E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Fanny est inscrite dans un club d’athlétisme. Elle pratique le penta bond (le penta bond est un enchaînement de cinq bonds après une course d’élan).
La première semaine d’entraînement, Fanny réalise un saut de $8$ m.
Chaque semaine, la longueur de son saut augmente de $0,1$ m.
Pour $n$ entier naturel non nul, on note $s_n$ la longueur, en mètres, de son saut la $n$-ième semaine d’entraînement.
Puisque lors de la première semaine d’entraînement, Fanny réalise un saut de $8$ m, on a $s_1 = 8$.

  1. Pour $n\pg 2$, on considère la fonction Python suivante.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def saut(n):}\\
    \hspace{1cm}\text{s=8}\\
    \hspace{1cm}\text{for k in range(2,n+1):}\\
    \hspace{2cm}\text{s=s+0.1}\\
    \hspace{1cm}\text{return s}\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Quelle valeur $\text{s}$ est-elle renvoyée par la commande $\text{saut(4)}$ ?
    $\quad$
    b. Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  2. Exprimer avec justification $s_n$ en fonction de $n$ pour $n$ entier naturel non nul.
    $\quad$
  3. Pour être qualifiée à une compétition, Fanny doit faire un saut d’au moins $12$ mètres.
    a. À partir de quelle semaine, Fanny réalisera-t-elle un tel saut ?
    $\quad$
    b. Justifier votre réponse.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. La variable $\text{s}$ prend successivement les valeurs suivantes : $8$; $8,1$; $8,2$; $8,3$.
    La commande $\text{saut(4)}$ renvoie donc la valeur $8,3$.
    $\quad$
    b. Cela signifie donc que Fanny réalise un saut de $8,3$ m lors de sa quatrième semaine d’entraînement.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $s_{n+1}=s_n+0,1$.
    La suite $\left(s_n\right)$ est donc arithmétique de raison $0,1$ et de raison $s_1=8$.
    Par conséquent, pour tout entier $n$ non nul on a $s_n=8+0,1(n-1)$.
    $\quad$
  3. a. et b. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} u_n\pg 12&\ssi 8+0,1(n-1)\pg 12 \\
    &\ssi 0,1(n-1)\pg 4 \\
    &\ssi n-1\pg 40 \\
    &\ssi n\pg 41\end{align*}$
    Elle réalisera donc un saut d’au moins $12$ mètres à partir de la $41\ieme$ semaine.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Un propriétaire propose à un commerçant deux types de contrat pour la location d’un local pendant $3$ ans.
1$\ier$ contrat : un loyer de $200$ € pour le premier mois puis une augmentation de $5$ € par mois jusqu’à la fin du bail.
2$\ieme$ contrat : un loyer de $200$ € pour le premier mois puis une augmentation de $2\%$ par mois jusqu’à la fin du bail.

On modélise ces deux contrats par des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$, de sorte que pour tout entier $n\pg 1$, le prix du loyer le $n$-ième mois avec le 1$\ier$ contrat est représenté par $u_n$ et le prix loyer
le $n$-ième mois avec le 2$\ieme$ contrat est représenté par $v_n$.
On a ainsi $u_1=v_1=200$.

  1. Calculer, pour chacun des deux contrats, le loyer du deuxième mois puis le loyer du troisième mois.
    $\quad$
  2. Le commerçant a écrit un programme en langage Python qui lui permet de déterminer $u_n$ et $v_n$ pour une valeur donnée de $n$.
    $$\begin{array}{|ll|}
    \hline
    1&\text{u=}\textcolor{Emerald}{200}\\
    2&\text{v=}\textcolor{Emerald}{200}\\
    3&\text{n=}\textcolor{blue}{\text{int}}\text{(}\textcolor{blue}{\text{input}}\text{(}\textcolor{red}{\text{“Saisir une valeur de n :”}}\text{))}\\
    4&\textcolor{blue}{\text{for }}\text{i }\textcolor{blue}{\text{in range}}\text{(}\textcolor{Emerald}{\text{1}}\text{,n):}\\
    5&\hspace{0,5cm} \text{u= $\ldots$}\\
    6&\hspace{0,5cm} \text{v= $\ldots$}\\
    7&\textcolor{blue}{\text{print}}\text{(}\textcolor{red}{\text{“Pour n =”}}\text{,n,}\textcolor{red}{\text{“on a”}}\text{,}\textcolor{red}{\text{“u =”}}\text{,u,}\textcolor{red}{\text{” et v =”}}\text{,v)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Recopier et compléter les lignes $5$ et $6$ de ce programme.
    $\quad$
    b. Quels nombres obtiendra-t-on avec $n=4$ ?
    $\quad$
  3. Déterminer, pour tout entier $n\pg 1$, l’expression de $u_n$ et de $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  4. Quel contrat coûtera le moins cher au total pour l’ensemble d’un bail de $3$ ans ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Le deuxième mois les loyers sont :
    – pour le 1$\ier$ contrat $200+5=205$ €.
    – pour le 2$\ieme$ contrat $200\times \left(1+\dfrac{2}{100}\right)=204$€.
    Le troisième mois les loyers sont :
    – pour le 1$\ier$ contrat $205+5=210$ €.
    – pour le 2$\ieme$ contrat $204\times \left(1+\dfrac{2}{100}\right)=208,08$€.
    $\quad$
  2. a. On obtient le programme suivant :
    $$\begin{array}{|ll|}
    \hline
    1&\text{u=}\textcolor{Emerald}{200}\\
    2&\text{v=}\textcolor{Emerald}{200}\\
    3&\text{n=}\textcolor{blue}{\text{int}}\text{(}\textcolor{blue}{\text{input}}\text{(}\textcolor{red}{\text{“Saisir une valeur de n :”}}\text{))}\\
    4&\textcolor{blue}{\text{for }}\text{i }\textcolor{blue}{\text{in range}}\text{(}\textcolor{Emerald}{\text{1}}\text{,n):}\\
    5&\hspace{0,5cm} \text{u= }\textcolor{Emerad}{5}\text{+u}\\
    6&\hspace{0,5cm} \text{v= }\textcolor{Emerad}{1.02}\text{*v}\\
    7&\textcolor{blue}{\text{print}}\text{(}\textcolor{red}{\text{“Pour n =”}}\text{,n,}\textcolor{red}{\text{“on a”}}\text{,}\textcolor{red}{\text{“u =”}}\text{,u,}\textcolor{red}{\text{” et v =”}}\text{,v)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Le quatrième mois les loyers sont :
    – pour le 1$\ier$ contrat $210+5=215$ €.
    – pour le 2$\ieme$ contrat $208,08\times \left(1+\dfrac{2}{100}\right)=216,4032$€.
    La variable $\text{u}$ contient donc la valeur $215$ et la variable $\text{v}$ la valeur $216,4032$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a donc $u_{n+1}=u_n+5$ et $v_{n+1}=\left(1+\dfrac{2}{100}\right)v_n$ soit $v_{n+1}=1,02v_n$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est par conséquent arithmétique de raison $5$ et de premier terme $u_1=200$.
    La suite $\left(v_n\right)$ est par conséquent géométrique de raison $1,02$ et de premier terme $u_1=200$.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $u_n=200+5(n-1)$ et $v_n=200\times 1,02^{n-1}$.
    $\quad$
  4. $3$ ans $=36$ mois.
    On a :
    $\begin{align*} u_{36}&=200+5\times 35\\
    &=375\end{align*}$
    Le 1$\ier$ contrat coûtera au total :
    $\begin{align*} S_1&=36\times \dfrac{200+375}{2} \\
    &=10~350\end{align*}$
    Le 2$\ieme$ contrat coûtera au total :
    $\begin{align*} S_2&=200\times \dfrac{1-1,02^{36}}{1-1,02}\\
    &\approx 10~398,87\end{align*}$
    C’est donc le 1$\ier$ contrat qui coûtera le moins cher au total pour l’ensemble d’un bail de $3$ ans.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.

Question 1

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère la droite $D$ d’équation cartésienne $4x+5y-7=0$.
Un vecteur normal à $D$ a pour coordonnées :

a. $(5 ; 4)$
b. $(-5 ; 4)$
c. $(4 ; 5)$
d. $(4 ; -5)$

$\quad$

Correction Question 1

Un vecteur normal à la droite $D$ d’équation $4x+5y-7=0$ est $\vec{u}(4;5)$.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, l’ensemble $E$ des points $M$ de coordonnées $(x;y)$ vérifiant : $x^2-2x+y^2=3$ est un cercle :

a. de centre $A(1 ; 0)$ et de rayon $2$.
b. de centre $A(1 ; 0)$ et de rayon $4$.
c. de centre $A(-1 ; 0)$ et de rayon $2$.
d. de centre $A(-1 ; 0)$ et de rayon $4$.

$\quad$

Correction Question 2

On a :
$\begin{align*} x^2-2x+y^2=3&\ssi x^2-2x+1-1+y^2=3 \\
&\ssi (x-1)^2+(y-0)^2=4 \\
&\ssi (x-1)^2+(y-0)^2=2^2 \end{align*}$
Il s’agit donc du cercle de centre $A(1;0)$ et de rayon $2$.

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

La somme $15 + 16 + 17 + \ldots + 243$ est égale à :

a. $29~403$
b. $29~412$
c. $29~541$
d. $29~646$

$\quad$

Correction Question 3

On note $\left(u_n\right)$ la suite arithmétique de premier terme $u_0=15$ et de raison $1$.
On a ainsi $u_n=15+n$ pour tout entier naturel $n$.
$15+n=243 \ssi n=228$
Ainsi :
$\begin{align*} S&=15 + 16 + 17 + \ldots + 243\\
&=15+(15+1)+(15+2)+\ldots+(15+228)\\
&=15\times 229+(1+2+\ldots+228)\\
&=3~435+\dfrac{228\times 229}{2}\\
&=29~541\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

On considère la fonction $f$ dérivable définie sur $\R$ par $f(x)=(x+1)\e^x$.
La fonction dérivée $f’$ de $f$ est définie sur $\R$ par :

a. $f'(x)=(x+2)\e^x$
b. $f'(x)=(x+1)\e^x$
c. $f'(x)=x\e^x$
d. $f'(x)=\e^x$

$\quad$

Correction Question 4

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=1\times \e^x+(x+1)\times \e^x\\
&=(1+x+1)\e^x\\
&=(x+2)\e^x\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

En utilisant l’arbre de probabilité pondéré ci-dessous, on obtient :

a. $P(B)=\dfrac{1}{4}$
b. $P(B)=\dfrac{2}{5}$
c. $P(B)=\dfrac{13}{20}$
d. $P(B)=\dfrac{3}{10}$

$\quad$

Correction Question 5

$A$ et $\conj{A}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(B)&=P(A\cap B)+P\left(\conj{A}\cap B\right) \\
&=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{4} \\
&=\dfrac{3}{10}\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes. Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Pour tout réel $x$, $\dfrac{\e^{2x}}{\e^{x+1}}$ est égale à :

a. $\e^{x-1}$
b. $\e^{3x+1}$
c. $\dfrac{2x}{x+1}$
d. $\e$

$\quad$

Correction Question 1

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*}
\dfrac{\e^{2x}}{\e^{x+1}}&=\e^{2x-(x+1)} \\
&=\e^{x-1}\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Dans le plan muni d’un repère, les courbes représentatives des fonctions $x\mapsto 15x^2+10x-1$ et $x\mapsto 19x^2-22x+10$ ont :

a. aucun point d’intersection
b. un seul point d’intersection
c. deux points d’intersection
d. quatre points d’intersection

$\quad$

Correction Question 2

On a :
$\begin{align*} &15x^2+10x-1-\left(19x^2-22x+10\right) \\
&=-4x^2+32x-11\end{align*}$
Le discriminant de ce polynôme du second degré est :
$\begin{align*} \Delta &= 32^2-4\times (-4)\times 11 \\
&=1~200\\
&>0\end{align*}$

Les deux courbes ont donc deux points d’intersection.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Le plan est rapporté à un repère orthonormé. Le cercle de centre $A$ de coordonnées $( 3 ; – 1)$ et de rayon $5$ a pour équation cartésienne :

a. $(x+3)^2+(y-1)^2=25$
b. $(x-3)^2+(y+1)^2=5$
c. $(x+3)^2+(y-1)^2=5$
d. $(x-3)^2+(y+1)^2=25$

$\quad$

Correction Question 3

Une équation du cercle est $(x-3)^2+\left(y-(-1)\right)^2=5^2$ soit $(x-3)^2+(y+1)^2=25$.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

Dans un repère orthonormé, la droite $d$ d’équation cartésienne $3x+2y+4=0$ admet un vecteur normal de coordonnées :

a. $\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}$
b. $\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}$
c. $\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$
d. $\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$

$\quad$

Correction Question 4

Un vecteur normal à la droite d’équation $ax+by+c=0$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$.
Ici un vecteur normal à la droite d’équation $3x+2y+4=0$ est donc $\vec{u}\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5$

Le plus petit entier naturel $n$ tel que la somme $1 + 2 + 3 + 4 +\ldots + n$ soit supérieure à $5~000$ est égal à :

a. $1~000$
b. $500$
c. $200$
d. $100$

$\quad$

Correction Question 5

Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $1+2+\ldots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$
Si $n=100$ alors $\dfrac{n(n+1)}{2}=5~050$

$100$ est le plus petit nombre proposé ici.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Durant le mois de janvier 2020, une entreprise produit $2~500$ flacons de parfum ce qui correspond exactement au nombre de flacons commandés. Le propriétaire de l’entreprise décide d’augmenter chaque mois la production de $108$ flacons et il espère que le nombre de flacons commandés augmentera chaque mois de $3,8 \%$.
On considère la suite $\left(f_n\right)$ où pour tout entier naturel $n$, $f_n$ modélise le nombre de flacons produits lors du mois de rang $n$ après janvier 2020 ; ainsi $f_0$ est le nombre de flacons produits en janvier 2020, $f_1$ le nombre de flacons produits en février 2020, etc.
De la même manière, on considère la suite $\left(c_n\right)$ où pour tout entier naturel $n$, $c_n$ modélise le nombre potentiel de flacons commandés lors du mois de de rang $n$ après janvier 2020. On a donc $f-0=c_0=2~500$.

  1. Déterminer, en expliquant les calculs effectués, le nombre de flacons produits et le nombre potentiel de flacons commandés en février 2020.
    $\quad$
  2. Déterminer la nature des suites $\left(f_n\right)$ et $\left(c_n\right)$.
    $\quad$
  3. Exprimer, pour tout entier $n$, $f_n$ et $c_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  4. On admet que, selon ce modèle, au bout d’un certain nombre de mois le nombre potentiel de flacons commandés dépassera le nombre de flacons produits.
    $\quad$
    Reproduire et compléter sur la copie l’algorithme ci-dessous, écrit en Python, afin qu’après son exécution la variable n contienne le nombre de mois à attendre après le mois de janvier 2020 pour que le nombre potentiel de flacons commandés dépasse le nombre de flacons produits.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{n = 0}\\
    \text{f = 2500}\\
    \text{c = 2500}\\
    \text{while $\ldots$ :}\\
    \hspace{1cm}\text{n = $\ldots$}\\
    \hspace{1cm}\text{f = $\ldots$}\\
    \hspace{1cm}\text{c = $\ldots$}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  5. De début janvier 2020 à fin décembre 2020, la production globale dépassera-t-elle le nombre de commandes potentielles ? Expliquer votre démarche.
    On rappelle que :

    • Si $\left(u_n\right)$ est une suite arithmétique de premier terme $u_0$, alors, pour tout entier naturel $n$, $$u_0+u_1+\ldots+u_n=(n+1)\dfrac{u_0+u_n}{2}$$
    • Si $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q\neq 1$, alors, pour tout entier naturel $n$, $$v_0+v_1+\ldots+v_n=v_0\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$$
      $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} f_1&=f_0+108 \\
    &=2~500+108\\
    &=2~608\end{align*}$
    L’entreprise a produit $2~108$ flacons en février 2020.
    $\quad$
    On a également :
    $\begin{align*} c_1&=\left(1+\dfrac{3,8}{100}\right)c_0\\
    &=1,038\times 2~500\\
    &=2~595\end{align*}$
    $2~595$ flacons ont été commandés en février 2020.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a $f_{n+1}=f_n+108$. La suite $\left(f_n\right)$ est donc arithmétique de raison $108$ et de premier terme $f_0=2~500$.
    $\quad$
    $\begin{align*} c_{n+1}&=\left(1+\dfrac{3,8}{100}\right)c_n\\
    &=1,038\times c_n\end{align*}$
    La suite $\left(c_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,038$ et de premier terme $c_0=2~500$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a $f_n=2~500+108n$ et $c_n=2~500\times 1,038^n$.
    $\quad$
  4. On obtient le programme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{n = 0}\\
    \text{f = 2500}\\
    \text{c = 2500}\\
    \text{while c<=f :}\\
    \hspace{1cm}\text{n = n+1}\\
    \hspace{1cm}\text{f = f+108}\\
    \hspace{1cm}\text{c = c*1.038}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  5. La production globale sur l’année 2020 est :
    $\begin{align*} F_{11}&=f_0+f_1+\ldots+f_{11} \\
    &=12\times \dfrac{f_0+f_{11}}{2}\\
    &=12\times \dfrac{2~500+2~500+11\times 108}{2}\\
    &=37~128\end{align*}$
    Le nombre total de commandes potentielles sur l’année 2020 est :
    $\begin{align*} C_{11}&=c_0+c_1+\ldots+c_{11} \\
    &=2~500\times \dfrac{1-1,038^{12}}{1-1,038}\\
    &\approx 37~136\end{align*}$
    Ainsi $F_{11}<C_{11}$.
    De début janvier 2020 à fin décembre 2020, la production globale ne dépassera donc pas le nombre de commandes potentielles.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Les cinq questions sont indépendantes. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse exacte. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

Question 1

$\left(u_n\right)$ est une suite arithmétique telle que $u_4=3$ et $u_{10}=18$. On peut affirmer que :

a. $u_0=7$
b. $u_7=20,5$
c. $u_{12}=23$
d. $u_{14}=-28$

$\quad$

Correction Question 1

$\left(u_n\right)$ est une suite arithmétique de raison $r$.
On a
$\begin{align*} u_{10}=u_4+6r &\ssi 18=3+6r \\
&\ssi 6r=15\\
&\ssi r=2,5\end{align*}$
Donc
$\begin{align*} u_{12}&=u_{10}+2r\\
&=18+2\times 2,5\\
&=23\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

$2+3+4+\ldots+999+1~000$ est égal à :

a. $500~500$
b. $498~999$
c. $499~000$
d. $500~499$

$\quad$

Correction Question 2

On a
$\begin{align*} S&=2+3+4+\ldots +999+1~000 \\
&=1+2+3+\ldots + 1~000-1\\
&=\dfrac{1~000\times 1~001}{2}-1\\
&=500~499\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

$\left(v_n\right)$ est la suite géométrique de raison $0,3$ telle que $v_0=-3$. On conjecture que la suite $\left(v_n\right)$ a pour limite :

a. $0$
b. $+\infty$
c. $-\infty$
d. $-3$

$\quad$

Correction Question 3

On a $v_0=-3$, $v_1=-0,9$, $v_2=-0,27$ et $v_3=-0,081$
On peut donc conjecturer que $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=0$.

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

$f$ est ka fonction définie sur $\R$ par $f(x)=-2(x+2)^2-3$. On peut affirmer qu’elle est :

a. décroissante sur $]-\infty;+\infty[$
b. décroissante sur $]-2;+\infty[$
c. croissante sur $]-\infty;2[$
d. décroissante sur $]-3;+\infty[$

$\quad$

Correction Question 4

$f$ est une fonction du second degré dont le sommet a pour abscisse $-2$.
Le coefficient principal est $a=-2<0$.
La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur l’intervalle $]-2;+\infty[$.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

L’ensemble des solutions de l’inéquation $x^2-5x+6<0$ est

a. $]-\infty;2[\cup]3;+\infty[$
b. $]-\infty;-1[\cup]6;+\infty[$
c. $]2;3[$
c. $]-1;6[$

$\quad$

Correction Question 5

Le discriminant du polynôme du second degré est :
$\begin{align*}\Delta&=(-5)^2-4\times \times 6\\
&=1\\
&>0\end{align*}$
Les racines du polynômes sont :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{5-\sqrt{1}}{2}\\
&=2\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{5+\sqrt{1}}{2}\\
&=3\end{align*}$
Le coefficient principal du polynôme est $a=1>0$.
Ainsi les solutions de l’inéquation $x^2-5x+6<0$ est $]2;3[$.

$\quad$

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$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des réponses proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

L’inéquation $x^2+x+2>0$ :

a. n’a pas de solution
b. a une seule solution
c. a pour ensemble de solution l’intervalle $[1 ; 2]$
d. a pour solution l’ensemble des nombres réels

$\quad$

Correction Question 1

Le discriminant du polynôme du second degré est :
$\begin{align*} \Delta&=1^2-4\times 1\times 1\\
&=-3\\
&<0\end{align*}$

Le coefficient principal est $a=1>0$.
Par conséquent, tous les réels sont solution de l’inéquation $x^2+x+2>0$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs tels que $\norme{u}=3$, $\norme{v}=2$ et $\vec{u}.\vec{v}=-1$ alors $\left\|\vec{u}+\vec{v}\right\|^2$ est égal à :

a. $11$
b. $13$
c. $15$
d. $25$

$\quad$

Correction Question 2

On a :
$\begin{align*} \vec{u}.\vec{v}&=\dfrac{1}{2}\left(\left\|\vec{u}+\vec{v}\right\|^2-\norme{u}^2-\norme{v}^2\right)\\
\ssi~& -1=\dfrac{1}{2} \left(\left\|\vec{u}+\vec{v}\right\|^2-9-4\right)\\
\ssi~&-2=\left\|\vec{u}+\vec{v}\right\|^2-13\\
\ssi~&\left\|\vec{u}+\vec{v}\right\|^2=15\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Soient $A$ et $B$ deux événements d’un univers tels que $P_A(B) = 0,2$ et $P(A) = 0,5$.
Alors la probabilité $P(A\cap B)$ est égale à :

a. $0,4$
b. $0,1$
c. $0,25$
d. $0,7$

$\quad$

Correction Question 3

On a :
$\begin{align*} P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}&\ssi 0,2=\dfrac{P(A\cap B)}{0,5} \\
&\ssi P(A\cap B)=0,1\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

Soit $\left(u_n\right)$ une suite arithmétique de terme initial $u_0=2$ et de raison $3$.
La somme $S$ définie par $S=u_0+u_1+\ldots+u_{12}$ est égale à :

a. $45$
b. $222$
c. $260$
d. $301$

Correction Question 4

Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=2+3n$

On a :
$\begin{align*} S&=u_0+u_1+\ldots+u_{12} \\
&=(2+3\times 0)+(2+3\times 1)+\ldots +(2+3\times 12) \\
&=2\times 13+3(1+2+\ldots+12)\\
&=26+3\times \dfrac{12\times 13}{2} \\
&=260\end{align*}$

Réponse C

Remarque : Si en cours tu as vu la formule donnant la somme des termes d’une suite arithmétique, tu peux l’utiliser ici:
$\begin{align*} S&=u_0+u_1+ \ldots+u_{12}\\
&=13\times \dfrac{u_0+u_{12}}{2}\\
&=13\times \dfrac{2+38}{2}\\
&=260\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Soit $f$ la fonction définie sur l’ensemble des nombres réels par $f(x)=(2x-5)^3$.
Une expression de la dérivée de $f$ est :

a. $3(2x-5)^2$
b. $6(2x-5)^2$
c. $2(2x-5)^2$
d. $2^3$

$\quad$

Correction Question 5

On appelle $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=x^3$.
La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ et, pour tout réel $x$, on a $f(x)=g(2x-5)$ et $g'(x)=3x^2$.
Donc $f$ est également dérivable sur $\R$ et, pour tout réel $x$, on a :
$\begin{align*} f'(x)&=2g'(2x-5)\\
&=2\times 3(2x-5)^2\\
&=6(2x-5)^2\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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