plan $(PQR)$.
   $\quad$
   b. Ainsi une équation cartésienne du plan $(PQR)$ est de la forme $2x+y-z+d=0$.
   Or $P(0;0;1)$ appartient au plan $(PQR)$.
   Par conséquent $0+0-1+d=0\ssi d=1$.
   Une équation cartésienne du plan $(PQR)$ est $2x+y-z+1=0$.
   $\quad$
   c. Le vecteur $\vec{u}$ est un vecteur directeur de la droite $(d)$.
   Une représentation paramétrique de la droite $(d)$ est donc : $$\begin{cases} x=2t\\y=t\\z=3-t\end{cases} \qquad t\in \R$$
   $\quad$
   d. En prenant $t=\dfrac{1}{3}$ dans la représentation paramétrique de la droite $(d)$ on obtient le point de coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{8}{3}\right)$.
   $2\times \dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{8}{3}+1=-\dfrac{3}{3}+1=0$ : le point de coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{8}{3}\right)$ appartient donc au plan $(PQR)$.
   Le point $L\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{8}{3}\right)$ est par conséquent le projeté orthogonal du point $E$ sur le plan $(PQR)$.
   $\quad$
   e. On a $\vect{EL}\begin{pmatrix} \dfrac{2}{3}\\[3pt]\dfrac{1}{3}\\[3pt]-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$
   Par conséquent :
   $\begin{align*} EL&=\sqrt{\left(\dfrac{2}{3}\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2} \\
   &=\sqrt{\dfrac{6}{9}} \\
   &=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\end{align*}$
   La distance du point $E$ au plan $(PQR)$ est donc égale à $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$.
   $\quad$
5. Le triangle $EQR$ est, par construction, rectangle en $E$. Son aire est donc
   $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{EQ\times ER}{2} \\
   &=\dfrac{2\times 1}{2} \\
   &=1\end{align*}$
   Ainsi, le volume du tétraèdre $EPQR$ est
   $\begin{align*} \mathscr{V}&=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}\times EP \\
   &=\dfrac{1}{3}\times 1\times 2 \\
   &=\dfrac{2}{3}\end{align*}$$\quad$
6. On a également $\mathscr{V}=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}_{PQR}\times EL$ où $\mathscr{A}_{PQR}$ est l’aire du triangle $PQR$
   Ainsi
   $\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}_{PQR}\times \dfrac{\sqrt{6}}{3} \ssi \mathscr{A}_{PQR}=\dfrac{6}{\sqrt{6}}$
   Ainsi l’aire du triangle $PQR$ est égale à $\sqrt{6}$ unités d’aire.
   $\quad$

 

 

Exercice 4

Partie A

1. Graphiquement $f(1)=3$ et $f'(1)$ est le coefficient directeur de la droite $(AB)$. Par conséquent $f'(1)=1$.
   $\quad$
2. a. D’après l’énoncé, la fonction $f$ est dérivable sur $\R$.
   Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=\dfrac{2ax}{ax^2+1}$.
   $\quad$
   b. $f(1)=3\ssi \ln(a+1)+b=3$.
   $f'(1)=1 \ssi \dfrac{2a}{a+1}=1$
   On résout donc le système
   $\begin{align*} \begin{cases} \ln(a+1)+b=3\\\dfrac{2a}{a+1}=1\end{cases} &\ssi \begin{cases} 2a=a+1 \\b=3-\ln(a+1)\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} a=1\\b=3-\ln(2)\end{cases}\end{align*}$
   Par conséquent, pour tout réel $x$ on a $f(x)=\ln\left(x^2+1\right)+3-\ln(2)$.
   $\quad$

Partie B

1. Pour tout réel $x$ on a
   $\begin{align*} f(-x)&=\ln\left((-x)^2+1\right)+3-\ln(2) \\
   &=\ln\left(x^2+1\right)+3-\ln(2) \\
   &=f(x)\end{align*}$
   Par conséquent $f$ est paire.
   $\quad$
2. $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2+1=+\infty$ et $\lim\limits_{X\to +\infty} \ln(X)=+\infty$ par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln\left(x^2+1\right)=+\infty$
   Ainsi, $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$ et par parité $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=+\infty$.
   $\quad$
3. D’après la question A.2. on a, pour tout réel $x$, $f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}$.
   Pour tout réel $x$, on a $x^2+1>0$.
   Donc $f'(x)$ est du signe de $2x$.
   Par conséquent :
   $\bullet~~f'(x)<0$ sur $]-\infty;0[$;
   $\bullet~~f'(0)=0$;
   $\bullet~~f'(x)>0$ sur $]0;\infty[$.On obtient donc le tableau de variations suivant :
   $\quad$
4. D’après le tableau de variations, l’équation $f(x)=k$ admet deux solutions si, et seulement si, $k>3-\ln(2)$.
   Remarque : Pour le montrer rigoureusement, il faut utiliser le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires).
   $\quad$
5. $\quad$
   $\begin{align*} f(x)=3+\ln(2)&\ssi \ln\left(x^2+1\right)+3-\ln(2)=3+\ln(2) \\
   &\ssi \ln\left(x^2+1\right)=2\ln(2)\\
   &\ssi \ln\left(x^2+1\right)=\ln(4) \\
   &\ssi x^2+1=4 \qquad \text{car la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$}\\
   &\ssi x^2=3 \\
   &\ssi x=\sqrt{3} \text{ ou } x=-\sqrt{3}\end{align*}$
   L’équation $f(x)=3+\ln(2)$ admet donc deux solutions $-\sqrt{3}$ et $\sqrt{3}$.
   $\quad$

Partie C

1. Graphiquement $\mathscr{C}_f$ semble avoir deux points d’inflexion d’abscisse $-1$ et $1$.
   $\quad$
2. Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}$.
   La fonction $f’$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme et quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
   Pour tout réel $x$ on a
   $\begin{align*} f\dsec(x)&=2\times \dfrac{x^2+1-x\times 2x}{\left(x^2+1\right)^2} \\
   &=\dfrac{2\left(1-x^2\right)}{\left(x^2+1\right)^2}\end{align*}$
   $\quad$
3. Ainsi $f\dsec(x)\pg 0 \ssi 1-x^2\pg 0 \ssi x\in [-1;1]$.
   Le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe est donc $[-1;1]$.
   $\quad$

 

 

Exercice 1     7 points

Principaux domaines abordés : Probabilités conditionnelles et indépendance. Variables aléatoires

Lors d’une kermesse, un organisateur de jeux dispose, d’une part, d’une roue comportant quatre cases blanches et huit cases rouges et, d’autre part, d’un sac contenant cinq jetons portant les numéros $1$, $2$, $3$,  $4$ et $5$.
Le jeu consiste à faire tourner la roue, chaque case ayant la même probabilité d’être obtenue, puis à extraire un ou deux jetons du sac selon la règle suivante :

•  si la case obtenue par la roue est blanche, alors le joueur extrait un jeton du sac;
• si la case obtenue par la roue est rouge, alors le joueur extrait successivement et sans remise deux jetons du sac.

Le joueur gagne si le ou les jetons tirés portent tous un numéro impair.

1. Un joueur fait une partie et on note $B$ l’évènement « la case obtenue est blanche », $R$ l’évènement « la case obtenue est rouge » et $G$ l’évènement « le joueur gagne la partie ».
   a. Donner la valeur de la probabilité conditionnelle $P_B (G)$.
   $\quad$
   b. On admettra que la probabilité de tirer successivement et sans remise deux jetons impairs est égale à $0,3$.
   Recopier et compléter l’arbre de probabilité suivant :
   $\quad$
   
   $\quad$
2. a. Montrer que $P(G) = 0,4$.
   $\quad$
   b. Un joueur gagne la partie.
   Quelle est la probabilité qu’il ait obtenu une case blanche en lançant la roue ?
   $\quad$
3. Les évènements $B$ et $G$ sont-ils indépendants ? Justifier.
   $\quad$
4. Un même joueur fait dix parties. Les jetons tirés sont remis dans le sac après chaque partie.
   On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées.
   a. Expliquer pourquoi $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
   $\quad$
   b. Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$ près, que le joueur gagne exactement trois parties sur les dix parties jouées.
   $\quad$
   c. Calculer $P(X \pg 4)$ arrondie à $10^{-3}$ près.
   Donner une interprétation du résultat obtenu.
   $\quad$
5. Un joueur fait $n$ parties et on note $p_n$ la probabilité de l’évènement « le joueur gagne au moins une partie ».
   a. Montrer que $p_n = 1-0,6n$.
   $\quad$
   b. Déterminer la plus petite valeur de l’entier n pour laquelle la probabilité de gagner au moins une partie est supérieure ou égale à $0,99$.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 2     7 points

Principaux domaines abordés : Suites numériques. Algorithmique et programmation.

Un médicament est administré à un patient par voie intraveineuse.

Partie A : modèle discret de la quantité médicamenteuse

Après une première injection de $1$ mg de médicament, le patient est placé sous perfusion.
On estime que, toutes les $30$ minutes, l’organisme du patient élimine $10 \%$ de la quantité de médicament présente dans le sang et qu’il reçoit une dose supplémentaire de $0,25$ mg de la substance médicamenteuse.
On étudie l’évolution de la quantité de médicament dans le sang avec le modèle suivant : pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la quantité, en mg, de médicament dans le sang du patient au bout de $n$ périodes de trente minutes. On a donc $u_0 = 1$.

1. Calculer la quantité de médicament dans le sang au bout d’une demi-heure.
   $\quad$
2. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,9u_n +0,25$.
   $\quad$
3. a. Montrer par récurrence sur $n$ que, pour tout entier naturel $n$, $u_n \pp u_{n+1} < 5$.
   $\quad$
   b. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
   $\quad$
4. On estime que le médicament est réellement efficace lorsque sa quantité dans le sang du patient est supérieure ou égale à $1,8$ mg.
   a. Recopier et compléter le script écrit en langage Python suivant de manière à déterminer au bout de combien de périodes de trente minutes le médicament commence à être réellement efficace.
   $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   \text{def efficace():}\\
   \quad\text{u = 1}\\
   \quad\text{n = 0}\\
   \quad\text{while ……:}\\
   \qquad\text{u = ……}\\
   \qquad\text{n = n + 1}\\
   \quad\text{return n}\\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$
   b. Quelle est la valeur renvoyée par ce script ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
   $\quad$
5. Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = 2,5-u_n$.
   a. Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_0$.
   $\quad$
   b. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 2,5-1,5×0,9^n$.
   $\quad$
   c. Le médicament devient toxique lorsque sa quantité présente dans le sang du patient dépasse $3$ mg.
   D’après le modèle choisi, le traitement présente-t-il un risque pour le patient ?
   Justifier.
   $\quad$

Partie B : modèle continu de la quantité médicamenteuse

Après une injection initiale de $1$ mg de médicament, le patient est placé sous perfusion.
Le débit de la substance médicamenteuse administrée au patient est de $0,5$ mg par heure.
La quantité de médicament dans le sang du patient, en fonction du temps, est modélisée par la fonction $f$ , définie sur $[0 ; +\infty[$, par $$f (t) = 2,5-1,5\e^{-0,2t}$$
où $t$ désigne la durée de la perfusion exprimée en heure.
On rappelle que ce médicament est réellement efficace lorsque sa quantité dans le sang du patient est supérieure ou égale à $1,8$ mg.

1. Le médicament est-il réellement efficace au bout de $3$ h $45$ min ?
   $\quad$
2. Selon ce modèle, déterminer au bout de combien de temps le médicament devient réellement efficace.
   $\quad$
3. Comparer le résultat obtenu avec celui obtenu à la question 4. b. du modèle discret de la Partie A.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3     7 points

Principaux domaines abordés : Manipulation des vecteurs, des droites et des plans de l’espace. Orthogonalité et distances dans l’espace. Représentations paramétriques et équations cartésiennes.

Le solide $ABCDEFGH$ est un cube. On se place dans le repère orthonormé $\left(A,\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$ de l’espace dans lequel les coordonnées des points $B$, $D$ et $E$ sont : $$B(3 ; 0 ; 0),~D(0 ; 3 ; 0) \text{ et } E(0 ; 0 ; 3)$$

 

On considère les points $P(0; 0; 1)$, $Q(0; 2; 3)$ et $R(1; 0; 3)$.

1. Placer les points $P$, $Q$ et $R$ sur la figure en ANNEXE qui sera à rendre avec la copie.
   $\quad$
2. Montrer que le triangle $PQR$ est isocèle en $R$.
   $\quad$
3. Justifier que les points $P$, $Q$ et $R$ définissent un plan.
   $\quad$
4. On s’intéresse à présent à la distance entre le point $E$ et le plan $(PQR)$.
   a. Montrer que le vecteur $\vec{u} (2 ; 1 ; -1)$ est normal au plan $(PQR)$.
   $\quad$
   b. En déduire une équation cartésienne du plan $(PQR)$.
   $\quad$
   c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$ passant par le point $E$ et orthogonale au plan $(PQR)$.
   $\quad$
   d. Montrer que le point $L\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{8}{3}\right)$ est le projeté orthogonal du point $E$ sur le plan $(PQR)$.
   $\quad$
   e. Déterminer la distance entre le point $E$ et le plan $(PQR)$.
   $\quad$
5. En choisissant le triangle $EQR$ comme base, montrer que le volume du tétraèdre $EPQR$ est $\dfrac{2}{3}$.
   On rappelle que le volume $V$ d’un tétraèdre est donné par la formule : $$V =\dfrac{1}{3}\times \text{aire d’une base}\times \text{hauteur correspondante}$$
   $\quad$
6. Trouver, à l’aide des deux questions précédentes, l’aire du triangle $PQR$.
   $\quad$

ANNEXE

$\quad$

$\quad$

Exercice 4     7 points

Principaux domaines abordés : Étude de fonctions. Fonction logarithme.

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$. On considère les points $A(1; 3)$ et $B(3; 5)$.
On donne ci-dessous $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal du plan, ainsi que la tangente $(AB)$ à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point $A$.

Les trois parties de l’exercice peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A

1. Déterminer graphiquement les valeurs de $f(1)$ et $f'(1)$.
   $\quad$
2. La fonction $f$ est définie par l’expression $f (x) = \ln\left(ax^2+1\right)+b$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels positifs.
   a. Déterminer l’expression de $f'(x)$.
   $\quad$
   b. Déterminer les valeurs de $a$ et $b$ à l’aide des résultats précédents.
   $\quad$

Partie B

On admet que la fonction $f$ est définie sur $\R$ par $$f(x) = \ln\left(x^2+1\right)+3-\ln(2)$$

1. Montrer que $f$ est une fonction paire.
   $\quad$
2. Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
   $\quad$
3. Déterminer l’expression de $f'(x)$.
   Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$.
   Dresser le tableau des variations de $f$ en y faisant figurer la valeur exacte du minimum ainsi que les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$.
   $\quad$
4. À l’aide du tableau des variations de $f$ , donner les valeurs du réel $k$ pour lesquelles l’équation $f (x) = k$ admet deux solutions.
   $\quad$
5. Résoudre l’équation $f (x) = 3+\ln 2$.
   $\quad$

Partie C
On rappelle que la fonction $f$ est définie sur $\R$ par $f(x) = \ln\left(x^2+1\right)+3-\ln(2)$.

1. Conjecturer, par lecture graphique, les abscisses des éventuels points d’inflexion de la courbe $\mathscr{C}_f$.
   $\quad$
2. Montrer que, pour tout nombre réel $x$, on a : $f\dsec(x)=\dfrac{2\left(1-x^2\right)}{\left(x^2+1\right)^2}$.
   $\quad$
3. En déduire le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe.
   $\quad$

$\quad$