E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.
Dans cet exercice, on se place dans un repère orthonormé.

Question 1

Un vecteur normal à la droite d’équation cartésienne $2x-5y+3=0$ a pour coordonnées :

a. $\begin{pmatrix} -5\\2\end{pmatrix}$
b. $\begin{pmatrix} 2\\5\end{pmatrix}$
c. $\begin{pmatrix} 5\\2\end{pmatrix}$
d. $\begin{pmatrix} -2\\5\end{pmatrix}$

$\quad$

Correction Question 1

Un vecteur normal à la cette droite est le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}$.
Le vecteur $-\vec{n}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}-2\\5\end{pmatrix}$ est donc également normal à cette droite.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Le centre $A$ du cercle d’équation $x^2+y^2+6x-8y=0$ est :

a. $A(3;4)$
b. $A(-3;4)$
c. $A(-4;3)$
d. $A(4;-3)$

$\quad$

Correction Question 2

$\begin{align*} &x^2+y^2+6x-8y=0\\
\ssi~&x^2+2\times 3x+y^2-2\times 4y=0\\
\ssi~&x^2+2\times 3x+3^2-3^2+y^2-2\times 4y+4^2-4^2=0\\
\ssi~&(x+3)^2-9+(y-4)^2-16=0\\
\ssi~&(x+3)^2+(y-4)^2=25\\
\ssi~&\left((x-(-3)\right)^2+(y-4)^2=5^2\end{align*}$
Il s’agit donc de l’équation cartésienne du cercle de centre $A(-3;4)$ et de rayon $5$.

Réponse B

$\quad$

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$\quad$

Question 3

On considère un triangle $ABC$ tel que $AB = 3$, $BC = 5$ et $AC = 6$, on a alors $\vect{AB}.\vect{AC}$ égal à :

a. $-18$
b. $10$
c. $26$
d. $0$

$\quad$

Correction Question 3

D’après la propriété 7 on a
$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=\dfrac{1}{2}\left(AB^2+AC^2-BC^2\right) \\
&=\dfrac{1}{2}\left(3^2+6^2-5^2\right) \\
&=10\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 4

Le nombre réel $\dfrac{-3\pi}{4}$ est associé au même point du cercle trigonométrique que le réel :

a. $\dfrac{-14\pi}{4}$
b. $\dfrac{7\pi}{4}$
c. $\dfrac{13\pi}{4}$
d. $\dfrac{19\pi}{4}$

$\quad$

Correction Question 4

Deux réels $x$ et $y$ sont associés au même point du cercle si, et seulement si, $x-y=2k\pi$ où $k\in \Z$.

Or :
$\begin{array}{l}\dfrac{-3\pi}{4}-\left(\dfrac{-14\pi}{4}\right)=\dfrac{11\pi}{4}\\
\dfrac{-3\pi}{4}-\dfrac{7\pi}{4}=\dfrac{-5\pi}{2}\\
\dfrac{-3\pi}{4}-\dfrac{13\pi}{4}=-4\pi=-2\times 2\pi \checkmark\\
\dfrac{-3\pi}{4}-\dfrac{19\pi}{4}=\dfrac{-11\pi}{2}\end{array}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 5

La fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=(4x-7)^3$ a pour fonction dérivée :

a. $g'(x)=3(4x-7)^2$
b. $g'(x)=12(4x-7)$
c. $g'(x)=12x-21$
d. $g'(x)=12(4x-7)^2$

$\quad$

Correction Question 5

On appelle $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x^3$.
Ainsi $g(x)=f(4x-7)$.
$f$ est dérivable sur $\R$ et pour tout réel $x$ on a $f'(x)=3x^2$
Donc, par composition, $g$ l’est aussi.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} g'(x)&=4f'(4x-7) \\
&=4\times 3(4x-7)^2 \\
&=12(4x-7)^2\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

Remarque : Les calculatrices savent calculer des nombres dérivés. On pouvait donc faire calculer d’un côté, par exemple, $g'(\pi)$ et de l’autre côté faire calculer les images de $\pi$ par chacune des fonctions et comparer les résultats. On peut bien évidemment remplacer $\pi$^par la valeur de son choix. S’il est impossible, pour une valeur donnée, de choisir une proposition il faut alors changer de valeur. Cette méthode peu élégante permet de trouver la bonne réponse dans des situations désespérées.

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Un modèle de téléphone portable d’une grande entreprise est produit par deux sous-traitants A et B.

Chez le sous-traitant A, qui assure $40 \%$ de la production totale, $4 \%$ des téléphones sont défectueux.

Le sous-traitant B assure le reste de la production.

On constate que la probabilité qu’un téléphone pris au hasard dans les stocks de l’entreprise soit défectueux est de $0,034$.

Quel pourcentage de la production totale le sous-traitant B assure-t-il ?
$\quad$
Quelle est la probabilité qu’un téléphone provienne du sous-traitant B sachant qu’il est défectueux ? On arrondira le résultat à $10^{-3}$ près.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Le sous-traitant A assure $40 \%$ de la production totale.
Le sous-traitant $B$ assure donc $60\%$ de la production totale.
$\quad$
On choisit un téléphone au hasard et on appelle :
$\bullet$ $B$ l’événement « le téléphone provient du sous-traitant B »;
$\bullet$ $D$ l’événement « le téléphone est défectueux ».
On sait que $P(D)=0,034$, $P\left(\conj{B}\right)=0,4$ et $P_{\conj{B}}(D)=0,04$
On va tout d’abord calculer $P(B\cap D)$.
$B$ et $\conj{B}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} &P(D)=P(B\cap D)+P\left(\conj{B}\cap D\right)\\\ssi~& 0,034=P(B\cap D)+P\left(\conj{B}\right)\times P_{\conj{B}}(D) \\
\ssi~& 0,034=P(B\cap D)+0,4\times 0,04 \\
\ssi~& 0,034=P(B\cap D)+0,016\\
\ssi~& P(B\cap D)=0,018\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_D(B)&=\dfrac{P(B\cap D)}{P(D)} \\
&=\dfrac{0,018}{0,034} \\
&\approx 0,529\end{align*}$
La probabilité qu’un téléphone proviennent du sous-traitant B sachant qu’il est défectueux est donc environ égale à $0,529$.
$\quad$

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$\quad$

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Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Soit la suite $\left(u_n\right)$ de premier terme $u_0= 400$ vérifiant la relation, pour tout entier naturel $n$, $$u_{n+1} = 0,9u_n + 60$$
Soit la suite géométrique $\left(v_n\right)$ de premier terme $v_0= -200$ et de raison $0,9$.

Calculer $u_2$ et $v_2$.
$\quad$
Calculer la somme des $20$ premiers termes de la suite $\left(v_n\right)$.
$\quad$
La suite $\left(u_n\right)$ est-elle arithmétique ? La suite $\left(u_n\right)$ est-elle géométrique ?
$\quad$
Recopier et compléter la fonction Suite suivante écrite en Python qui permet de calculer la somme $S$ des $20$ premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def Suite( ) :}\\
\hspace{1cm} \text{U = 400}\\
\hspace{1cm} \text{S = 0}\\
\hspace{1cm} \text{for i in range(20) :} \hspace{2cm}\\
\hspace{2cm} \text{S = } \ldots\ldots\ldots\\
\hspace{2cm} \text{U = } \ldots\ldots\ldots\\
\hspace{1cm} \text{return(}\ldots)\\
\hline
\end{array}$$
Le sujet original contenait une erreur dans le programme. Elle a été corrigée ici.
$\quad$
On admet que $u_n=v_n+600$. En déduire $u_{20}$.
$\quad$

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a
$\begin{align*}u_1&=0,9u_0+60\\
&=0,9\times 400+60\\
&=420\end{align*}$
et
$\begin{align*}u_2&=0,9u_1+60\\
&=0,9\times 420+60\\
&=438\end{align*}$
$\quad$
La suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,9$ et de premier terme $v_0=-200$.
Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=-200\times 0,9^n$.
Ainsi :
$\begin{align*}v_2&=-200\times 0,9^2 \\
&=-162\end{align*}$
$\quad$
La somme des $20$ premiers termes de la suite $\left(v_n\right)$ est :
$\begin{align*} S_{20}&=v_0+v_1+\ldots+v_{19} \\
&=-200\times \dfrac{1-0,9^{20}}{1-0,9} \\
&=-2~000\left(1-0,9^{20}\right)\end{align*}$
$\quad$
On a $u_1-u_0=20$ et $u_2-u_1=18$
$20\neq 18$ : La suite $\left(u_n\right)$ n’est pas arithmétique.
On a $\dfrac{u_1}{u_0}=1,05$ et $\dfrac{u_2}{u_1}\approx 1,04$
Les quotients sont différents : La suite $\left(u_n\right)$ n’est pas géométrique.
$\quad$
On obtient le code suivant :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def Suite( ) :}\\
\hspace{1cm} \text{U = 400}\\
\hspace{1cm} \text{S = 0}\\
\hspace{1cm} \text{for i in range(20) :} \hspace{2cm}\\
\hspace{2cm} \text{S = S + U } \\
\hspace{2cm} \text{U = 0,9 * U + 60} \\
\hspace{1cm} \text{return(S)}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
On a donc :
$\begin{align*} u_{20}&=v_{20}+600 \\
&=-200\times 0,9^{20}+600\end{align*}$
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On considère un cône de révolution ayant une génératrice de longueur $20$ cm et d’une hauteur $h$ en cm.

On rappelle que le volume $V$ en cm$^3$ d’un cône de révolution de base un disque d’aire $\mathcal{A}$ en cm$^2$ et de hauteur $h$ en cm est : $V=\dfrac{1}{3}\mathcal{A}h$.

Dans cet exercice, on cherche la valeur de la hauteur $h$ qui rend le volume du cône maximum.

Exprimer le rayon de la base en fonction de $h$.
$\quad$
Démontrer que le volume du cône, en fonction de sa hauteur $h$, est : $$V(h)=\dfrac{\pi}{3}\left(400h-h^3\right)$$
$\quad$
Quelle hauteur ℎ choisir pour que le volume du cône soit maximum ?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On appelle $S$ le sommet du cône, $O$ le centre du cercle de base et $A$ un point du cercle.
Le triangle $SOA$ est rectangle en $O$.
D’après le théorème de Pythagore on a :
$SA^2=OS^2+OA^2 \ssi 20^2=h^2+OA^2$
Ainsi $OA^2=400-h^2$
$OA$ est un nombre positif.
Par conséquent $OA=\sqrt{400-h^2}$.
Le rayon de la base est donc égal à $\sqrt{400-h^2}$.
$\quad$
L’aire du disque de base est :
$\begin{align*} \mathcal{A}&=\pi\left(\sqrt{400-h^2}\right)^2 \\
&=\pi\left(400-h^2\right) \end{align*}$
Par conséquent, le volume du cône de révolution est :
$\begin{align*} V(h)&=\dfrac{1}{3}\mathcal{A}h \\
&=\dfrac{1}{3}\times \pi\left(400-h^2\right)\times h\\
&=\dfrac{\pi}{3}\left(400h-h^3\right)\end{align*}$
$\quad$
On considère la fonction $V$ définie sur l’intervalle $]0;20[$ par $V(h)=\dfrac{\pi}{3}\left(400h-h^3\right)$.
La fonction $V$ est dérivable sur l’intervalle $]0;20[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout réel $h$ appartenant à l’intervalle $]0;20[$ on a alors :
$$ V'(h)=\dfrac{\pi}{3}\left(400-3h^2\right)$$
Le signe de $V'(h)$ ne dépend que de celui de $400-3h^2$
$\begin{align*} 400-3h^2>0 &\ssi -3h^2>-400 \\
&\ssi h^2<\dfrac{400}{3} \\
&\ssi h\in \left]-\sqrt{\dfrac{400}{3}};\sqrt{\dfrac{400}{3}}\right[\end{align*}$
La fonction $V$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $\left]0;\sqrt{\dfrac{400}{3}}\right]$ et strictement décroissante sur l’intervalle $\left[\sqrt{\dfrac{400}{3}};20\right[$.
Le volume du cône est maximal quand $h=\sqrt{\dfrac{400}{3}}$

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$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence