Bac – Métropole – jour 2 – septembre 2024

Métropole – 12 septembre 2024

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. a. On a $I(0,5;0;0)$ et $J(1;1;0,5)$.
    Par conséquent $N$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{1+0,5}{2};\dfrac{1+0}{2};\dfrac{0,5+0}{2}\right)$ soit $(0,75;0,5;0,25)$.
    $\quad$
    b. On a $\vect{IJ}\begin{pmatrix}1-0,5\\1-0\\0,5-0\end{pmatrix}$ soit $\vect{IJ}\begin{pmatrix}0,5\\1\\0,5\end{pmatrix}$ et $\vect{NF}\begin{pmatrix}1-0,75\\0-0,5\\1-0,25\end{pmatrix}$ soit $\vect{IJ}\begin{pmatrix}0,25\\-0,5\\0,75\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    c. Par conséquent $\vect{IJ}.\vect{NF}=0,125-0,5+0,375=0$.
    $\vect{IJ}$ et $\vect{NF}$ sont bien orthogonaux.
    $\quad$
    d. 
    $\begin{align*} IJ&=\sqrt{0,5^2+1^2+0,5^2} \\
    &=\sqrt{0,25+1+0,25} \\
    &=\sqrt{1,5}\end{align*}$
    Par conséquent l’aire du triangle $FIJ$ est égale à
    $\begin{align*} A_{FIJ}&=\dfrac{IJ\times NF}{2} \\
    &=\dfrac{\sqrt{1,5}\times \dfrac{\sqrt{14}}{4}}{2} \\
    &=\dfrac{\sqrt{1,5\times 14}}{8} \\
    &=\dfrac{\sqrt{21}}{8}\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. Les vecteurs $\vect{IJ}$ et $\vect{NF}$ sont deux vecteurs non colinéaires (car orthogonaux) du plan $(FIJ)$ car $N$ est le milieu de $[IJ]$.
    Or $\vec{u}.\vect{IJ}=2-1-1=0$ et $\vec{u}.\vect{NF}=2-0,5-1,5=0$
    Ainsi $\vec{u}$ est orthogonal à deux vecteurs non orthogonaux du plan $(FIJ)$.
    C’est donc un vecteur normal à ce plan.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne de ce plan est par conséquent de la forme $4x-y-2z+d=0$.
    Or $I(0,5;0;0)$ appartient à ce plan.
    Ainsi $2-0-0+d=0 \ssi d=-2$.
    Une équation cartésienne du plan $(FIJ)$ est donc $4x-y-2z-2=0$.
    $\quad$
    c. $\vec{u}$ est un vecteur directeur de la droite $d$ et $H$ a pour coordonnées $(0;1;1)$.
    Par conséquent une représentation paramétrique de la droite $d$ est $\begin{cases} x=4t\\y=1-t\\z=1-2t\end{cases}$ pour tout $t\in \R$.
    $\quad$
    d. On appelle $H’$ le projeté orthogonal du point $H$ sur le plan $(FIJ)$.
    Ses coordonnées sont donc solution du système suivant :
    $\begin{align*} \begin{cases}4x-y-2z-2=0\\x=4t\\y=1-t\\z=1-2t\end{cases} &\ssi \begin{cases} 16t-1+t-2+4t-2=0\\x=4t\\y=1-t\\z=1-2t\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} 21t=5\\x=4t\\y=1-t\\z=1-2t\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} t=\dfrac{5}{21}\\[3mm]x=\dfrac{20}{21}\\[3mm]y=\dfrac{16}{21}\\[3mm]z=\dfrac{11}{21}\end{cases}\end{align*}$
    $H’$ a donc pour coordonnées $\left(\dfrac{20}{21};\dfrac{16}{21};\dfrac{11}{21}\right)$.
    Ainsi $\vect{HH’}\begin{pmatrix}\dfrac{20}{21}\\[3mm]-\dfrac{5}{21}\\[3mm]-\dfrac{10}{21}\end{pmatrix}$
    Par conséquent la distance du point $H$ au plan $(FIJ)$ est égale à :
    $\begin{align*} HH’&=\sqrt{\left(\dfrac{20}{21}\right)^2+\left(-\dfrac{5}{21}\right)^2+\left(-\dfrac{10}{21}\right)^2} \\
    &=\sqrt{\dfrac{400}{21^2}+\dfrac{25}{21^2}+\dfrac{100}{21^2}}\\
    &=\sqrt{\dfrac{525}{21^2}} \\
    &=\dfrac{5\sqrt{21}}{21}\end{align*}$
    $\quad$
    e. Le volume du tétraèdre $HFIJ$ est :
    $\begin{align*} V&=\dfrac{A_{FIJ}\times HH’}{3}\\
    &=\dfrac{\dfrac{\sqrt{21}}{8}\times \dfrac{5\sqrt{21}}{21}}{3} \\
    &=\dfrac{\dfrac{5\times 21}{8\times 21}}{3} \\
    &=\dfrac{5}{24} ~\text{u.v}\end{align*}$
    $\quad$

 

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A : étude du cas particulier où $\boldsymbol{n=2}$

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} P\left(D_1\cap D_2\right)&=P\left(D_1\right)P_{D_1}\left(D_2\right) \\
    &=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{3}{4} \\
    &=\dfrac{1}{4}\end{align*}$
    La probabilité que le robot de déplace deux fois à droite est égale à $\dfrac{1}{4}$.
    $\quad$
  3. $\left(D_1,\conj{D_1}\right)$ est un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p_2&=P\left(D_2\right) \\
    &=P\left(D_1\cap D_2\right)+P\left(\conj{D_1}\cap D_2\right) \\
    &=P\left(D_1\right)P_{D_1}\left(D_2\right)+P\left(\conj{D_1}\right)P_{\conj{D_1}}\left(D_2\right) \\
    &=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{3}{4}+\dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{2} \\
    &=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3} \\
    &=\dfrac{7}{12}\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{D_2}\left(D_1\right)&=\dfrac{P\left(D_1\cap D_2\right)}{P\left(D_2\right)} \\
    &=\dfrac{~\dfrac{1}{4}~}{\dfrac{7}{12}} \\
    &=\dfrac{3}{7}\end{align*}$.
    La probabilité qu’il se soit déplacé à droite lors du premier déplacement sachant qu’il s’est déplacé à droite lors du deuxième déplacement est égale à $\dfrac{3}{7}$.
    $\quad$

Partie B : étude de la suite $\boldsymbol{p_n}$

  1. Soit $n$ un entier naturel non nul.
    $\left(D_n,\conj{D_n}\right)$ est un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p_{n+1}&=P\left(D_{n+1}\right) \\
    &=P\left(D_n\cap D_{n+1}\right)+P\left(\conj{D_n}\cap D_{n+1}\right) \\
    &=P\left(D_n\right)P_{D_n}\left(D_{n+1}\right)+P\left(\conj{D_n}\right)P_{\conj{D_n}}\left(D_{n+1}\right) \\
    &=\dfrac{3}{4}p_n+\dfrac{1}{2}\left(1-p_n\right) \\
    &=\dfrac{3}{4}p_n+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}p_n \\
    &=\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel non nul $n$ on pose $R(n):~p_n\pp p_{n+1}<\dfrac{2}{3}$
    Initialisation : $p_1=\dfrac{1}{3}$ et $p_2=\dfrac{7}{12}$
    Or $p_1=\dfrac{4}{12}<p_2$ et $\dfrac{2}{3}=\dfrac{8}{12}>p_2$.
    Donc $p_1\pp p_2<\dfrac{2}{3}$ et $R(1)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $R(n)$ est vraie.
    $\begin{align*} p_n\pp p_{n+1}<\dfrac{2}{3}&\ssi \dfrac{1}{4}p_n\pp \dfrac{1}{4}p_{n+1}<\dfrac{1}{6} \\
    &\ssi \dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}\pp \dfrac{1}{4}p_{n+1}+\dfrac{1}{2}<\dfrac{4}{6} \\
    &\ssi p_{n+1}\pp p_{n+2}<\dfrac{2}{3}\end{align*}$
    Et $R(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ non nul on a $p_n\pp p_{n+1}<\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$
    b. La suite $\left(p_n\right)$ est donc croissante et majorée par $\dfrac{2}{3}$. Par conséquent, d’après le théorème de la limite monotone, elle converge.
    $\quad$
  3. a. Soit $n$ un entier naturel non nul.
    $\begin{align*} u_{n+1}&=p_{n+1}-\dfrac{2}{3} \\
    &=\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{3} \\
    &=\dfrac{1}{4}p_n-\dfrac{1}{6} \\
    &=\dfrac{1}{4}\left(p_n-\dfrac{2}{3}\right)\\
    &=\dfrac{1}{4}u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{4}$ et de premier terme $u_1=\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{3}=-\dfrac{1}{3}$.
    $\quad$
    b. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $u_n=-\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$.
    Ainsi $p_n=\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$.
    $-1<\dfrac{1}{4}<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} \left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}=0$.
    Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} p_n=\dfrac{2}{3}$.
    Sur le long terme, le robot se déplace à droite $2$ fois sur $3$.
    $\quad$

Partie C

On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de déplacement vers la droite.
On répète $10$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $\dfrac{3}{4}$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=\dfrac{3}{4}$.
Le robot revienne à son point de départ au bout des dix déplacements si, et seulement si, il s’est déplacé $5$ fois vers la droite et donc $5$ fois vers la gauche.

$\begin{align*} P(X=5)&=\dbinom{10}{5} \left(\dfrac{3}{4}\right)^5\left(\dfrac{1}{4}\right)^5 \\
&\approx 0,058\end{align*}$

La probabilité que le robot revienne à son point de départ au bout des dix déplacements est environ égale à $0,058$.
$\quad$

 

 

 

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. On a :
    $\begin{align*} f\left(\ln(5)\right)&=\dfrac{6}{1+5\e^{-\ln(5)}} \\
    &=\dfrac{6}{1+\dfrac{5}{5}}\\
    &=\dfrac{6}{2}\\
    &=3\end{align*}$
    Le point $A$ de coordonnées $\left(\ln(5);3\right)$ appartient à la courbe $C_f$.
    $\quad$
  2. $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=\dfrac{6}{1}=6$.
    La droite d’équation $y=6$ est donc une asymptote à la courbe $C_f$ en $+\infty$.
    $\quad$
  3. a. D’après l’énoncé $f$ est dérivable sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=-\dfrac{6\times \left(-5\e^{-x}\right)}{\left(1+5\e^{-x}\right)^2} \\
    &=\dfrac{30\e^{-x}}{\left(1+5\e^{-x}\right)^2} \end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive.
    Par conséquent, pour tout réel $x$ on a $f'(x)>0$.
    De plus $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^{-x}=+\infty$. Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$.
    On obtient donc le tableau de variation suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  4. a. La fonction exponentielle étant strictement positive, le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend que de celui de $5\e^{-x}-1$.
    Or $5\e^{-x}-1=0\ssi 5\e^{-x}=1\ssi \e{-x}=\dfrac{1}{5} \ssi -x=\ln\left(\dfrac{1}{5}\right) \ssi x=\ln(5)$
    et $5\e^{-x}-1>0\ssi 5\e^{-x}>1\ssi \e{-x}>\dfrac{1}{5} \ssi -x>\ln\left(\dfrac{1}{5}\right) \ssi x<\ln(5)$.
    La fonction $f$ est donc convexe sur $\left]-\infty;\ln(5)\right]$ et concave sur $\left[\ln(5);+\infty\right[$.
    La fonction $f\dsec$ s’annule en changeant de signe en $\ln(5)$. Par conséquent le point $A$ est le point d’inflexion de la courbe $C_f$.
    $\quad$
    b. $f'(0)=\dfrac{30}{36}=\dfrac{5}{6}$ et $f(0)=\dfrac{6}{6}=1$.
    Une équation de la tangente $d$ à la courbe $C_f$ au point d’abscisse $0$ est donc $y=\dfrac{5}{6}x+1$.
    La fonction $f$ est convexe sur $\left]-\infty;\ln(5)\right]$. La courbe est donc au-dessus de toutes ses tangentes sur cet intervalle, en particulier $d$.
    Par conséquent, pour tout $x\in \left]-\infty;\ln(5)\right]$, on a $f(x)\pg \dfrac{5}{6}x+1$.
    $\quad$
  5. a. $F_k$ est dérivable sur $\R$ en tant que composée de fonctions dérivables.
    Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*} F_k'(x)&=\dfrac{k\e^x}{\e^x+5} \\
    &=\dfrac{k}{1+5\e^{-x}}\end{align*}$
    $F_k$ est une primitive de $f$ sur $\R$ si, et seulement si, pour tout réel $x$ on a $F_k'(x)=f(x)$.
    Donc, par identification, $F_k$ est une primitive de $f$ sur $\R$ si, et seulement si, $k=6$.
    $\quad$
    b. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et positive sur $\R$.
    Par conséquent l’aire du domaine délimité par la courbe $C_f$, l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équation $x=\ln(5)$ est égale à :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\int_0^{\ln(5)} f(x)\dx \\
    &=F_{6}\left(\ln(5)\right)-F_{6}(0) \\
    &=6\ln\left(\e^{\ln(5)}+5\right)-6\ln(1+5) \\
    &=6\ln(10)-6\ln(6) \\
    &=6\ln\left(\dfrac{10}{6}\right) \\
    &=6\ln\left(\dfrac{5}{3}\right) \end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*} f(x)-\dfrac{1}{6}\left(f'(x)\right)^2 &=\dfrac{6}{1+5\e^{-x}}-\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{6}{1+5\e^{-x}}\right)^2 \\
    &=\dfrac{6}{1+5\e^{-x}}-\dfrac{6}{\left(1+5\e^{-x}\right)^2} \\
    &=\dfrac{6+30\e^{-x}-6}{\left(1+5\e^{-x}\right)^2} \\
    &=f'(x)\end{align*}$
    $f$ est donc une solution de l’équation différentielle $(E)$.
    $\quad$
  2. L’équation différentielle $y’=-y+\dfrac{1}{6}$ est de la forme $y’=ay+b$ avec $a=-1$ et $b=\dfrac{1}{6}$.
    L’ensemble des fonctions solution de cette équation différentielle est donc $\acco{x\mapsto C\e^{-x}-\dfrac{1}{6},~ \text{pour tout }C\in \R}$.
    $\quad$
  3. a. $g$ ne s’annule pas sur $R$ donc $h$ ne s’annule pas non plus sur $\R$. Par hypothèses, $g$ et $h$ sont dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a $g(x)=\dfrac{1}{h(x)}$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} g'(x)&=\dfrac{-h'(x)}{h^2(x)} \\
    &=\dfrac{h(x)-\dfrac{1}{6}}{h^2(x)} \qquad h\text{~est solution de } y’=y+\dfrac{1}{6} \\
    &=\dfrac{1}{h(x)}-\dfrac{1}{6}\times \dfrac{1}{h^2(x)} \\
    &=g(x)-\dfrac{1}{6}g^2(x)\end{align*}$
    Ainsi, si $h$ est solution de l’équation différentielle $y’=-y+\dfrac{1}{6}$ alors $g$ est solution de l’équation différentielle $y’=y-\dfrac{1}{6}y^2$.
    $\quad$
    b. Soit $m$ un réel positif.
    La fonction $g_m$ est dérivable sur $\R$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $\R$ dont le dénominateur ne s’annule pas sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a alors $g’_m(x)=\dfrac{36m\e^{-x}}{\left(1+6m\e^{-x}\right)^2}$.
    De plus
    $\begin{align*} g_m(x)-\dfrac{1}{6}g_m^2(x)&=\dfrac{6}{1+6m\e^{-x}}-\dfrac{1}{6}\times \dfrac{36}{\left(1+6m\e^{-x}\right)^2} \\
    &=\dfrac{6+36m\e^{-x}-6}{\left(1+6m\e^{-x}\right)^2} \\
    &=\dfrac{36m\e^{-x}}{\left(1+6m\e^{-x}\right)^2} \\
    &=g’_m(x)\end{align*}$
    Pour tout réel $m$ positif, la fonction $g_m$ est solution de l’équation différentielle $(E)$.
    $\quad$
    Remarque : On pouvait également choisir un réel $C$ et utiliser l’ensemble solution de la question B.2. pour obtenir une fonction $h$ et en déduire l’expression de $g$.
    $\quad$

 

 

Ex 4

Exercice 4

  1. L’instruction $\texttt{seuil(100)}$ renvoie le plus petit entier naturel tel que $u_n\pg 100$ où $\left(u_n\right)$ est la suite définie par $u_0=7$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=1,05u_n+3$.
    Voici les $19$ valeurs approchées des premiers termes de la suites :
    $$\begin{array}{|c|c|}
    \hline0&7\\
    \hline
    1&10.35\\
    \hline
    2&13.8675\\
    \hline
    3&17.560875\\
    \hline
    4&21.43891875\\
    \hline
    5&25.5108646875\\
    \hline
    6&29.786407921875\\
    \hline
    7&34.275728317968756\\
    \hline
    8&38.989514733867196\\
    \hline
    9&43.938990470560555\\
    \hline
    10&49.13593999408858\\
    \hline
    11&54.59273699379301\\
    \hline
    12&60.322373843482666\\
    \hline
    13&66.3384925356568\\
    \hline14&72.65541716243965\\
    \hline
    15&79.28818802056163\\
    \hline
    16&86.25259742158971\\
    \hline
    17&93.5652272926692\\
    \hline18&101.24348865730268\\
    \hline\end{array}$$
    $18$ est donc la valeur du plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n\pg 100$.
    Affirmation 1 vraie
    $\quad$
  2. $S_n$ est la somme des $n+1$ premiers termes de la suite géométrique $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=\dfrac{1}{5^n}$.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $S_n=\dfrac{1-\dfrac{1}{5^{n+1}}}{1-\dfrac{1}{5}}$
    Or $-1<\dfrac{1}{5}<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{5^{n+1}}=0$.
    Par conséquent $\left(S_n\right)$ converge vers :
    $\begin{align*} \dfrac{1}{1-\dfrac{1}{5}}&=\dfrac{1}{~\dfrac{4}{5}~} \\
    &=\dfrac{5}{4}\end{align*}$
    Affirmation 2 vraie
    $\quad$
  3. Il existe $\dbinom{30}{2}$ binômes de délégués différents.
    Or
    $\begin{align*} \dbinom{30}{2}&=\dfrac{30\times 29}{2} \\
    &=435\\
    &\neq 870\end{align*}$
    Affirmation 3 fausse
    $\quad$
  4. La fonction $f$ est dérivable sur $[1;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x\pg 1$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\left(\ln(x)\right)^2+2x\times \dfrac{\ln(x)}{x} \\
    &=\left(\ln(x)\right)^2+2\ln(x) \\
    &=\ln(x)\left(\ln(x)+2\right)
    \end{align*}$
    Pour tout réel $x\pg 1$ on a $\ln(x)\pg 0$ (et ne s’annule qu’en $1$) et $\ln(x)+2\pg 2$.
    La fonction $f$ est donc continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[1;+\infty[$.
    Or $f(1)=0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$ car $\lim\limits_{x\to +\infty} x=+\infty$, $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln(x)=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \left(\ln(x)\right)^2=+\infty$
    De plus $1\in [0;+\infty[$.
    D’après le théorème de la bijection ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=1$ admet une unique solution sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
    Affirmation 4 vraie
    $\quad$
  5. On réalise une intégration par parties à l’aide des fonctions $u$ et $v$ de classe $C^1$ sur $\R$ définies par $$\begin{array}{lll}u(x)=x&\phantom{123}&u'(x)=1\\
    v(x)=-\e^{-x}&&v'(x)=\e^{-x}\end{array}$$
    Par conséquent
    $\begin{align*} \int_0^1 x\e^{-x}\dx&=\Big[-x\e^{-x}\Big]_0^1-\int_0^1-\e^{-x}\dx \\
    &=-\e^{-1}+\int_0^1\e^{-x}\dx \\
    &=-\e^{-1}+\Big[-\e^{-x}\Big]_0^1 \\
    &=-\e^{-1}-\e^{-1}+1\\
    &=-2\e^{-1}+1 \\
    &=\e^{-1}\left(-2+\e\right) \\
    &=\dfrac{\e-2}{\e}\end{align*}$
    Affirmation 5 vraie
    $\quad$

Énoncé

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. 
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses seront valorisées.

Exercice 1     (5 points)

On considère le cube $ABCDEFGH$ représenté ci-dessous.
Les points $I$ et $J$ sont les milieux respectifs des segments $[AB]$ et $[CG]$.
Le point $N$ est le milieu du segment $[IJ]$.

L’objectif de cet exercice est de calculer le volume du tétraèdre $HFIJ$.
On se place dans le repère orthonormé $\left(A ; \vect{AB}, \vect{AD}, \vect{AE}\right)$.

  1. a. Donner les coordonnées des points $I$ et $J$. En déduire les coordonnées de $N$.
    $\quad$
    b. Justifier que les vecteurs $\vect{IJ}$ et $\vect{NF}$ ont pour coordonnées respectives :$$\vect{IJ} \begin{pmatrix}0,5\\1\\0,5\end{pmatrix} \quad \text{et} \quad \vect{NF} \begin{pmatrix}0,25\\-0,5\\0,75\end{pmatrix}$$
    $\quad$
    c. Démontrer que les vecteurs $\vect{IJ}$ et $\vect{NF}$ sont orthogonaux.
    $\quad$
    On admet que $NF = \dfrac{\sqrt{14}}{4}$.
    $\quad$
    d. En déduire que l’aire du triangle $FIJ$ est égale à $\dfrac{\sqrt{21}}{8}$.
    $\quad$
  2. On considère le vecteur $\vec{u} \begin{pmatrix}4\\-1\\-2\end{pmatrix}$.
    a. Démontrer que le vecteur $\vec{u}$ est normal au plan $(FIJ)$.
    $\quad$
    b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan $(FIJ)$ est : $4x-y-2z-2 = 0$.
    $\quad$
    c. On note $d$ la droite orthogonale au plan $(FIJ)$ passant par le point $H$. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$.
    $\quad$
    d. Montrer que la distance du point $H$ au plan $(FIJ)$ est égale à $\dfrac{5\sqrt{21}}{21}$.
    $\quad$
    e. On rappelle que le volume d’une pyramide est donné par la formule $V = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h$ où $\mathcal{B}$ est l’aire d’une base et $h$ la longueur de la hauteur relative à cette base.
    Calculer le volume du tétraèdre $HFIJ$. On donnera la réponse sous la forme d’une fraction irréductible.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     (5 points)

La partie $C$ est indépendante des parties A et B.

Un robot est positionné sur un axe horizontal et se déplace plusieurs fois d’un mètre sur cet axe, aléatoirement vers la droite ou vers la gauche.
Lors du premier déplacement, la probabilité que le robot se déplace à droite est égale à $\dfrac{1}{3}$.
S’il se déplace à droite, la probabilité que le robot se déplace de nouveau à droite lors du déplacement suivant est égale à $\dfrac{3}{4}$.
S’il se déplace à gauche, la probabilité que le robot se déplace de nouveau à gauche lors du déplacement suivant est égale à $\dfrac{1}{2}$.

Pour tout entier naturel $n \pg 1$, on note :

  • $D_n$ l’événement : « le robot se déplace à droite lors du $n$-ième déplacement »;
  • $\conj{D_n}$ l’évènement contraire de $D_n$;
  • $p_n$ la probabilité de l’événement $D_n$.

On a donc $p_1 = \dfrac{1}{3}$.

Partie A : étude du cas particulier où $\boldsymbol{n = 2}$.

Dans cette partie, le robot réalise deux déplacements successifs.

  1. Reproduire et compléter l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  2. Déterminer la probabilité que le robot se déplace deux fois à droite.
    $\quad$
  3. Montrer que $p_2 = \dfrac{7}{12}$.
    $\quad$
  4. Le robot s’est déplacé à gauche lors du deuxième déplacement. Quelle est la probabilité qu’il se soit déplacé à droite lors du premier déplacement ?
    $\quad$

Partie B : étude de la suite $\boldsymbol{(p_n)}$

On souhaite estimer le déplacement du robot au bout d’un nombre important d’étapes.

  1. Démontrer que pour tout entier naturel $n \pg 1$, on a :
    $$p_{n+1} = \dfrac{1}{4} p_n + \dfrac{1}{2}$$
    On pourra s’aider d’un arbre.
    $\quad$
  2. a. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \pg 1$, on a : $p_n \pp p_{n+1} < \dfrac{2}{3}$.
    $\quad$
    b. La suite $(p_n)$ est-elle convergente ? Justifier.
    $\quad$
  3. On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n \pg 1$, par $u_n = p_n-\dfrac{2}{3}$.
    a. Montrer que la suite $(u_n)$ est géométrique et préciser son premier terme et sa raison.
    $\quad$
    b. Déterminer la limite de la suite $(p_n)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

Partie C

Dans cette partie, on considère un autre robot qui réalise dix déplacements d’un mètre indépendants les uns des autres, chaque déplacement vers la droite ayant une probabilité fixe égale à $\dfrac{3}{4}$.
Quelle est la probabilité qu’il revienne à son point de départ au bout des dix déplacements ? On arrondira le résultat à $10^{-3}$ près.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3     (5 points)

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $$f(x) = \dfrac{6}{1 + 5\e^{-x}}$$
On a représenté sur le schéma ci-dessous la courbe représentative $C_f$ de la fonction $f$.

  1. Montrer que le point $A$ de coordonnées $\left(\ln(5) ; 3\right)$ appartient à la courbe $C_f$.
    $\quad$
  2. Montrer que la droite d’équation $y = 6$ est une asymptote à la courbe $C_f$.
    $\quad$
  3. a. On admet que $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f’$ sa fonction dérivée. Montrer que pour tout réel $x$, on a :$$f'(x) = \dfrac{30\e^{-x}}{(1 + 5\e^{-x})^2}$$
    $\quad$
    b. En déduire le tableau de variation complet de $f$ sur $\R$.
    $\quad$
  4. On admet que :
    $\bullet$ $f$ est deux fois dérivable sur $\R$, on note $f”$ sa dérivée seconde ;
    $\bullet$ pour tout réel $x$,$$f\dsec(x) = \dfrac{30\e^{-x}(5\e^{-x} – 1)}{(1 + 5\e^{-x})^3}$$
    a. Étudier la convexité de $f$ sur $\R$. On montrera en particulier que la courbe $C_f$ admet un point d’inflexion.
    $\quad$
    b. Justifier que pour tout réel $x$ appartenant à $\left]-\infty ; \ln(5)\right]$, on a : $f(x) \pg \dfrac{5}{6}x + 1$.
    $\quad$
  5. On considère une fonction $F_k$ définie sur $\R$ par $F_k(x) = k \ln (\e^x + 5)$, où $k$ est une constante réelle.
    a. Déterminer la valeur du réel $k$ de sorte que $F_k$ soit une primitive de $f$ sur $\R$.
    $\quad$
    b. En déduire que l’aire, en unité d’aire, du domaine délimité par la courbe $C_f$, l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équation $x = \ln(5)$ est égale à $6 \ln \left(\dfrac{5}{3}\right)$.
    $\quad$

Partie B

L’objectif de cette partie est d’étudier l’équation différentielle suivante : $$(E) : y’ = y-\dfrac{1}{6}y^2$$
On rappelle qu’une solution de l’équation $(E)$ est une fonction $u$ définie et dérivable sur $\R$ telle que pour tout $x$ réel, on a : $$u'(x) = u(x)-\dfrac{1}{6}u(x)^2$$

  1. Montrer que la fonction $f$ définie dans la partie A est une solution de l’équation différentielle $(E)$.
    $\quad$
  2. Résoudre l’équation différentielle $y’ = -y + \dfrac{1}{6}$.
    $\quad$
  3. On désigne par $g$ une fonction dérivable sur $\R$ qui ne s’annule pas. On note $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = \dfrac{1}{g(x)}$. On admet que $h$ est dérivable sur $\R$. On note $g’$ et $h’$ les fonctions dérivées de $g$ et $h$.
    a. Montrer que si $h$ est solution de l’équation différentielle $y’ = -y + \dfrac{1}{6}$, alors $g$ est solution de l’équation différentielle $y’ = y-\dfrac{1}{6}y^2$.
    $\quad$
    b. Pour tout réel positif $m$, on considère les fonctions $g_m$ définie sur $\R$ par : $$g_m(x) = \dfrac{6}{1 + 6m\e^{-x}}$$
    Montrer que pour tout réel positif $m$, la fonction $g_m$ est solution de l’équation différentielle $(E) : y’ = y-\dfrac{1}{6}y^2$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     (5 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Les cinq questions de cet exercice sont indépendantes.

  1. On considère le script écrit en langage Python ci-dessous.

    Affirmation 1 : l’instruction $\texttt{seuil(100)}$ renvoie la valeur $\texttt{18}$.
    $\quad$
  2. Soit $(S_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $S_n = 1 + \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5^2} + \cdots + \dfrac{1}{5^n}$.
    Affirmation 2 : la suite $(S_n)$ converge vers $\dfrac{5}{4}$.
    $\quad$
  3. Affirmation 3 : Dans une classe composée de $30$ élèves, on peut former $870$ binômes de délégués différents.
    $\quad$
  4. On considère la fonction $f$ définie sur $[1 ; +\infty[$ par $f(x) = x\left(\ln (x)\right)^2$.
    Affirmation 4 : l’équation $f(x) = 1$ admet une solution unique dans l’intervalle $[1 ; +\infty[$.
    $\quad$
  5. Affirmation 5 : $$\ds \int_{0}^{1} x\e^{-x} dx = \dfrac{\e-2}{\e}$$
    $\quad$

$\quad$

Bac – Amérique du Sud – novembre 2024 – jour 2

Amérique du Sud – 22 novembre 2024

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie 1

  1. On a
    $\begin{align*} P(Rh+)&=P\left(\left(A+\right)\cup \left(B+\right)\cup \left(O+\right)\cup \left(AB+\right)\right) \\
    &=P\left(A+\right)+P\left(B+\right)+P\left(O+\right)+P\left(AB+\right) \qquad \text{(incompatibilité)} \\
    &=0,382+0,365+0,077+0,025 \\
    &=0,849\end{align*}$
    La probabilité que la personne choisie soit de rhésus positif est égale à $0,849$.
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} P_{Rh+}(A)&=\dfrac{P\left((Rh+)\cap A\right)}{P(RH+)} \\
    &=\dfrac{P(A+)}{P(RH+)} \\
    &=\dfrac{0,382}{0,849} \\
    &\approx 0,450\end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{AB}(Rh-)&=\dfrac{P\left(AB\cap (Rh-)\right)}{P(AB)} \\
    &=\dfrac{P(AB-)}{P\left((AB-)\cup (AB+)\right)} \\
    &=\dfrac{P(AB-)}{P(AB-)+P (AB+)} \qquad \text{(incompatibilité)} \\
    &=\dfrac{0,004}{0,004+0,025}  \\
    &=\dfrac{4}{29}\\
    &\approx 0,138\end{align*}$
    La probabilité que son rhésus soit négatif sachant que groupe sanguin est AB est environ égale à $0,138$.
    $\quad$

Partie 2

  1. a. On répète $50$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,065$.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $50$ et $0,065$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} P(X=8)&=\dbinom{50}{8}0,065^8(1-0,065)^{42} \\
    &\approx 0,010\end{align*}$
    La probabilité que $8$ personnes soient des donneurs universels est environ égale à $0,010$.
    $\quad$
    Remarque : Les épreuves sont considérés comme indépendantes puisqu’on effectue $50$ répétitions pour une population d’environ $68$ millions.
    $\quad$
    b. Cette fonction renvoie la valeur de $P(X\pp k)$.
    Ainsi $\text{proba(8)}$ renvoie la valeur de $P(X\pp 8) \approx 0,995$.
    La probabilité qu’au plus $8$ personnes soient des donneurs universels est environ égale à $0,995$.
    $\quad$
  2. On considère $n$ personnes, où $n$ est un entier naturel non nul, choisies au hasard dans la population française et on note $Y$ la variable aléatoire qui compte le nombre de donneurs universels.
    On répète $n$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,065$.
    $Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $0,065$.
    $\begin{align*} P(Y\pg 1)\pg 0,999&\ssi 1-P(Y=0)\pg 0,999\\
    &\ssi 1-(1-0,065)^n \pg 0,999\\
    &\ssi -0,935^n \pg -0,001 \\
    &\ssi 0,935^n \pp 0,001 \\
    &\ssi n\ln(0,935)\pp \ln(0,001) \qquad \text{$\ln$ est strictement croissante sur $\R_+^*$} \\
    &\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,001)}{\ln(0,935)} \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(0,001)}{\ln(0,935)}\approx 102,8$
    Il faut donc choisir au minimum $103$ personnes pour que la probabilité qu’au moins une des personnes choisies soit donneur universel soit supérieure à $0,999$.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

Partie 1

  1. Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~0\pp u_{n+1}\pp u_n$.
    Initialisation : On a $u_0=10$ et $u_1=\dfrac{10}{3}+2=\dfrac{16}{3}$.
    Donc $0\pp \dfrac{16}{3}\pp 10$ et $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n$ un entier naturel. On suppose que $P(n)$ est vraie.
    $\begin{align*} 0\pp u_{n+1}\pp u_n&\ssi 0\pp \dfrac{1}{3}u_{n+1}\pp \dfrac{1}{3}u_n \\
    &\ssi 0\pp \dfrac{1}{3}u_{n+1}+2\pp \dfrac{1}{3}u_n+2 \\
    &\ssi 2\pp u_{n+2} \pp u_{n+1}\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante et minorée par $0$.
    Affirmation 1 vraie
    $\quad$
  2. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $0$.
    D’après le théorème de la limite monotone, la suite $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell$.
    La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{1}{3}x+2$ est continue sur $\R$ en tant que fonction affine.
    De plus, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
    Par conséquent $\ell$ est solution de l’équation
    $\begin{align*} x=f(x)&\ssi x=\dfrac{1}{3}x+2 \\
    &\ssi \dfrac{2}{3}x=2 \\
    &\ssi x=3\end{align*}$
    Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=3$.
    Affirmation 2 fausse
    $\quad$
    Remarque : On aurait pu utiliser le résultat obtenu dans l’hérédité précédente qui indiquait que $2\pp u_{n+1}\pp u_n$ et en déduire que $2$ est un minorant de la suite.
    $\quad$
  3. Soit $n$ un entier naturel.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-3 \\
    &=\dfrac{1}{3}u_n+2-3\\
    &=\dfrac{1}{3}-1 \\
    &=\dfrac{1}{3}\left(u_n-3\right) \\
    &=\dfrac{1}{3}v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $3$ et de premier terme $v_0=7$.
    Affirmation 3 vraie
    $\quad$

Partie 2

  1. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-\dfrac{4}{3}$.
    $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction constante.
    De plus, pour tout réel $x$, on a $f'(x)=0$.
    Or $\dfrac{3}{2}\times \dfrac{-4}{3}+2=-2+2=0$.
    Donc $f'(x)=\dfrac{1}{3}f(x)+2$ pour tout réel $x$.
    La fonction $f$ est constante et solution de l’équation $(E)$.
    Affirmation 4 vraie
    $\quad$
    Remarque : On résout $\dfrac{1}{3}c+2=0$ pour trouver la valeur de la constante.
    $\quad$
    Autre méthode : D’après le cours, toute équation différentielle de la forme $y’=ay+b$ où $a$ est un réel non nul et $b$ un réel quelconque admet une solution constante $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=-\dfrac{b}{a}$.
    Dans cette question $a=\dfrac{3}{2}$ et $b=2$.
    Cela prouve bien l’existence d’une solution constante.
    $\quad$
  2. Soit $g$ une solution de l’équation $(E)$.
    Pour tout réel $x$ on a donc $g'(x)=\dfrac{3}{2}g(x)+2$ et $f'(x)=\dfrac{3}{2}f(x)+2$.
    Par différence on obtient $g'(x)-f'(x)=\dfrac{3}{2}\left(g(x)-f(x)\right)$.
    Ainsi $g-f$ est solution de l’équation différentielle $(H):~y’=\dfrac{1}{3}y$ dont les solutions sont les fonctions $x\mapsto K\e^{3x/2}$ pour tout réel $K$.
    Par conséquent $g(x)=f(x)+K\e^{3x/2}$ pour tout réel $x$, c’est-à-dire $g(x)=-\dfrac{4}{3}+K\e^{3x/2}$
    On veut que $g(0)=0 \ssi -\dfrac{4}{3}+K=0 \ssi K=\dfrac{4}{3}$.
    Donc, pour tout réel $x$, on a $g(x)=\dfrac{4}{3}\e^{3x/2}-\dfrac{4}{3}$ et $g'(x)=2\e^{3x/2}$.
    Le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse $1$ de $C_f$ est égale à $g'(1)=2\e^{3/2}$.
    Affirmation 5 vraie

 

Ex 3

Exercice 3

Partie 1

  1. $\lim\limits_{x\to -\infty} x^2=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty} x^2-4=+\infty$.
    De plus $\lim\limits_{x\to -\infty} -x=+\infty$ et $\lim\limits_{X\to +\infty} \e^X=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty}\e^{-x}=+\infty$.
    Ainsi $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=+\infty$.
    $\quad$
    Pour tout réel $x$ on a $f(x)=x^2\e^{-x}-4\e^{-x}$
    $\lim\limits_{x\to +\infty} -x=-\infty$ et $\lim\limits_{X\to -\infty} \e^X=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty}\e^{-x}=0$.
    De plus, par croissances comparées $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2\e^{-x}=0$.
    Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$.
    $\quad$
  2. D’après l’énoncé, $f$ est dérivable sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=2x\e^{-x}-\left(x^2-4\right)\e^{-x} \\
    &=\left(2x-x^2+4\right)\e^{-x} \\
    &=\left(-x^2+2x+4\right)\e^{-x}\end{align*}$
    $\quad$
  3. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-x^2+2x+4$.
    C’est un polynôme du second degré dont le discriminant est $\Delta=4+16=20>0$.
    Il possède donc deux racines :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{-2-\sqrt{20}}{-2} \\
    &=1+\sqrt{5}\end{align*}$ et $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-2+\sqrt{20}}{-2} \\
    &=1-\sqrt{5}\end{align*}$
    Le coefficient principal de ce polynôme est $-1<0$.
    Par conséquent, $f$ est strictement décroissante sur $\left]-\infty;1-\sqrt{5}\right]$ et $\left[1+\sqrt{5};+\infty\right[$ et strictement croissante sur $\left[1-\sqrt{5};1+\sqrt{5}\right]$.
    $\quad$

Partie 2

  1. On a :
    $\begin{align*} I_0&=\int_{-2}^0 \e^{-x}\dx \\
    &=\Big[-\e^{-x}\Big]_{-2}^0 \\
    &=\e^{2}-1\end{align*}$
    $\quad$
  2. Soit $n$ un entier naturel.
    On réalise une intégration par parties à l’aide des fonctions $u$ et $v$ de classe $C^1$ sur $\R$ définies par : $$\begin{array}{lll}u(x)=x^{n+1}&\phantom{1234}&u'(x)=(n+1)x^n \\v(x)=-\e^{-x}&&v'(x)=\e^{-x}\end{array}$$
    $\begin{align*} I_{n+1}&=\int_{-2}^0 x^{n+1}\e^{-x}\dx \\
    &=\Big[-x^{n+1}\e^{-x}\Big]_{-2}^0+\int_{-2}^0 (n+1)x^n\e^{-x} \dx \\
    &=(-2)^{n+1}\e^2+(n+1)\int_{-2}^0x^n\e^{-x}\dx \\
    &=(-2)^{n+1}\e^2+(n+1)I_n\end{align*}$
    $\quad$
  3. D’après la question précédente :
    $\begin{align*}I_1&=(-2)^1\e^{2}+I_0 \\
    &=-2\e^{2}+\e^{2}-1 \\
    &=-\e^{2}-1\end{align*}$ et $\begin{align*} I_2&=(-2)^2\e^{2}+2I_1 \\
    &=4\e^{2}-2\e^{2}-2 \\
    &=2\e^{2}-2\end{align*}$
    $\quad$

Partie 3

  1. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Le signe de $f(x)$ ne dépend donc que de celui de $x^2-4=(x-2)(x+2)$.
    Il s’agit d’un polynôme du second degré dont les racines sont $-2$ et $2$ et dont le coefficient principal est $1>0$.
    Par conséquent :
    $\bullet~f(x)>0$ sur $]-\infty;-2[\cup]2;+\infty[$ ;
    $\bullet~f(x)<0$ sur $]-2;2[$ ;
    $\bullet~f(-2)=f(2)=0$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est négative sur $[-2;0]$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} S&=-\int_{-2}^0 f(x)\dx \\
    &=-\int_{-2}^0  \left(x^2-4\right)\e^{-x}\dx \\
    &=-\int_{-2}^0 x^2\e^{-x}\dx+\int_{-2}^0 4\e^{-x} \dx \\
    &=-I_2+4I_0 \\
    &=-2\e^2+2+4\left(\e^2-1\right) \\
    &=2\e^2-2 \text{u.a.}\end{align*}$
    $\quad$

 

 

Ex 4

Exercice 4

Partie 1 : Distance du point $\boldsymbol{O}$ au plan $\boldsymbol{(ABC)}$

  1. On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}-3\\2\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}-3\\0\\2\end{pmatrix}$
    Par conséquent :
    $\vec{n}.\vect{AB}=-6+6+0=0$ et $\vec{n}.\vect{AC}=-6+0+6=0$.
    Les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ ne sont pas colinéaires car ils n’ont pas la même composante nulle.
    Ainsi $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$. Il est donc normal à ce plan.
    $\quad$
  2. Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est de la forme $2x+3y+3z+d=0$
    Le point $A(3;0;0)$ appartient à ce plan.
    Ainsi $6+0+0+d=0\ssi d=-6$.
    Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est $2x+3y+3z-6=0$.
    $\quad$
  3. Une représentation paramétrique de la droite $d$ est $\begin{cases} x=2t\\y=3t\\z=3t\end{cases}$ pour tout réel $t$.
    $\quad$
  4. Les coordonnées du point $H$ sont solution du système
    $\begin{align*} \begin{cases}2x+3y+3z-6=0\\x=2t\\y=3t\\z=3t\end{cases}&\ssi \begin{cases} 4t+9t+9t-6=0\\x=2t\\y=3t\\z=3t\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} 22t=6\\x=2t\\y=3t\\z=3t\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} t=\dfrac{3}{11}\\[3mm]x=\dfrac{6}{11}\\[3mm]y=\dfrac{9}{11}\\[3mm]z=\dfrac{9}{11}\end{cases}\end{align*}$
    Le point $H$ a donc pour coordonnées $\left(\dfrac{6}{11};\dfrac{9}{11};\dfrac{9}{11}\right)$.
    $\quad$
  5. $H$ est le projeté orthogonal du point $O$ sur le plan $(ABC)$.
    Par conséquent, la distance du point $O$ au plan $(ABC)$ est égale à :
    $\begin{align*}OH&=\sqrt{\left(\dfrac{6}{11}\right)^2+\left(\dfrac{9}{11}\right)^2+\left(\dfrac{9}{11}\right)^2} \\
    &=\sqrt{\dfrac{36+81+81}{11^2}} \\
    &=\dfrac{\sqrt{198}}{11} \\
    &=\dfrac{3\sqrt{22}}{11}\end{align*}$
    $\quad$

Partie 2 : Démonstration de la propriété 

  1. Le volume du tétraèdre $OABC$ est :
    $\begin{align*} V&=\dfrac{\text{Aire}_{OAB}\times OC}{3} \\
    &=\dfrac{\dfrac{3\times 2}{2}\times 2}{3} \\
    &=2\end{align*}$
    $\quad$
  2. On a également $V=\dfrac{\text{Aire}_{ABC}\times OH}{3}$.
    Ainsi
    $\begin{align*} V=2&\ssi \dfrac{\text{Aire}_{ABC}\times OH}{3}=2 \\
    &\ssi \text{Aire}_{ABC}\times \dfrac{3\sqrt{22}}{11}=6 \\
    &\ssi \text{Aire}_{ABC}=\dfrac{66}{3\sqrt{22}} \\
    &\ssi \text{Aire}_{ABC}=\dfrac{22}{\sqrt{22}} \\
    &\ssi \text{Aire}_{ABC}=\sqrt{22}\end{align*}$
    $\quad$
  3. La somme des aires des faces $OAC$, $OAB$ et $OBC$ est égale à
    $\begin{align*} S&={\text{Aire}_{OAC}}^2+{\text{Aire}_{OAB}}^2+{\text{Aire}_{OBC}}^2 \\
    &=\left(\dfrac{3\times 2}{2}\right)^2+\left(\dfrac{3\times 2}{2}\right)^2+\left(\dfrac{2\times 2}{2}\right)^2 \\
    &=3^2+3^2+2^2 \\
    &=9+9+4 \\
    &=22\\
    &={\text{Aire}_{ABC}}^2\end{align*}$
    Pour le tétraèdre $OABC$ le carré de l’aire du triangle $ABC$ est égal à la somme des carrés des aires des $3$ autres faces du tétraèdre.
    $\quad$

 

Énoncé

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. 
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses seront valorisées.

Exercice 1     (5 points)

Voici la répartition des principaux groupes sanguins des habitants de France :

$\mathrm{A}+, \mathrm{O}+, \mathrm{B}+, \mathrm{A}-, \mathrm{O}-, \mathrm{AB}+, \mathrm{B}-$ et $\mathrm{AB}-$ sont les différents groupes sanguins combinés aux rhésus.

Par exemple : $\mathrm{A}+$ est le groupe sanguin $\mathrm{A}$ de rhésus + .

Une expérience aléatoire consiste à choisir une personne au hasard dans la population française et à déterminer son groupe sanguin et son rhésus.

Dans l’exercice, on adopte les notations du type :
$A+$ est l’évènement «la personne est de groupe sanguin $\mathrm{A}$ et de rhésus + »
$A-$ est l’évènement «la personne est de groupe sanguin $\mathrm{A}$ et de rhésus – »
$A$ est l’évènement «la personne est de groupe sanguin $\mathrm{A}$»

Les parties 1 et 2 sont indépendantes.

Partie 1

On note $Rh+$ l’évènement «La personne est de rhésus positif».

  1. Justifier que la probabilité que la personne choisie soit de rhésus positif est égale à $0,849$.
    $\quad$
  2. Démontrer à l’aide des données de l’énoncé que $P_{Rh+}(A) = 0,450$ à $0,001$ près.
    $\quad$
  3. Une personne se souvient que son groupe sanguin est $\mathrm{AB}$ mais a oublié son rhésus. Quelle est la probabilité que son rhésus soit négatif? Arrondir le résultat à $0,001$ près.
    $\quad$

Partie 2

Dans cette partie, les résultats seront arrondis à $0,001$ près.
Un donneur universel de sang est une personne de groupe sanguin $\mathrm{O}$ et de rhésus négatif. On rappelle que $6,5\%$ de la population française est de groupe $\mathrm{O}-$.

  1. n considère $50$ personnes choisies au hasard dans la population française et on note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de donneurs universels.
    a. Déterminer la probabilité que $8$ personnes soient des donneurs universels. Justifier votre réponse.
    $\quad$
    b. On considère la fonction ci-dessous nommée $\texttt{proba}$ d’argument $k$ écrite en langage Python.

    Cette fonction utilise la fonction $\texttt{binomiale}$ d’argument $i, n$ et $p$, créée pour l’occasion, qui renvoie la valeur de la probabilité $P(X=i)$ dans le cas où $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.
    Déterminer la valeur numérique renvoyée par la fonction $\texttt{proba}$ lorsqu’on saisit $\texttt{proba(8)}$ dans la console Python. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  2. Quel est le nombre minimal de personnes à choisir au hasard dans la population française pour que la probabilité qu’au moins une des personnes choisies soit donneur universel, soit supérieure à $0,999$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     (5 points)

Cet exercice contient 5 affirmations.

Pour chaque affirmation, répondre par VRAI ou FAUX en justifiant la réponse.
Toute absence de justification ou justification incorrecte ne sera pas prise en compte dans la notation.

Partie 1

On considère la suite $(u_n)$ définie par : $$ u_0 = 10 \text{ et pour tout entier naturel } n, u_{n+1} = \dfrac{1}{3} u_n + 2$$

  1. Affirmation 1 : La suite $(u_n)$ est décroissante minorée par $0$.
    $\quad$
  2. Affirmation 2 : $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$.
    $\quad$
  3. Affirmation 3 : La suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n-3$ est géométrique.
    $\quad$

Partie 2

On considère l’équation différentielle $(E): y’ = \dfrac{3}{2} y + 2$ d’inconnue $y$, fonction définie et dérivable sur $\R$.

  1. Affirmation 4 : Il existe une fonction constante solution de l’équation différentielle $(E)$.
    $\quad$
  2. Dans un repère orthonormé $\Oij$ on note $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ solution de $(E)$ telle que $f(0) = 0$.
    Affirmation 5 : La tangente au point d’abscisse $1$ de $\mathscr{C}_f$ a pour coefficient directeur $2 \e^{\frac{3}{2}}$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     (5 points)

Partie 1

On considère la fonction $f$ définie sur l’ensemble des nombres réels $\R$ par : $$ f(x) = (x^2-4) \e^{-x}$$
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.

  1. Déterminer les limites de la fonction $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
    $\quad$
  2. Justifier que pour tout réel $x$, $f'(x) = (-x^2 + 2x + 4) \e^{-x}$.
    $\quad$
  3. En déduire les variations de la fonction $f$ sur $\R$.
    $\quad$

Partie 2

On considère la suite $(I_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $I_n = \ds \int_{-2}^{0} x^n \e^{-x} \dx$.

  1. Justifier que $I_0 = e^2-1$.
    $\quad$
  2. En utilisant une intégration par parties, démontrer l’égalité :
    $$ I_{n+1} = (-2)^{n+1} \e^2 + (n+1) I_n $$
    $\quad$
  3. En déduire les valeurs exactes de $I_1$ et de $I_2$.
    $\quad$

Partie 3

  1. Déterminer le signe sur $\R$ de la fonction $f$ définie dans la partie 1.
    $\quad$
  2. On a représenté ci-contre la courbe $\mathscr{C}_f$ de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $\Oij$.
    Le domaine $D$ du plan hachuré ci-contre est délimité par la courbe $\mathscr{C}_f$, l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées.
    $\quad$

    $\quad$
    Calculer la valeur exacte, en unité d’aire, de l’aire $S$ du domaine $D$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     (5 points)

L’espace est muni d’un repère orthonormé $\Oijk$.
On considère les trois points $A(3; 0; 0)$, $B(0; 2; 0)$ et $C(0; 0; 2)$.

L’objectif de cet exercice est de démontrer la propriété suivante :
«Le carré de l’aire du triangle $ABC$ est égal à la somme des carrés des aires des trois autres faces du tétraèdre $OABC$».

Partie 1 : Distance du point $\boldsymbol{O}$ au plan $\boldsymbol{(ABC)}$

  1. Démontrer que le vecteur $\vec{n}(2; 3; 3)$ est normal au plan $(ABC)$.
    $\quad$
  2. Démontrer qu’une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est : $2x + 3y + 3z-6 = 0$.
    $\quad$
  3. Donner une représentation paramétrique de la droite $d$ passant par $O$ et de vecteur directeur $\vec{n}$.
    $\quad$
  4. On note $H$ le point d’intersection de la droite $d$ et du plan $(ABC)$. Déterminer les coordonnées du point $H$.
    $\quad$
  5. En déduire que la distance du point $O$ au plan $(ABC)$ est égale à $\dfrac{3 \sqrt{22}}{11}$.
    $\quad$

Partie 2 : Démonstration de la propriété

  1. Démontrer que le volume du tétraèdre $OABC$ est égal à $2$.
    $\quad$
  2. En déduire que l’aire du triangle $ABC$ est égale à $\sqrt{22}$.
    $\quad$
  3. Démontrer que pour le tétraèdre $OABC$, «le carré de l’aire du triangle $ABC$ est égal à la somme des carrés des aires des trois autres faces du tétraèdre».
    $\quad$
    On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par $V = \dfrac{1}{3} B \times h$ $B$ est l’aire d’une base du tétraèdre et $h$ est la hauteur relative à cette base.
    $\quad$

$\quad$