E3C – Séries technologiques – Automatismes – EC2

E3C – Automatismes

Séries technologiques

  1. Le nombre d’adhérents d’un club de sport est passé de 250 en 2018 à 210 en 2019.
    Déterminer le taux d’évolution du nombre d’adhérents entre 2018 et 2019.
    $\quad$
    Correction Question 1

    $\dfrac{210-250}{250}=\dfrac{-40}{250}=-\dfrac{4}{25}=-\dfrac{16}{100}$
    Le taux d’évolution du nombre d’adhérents est donc de $-16\%$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Développer $(x-3)(2x+5)$
    $\quad$
    Correction Question 2

    $\begin{align*} (x-3)(2x+5)&=2x^2+5x-6x-15\\
    &=2x^2-x-15\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

On considère la fonction affine $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=3x-6$.

  1. Calculer $g\left(\dfrac{2}{7}\right)$.
    $\quad$
    Correction Question 3

    $\begin{align*} g\left(\dfrac{2}{7}\right)&=3\times \dfrac{2}{7}-6\\
    &=\dfrac{6}{7}-\dfrac{42}{7}\\
    &=-\dfrac{36}{7}\end{align*}$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Déterminer l’antécédent de $2$ par la fonction $g$.
    $\quad$
    Correction Question 4

    On veut résoudre l’équation :
    $\begin{align*} 3x-6=2&\ssi 3x=8 \\
    &\ssi x=\dfrac{8}{3}\end{align*}$
    L’antécédent de $2$ par la fonction $g$ est $\dfrac{8}{3}$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Donner le tableau de signes de $g$ sur $\R$.
    $\quad$
    Correction Question 5

    $3x-6=0 \ssi 3x=6 \ssi x=2$ et $3x-6>0\ssi 3x>6\ssi x>2$
    On obtient le tableau de signes suivant :

    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

    $\quad$

On a tracé dans le repère ci-dessous une droite $D$ et $C_f$, la courbe représentative d’une fonction $f$ définie sur $[-1;6]$. Répondre aux
questions suivantes par lecture graphique :

  1. Donner le tableau de signes de la fonction 𝑓 sur l’intervalle $[-1;6]$.
    $\quad$
    Correction Question 6

    D’après le graphique on obtient le tableau de signes suivant :$\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Déterminer $f(3)$.
    $\quad$
    Correction Question 7

    Graphiquement $f(3)=6$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Résoudre $f(x)=6$.
    $\quad$
    Correction Question 8

    Deux points de la courbe $C_f$ ont pour ordonnées $6$ : celui d’abscisse $3$ et celui d’abscisse $5$.
    Les solutions de l’équation sont donc $3$ et $5$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Résoudre $f(x)\pg 3$.
    $\quad$
    Correction Question 9

    D’après le graphique, $f(x)\pg 3$ pour tout $x\pg 2$.
    L’ensemble solution est donc $[2;6]$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  5. Donner une équation de la droite $D$.
    $\quad$
    Correction Question 10

    L’ordonnée à l’origine est $4$.
    Pour un déplacement d’une unité vers la droite on descend de $2$ unités. Le coefficient directeur est donc $-2$.
    Une équation de la droite $D$ est par conséquent $y=-2x+4$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – EC2

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Soit $r$ la fonction définie sur $[0;110]$ par $r(x)=-0,5x^2+55x$.
On donne un tableau de valeurs de $r$:
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x&0&10&20&30&40&50&60&70&80&90&100&110\\
\hline
r(x)&0&500&900&1200&1400&1500&1500&1400&1200&900&500&0\\
\hline
\end{array}$$

  1. a. Quelles sont les racines de $r(x)$?
    $\quad$
    b. En déduire la forme factorisée de $r(x)$.
    $\quad$
  2. a. Donner l’allure de la portion de parabole qui représente la fonction $r$.
    Justifier.
    b. Déterminer les coordonnées du sommet de la portion de parabole.
    $\quad$
  3. En déduire le tableau de variations de $r$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. D’après le tableau $r(0)=0$ et $r(110)=0$.
    $r$ est une fonction du second degré qui s’annule en deux réels distincts.
    Les deux racines de $r$ sont donc $0$ et $110$.
    $\quad$
    b. Par conséquent, pour tout réel $x$ appartenant à $[0;110]$ on a :
    $r(x)=-0,5x(x-110)$.
    $\quad$
  2. a. Le coefficient principal de la fonction du second degré $r$ est $a=-0,5<0$. La fonction $r$ est donc d’abord croissante puis décroissante.
    On obtient donc l’allure suivante :$\quad$
    b. L’abscisse du sommet est $x=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{55}{1}=55$.
    $r(55)=1~512,5$
    Le sommet de la portion de parabole a donc pour coordonnées $(55;1~512,5)$.
    $\quad$
  3. On obtient donc le tableau de variations suivant :
    $\quad$

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$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – EC2

E3C – Fonctions

Séries technologiques

La glycémie est la concentration massique exprimée en gramme par litre (g.L$^{-1}$) de sucre dans le sang. Le diabète se caractérise par une hyperglycémie chronique, c’est-à-dire un excès de sucre dans le sang et donc une glycémie trop élevée.

Une glycémie est normale lorsqu’elle est comprise entre $0,7$ g.L$^{-1}$$ et $1,1$ g.L$^{-1}$ à jeun et lorsqu’elle est inférieure à $1,4$ g.L$^{-1}$, une heure et trente minutes après un repas.
Lorsque l’on suspecte un diabète, on pratique un test de tolérance au glucose.
Lorsqu’il est à jeun, le patient ingère $75$ g de glucose au temps $t= 0$ ($t$ est exprimé en heure).

Pour tout réel $t$ de l’intervalle $[0;3]$, la glycémie du patient, exprimée en g.L$^{-1}$, $t$ heures après l’ingestion, est modélisée par la fonction $f$ définie sur $[0;3]$ par : $$f(t)=0,3t^3-1,8t^2+2,7t+0,8$$

  1. Que fait la glycémie du patient à jeun?
    $\quad$
  2. a. On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Montrer que pour tout réel $t$ appartenant à $[0;3]$, $$f'(t)=0,9(t-1)(t-3)$$
    $\quad$
    b. Étudier le signe de $f'(t)$ sur $[0;3]$ et en déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;3]$.
    $\quad$
  3. a. Au bout de combien d’heures la glycémie du patient est-elle maximale et que vaut-elle ?
    $\quad$
    b. Peut-on suspecter un diabète chez le patient ? Expliquer.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. $f(0)=0,8$.
    La glycémie du patient à jeun vaut $0,8$ g.L$^{-1}$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout $t\in [0;3]$ on a :
    $\begin{align*} f'(t)&=0,3\times 3t^2-1,8\times 2t+2,7 \\
    &=0,9t^2-3,6t+2,7\end{align*}$
    Or :
    $\begin{align*} 0,9(t-1)(t-3)&=0,9\left(t^2-3t-t+3\right) \\
    &=0,9\left(t^2-4t+3\right) \\
    &=0,9t^3-3,6t^2+2,7\\
    &=f'(t)\end{align*}$
    $\quad$
    b. $t-1=0\ssi t=1$ et $t-1>0 \ssi t>1$
    $t-3=0\ssi t=3$ et $t-3>0\ssi t>3$
    On obtient le tableau de signes et de variations suivant :


    $\quad$

  3. a. D’après le tableau de variations de la fonction $f$ la glycémie est maximale au bout d’une heure et vaut $2$ g.L$^{-1}$.
    $\quad$
    b. $f(1,5)=1,8125>1,4$
    On peut donc suspecter un diabète chez le patient.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Probabilités – EC2

E3C – Probabilités

Séries technologiques

Dans une population, une personne sur $250$ est porteuse d’un gène qui entraîne, à l’âge adulte, une maladie handicapante.

  1. On choisit trois personnes au hasard dans cette population, qui est suffisamment grande pour que ce choix puisse être assimilé à trois tirages successifs avec remise.
    a. Justifier qu’il s’agit de la répétition de trois épreuves aléatoires et indépendantes de Bernoulli dont on donnera le paramètre.
    $\quad$
    b. Construire un arbre pondéré représentant la situation.
    $\quad$
    c. En déduire la probabilité qu’au moins une personne parmi les trois soit porteuse du gène.
    $\quad$
  2. On teste des personnes au hasard dans cette population jusqu’à ce qu’on obtienne une personne porteuse du gène.
    On veut modéliser cette expérience à l’aide d’une fonction qui retourne le nombre de personnes à tester avant d’en trouver une porteuse du gène.
    a. Compléter sur l’annexe, à remettre avec la copie, le programme écrit en langage Python.
    $\quad$
    b. Que permet de conclure l’affichage donné par l’instruction suivante écrite en langage Python ?
    $$\begin{array}{l}
    \text{>>> malade}\textcolor{Mahogany}{()}\\
    \textcolor{Emerald}{575}\end{array}$$
    $\quad$

Annexe

$\begin{array}{rl}
1&\textcolor{blue}{\text{from }}\text{random }\textcolor{blue}{\text{import }} \text{randint}\\
2&\textcolor{blue}{\text{def }}\textcolor{Emerald}{\text{malade}}\textcolor{Mahogany}{():}\\
3&\hspace{1cm}\text{n}\textcolor{Mahogany}{=}\textcolor{Emerald}{1}\\
4&\hspace{1cm}\text{X}\textcolor{Mahogany}{=}\text{randint}\textcolor{Mahogany}{(}\textcolor{Emerald}{1}\textcolor{Mahogany}{,}\textcolor{Emerald}{250}\textcolor{Mahogany}{)}\\
5&\hspace{1cm} \textcolor{blue}{\text{while }}\text{X}\textcolor{Mahogany}{!=}\textcolor{Emerald}{1}\textcolor{Mahogany}{:}\\
6&\hspace{2cm}\text{X}\textcolor{Mahogany}{=}\text{………………}\\
7&\hspace{2cm}\text{n}\textcolor{Mahogany}{=}\text{………………}\\
8&\hspace{1cm} \textcolor{blue}{\text{return }}\text{n}
\end{array}$

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. Le choix est assimilé à trois tirages successifs avec remise. Il s’agit de la répétition de trois épreuves aléatoires et indépendantes de Bernoulli de paramètres $p=\dfrac{1}{250}$.
    $\quad$
    b. On appelle $G$ l’événement “la personne est porteuse du gène”.
    On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
    c. La probabilité qu’aucune personne ne soit porteuse du gène est $\left(\dfrac{249}{250}\right)^3$.
    Par conséquent la probabilité qu’au moins une personne parmi les trois soit porteuse du gène est : $1-\left(\dfrac{249}{250}\right)^3$
    $\quad$

  2. a. On obtient le programme suivant :
    $\begin{array}{rl}
    1&\textcolor{blue}{\text{from }}\text{random }\textcolor{blue}{\text{import }} \text{randint}\\
    2&\textcolor{blue}{\text{def }}\textcolor{Emerald}{\text{malade}}\textcolor{Mahogany}{():}\\
    3&\hspace{1cm}\text{n}\textcolor{Mahogany}{=}\textcolor{Emerald}{1}\\
    4&\hspace{1cm}\text{X}\textcolor{Mahogany}{=}\text{randint}\textcolor{Mahogany}{(}\textcolor{Emerald}{1}\textcolor{Mahogany}{,}\textcolor{Emerald}{250}\textcolor{Mahogany}{)}\\
    5&\hspace{1cm} \textcolor{blue}{\text{while }}\text{X}\textcolor{Mahogany}{!=}\textcolor{Emerald}{1}\textcolor{Mahogany}{:}\\
    6&\hspace{2cm}\text{X}\textcolor{Mahogany}{=}\text{randint}\textcolor{Mahogany}{(}\textcolor{Emerald}{1}\textcolor{Mahogany}{,}\textcolor{Emerald}{250}\textcolor{Mahogany}{)}\\
    7&\hspace{2cm}\text{n}\textcolor{Mahogany}{=}\text{n}\textcolor{Mahogany}{+}\textcolor{Emerald}{1}\\
    8&\hspace{1cm} \textcolor{blue}{\text{return }}\text{n}
    \end{array}$
    $\quad$
    b. D’après l’affichage, il faut donc tester $575$ personnes pour obtenir une personne porteuse du gène.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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