E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des réponses proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

L’inéquation $-3(x-2)(x + 1) > 0$ admet pour ensemble des solutions :

a. $[-1;2]$
b. $]-\infty;-1[\cup[2;+\infty[$
c. $]-1;2[$
d. $]-\infty;-1[\cup]2;+\infty[$

$\quad$

Correction Question 1

On a $-3(x-2)(x+1)=-3x^2+3x+6$
Les racines de ce polynôme du second degré sont $2$ et $-1$ et le coefficient principal est $a=-3<0$.
Ainsi l’inéquation $-3(x-2)(x + 1) > 0$ admet pour ensemble des solutions est $]-1;2[$.

Réponse c

$\quad$

Remarque : On pouvait également chercher à exclure les propositions fausses :

$a<0$ : on exclut donc les réponses b et d
l’inéquation est stricte : on exclut la réponse a

il ne reste plus que la réponse c.

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Soit $x$ un nombre réel. Le réel $\cos(x+ 3\pi)$ est égal à :

a. $\cos(x)$
b. $-\cos(x)$
c. $\sin(x)$
d. $-\sin(x)$

$\quad$

Correction Question 2

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} \cos(x+3\pi) &=\cos(x+2\pi+\pi)\\
&=\cos(x+\pi)\\
&=-\cos(x)\end{align*}$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Dans un repère orthonormé, on considère la droite 𝑑 passant par le point $A(1; 2)$ et dont un vecteur normal est le vecteur $\vec{v}\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}$. Une équation de la droite $d$ est :

a. $2x+3y-8=0$
b. $x+2y+4=0$
c. $2x-3y-4=0$
d. $y=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{4}{3}$

$\quad$

Correction Question 3

Une équation de la droite $d$ est de la forme $2x-3y+c=0$.
Le point $A(1;2)$ appartient à la drite $d$.
Donc $2-6+c=0\ssi c=4$
Ainsi une équation de la droite $d$ est $2x-3y+4=0$, soit $3y=2x+4$ ou encore $y=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{4}{3}$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 4

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x^2}{x+1}$.
On note $C$ sa courbe représentative sur $[0; +\infty[$.
Le coefficient directeur de la tangente à $C$ au point d’abscisse $1$ est :

a. $\dfrac{1}{2}\phantom{\dfrac{1}{2_2}}$
b. $\dfrac{3}{4}\phantom{\dfrac{1^1}{2_2}}$
c. $\dfrac{3}{2}\phantom{\dfrac{1^1}{2_2}}$
d. $2$

$\quad$

Correction Question 4

La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $[0;+\infty[$.
Pour tout réel $x\pg 0$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2x\times (x+1)-x^2\times 1}{(x+1)^2} \\
&=\dfrac{2x^2+2x-x^2}{(x+1)^2}\\
&=\dfrac{x^2+2x}{(x+1)^2}\end{align*}$
Ainsi $f'(1)=\dfrac{3}{4}$
Le coefficient directeur de la tangente à $C$ au point d’abscisse $1$ est $\dfrac{3}{4}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 5

L’ensemble des points $M(x; y)$ dont les coordonnées vérifient l’équation $x^2-2x+y^2+4y=4$ est :

a. une droite
b. le cercle de centre $A(1;-2)$ et de rayon $3$
c. le cercle de centre $B(-1;2)$ et de rayon $9$
d. l’ensemble vide

$\quad$

Correction Question 5

$\begin{align*} &x^2-2x+y^2+4y=4 \\
\ssi~& x^2-2x+1-1+y^2+2\times 2y+4-4=4 \\
\ssi~& (x-1)^2+(y+2)^2=9\\
\ssi~& (x-1)^2+\left(y-(-2)\right)^2=3^2\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Un snack propose deux types de plats : des sandwichs et des pizzas.
Le snack propose également plusieurs desserts.
La gérante constate que 80% des clients qui achètent un plat choisissent un sandwich et que parmi ceux-ci seulement $30\%$ prennent également un dessert.
Elle constate aussi que $45 \%$ des clients qui ont choisi une pizza comme plat ne prennent pas de dessert.

On choisit au hasard un client ayant acheté un plat dans ce snack.
On considère les évènements suivants :

$S$ : « Le client interrogé a choisi un sandwich ».
$T$ : « Le client interrogé a choisi un dessert ».

Sans justifier, recopier puis compléter l’arbre pondéré suivant :

$\quad$
Calculer la probabilité que le client ait choisi un sandwich et un dessert.
$\quad$
Démontrer que $P(T)=0,35$.
$\quad$
Sachant que le client a acheté un dessert, quelle est la probabilité, arrondie à $0, 01$ près, qu’il ait acheté une pizza ?
$\quad$
Les événements $S$ et $T$ sont-ils indépendants ?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P(S\cap T)&=P(S)\times P_S(T)\\
&=0,8\times 0,3\\
&=0,24\end{align*}$
La probabilité que le client ait choisi un sandwich et un dessert est égale à $0,24$.
$\quad$
$S$ et $\conj{S}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(T)&=P(S\cap T)+P\left(\conj{S}\cap T\right) \\
&=0,24+0,2\times 0,55\\
&=0,35\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_{T}\left(\conj{S}\right)&=\dfrac{P\left(T\cap \conj{S}\right)}{P(T)}\\
&=\dfrac{0,2\times 0,55}{0,35}\\
&\approx 0,31\end{align*}$
$\quad$
On a $P(T)=0,35$ et $P_S(T)=0,3$.
Ces deux valeurs sont différentes. Par conséquent les événements $S$ et $T$ sont indépendants.
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Désirant participer à une course de $150$ km, un cycliste prévoit l’entraînement suivant :

parcourir $30$ km en première semaine ;
chaque semaine qui suit, augmenter la distance parcourue de $9\%$ par rapport à celle parcourue la semaine précédente.

On modélise la distance parcourue chaque semaine à l’entrainement par la suite $\left(d_n\right)$ où $d_n$ représente la distance en km parcourue pendant la $n$-ième semaine d’entraînement.
On a ainsi $d_1=30$.

Prouver que $d_3=35,643$.
$\quad$
Quelle est la nature de la suite $\left(d_n\right)$ ? Justifier.
$\quad$
En déduire l’expression de $d_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
On considère la fonction définie de la façon suivante en langage Python.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\textcolor{Emerald}{1}\hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{def }}\text{distance(k):}\\
\textcolor{Emerald}{2}\hspace{1cm}\text{d=}\textcolor{Green}{30}\\
\textcolor{Emerald}{3}\hspace{1cm}\text{n=}\textcolor{Green}{1}\\
\textcolor{Emerald}{4}\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{while }}\text{d<=k:}\\
\textcolor{Emerald}{5}\hspace{1.5cm}\text{d=d*}\textcolor{Green}{1.09}\\
\textcolor{Emerald}{6}\hspace{1.5cm}\text{n=n+}\textcolor{Green}{1}\\
\textcolor{Emerald}{7}\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{n}\\
\hline
\end{array}$$
Quelle information est obtenue par le calcul de $\text{distance(150)}$ ?
$\quad$
Calculer la distance totale parcourue par le cycliste pendant les $20$ premières semaines d’entraînement.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a :
$\begin{align*} d_2&=\left(1+\dfrac{9}{100}\right)d_1 \\
&=1,09\times 30\\
&=32,7\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} d_3&=\left(1+\dfrac{9}{100}\right)d_2 \\
&=1,09\times 32,7\\
&=35,643\end{align*}$
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ non nul on a :
$\begin{align*} d_{n+1}&=\left(1+\dfrac{9}{100}\right)d_n \\
&=1,09\times d_n\end{align*}$
La suite $\left(d_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,09$ et de premier terme $d_1=30$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ non nul on a donc $d_n=30\times 1,09^{n-1}$.
$\quad$
$\text{distance(150)}$ renvoie le nombre minimum de semaines nécessaires pour que le cycliste parcourt plus de $150$ km pendant une semaine d’entraînement.
$\quad$
On veut donc calculer :
$\begin{align*} S&=u_1+u_2+\ldots+u_{20} \\
&=30\times \dfrac{1-1,09^{20}}{1-1,09}\\
&\approx 1~534,804\end{align*}$
Le cycliste va parcourir environ $1~534,804$ km pendant les $20$ premières semaines d’entraînement.
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[0; 2]$ par $f(x)=8x-2x^3$.
a. Montrer que pour tout réel $x$ de $[0; 2]$, $f'(x)$ a le même signe que $4-3x^2$.
$\quad$
b. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $[0 ; 2]$.
$\quad$
Dans un repère orthonormal, on considère la parabole $p$ d’équation $y=x^2$ et la droite $\mathscr{D}$ d’équation $y=4$.
On considère le rectangle $MSFE$ tel que :
- $M$ un point de $p$ dont l’abscisse $x$ est un réel de $]0 ; 2[$.
- $S$ est le symétrique de $M$ par rapport à l’axe des ordonnées.
- $E$ et $F$ sont respectivement les projetés orthogonaux de $M$ et $S$ sur la droite $\mathscr{D}$.
  $\quad$
  a. Lorsque l’abscisse $x$ du point $M$ varie dans $]0 ; 2[$, l’aire du rectangle $MSFE$ est-elle constante ?
  $\quad$
  b. Montrer que l’aire du rectangle $MSFE$ en fonction de l’abscisse $x$ de $M$ est $8x-2x^3$.
  $\quad$
  c. Montrer que l’aire maximale du rectangle $MSFE$ est $\dfrac{32}{3\sqrt{3}}$.
  $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0;2]$ en tant que fonction polynôme.
Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;2]$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=8-2\times 3x^2 \\
&=8-6x^2\\
&=2\left(4-3x^2\right)\end{align*}$
Donc $f'(x)$ est du signe de $4-3x^2$.
$\quad$
b. $4-3x^2=0 \ssi 3x^2=4$ $\ssi x^2=\dfrac{4}{3}$ $\ssi x=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$ ou $x=-\dfrac{2}{\sqrt{3}}$.
$\begin{align*}4-3x^2>0 &\ssi -3x^2>-4\\
&\ssi x^2<\dfrac{4}{3} \\
&\ssi -\dfrac{2}{\sqrt{3}}<x<\dfrac{2}{\sqrt{3}}\end{align*}$
Par conséquent :
– $f'(x)>0$ sur $\left[0;\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right[$
– $f\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)=0$
– $f(x)<0$ sur $\left]\dfrac{2}{\sqrt{3}};2\right[$
Ainsi $f$ est croissante sur $\left[0;\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right]$ et décroissante sur $\left[\dfrac{2}{\sqrt{3}};2\right[$.
$\quad$
a. On a $MS=2x$ et $ME=4-x^2$
L’aire du rectangle $MSFE$ est donc :
$\begin{align*} \mathscr{A}&=MS\times ME \\
&=2x\left(4-x^2\right) \\
&=8x-2x^3\\
&=f(x)\end{align*}$
L’aire du rectangle $MSFE$ n’est donc pas constante.
$\quad$
b. voir question précédente
$\quad$
c. D’après la question 1.b. la fonction $f$ atteint son maximum pour $x=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$.
$\begin{align*} f\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)&=8\times \dfrac{2}{\sqrt{3}}-2\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^3\\
&=\dfrac{16}{\sqrt{3}}-\dfrac{16}{3\sqrt{3}} \\
&=\dfrac{32}{3\sqrt{3}}\end{align*}$
L’aire maximale du rectangle $MSFE$ est donc $\dfrac{32}{3\sqrt{3}}$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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