E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les cinq questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Lors d’une même expérience aléatoire, deux événements $A$ et $B$ vérifient : $$P(A)=0,4 \quad;\quad P(B)=0,6\quad;\quad P\left(A\cap \conj{B}\right)=0,3$$
Alors :

a. $P(A\cap B)=0,1$
b. $P(A\cap B)=0,24$
c. $P(A\cup B)=1$
d. $P(A\cup B)=0,7$

$\quad$

Correction Question 1

$B$ et $\conj{B}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} &P(A)=P(A\cap B)+P\left(A\cap \conj{B}\right) \\
\ssi~&0,4=P(A\cap B)+0,3\\
\ssi~&P(A\cap B)=0,1\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 2

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^2-3x+4$ . L’abscisse du minimum de $f$ est :

a. $-\dfrac{3}{2}$
b. $\dfrac{2}{3}$
c. $\dfrac{3}{2}$
d. $1$

$\quad$

Correction Question 2

$f$ est une fonction du second degré dont le coefficient principal est $a=1>0$.
La fonction possède donc un minimum dont l’abscisse est :
$\begin{align*} \alpha&=-\dfrac{b}{2a} \\
&=-\dfrac{-3}{2} \\
&=\dfrac{3}{2}\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Soit $\left(u_n\right)$ une suite arithmétique telle que $u_5=26$ et $u_9=8$. La raison de $\left(u_n\right)$ vaut :

a. $-18$
b. $\dfrac{8}{26}$
c. $4,5$
d. $-4,5$

$\quad$

Correction Question 3

$\left(u_n\right)$ est une suite arithmétique de raison $r$.
On a donc
$\begin{align*} u_9=u_5+4r&\ssi 8=26+4r\\
&\ssi -18=4r\\
&\ssi r=-4,5\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 4

On considère l’algorithme suivant, écrit en langage usuel :
$$\begin{array}{l}
\text{Suite(N)}\\
\hspace{1cm} \text{A}\leftarrow 10\\
\hspace{1cm} \text{Pour k de 1 à N}\\
\hspace{2cm} \text{A}\leftarrow \text{2*A-4}\\
\hspace{1cm} \text{Fin Pour}\\
\hspace{1cm} \text{Renvoyer A}\end{array}$$
Pour la valeur $N=4$ le résultat affiché sera :

a. $4$
b. $100$
c. $52$
d. $196$

$\quad$

Correction Question 4

Voici les différentes valeurs prises par les variables $\text{A}$ et $\text{k}$.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{k}&&1&2&3&4\\
\hline
\text{A}&10&16&28&52&100\\
\hline
\end{array}$$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 5

On considère un rectangle $ABCD$ tel que $AB=3$ et $AD=2$.

Alors le produit scalaire $\vect{AC}.\vect{DB}$ vaut :

a. $0$
b. $5$
c. $6$
d. $-6$

$\quad$

Correction Question 5

$\begin{align*} \vect{AC}.\vect{DB}&=\left(\vect{AB}+\vect{BC}\right).\left(\vect{DA}+\vect{AB}\right) \\
&=\vect{AB}.\vect{DA}+\vect{AB}.\vect{AB}+\vect{BC}.\vect{DA}+\vect{BC}.\vect{AB} \\
&=0+AB^2-BC^2+0 \qquad (*)\\
&=9-4\\
&=5\end{align*}$

$(*)$ car $\vect{BC}$ et $\vect{DA}$ sont colinéaires de sens contraire.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Un industriel souhaite fabriquer une boîte sans couvercle à partir d’une plaque de métal de $18$ cm de largeur et de $24$ cm de longueur. Pour cela, il enlève des carrés dont la longueur du côté mesure $x$ cm aux quatre coins de la pièce de métal et relève ensuite verticalement pour fermer les côtés.

Le volume de la boîte ainsi obtenue est une fonction définie sur l’intervalle $[0 ; 9]$ notée $\mathcal{V}(x)$.

Justifier que pour tout réel $x$ appartenant à $[0 ; 9]$ : $\mathcal{V}(x) =4x^3-84x^2+432x$.
$\quad$
On note $\mathcal{V}’$ la fonction dérivée de $\mathcal{V}$ sur $[0 ; 9]$. Donner l’expression de $\mathcal{V}'(x)$ en
fonction de $x$.
$\quad$
Dresser alors le tableau de variations de $\mathcal{V}$ en détaillant la démarche.
$\quad$
Pour quelle(s) valeur(s) de $x$ la contenance de la boîte est-elle maximale ?
$\quad$
L’industriel peut-il construire ainsi une boîte dont la contenance est supérieure ou égale à $650$ cm$^3$ ? Justifier.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Le volume de la boîte est :
$\begin{align*} \mathcal{V}&=x (24-2x)(18-2x) \\
&=\left(24x-2x^2\right)(18-2x)\\
&=432x-48x^2-36x^2+4x^3\\
&=4x^3-84x^2+432x\end{align*}$
$\quad$
La fonction $\mathcal{V}$ est dérivable sur $[0;9]$ en tant que fonction polynôme.
Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;9]$ on a
$\begin{align*}\mathcal{V}'(x)&=4\times 3x^2-84\times 2x+432\\
&=12x^2-168x+432\end{align*}$
$\quad$
Étudions le signe de $12x^2-168x+432$.
$\begin{align*}\Delta&=(-168)^2-4\times 12\times 432 \\
&=7~488\\
&>0\end{align*}$
Les racines de ce polynôme du second degré sont :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{168-\sqrt{7~488}}{24} \\
&=7-\sqrt{13}\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{168+\sqrt{7~488}}{24} \\
&=7+\sqrt{13}\end{align*}$
$x_1\in[0;9]$ et $x_2\notin[0;9]$
Remarque : On pouvait également factoriser $12x^2-168x+432=12\left(x^2-14x+36\right)$ pour obtenir un discriminant plus simple à manipuler.
$\quad$
Le coefficient principal est $a=12>0$.
On obtient donc le tableau de variations suivant :

Où $\mathcal{V}\left(7-\sqrt{13}\right)\approx 654,98$.
$\quad$
D’après le tableau de variation la fonction $\mathcal{V}$ atteint son maximum pour $x=7-\sqrt{13}$.
La contenance de la boîte est donc maximale pour $x=7-\sqrt{13}$.
$\quad$
$\mathcal{V}\left(7-\sqrt{13}\right)\approx 654,98>650$.
L’industriel peut donc construire une boîte dont la contenance est supérieure ou égale à $650$ cm$^3$.
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Une angine peut être provoquée soit par une bactérie (angine bactérienne) soit par un virus (angine virale). On admet qu’un malade ne peut pas être à la fois porteur du virus et de la bactérie. L’angine est bactérienne dans $20\%$ des cas.
Pour déterminer si une angine est bactérienne, on dispose d’un test. Le résultat du test peut être positif ou négatif. Le test est conçu pour être positif lorsque l’angine est bactérienne mais il présente des risques d’erreur :

si l’angine est bactérienne, le test est négatif dans $30\%$ des cas
si l’angine est virale, le test est positif dans $10\%$ des cas

On choisit au hasard un malade atteint d’angine. On note :

$B$ l’événement : « l’angine est bactérienne » ;
$T$ l’événement : « le test effectué sur le malade est positif »

Si besoin, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près.

Représenter la situation par un arbre pondéré.
$\quad$
Quelle est la probabilité que l’angine soit bactérienne et que le test soit positif ?
$\quad$
Montrer que la probabilité que le test soit positif est $0,22$.
$\quad$
Un malade est choisi au hasard parmi ceux dont le test est positif. Quelle est la probabilité pour que son angine soit bactérienne ?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} p(B\cap T)&=p(B)\times p_B(T) \\
&=0,2\times 0,7 \\
&=0,14\end{align*}$
La probabilité que l’angine soit bactérienne et que le test soit positif est égale à $0,14$.
$\quad$
$B$ et $\conj{B}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*}p(T)&=p(B\cap T)+p\left(\conj{B}\cap T\right) \\
&=0,2\times 0,7+0,8\times 0,1\\
&=0,22\end{align*}$
La probabilité que le test soit positif est égale à $0,22$.
$\quad$
On veut calculer
$\begin{align*} p_T(B)&=\dfrac{p(T\cap B)}{p(T)} \\
&=\dfrac{0,14}{0,22}\\
&=\dfrac{7}{11}\\
&\approx 0,636\end{align*}$
$\quad$

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$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Un service de vidéos à la demande réfléchit au lancement d’une nouvelle série mise en ligne chaque semaine et qui aurait comme sujet le quotidien de jeunes gens favorisés.

Le nombre de visionnages estimé la première semaine est de $120~ 000$. Ce nombre augmenterait ensuite de $2\%$ chaque semaine.

Les dirigeants souhaiteraient obtenir au moins $400~000$ visionnages par semaine.

On modélise cette situation par une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente le nombre de visionnages $n$ semaines après le début de la diffusion. On a donc $u_0 = 120~000$.

Calculer le nombre $u_1$ de visionnages une semaine après le début de la diffusion.
$\quad$
Justifier que pour tout entier naturel $n$ : $u_n=120~000\times 1,02^n$
$\quad$
À partir de combien de semaines le nombre de visionnages hebdomadaire sera-t-il supérieur à $150~000$ ?
$\quad$
Voici un algorithme écrit en langage Python :
$$\begin{array}{l}
\textcolor{blue}{\text{def }} \textcolor{BlueGreen}{\text{seuil}}\textcolor{Mahogany}{\text{():}}\\
\hspace{1cm}\text{u}\textcolor{Mahogany}{\text{=}}\textcolor{BlueGreen}{\text{120000}}\\
\hspace{1cm}\text{n}\textcolor{Mahogany}{\text{=}}\textcolor{BlueGreen}{\text{0}}\\
\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{while }} \text{u}\textcolor{Mahogany}{\text{<}}\textcolor{BlueGreen}{\text{400000}}\\
\hspace{2cm}\text{n}\textcolor{Mahogany}{\text{=}}\text{n}\textcolor{Mahogany}{\text{+}}\textcolor{BlueGreen}{\text{1}}\\
\hspace{2cm}\text{u}\textcolor{Mahogany}{\text{=}}\textcolor{BlueGreen}{\text{1.02}}\textcolor{Mahogany}{\text{*}}\text{u}\\
\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return }} \text{n}
\end{array}$$
Déterminer la valeur affichée par cet algorithme et interpréter le résultat précédent dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
On pose pour tout entier naturel $n$ : $S_n=u_0+\ldots+u_n$. Montrer que l’on a :
$$S_n=6~000~000\times \left(1,02^{n+1}-1\right)$$
Puis en déduire le nombre total de visionnages au bout de $52$ semaines (arrondir à l’unité).
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a :
$\begin{align*} u_1&=\left(1+\dfrac{2}{100}\right)\times u_0\\
&=1,02\times 120~000\\
&=122~400\end{align*}$
Il y a eu $122~400$ visionnages une semaine après le début de la diffusion.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=1,02u_n$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,02$ et de premier terme $u_0=120~000$.
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=120~000\times 1,02^n$.
$\quad$
Voici les premières valeurs, arrondies à $10^{-2}$, prises par la suite $\left(u_n\right)$
$$\begin{array}{|c|c|}
\hline
n& u_n\\
\hline
0 &120~000\\
\hline
1 &122~400\\
\hline
2 &124~848\\
\hline
3 &127~344,96\\
\hline
4 &129~891,86\\
\hline
5 &132~489,70\\
\hline
6 &135~139,49\\
\hline
7 &137~842,28\\
\hline
8 &140~599,13\\
\hline
9 &143~411,11\\
\hline
10 &146~279,33\\
\hline
11 &149~204,92\\
\hline
12 &152~189,02\\
\hline
\end{array}$$
Il s’est donc écoulé $12$ semaines après la première diffusion pour que le nombre de visionnages hebdomadaire soit supérieur à $150~000$.
C’est donc après $13$ semaines de diffusion que le nombre de visionnages hebdomadaire sera supérieur à $150~000$.
$\quad$
L’algorithme détermine le plus petit rang de la suite $\left(u_n\right)$ tel que $u_n\pg 400~000$.
On a $u_{60} \approx 393~732,70$ et $u_{61}\approx 401~598,17$
C’est donc à partir de la $61+1$ c’est-à-dire la $62\ieme$ semaine que le nombre de visionnages hebdomadaire sera supérieur à $400~000$.
$\quad$
On veut donc calculer $S_{51}$ on aura ainsi effectivement $1+51=52$ semaines de diffusion
Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} S_n&=u_0+u_1+\ldots+u_n\\
&=120~000\times \dfrac{1-1,02^{n+1}}{1-1,02}\\
&=120~000\times \dfrac{1-1,02^{n+1}}{-0,02}\\
&=6~000~000\left(1,102^{n+1}-1\right)\end{align*}$
On a
$\begin{align*} S_{51}&=6~000~000\left(1,02^{52}-1\right)\\
&\approx 10~801~969\end{align*}$
Le nombre total de visionnages au bout de $52$ semaines est environ égal à $10~801~969$.
$\quad$

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