Bac – Polynésie – jour 2 – juin 2024

Polynésie – 20 juin 2024

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. On a $P(J)=0,6$ et $P_J(S)= \dfrac{8}{9}$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} P(J\cap S)&=P(J)\times P_J(S)\\
    &=0,6\times \dfrac{8}{9} \\
    &=\dfrac{8}{15}\end{align*}$
    La probabilité que la personne choisie ait l’intention de regarder les JOP de Paris 2024 à la télévision et déclare pratiquer une activité sportive régulière est de $\dfrac{8}{15}$.
    $\quad$
  2. a. On a $P(S)=\dfrac{2}{3}$
    $\left(J,\conj{J}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(S)=P(J\cap S)+P\left(\conj{J}\cap S\right) &\ssi \dfrac{2}{3}=\dfrac{8}{15}+P\left(\conj{J}\cap S\right) \\
    &\ssi P\left(\conj{J}\cap S\right)=\dfrac{2}{15}\end{align*}$.
    La probabilité que la personne choisie n’ait pas l’intention de regarder les JOP de Paris 2024 à la télévision et déclare pratiquer une activité sportive régulière est égale à $\dfrac{2}{15}$.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} P\left(\conj{J}\cap S\right)=P\left(\conj{J}\right)\times P_{\conj{J}}(S)&\ssi \dfrac{2}{15}=0,4\times P_{\conj{J}}(S) \\
    &\ssi P_{\conj{J}}(S)=\dfrac{\dfrac{2}{15}}{0,4} \\
    &\ssi P_{\conj{J}}(S)=\dfrac{1}{3} \end{align*}$
    $\quad$
  3. a. On répète $30$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $\dfrac{2}{3}$.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=30$ et $p=\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$
    b. On a ainsi :
    $\begin{align*} P(X=16)&=\dbinom{30}{16}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{16}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{14} \\
    &\approx 0,046\end{align*}$
    La probabilité qu’exactement $16$ personnes déclarent pratiquer une activité sportive est environ égale à $0,046$.
    $\quad$
    c. $\dfrac{10~000}{380} \approx 26,3$.
    Le budget prévu ne permet d’offrir que $26$ places.
    Or, d’après la calculatrice,
    $\begin{align*} P(X>26)&=1-P(X\pp 26)\\
    &\approx 0,003\end{align*}$.
    La probabilité que ce budget soit insuffisant est environ égale à $0,003$.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. Nous avons une équation différentielle de la forme $y’=ay+b$ avec $a=-3$ et $b=7$.
    Les solutions de cette équation sont les fonctions $f$ définies sur $\R$ par $f(x)=C\e^{ax}-\dfrac{b}{a}$.
    Donc, ici, $f(x)=C\e^{-3x}+\dfrac{7}{3}$.
    On veut que $f(0)=1\ssi C+\dfrac{7}{3}=1\ssi C=-\dfrac{4}{3}$.
    Ainsi, $f(x)=-\dfrac{4}{3}\e^{-3x}+\dfrac{7}{3}$
    Réponse B
    $\quad$
  2. La fonction $f$ semble continue et positive sur $[1;5]$. $I$ est donc égale à l’aire du domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe représentant la fonction $f$ et les droites d’équation $x=1$ et $x=5$.
    $5$ carreaux sont contenus dans ce domaine et ce domaine est contenu dans un ensemble de $10$ carreaux.
    Donc $5\pp I\pp 10$.
    Réponse C
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} \int_0^2 g'(x)\dx&=Big[g(x)\big]_0^2 \\
    &=g(2)-g(0)\\
    &=4\ln(8)-0\\
    &\approx 8,3\end{align*}$
    Réponse B
    $\quad$
  4. Il existe $\dfrac{31}{5}$ groupes différents de $5$ élèves dans une classe de $31$ élèves.
    Réponse D
    $\quad$
  5. Il y a $\dbinom{20}{3}$ groupes différents de $3$ élèves ayant choisi la spécialité SES.
    Il y a $\dbinom{31-20}{5-3}=\dbinom{11}{2}$ façons différentes de choisir les $2$ autres élèves parmi les élèves n’ayant pas choisi la spécialité SES.
    Il y a donc $\dbinom{20}{3}\dbinom{11}{2}$ groupes possibles.
    Réponse A
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. a. $u_1=8-\ln(2)\approx 7,31$
    $u_2=8-\ln(2)-\ln\left(\dfrac{8-\ln(2)}{4}\right) \approx 6,70$.
    $\quad$
    b. Cet appel renvoie une valeur approchée de la somme $\ds \sum_{k=0}^{9} u_k=u_0+\ldots+u_{9}$.
    $\quad$
    c. On peut écrire :

    Remarque : On suppose que $k$ est un entier naturel non nul.
    $\quad$
  2. $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ par hypothèse.
    Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=1-\dfrac{~\dfrac{1}{4}~}{\dfrac{x}{4}} \\
    &=1-\dfrac{1}{x} \\
    &=\dfrac{x-1}{x}\end{align*}$
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $x-1$ car $x>0$.
    or $x-1=0\ssi x=1$ et $x-1>0\ssi x>1$.
    La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $]0;1]$ et strictement croissante sur $[1;+\infty[$.
    $\begin{align*}f(1)&=1-\ln\left(\dfrac{1}{4}\right) \\
    &=1+\ln(4)\end{align*}$
    On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
    $\quad$

    $\quad$
    Remarque : Si on veut calculer les limites (ce qui n’est pas demandé) :
    $\lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{x}{4}=0^+$ et $\lim\limits_{X\to 0^+} \ln(X)=-\infty$ donc $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=+\infty$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f(x)&=x-\ln(x)+\ln(4) \\
    &=x\left(1-\dfrac{\ln(x)}{x}+\dfrac{\ln(4)}{x}\right) \end{align*}$
    Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(4)}{x}=0$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$.
    Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~1\pp u_{n+1}\pp u_n$.
    Initialisation : $u_0=8$ et $u_1\approx 7,31$ donc $1\pp u_1\pp u_0$ et $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
    On a donc $1\pp u_{n+1}\pp u_n$.
    La fonction $f$ est strictement croissante sur $[1;+\infty[$ donc :
    $f(1) \pp f\left(u_{n+1}\right)\pp f\left(u_n\right)$
    Soit $1<1+\ln(4)\pp u_{n+2} \pp u_{n+1}$ et $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ on a $1\pp u_{n+1} \pp u_n$.
    $\quad$
    b. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $1$. D’après le théorème de la limite monotone, la suite $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell \in[1;+\infty[$.
    $\quad$
    c.
    $\begin{align*} f(x)=x&\ssi x-\ln\left(\dfrac{x}{4}\right)=x \\
    &\ssi -\ln\left(\dfrac{x}{4}\right)=0 \\
    &\ssi \dfrac{x}{4}=1 \qquad (\text{stricte croissance de la fonction } \ln )\\
    &\ssi x=4\end{align*}$
    L’unique solution de l’équation $f(x)=x$ est $4$.
    $\quad$
    d. La suite $\left(u_n\right)$ vérifie pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$ où $f$ est une fonction continue (car dérivable) sur $]0;+\infty[$.
    D’après la question 3.b. cette suite converge vers un réel $\ell$.
    Ainsi $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=x$.
    D’après la question précédente $\ell=4$.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}5\\-1\\-13\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}2\\-2\\-10\end{pmatrix}$
    Or $\dfrac{5}{2}\neq \dfrac{-1}{-10}$.
    Les deux vecteurs ne sont donc pas colinéaires.
    Par conséquent $A$, $B$ et $C$$ ne sont pas alignés.
    $\quad$
  2. a. D’une part $\vec{n}.\vect{AB}=10+3-13=0$
    D’autre part $\vec{n}.\vect{AC}=4+6-10=0$
    $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$. Il est donc normal au plan $\mathcal{P}$.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne de ce plan est donc de la forme $2x-3y+z+d=0$.
    Or $A(-1;-1;17)$ appartient à ce plan.
    Ainsi $-2+3+17+d=0\ssi d=-18$.
    Une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est $2x-3y+z-18=0$.
    $\quad$
  3. a. Un vecteur directeur de la droite $d$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}3\\1\\4\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    b. Les coordonnées du point $E$ sont solution du système :
    $\begin{align*} \begin{cases} 2x-3y+z-18=0\\x=3t+2\\y=t+5\\z=4t+1\end{cases}&\ssi \begin{cases} 2(3t+2)-3(t+5)+(4t+1)-18=0\\x=3t+2\\y=t+5\\z=4t+1\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} 6t+4-3t-15+4t+1-18=0\\x=3t+2\\y=t+5\\z=4t+1\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} 7t-28=0\\x=3t+2\\y=t+5\\z=4t+1\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} t=4\\x=14\\y=9\\z=17\end{cases}\end{align*}$
    Le point $E$ a donc pour coordonnées $(14;9;17)$.
    $\quad$
  4. On a $\vect{FD}\begin{pmatrix}-4\\6\\-2\end{pmatrix}$
    Ainsi :
    $\begin{align*} FD&=\sqrt{(-4)^2+6^2+(-2)^2} \\
    &=\sqrt{16+36+4} \\
    &=\sqrt{56} \\
    &=\sqrt{4\times 14} \\
    &=2\sqrt{14}\end{align*}$
    La distance entre point $D$ et le plan $\mathcal{P}$ vaut $2\sqrt{14}$ centaines de mètres.
    $\quad$
  5. La plus petite distance entre le point $D$ et le plan $\mathcal{P}$ est $FD$.
    Le drone mettra donc $\dfrac{2\sqrt{14}\times 100}{18,6} \approx 40,2$ s pour parcourir cette distance.
    Le nouveau drone ne pourra pas arriver à temps.
    $\quad$

Énoncé

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées

Exercice 1     (4 points)

Un sondage réalisé en France fournit les informations suivantes :

  • $60 \%$ des plus de 15 ans ont l’intention de regarder les jeux Olympiques et Paralympiques (JOP) de Paris 2024 à la télévision;
  • parmi ceux qui ont l’intention de regarder les JOP, $8$ personnes sur $9$ déclarent pratiquer une activité sportive régulière.

On choisit au hasard une personne de plus de 15 ans. On considère les évènements suivants :

  • $J$ : « la personne a l’intention de regarder les JOP Paris 2024 à la télévision »;
  • $S$ : « la personne choisie déclare pratiquer une activité sportive régulière ».

On note $\conj{J}$ et $\conj{S}$ leurs évènements contraires.
Dans les questions 1. et 2., les probabilités seront données sous la forme d’une fraction irréductible

  1. Démontrer que la probabilité que la personne choisie ait l’intention de regarder les JOP de Paris 2024 à la télévision et déclare pratiquer une activité sportive régulière est de $\dfrac{8}{15}$.
    On pourra s’appuyer sur un arbre pondéré.
    $\quad$

Selon ce sondage, deux personnes sur trois parmi les plus de 15 ans déclarent pratiquer une activité sportive régulière.

  1. a. Calculer la probabilité que la personne choisie n’ait pas l’intention de regarder les JOP de Paris 2024 à la télévision et déclare pratiquer une activité sportive régulière.
    $\quad$
    b. En déduire la probabilité de $S$ sachant $\conj{J}$ notée $P_{\conj{J}}(S)$.
    $\quad$

Dans la suite de l’exercice, les résultats seront arrondis au millième.

  1.  Dans le cadre d’une opération de promotion, $30$ personnes de plus de 15 ans sont choisies au hasard.
    On assimile ce choix à un tirage avec remise.
    On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes déclarant pratiquer une activité sportive régulière parmi les $30$ personnes.
    a. Déterminer la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité qu’exactement $16$ personnes déclarent pratiquer une activité sportive régulière parmi les $30$ personnes.
    $\quad$
    c. La fédération française de judo souhaite offrir une place pour la finale de l’épreuve par équipe mixte de judo à l’Arena Champ-de-Mars pour chaque personne déclarant pratiquer une activité sportive régulière parmi ces $30$ personnes.
    Le prix d’une place s’élève à $380$ € et on dispose d’un budget de $10~000$ euros pour cette opération.
    Quelle est la probabilité que ce budget soit insuffisant ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     (5 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM) qui comprend cinq questions. Les
cinq questions sont indépendantes. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse exacte.
Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou une absence de réponse ne rapporte, ni n’enlève
aucun point.

  1. La solution f de l’équation différentielle $y’ =-3y +7$ telle que $f (0) = 1$ est la fonction
    définie sur $\R$ par :
    A. $f(x)=\e^{-3x}$
    B. $f(x)=-\dfrac{4}{3}\e^{-3x}+\dfrac{7}{3}$
    C. $f(x)=\e^{-3x}+\dfrac{7}{3}$
    D. $f(x)=-\dfrac{10}{3}\e^{-3x}-\dfrac{7}{3}$
    $\quad$
  2. La courbe d’une fonction $f$ définie sur $[0 ; +\infty[$ est donnée ci-dessous.
    $\quad$

    $\quad$
    Un encadrement de l’intégrale $I=\ds \int_1^5 f(x)\dx$ est :
    A. $0\pp I\pp 4$
    B. $1\pp I \pp 5$
    C. $5\pp I\pp 10$
    D. $10\pp I\pp 15$
    $\quad$
  3. On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = x^2\ln\left(x^2+4\right)$.
    Alors $\ds \int_0^2 g'(x)\dx$ vaut, à $10^{-1}$ près :
    A. $4,9$
    B. $8,3$
    C. $1,7$
    D. $7,5$
    $\quad$
  4. Une professeure enseigne la spécialité mathématiques dans une classe de $31$ élèves
    de terminale.
    Elle veut former un groupe de $5$ élèves. De combien de façons différentes peut-elle former un tel groupe de $5$ élèves ?
    A. $31^5$
    B. $31\times 30\times 29\times 28\times 27$
    C. $31+30+29+28+17$
    D. $\dbinom{31}{5}$
    $\quad$
  5. La professeure s’intéresse maintenant à l’autre spécialité des $31$ élèves de son groupe :
    $\bullet$ $10$ élèves ont choisi la spécialité physique-chimie;
    $\bullet$ $20$ élèves ont choisi la spécialité SES;
    $\bullet$ $1$ élève a choisi la spécialité LLCE espagnol.
    Elle veut former un groupe de $5$ élèves comportant exactement $3$ élèves ayant choisi
    la spécialité SES. De combien de façons différentes peut-elle former un tel groupe ?
    A. $\dbinom{20}{3}\times \dbinom{11}{2}$
    B. $\dbinom{20}{3}+\dbinom{11}{2}$
    C. $\dbinom{20}{3}$
    D. $20^3\times 11^2$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     (6 points)

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $$u_0 = 8 \text{ et pour tout entier naturel } n,~ u_{n+1}= u_n-\ln\left(\dfrac{u_n}{4}\right).$$

  1. a. Donner les valeurs arrondies au centième de $u_1$ et $u_2$.
    $\quad$
    b. On considère la fonction $\text{mystere}$ définie ci-dessous en Python. On admet que,
    pour tout réel strictement positif $\text{a}$, $\text{log(a)}$ renvoie la valeur du logarithme népérien de $\text{a}$.

    L’exécution de $\text{mystere(10)}$ renvoie $\text{58.44045206721732}$. Que représente ce résultat ?
    $\quad$
    c. Modifier la fonction précédente afin qu’elle renvoie la moyenne des $k$ premiers
    termes de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  2. On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $[0 ; +\infty[$ par : $$f(x)=x-\ln\left(\dfrac{x}{4}\right)$$
    On donne ci-dessous une représentation graphique $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ pour les valeurs de $x$ comprises entre $0$ et $6$.
    $\quad$

    $\quad$
    Étudier les variations de $f$ sur $[0 ; +\infty[$ et dresser son tableau de variations.
    On précisera la valeur exacte du minimum de $f$ sur $[0 ; +\infty[$. Les limites ne sont pas demandées.
    $\quad$

Dans la suite de l’exercice, on remarquera que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$

  1. a. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, on a : $$1\pp u_{n+1} \pp u_n$$
    $\quad$
    b. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers une limite réelle.
    On note $\ell$ la valeur de cette limite.
    $\quad$
    c. Résoudre l’équation $f(x) = x$.
    $\quad$
    d. En déduire la valeur de $\ell$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     (5 points)

Une commune décide de remplacer le traditionnel feu d’artifice du 14 juillet par un spectacle de drones lumineux.

Pour le pilotage des drones, l’espace est muni d’un repère orthonormé $\Oijk$ dont l’unité est la centaine de mètres.

La position de chaque drone est modélisée par un point et chaque drone est envoyé d’un point de départ $D$ de coordonnées $(2 ; 5 ; 1)$.

On souhaite former avec des drones des figures en les positionnant dans un même plan $\mathcal{P}$.

Trois drones sont positionnés aux points $A(-1;-1; 17)$, $B(4 ;-2 ; 4)$ et $C(1 ;-3 ; 7)$.

  1. Justifier que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
    $\quad$

Dans la suite, on note $\mathcal{P}$ le plan $(ABC)$ et on considère le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}$.

  1. a. Justifier que $\vec{n}$ est normal au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    b. Démontrer qu’une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est $2x-3y+z-18 = 0$.
    $\quad$
  2. Le pilote des drones décide d’envoyer un quatrième drone en prenant comme trajectoire la droite d dont une représentation paramétrique est donnée par : $$f~:~\begin{cases} x=3t+2\\y=t+5\\z=4t+1\end{cases}~~, \text{avec } t\in \R$$
    a. Déterminer un vecteur directeur de la droite $d$.
    $\quad$
    b. Afin que ce nouveau drone soit également placé dans le plan $\mathcal{P}$, déterminer par le calcul les coordonnées du point $E$, intersection de la droite $d$ avec le plan $\mathcal{P}$.
    $\quad$
  3. Le pilote des drones décide d’envoyer un cinquième drone le long de la droite $\Delta$ qui
    passe par le point $D$ et qui est perpendiculaire au plan $\mathcal{P}$. Ce cinquième drone est placé lui aussi dans le plan $\mathcal{P}$, soit à l’intersection entre la droite $\Delta$ et le plan $\mathcal{P}$. On admet que le point $F(6 ;-1 ; 3)$ correspond à cet emplacement.
    Démontrer que la distance entre le point de départ $D$ et le plan $\mathcal{P}$ vaut $2\sqrt{14}$ centaines de mètres.
    $\quad$
  4. L’organisatrice du spectacle demande au pilote d’envoyer un nouveau drone dans le plan (peu importe sa position dans le plan), toujours à partir du point $D$.
    Sachant qu’il reste $40$ secondes avant le début du spectacle et que le drone vole en trajectoire rectiligne à $18,6$ m.s$^{-1}$, le nouveau drone peut-il arriver à temps ?
    $\quad$

$\quad$

 

Bac – Métropole – jour 2 – juin 2024

Métropole – 20 juin 2024

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. D’après l’énoncé on a $P(Q)=0,917$ et $P_{\conj{R}}\left(\conj{Q}\right)=0,65$.
    $\quad$
  2. a. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$

    $\quad$
    b. $\left(R,\conj{R}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(Q)=P(Q\cap R)+P\left(Q\cap \conj{R}\right)&\ssi 0,917=P(R)P_R(Q)+P\left(\conj{R}\right)P_{\conj{R}}\left(\conj{Q}\right) \\
    &\ssi 0,917=0,98x+0,35(1-x) \\
    &\ssi 0,917=0,98x+0,35-0,35x \\
    &\ssi 0,567=0,63x \\
    &\ssi x=0,9\end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_Q(R)&=\dfrac{P(Q\cap R)}{P(Q)} \\
    &=\dfrac{P(R)P_R(Q)}{P(Q)} \\
    &=\dfrac{0,98\times 0,9}{0,917}\\
    &\approx 0,962\end{align*}$
    La probabilité pour que l’étudiant ait réussi l’examen sachant qu’il a répondu “oui” est environ égale à $0,962$.
    $\quad$
  4. On veut déterminer le plus grand entier naturel $n$ tel que : $ P(N\pg n)\pg 0,65$.
    D’après la calculatrice $P(N\pg 11) \approx 0,797$ et $P(N\pg 12)\approx 0,649$
    Elle doit récompenser les étudiants ayant obtenus $11$ ou plus.
    $\quad$
    Remarque : Je pense que la réponse $12$ ou plus devrait être acceptée puisque $P(N  \pg 12) \approx 0,65$ (mais est légèrement inférieure)
  5. Par linéarité de l’espérance on a :
    $\begin{align*} E(S)&=E\left(N_1+\ldots+N_{10}\right) \\
    &=E\left(N_1\right)+\ldots+E\left(N_{10}\right)\\
    &=10E(N) \qquad \text{(même loi)} \\
    &=10\times 20\times 0,615 \\
    &=123\end{align*}$
    $\quad$
    Les variables aléatoires $N_1,\ldots,N_{10}$ sont indépendantes donc :
    $\begin{align*} V(S)&=V\left(N_1+\ldots+N_{10}\right) \\
    &=V\left(N_1\right)+\ldots+E\left(N_{10}\right)\\
    &=10V(N) \qquad \text{(même loi)} \\
    &=10\times 20\times 0,615 \times (1-0,615)\\
    &=47,355\end{align*}$
    $\quad$
  6. a. $M$ correspond à la moyenne des notes des $10$ candidats.
    Remarque : On l’appelle la moyenne empirique.
    $\quad$
    b. Par linéarité de l’espérance :
    $\begin{align*} E(M)&=\dfrac{1}{10}E(S) \\
    &=\dfrac{123}{10} \\
    &=12,3\end{align*}$.
    $\quad$
    On a également :
    $\begin{align*} V(M)&=\dfrac{1}{10^2}V(S) \\
    &=\dfrac{47,355}{100}\\
    &=0,473~55\end{align*}$
    $\quad$
    c. $M$ possède une variance. On peut donc lui appliquer l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
    $\begin{align*} P(10,3<M<14,3)&=P\left(-2<M-E(M)<2\right) \\
    &=P\left(\abs{M-E(M)}<2\right) \\
    &=1-P\left(\abs{M-E(M)}\pg 2\right) \\
    &\pg 1-\dfrac{V(M)}{2^2} \qquad \text{(inégalité de Bienaymé-Tchebychev)} \\
    &\pg  0,882\end{align*}$
    La probabilité que la moyenne des notes de dix étudiants pris au hasard soit strictement comprise entre $10,3$ et $14,3$ est d’au moins $80\%$.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A : étude d’un modèle discret

  1. $\dfrac{15~000}{50~000}=0,3$ mg.$^{-1}$.
    Cet ajout de chlore fait augmenter le taux de $0,3$ mg.$L^{-1}$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~v_n\pp v_{n+1}\pp 4$.
    Initialisation : $v_0=0,7$ et $v_1=0,92\times 0,7+0,3=0,944$.
    On a bien $v_0\pp v_1\pp 4$. $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n$ un entier naturel. On suppose que $P(n)$ est vraie.
    $\begin{align*} v_n\pp v_{n+1} \pp 4&\ssi 0,92v_n\pp 0,92 v_{n+1} \pp 3,68 \\
    &\ssi 0,92v_n+0,3 \pp 0,92v_{n+1}+0,3 \pp 3,98 \\
    &\ssi v_{n+1} \pp v_{n+2} \pp 3,98\end{align*}$
    Ainsi $v_{n+1} \pp v_{n+2} \pp 4$ et $P'(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ on a $v_n\pp v_{n+1} \pp 4$.
    $\quad$
    b. La suite $\left(v_n\right)$ est donc croissante et majorée par $4$. D’après le théorème de la limite monotone elle converge vers un réel $\ell \in [0,3;4]$.
    La fonction $f:~x\mapsto 0,92x+0,3$ est continue sur $\R$ en tant que fonction affine.
    Pour tout entier naturel $n$ on a $v_{n+1}=f\left(v_n\right)$.
    Par conséquent $\ell$ est solution de l’équation :
    $\begin{align*} f(x)=x&\ssi 0,92x+0,3=x \\
    &\ssi 0,3=0,08x \\
    &\ssi x=3,75\end{align*}$
    $\left(v_n\right)$ converge donc vers $3,75$.
    $\quad$
  3. La suite $\left(v_n\right)$ est croissante et converge vers $3,75$.
    Il existe donc un rang à partir duquel $v_n>3$.
    À long terme, le taux de chlore ne sera pas conforme à la préconisation des piscinistes.
    $\quad$
  4. On peut écrire :

    $\quad$
  5. D’après la calculatrice $v_{16} \approx 2,95$ et $v_{17} \approx 3,01$
    Cet appel renverra donc la valeur $17$.
    C’est donc à partir du $17$-ième jour que le taux de chlore ne sera pas conforme.
    $\quad$

Partie B : étude d’un modèle continu.

  1. L’équation différentielle est de la forme $y’=ay+b$ avec $a=-0,08$ et $b=\dfrac{q}{50}$.µ
    Les solutions de cette équation sont les fonctions $g$ définies sur $\R$ par $g(x)=C\e^{ax}-\dfrac{b}{a}$ où $C$ est un réel quelconque.
    Or $-\dfrac{b}{a}=\dfrac{q}{4}$.
    Ainsi, il existe un réel $C$ tel que pour tout réel $x$ on a $f(x)=C\e^{-0,08x}+\dfrac{q}{4}$.
    $\quad$
    Autre méthode (beaucoup plus longue) Soit $C$ un réel. On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=C\e^{-0,08x}+\dfrac{q}{4}$.
    $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que composée et somme de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} g'(x)&=-0,08\times x\e^{-0,08x} \\
    &=-0,08x\e^{-0,08x}-0,08\times \dfrac{q}{4}+0,08\times \dfrac{q}{4} \\
    &=-0,08g(x)+\dfrac{q}{50}\end{align*}$
    Ainsi $g$ est solution de l’équation différentielle $(E)$.
    Soit $h$ un autre fonction solution de $(E)$.
    On a alors, pour tout réel $x$ :
    $\begin{align*} g'(x)-h'(x)&=-0,08g(x)+\dfrac{q}{50}+0,08h(x)-\dfrac{q}{50} \\
    &=-0,08\left(g(x)-h(x)\right)\end{align*}$
    $g-h$ est donc solution de l’équation différentielle $(H):~y’=-0,08y$ dont l’ensemble solution est $\acco{x\in \R\mapsto K\e^{-0,08x},~\forall K\in \R}$.
    Ainsi toutes les solutions de $(E)$ sont de la forme $x\mapsto C\e^{-0,08x}+\dfrac{q}{4}$.
    C’est en particulier le cas pour $f$.
    $\quad$
  2. a. $\lim\limits_{x\to +\infty} -0,08x=-\infty$ et $\lim\limits_{X\to -\infty} \e^X=0$. Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=\dfrac{q}{4}$.
    $\quad$
    b. On souhaite donc que $\dfrac{q}{4}=2 \ssi q=8$.
    Ainsi, pour tout réel $x$ on a $f(x)=C\e^{-0,08x}+2$.
    On veut également que $f(0)=0,7 \ssi C+2=0,7 \ssi C=-1,3$.

Ex 3

Exercice 3

Partie A : exploitation du graphique

  1. Graphiquement $f(-1)=-2$ et $f'(-1)=1$ (coefficient directeur de la droite $(AB)$).
    $\quad$
  2. Il semblerait que le point d’abscisse $-1,2$ soit un point d’inflexion de $C_f$. La fonction $C_f$ n’est donc pas convexe sur son ensemble de définition.
    $\quad$
  3. Il semblerait que l’équation $f(x)=0$ admette une unique solution dont une valeur approchée est $0,1$.
    $\quad$

Partie B : étude de la fonction $\boldsymbol{f}$.

  1. $\lim\limits_{x\to -2^+} x-2=0^+$ et $\lim\limits_{X\to 0^+} \ln(X)=-\infty$ donc $\lim\limits_{x\to -2^+} \ln(x+2)=-\infty$.
    $\lim\limits_{x\to -2} x^2+2x-1=-1$
    Ainsi $\lim\limits_{x\to 2^-} f(x)=-\infty$.
    La droite d’équation $x=-2$ est donc asymptote à la courbe $C_f$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur $]-2;+\infty[$ par hypothèse.
    Pour tout réel $x>-2$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=2x+2+\dfrac{1}{x+2} \\
    &=\dfrac{(2x+2)(x+2)+1}{x+2} \\
    &=\dfrac{2x^2+4x+2x+4+1}{x+2} \\
    &=\dfrac{2x^2+6x+5}{x+2}\end{align*}$
    $\quad$
  3. Le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $2x^2+6x+5$ car $x+2>0$ sur $]-2;+\infty[$.
    Le discriminant de ce polynôme du second degré est $\Delta=6^2-4\times 2\times 5=-4<0$
    Le coefficient principal de ce polynôme est $2>0$. Par conséquent, pour tout réel $x$ on a $x^2+2x-1>0$.
    Donc, pour tout réel $x>-2$ on a $f'(x)>0$ et $f$ est une fonction strictement croissante sur $]-2;+\infty[$.
    $\quad$

    $\quad$
  4. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $]-2;+\infty[$.
    $\lim\limits_{x\to -2^+} f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$. Or $0\in ]-\infty;+\infty[$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]-2;+\infty[$.
    D’après la calculatrice $\alpha \approx 0,12$.
    $\quad$
  5. La fonction $f$ est strictement croissante sur son ensemble de définition et s’annule en $\alpha$.
    Par conséquent :
    $\bullet~f(x)<0$ sur $]-2;\alpha[$ ;
    $\bullet~f(\alpha)=0$ ;
    $\bullet~f(x)>0$ sur $]-\alpha;+\infty[$.
    $\quad$
  6. $f’$ est dérivable sur $]-2;+\infty[$ par hypothèse.
    Pour tout réel $x>-2$ on a :
    $\begin{align*} f\dsec(x)&=\dfrac{(4x+6)(x+2)-\left(2x^2+6x+5\right)\times 1}{(x+2)^2 } \\
    &=\dfrac{4x^2+8x+6x+12-2x^2-6x-5}{(x+2)^2} \\
    &=\dfrac{2x^2+8x+7}{(x+2)^2} \end{align*}$
    le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend que de celui de $2x^2+8x+7$ qui est un polynôme du second degré dont le dénominateur est $\Delta=8>0$.
    Il possède donc deux racines qui sont $\dfrac{-4-\sqrt{2}}{2}<-2$ et $\dfrac{-4+\sqrt{2}}{2}>-2$.
    $f\dsec(x)$ change de signe en s’annulant qu’une seule fois en $\dfrac{-4+\sqrt{2}}{2}$.
    $C_f$ admet donc qu’un seul point d’inflexion d’abscisse $\dfrac{-4+\sqrt{2}}{2}$.
    $\quad$

Partie C

  1. On a $J(0;1)$ et $M\left(x;g(x)\right)$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} h(x)&=(x-0)^2+\left(g(x)-1\right)^2 \\
    &=x^2+\left(\ln(x+2)-1\right)^2 \end{align*}$
    $\quad$
  2. a. D’après la question B.5. on obtient le tableau de variations suivant :
    $\quad$

    $\quad$
    b. D’après le tableau de variations précédent $h$ admet un minimum en $\alpha$.
    $JM^2$ est donc minimale en $\alpha$.
    La fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0;+\infty[$. Par conséquent $JM$ est minimale en $\alpha$^.
    $\quad$
  3. a. On a :
    $\begin{align*} f(\alpha)=0&\ssi \alpha^2+2\alpha-1+\ln(\alpha+2)=0 \\
    &\ssi \ln(\alpha+2)=1-\alpha^2-2\alpha\end{align*}$
    $\quad$
    b. Le coefficient directeur de $\left(JM_{\alpha}\right)$ est $\dfrac{\ln(\alpha+2)-2}{\alpha}$ et celui de la tangente est $g'(\alpha)=\dfrac{1}{\alpha+2}$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} g'(\alpha)\times \dfrac{\ln(\alpha+2)-2}{\alpha}&=\dfrac{1}{\alpha+2}\times \dfrac{1-2\alpha-\alpha^2-1}{\alpha} \\
    &=\dfrac{-(\alpha+2)}{\alpha+2} \\
    &=-1\end{align*}$
    La tangente à $C_g$ au poit $M_{\alpha}$ et la droite $\left(JM_{\alpha}\right)$ sont perpendiculaires.
    $\quad$
    Autre méthode : Un vecteur directeur de $\left(JM_{\alpha}\right)$ est $\vect{JM_{\alpha}}\begin{pmatrix} \alpha\\\ln(\alpha+2)-1\end{pmatrix}$ et un vecteur directeur de la tangente à $C_g$ au point $M_{\alpha}$ est $\vect{u_{\alpha}}\begin{pmatrix}1\\g'(\alpha)\end{pmatrix}$.
    Or $g'(\alpha)=\dfrac{1}{\alpha+2}$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} \vect{JM_{\alpha}}.\vect{u_{\alpha}}&=\alpha+\dfrac{\ln(\alpha+2)-1}{\alpha+2} \\
    &=\alpha+\dfrac{1-2\alpha-\alpha^2-1}{\alpha+2} \\
    &=\dfrac{\alpha^2+2\alpha-2\alpha-\alpha^2}{\alpha+2} \\
    &=0\end{align*}$
    La tangente à $C_g$ au poit $M_{\alpha}$ et la droite $\left(JM_{\alpha}\right)$ sont perpendiculaires.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. $\vect{AC}\begin{pmatrix}2\\4\\1\end{pmatrix}$ et $\vect{AD}\begin{pmatrix}-2\\0\\4\end{pmatrix}$
    Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires car ils n’ont pas la même composante nulle.
    Les points $A$, $C$ et $D$ définissent bien un plan.
    De plus :
    $\bullet ~8\times 2+0+0-16=16-16=0$
    $\bullet ~ 32-20+4-16=36-36=0$
    $\bullet ~0-0+16-16=0$
    Les coordonnées des points $A$, $C$ et $D$ vérifient l’équation cartésienne fournie.
    Affirmation 1 vraie
    $\quad$
  2. $0-20+12-16=12-36=-24\neq 0$
    Les coordonnées du point $B$ ne vérifient pas l’équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ fournie à la question précédente.
    Donc $B$ n’appartient pas à $(ACD)$.
    Les quatre points ne sont pas coplanaires.
    Affirmation 2 fausse
    $\quad$
  3. On a $\vect{BH}\begin{pmatrix}-1\\-3\\-1\end{pmatrix}$
    Les vecteurs $\vect{AC}$ et $\vect{BH}$ ne sont pas colinéaires car $\dfrac{2}{-1}\neq \dfrac{4}{-3}$.
    Ainsi les droites ne sont pas parallèles.
    Une représentation paramétrique de $(AC)$ est $\begin{cases} x=2+2t\\y=4t\\z=t\end{cases}~~ $ où $t\in \R$.
    Une représentation paramétrique de $(BH)$ est $\begin{cases} x=-k\\y=4-3k\\z=3-k\end{cases}~~ $ où $k\in \R$.
    On résout le système :
    $\begin{align*} \begin{cases} x=2+2t\\y=4t\\z=t\\x=-k\\y=4-3k\\z=3-k\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=2+2t\\y=4t\\z=t\\2+2t=-k\\4t=4-3k\\t=3-k\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} x=2+2t\\y=4t\\z=t\\2+2(3-k)=-k\\4(3-k)=4-3k\\t=3-k\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=2+2t\\y=4t\\z=t\\8=k\\12-4k=4-3k\\t=3-k\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=2+2t\\y=4t\\z=t\\8=k\\k=8\\t=-5\end{cases}\end{align*}$
    Les droites $(AC)$ et $(BH)$ sont donc sécantes.
    Affirmation 3 vraie
    $\quad$
  4. $-1-1+4-2=4-4=0$ : $H$ appartient au plan $(ABC)$.
    Un vecteur normal au plan $(ABC)$ est $\vec{n}\begin{align*}1\\-1\\2\end{align*}$.
    De plus $\vect{DH}\begin{align*}-1\\1\\-2\end{align*}$.
    Ainsi $\vect{DH}=-\vec{n}$ et $\vect{DH}$ est normal au plan $(ABC)$.
    Donc $H$ est le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(ABC)$.
    Affirmation 4 vraie
    $\quad$

 

 

Énoncé

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées

Exercice 1     (5 points)

La directrice d’une école souhaite réaliser une étude auprès des étudiants qui ont passé l’examen de fin d’étude, pour analyser la façon dont ils pensent avoir réussi cet examen.

Pour cette étude, on demande aux étudiants à l’issue de l’examen de répondre individuellement à la question : « Pensez-vous avoir réussi l’examen ? ». Seules les réponses « oui » ou « non » sont possibles, et on observe que $91,7 \%$ des étudiants interrogés ont répondu « oui ».

Suite à la publication des résultats à l’examen, on découvre que :

  • $65 \%$ des étudiants ayant échoué ont répondu « non » ;
  • $98 \%$ des étudiants ayant réussi ont répondu « oui ».

On interroge au hasard un étudiant qui a passé l’examen.
On note $R$ l’événement « l’étudiant a réussi l’examen » et $Q$ l’événement « l’étudiant a répondu « oui » à la question ».

Pour un événement $A$ quelconque, on note $P(A)$ sa probabilité et $\conj{A}$ son événement contraire.

Dans tout l’exercice, les probabilités sont, si besoin, arrondies à $\boldsymbol{10^{-3}}$ près.

  1. Préciser les valeurs des probabilités $P(Q)$ et $P_{\conj{R}}\left(\conj{Q}\right)$.
    $\quad$
  2. On note $x$ la probabilité que l’étudiant interrogé ait réussi l’examen.
    a. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.
    $\quad$

    $\quad$
    b. Montrer que $x = 0,9$.
    $\quad$
  3. L’étudiant interrogé a répondu « oui » à la question.
    Quelle est la probabilité qu’il ait réussi l’examen ?
    $\quad$
  4. La note obtenue par un étudiant interrogé au hasard est un nombre entier entre $0$ et $20$. On suppose qu’elle est modélisée par une variable aléatoire $N$ qui suit la loi binomiale de paramètres $(20 ; 0,615)$. La directrice souhaite attribuer une récompense aux étudiants ayant obtenu les meilleurs résultats.
    À partir de quelle note doit-elle attribuer les récompenses pour que $65 \%$ des étudiants soient récompensés ?
    $\quad$
  5. On interroge au hasard dix étudiants.
    Les variables aléatoires $N_1$, $N_2$, $\ldots$ , $N_{10}$ modélisent la note sur 20 obtenue à l’examen par chacun d’entre eux. On admet que ces variables sont indépendantes et suivent la même loi binomiale de paramètres $(20 ; 0,615)$.
    Soit $S$ la variable définie par $S=N_1+N_2+\ldots+N_{10}$.
    Calculer l’espérance $E(S)$ et la variance $V(S)$ de la variable aléatoire $S$.
    $\quad$
  6. On considère la variable aléatoire $M=\dfrac{S}{10}$.
    a. Que modélise cette variable aléatoire $M$ dans le contexte de l’exercice ?
    $\quad$
    b. Justifier que $E(M)= 12,3$ et $V(M) = 0,47355$.
    $\quad$
    c. À l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, justifier l’affirmation ci-dessous.
    « La probabilité que la moyenne des notes de dix étudiants pris au hasard soit strictement comprise entre $10,3$ et $14,3$ est d’au moins $80 \%$ ».
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     (5 points)

Les parties A et B sont indépendantes.

Alain possède une piscine qui contient $50$ m$^3$ d’eau. On rappelle que $1$m$^3 = 1~000$ L.
Pour désinfecter l’eau, il doit ajouter du chlore.

Le taux de chlore dans l’eau, exprimé en mg. L$^{-1}$ , est défini comme la masse de chlore par unité de volume d’eau. Les piscinistes préconisent un taux de chlore compris entre $1$ et $3$ mg. L$^{-1}$.

Sous l’action du milieu ambiant, notamment des ultraviolets, le chlore se décompose et disparaît peu à peu.

Alain réalise certains jours, à heure fixe, des mesures avec un appareil qui permet une précision à $0,01$ mg. L$^{-1}$. Le mercredi 19 juin, il mesure un taux de chlore de $0,70$ mg. L$^{-1}$.

Partie A : étude d’un modèle discret.

Pour maintenir le taux de chlore dans sa piscine, Alain décide, à partir du jeudi 20 juin, d’ajouter chaque jour une quantité de $15$ g de chlore. On admet que ce chlore se mélange uniformément dans l’eau de la piscine.

  1. Justifier que cet ajout de chlore fait augmenter le taux de $0,3$ mg. L$^{-1}$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$, on note $v_n$ le taux de chlore, en mg. L$^{-1}$, obtenu avec ce nouveau protocole $n$ jours après le mercredi 19 juin. Ainsi $v_0 = 0,7$.
    On admet que pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=0,92v_n+0,3$.
    a. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $v_n\pp v_{n+1}\pp 4$.
    $\quad$
    b. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est convergente et calculer sa limite.
    $\quad$
  3. À long terme, le taux de chlore sera-t-il conforme à la préconisation des piscinistes ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  4. Reproduire et compléter l’algorithme ci-dessous écrit en
    langage Python pour que la fonction $\text{alerte_chlore}$ renvoie, lorsqu’il existe, le plus petit entier $n$ tel que $v_n>s$.

    $\quad$
    5. Quelle valeur obtient-on en saisissant l’instruction $\text{alerte_chlore(3)}$ ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

Partie B : étude d’un modèle continu.

Alain décide de faire appel à un bureau d’études spécialisées. Celui-ci utilise un modèle continu pour décrire le taux de chlore dans la piscine.

Dans ce modèle, pour une durée $x$ (en jours écoulés à compter du mercredi 19 juin), $f(x)$ représente le taux de chlore, en mg. L$^{-1}$, dans la piscine.

On admet que la fonction $f$ est solution de l’équation différentielle $(E)~:~ y’=-0,08y + \dfrac{q}{50}$, où $q$ est la quantité de chlore, en gramme, rajoutée dans la piscine chaque jour.

  1. Justifier que la fonction $f$ est de la forme $f(x)=C\e^{-0,08x}+\dfrac{q}{4}$ où $C$ est une constante réelle.
    $\quad$
  2. a. Exprimer en fonction de $q$ la limite de $f$ en $+\infty$.
    $\quad$
    b. On rappelle que le taux de chlore observé le mercredi 19 juin est égal à $0,7$ mg. L$^{-1}$.
    On souhaite que le taux de chlore se stabilise à long terme autour de $2$ mg. L$^{-1}$. Déterminer
    les valeurs de $C$ et $q$ afin que ces deux conditions soient respectées.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     (6 points)

On considère une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $]-2 ; +\infty[$. On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan, $f’$ sa dérivée et $d\sec$ sa dérivée seconde.
On a tracé ci-dessous la courbe $C_f$ et sa tangente $T$ au point $B$ d’abscisse $-1$.
On précise que la droite $T$ passe par le point $A(0 ; -1)$.

Partie A : exploitation du graphique.

À l’aide du graphique, répondre aux questions ci-dessous.

  1. Préciser $f(-1)$ et $f'(-1)$.
    $\quad$
  2. La fonction $C_f$ est-elle convexe sur son ensemble de définition ? Justifier.
    $\quad$
  3. Conjecturer le nombre de solutions de l’équation $f(x) = 0$ et donner une valeur arrondie à $10^{-1}$ près d’une solution.
    $\quad$

Partie B : étude de la fonction $\boldsymbol{f}$.

On considère que la fonction $f$ est définie sur $]-2 ; +\infty[$ par $f(x) = x^2+2x-1+\ln(x+2)$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

  1. Déterminer par le calcul la limite de la fonction $f$ en $-2$. Interpréter graphiquement ce résultat.
    On admet que $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$.
    $\quad$
  2. Montrer que pour tout $x > -2$, $f'(x)=\dfrac{2x^2+6x+5}{x+2}$.
    $\quad$
  3. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $]-2 ; +\infty[$ puis dresser son tableau de variations complet.
    $\quad$
  4. Montrer que l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]-2 ; +\infty[$ et donner une valeur arrondie de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
    $\quad$
  5. En déduire le signe de $f(x)$ sur $]-2 ; +\infty[$.
    $\quad$
  6. Montrer que $C_f$ admet un unique point d’inflexion et déterminer son abscisse.
    $\quad$

Partie C : une distance minimale.

Soit $g$ la fonction définie sur $]-2 ; +\infty[$ par $g(x)=\ln(x+2)$.

On note $C_g$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;I,J)$, représentée ci-dessous.

Soit $M$ un point de $C_g$ d’abscisse $x$.

Le but de cette partie est de déterminer pour quelle valeur de $x$ la distance $JM$ est minimale.

On considère la fonction ℎ définie sur $]-2 ; +\infty[$ par $h(x) = JM^2$.

  1. Justifier que pour tout $x>-2$, on a : $h(x)=x^2+\Big[\ln(x+2)-1\Big]^2$.
    $\quad$
  2. On admet que la fonction $h$ est dérivable sur $]-2 ; +\infty[$ et on note $h’$ sa fonction dérivée.
    On admet également que pour tout réel $x>-2$, $$h'(x)=\dfrac{2f(x)}{x+2}$$ où $f$ est la fonction étudiée en partie B.
    a. Dresser le tableau de variations de $h$ sur $]-2 ; +\infty[$.
    Les limites ne sont pas demandées.
    $\quad$
    b. En déduire que la valeur de $x$ pour laquelle la distance $JM$ est minimale est $\alpha$ où $\alpha$ est le nombre réel défini à la question 4 de la partie B.
    $\quad$
  3. On notera $M_{\alpha}$ le point de $C_g$ d’abscisse $\alpha$.
    a. Montrer que $\ln(\alpha + 2) = 1-2\alpha-\alpha^2$.
    $\quad$
    b. En déduire que la tangente à $C_g$ au point $M_{\alpha}$ et la droite $\left(JM_{\alpha}\right)$ sont perpendiculaires.
    On pourra utiliser le fait que, dans un repère orthonormé, deux droites sont perpendiculaires lorsque le produit de leurs coefficients directeurs est égal à $-1$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     (4 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère les points suivants : $$A(2; 0; 0), B(0; 4; 3), C(4; 4; 1), D(0; 0; 4 ) \text{ et } H(-1; 1; 2)$$

Affirmation 1 : les points $A,~C$ et $D$ définissent un plan $\mathcal{P}$ d’équation $8x-5y+4z-16=0$.
$\quad$

Affirmation 2 : les points $A,~B,~C$ et $D$ sont coplanaires.
$\quad$

Affirmation 3 : les droites $(AC)$ et $(BH)$ sont sécantes.
$\quad$

On admet que le plan $(ABC)$ a pour équation cartésienne $x-y+2z-2=0$.
Affirmation 4 : le point $H$ est le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(ABC)$.
$\quad$

$\quad$

 

Bac – Métropole – jour 1 – juin 2024

Métropole – 19 juin 2024

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. $\bullet$ D’après les limites composées $\lim\limits_{x\to +\infty}x\e^{-x}=0$. Donc $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=0$.
    Par conséquent, l’axe des abscisses est une asymptote horizontale à la courbre $C_f$.
    Affirmation 1 vraie.
    $\quad$
    $\bullet$ La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*}f'(x)&=5\e^{-x}-5x\e^{-x} \\
    &=5(1-x)\e^{-x}\end{align*}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} f'(x)+f(x)&=5\e^{-x}-5x\e^{-x}+5x\e^{-x} \\
    &=5\e^{-x}\end{align*}$
    La fonction $f$ est bien solution de l’équation différentielle $(E)$.
    Affirmation 2 vraie
    $\quad$
  2. $\bullet$ Si on considère les suites $\left(u_n\right)$, $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$ définies pour tout $n\in\N$ par $u_n=-1$, $w_n=1$ et $v_n=(-1)^n$.
    On a bien $u_n\pp v_n \pp w_n$ ainsi que $\left(u_n\right)$ converge vers $-1$ et $\left(w_n\right)$ converge vers $1$.
    Or $\left(v_n\right)$ n’admet pas de limite.
    Affirmation 3 fausse
    $\quad$
    Remarque : Les deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(w_n\right)$ sont constantes. Il n’était pas précisé dans l’énoncé que les suites devaient être strictement monotones.
    On peut cependant le faire en considérant, pour tout entier naturel $n$, $u_n=-1-\dfrac{1}{n}$ et $w_n=1+\dfrac{1}{n}$.
    $\quad$
    $\bullet$ La suite $\left(u_n\right)$ est croissante donc, pour entier naturel $n$, on a $u_0 \pp u_n$.
    La suite $\left(w_n\right)$ est décroissante donc, pour tout entier naturel $n$, on a $w_n\pp w_0$.
    Or $u_n \pp v_n\pp w_n$ donc $u_0\pp u_n \pp v_n \pp w_n \pp w_0$.
    Affirmation 4 vraie
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  2. On veut calculer
    $\begin{align*} P(S\cap I)&=P(I)P_I(S) \\
    &=0,6\times 0,75 \\
    &=0,45\end{align*}$
    La probabilité que le client ait réalisé son achat sur internet et soit satisfait du service clientèle est égale à $0,45$.
    $\quad$
  3. $(I,M,G)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales :
    $\begin{align*} P(S)&=P(S\cap I)+P(S\cap M)+P(S\cap G) \\
    &=P(I)P_I(S)+P(M)P_M(S)+P(G)P_G(S) \\
    &=0,6\times 0,75+0,3\times 0,9+0,1\times 0,8 \\
    &=0,8\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_S(I)&=\dfrac{P(S\cap I)}{P(S)} \\
    &=\dfrac{0,6\times 0,75}{0,8} \\
    &\approx 0,563\end{align*}$
    La probabilité que le client ait effectué son achat sur internet sachant qu’il est satisfait du service clientèle est environ égale à $0,563$.
    $\quad$
  5. a. On réalise $30$ de façon indépendante $30$ fois la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,8$.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=30$ et $p=0,8$.
    $\quad$
    b. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(X\pg 25)&=1-P(X\pp 24) \\
    &\approx 0,428\end{align*}$
    La probabilité qu’au moins $25$ clients soient satisfaits est environ égale à $0,428$.
    $\quad$
  6. On appelle $Y$ la variable aléatoire comptant le nombre de clients satisfaits.
    Pour les mêmes raisons qu’à la question précédente, $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,8$.
    On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} P(Y\pp n-1) \pg 0,99 &\ssi 1-P(Y=n)\pg 0,99 \\
    &\ssi P(Y=n)\pp 0,01 \\
    &\ssi 0,8^n \pp 0,01 \\
    &\ssi n\ln(0,8) \pp \ln(0,01) \qquad \text{croissance de la fonction }\ln \\
    &\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,8)} \qquad \text {car }\ln(0,8)<0 \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,8)}\approx 20,64$.
    Il faut donc avoir un échantillon d’au moins $21$ personnes.
    $\quad$
  7. a. On a :
    $\begin{align*} E(T)&=E\left(T_1+T_2\right) \\
    &=E\left(T_1\right)+E\left(T_2\right) \qquad \text{(linéarité de l’espérance)} \\
    &=7\end{align*}$
    $\begin{align*} V(T)&=V\left(T_1+T_2\right) \\
    &=V\left(T_1\right)+V\left(T_2\right) \qquad \text{(indépendance)} \\
    &=3\end{align*}$
    $\quad$
    b. $T$ possède une variance. On peut donc utiliser l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev sur cette variable.
    On veut calculer :
    $\begin{align*} P(5\pp T\pp 9)&= P(4< T<10) \qquad (T \text{ est à valeur entière})\\
    &=P\left(-3 <T-E(T)< 3\right) \\
    &=P\left(\abs{T-E(T)} < 3\right) \\
    &\pg 1-P\left(\abs{T-E(T)} \pg 3\right) \\
    &\pg 1-\dfrac{V(T)}{3^2}  \qquad \text{(inégalité de Bienaymé-Tchebychev)}\\
    &\pg 1-\dfrac{3}{9} \\
    &\pg \dfrac{2}{3}\end{align*}$
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. a. On a $\vect{AC}\begin{pmatrix} -5\\-5\\10\end{pmatrix}$ et $\vect{CD}\begin{pmatrix} 0\\0\\-25/2\end{pmatrix}$
    Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires car ils n’ont pas la même composante nulle.
    D’une part $\vect{n_1}.\vect{AC}=-5+5+0=0$
    D’autre part $\vect{n_1}.\vect{CD}=0+0+0=0$
    Ainsi $\vect{n_1}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(CAD)$.
    Il est donc normal au plan $(CAD)$.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $(CAD)$ est donc de la forme $x-y+d=0$
    Or $C(0;0;10)$ appartient à ce plan. Donc $0-0+d=0 \ssi d=0$.
    Une équation cartésienne du plan $(CAD)$ est donc $x-y=0$.
    $\quad$
  2. a. Si on prend $t=1$ dans la représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$ on obtient le point de coordonnées $\left(\dfrac{5}{2};\dfrac{5}{2};0\right)$.
    De plus $\dfrac{5}{2}-\dfrac{5}{2}=0$ : Le point précédent appartient également au plan $(CAD)$.
    Par conséquent $H$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{5}{2};\dfrac{5}{2};0\right)$.
    $\quad$
    b. On a $\vect{BH}\begin{pmatrix}5/2\\-5/2\\0\end{pmatrix}=\dfrac{5}{2}\vect{n_1}$.
    Donc $\vect{BH}$ est normal au plan $(CAD)$.
    Par conséquent $H$ est le projeté orthogonal de $B$ sur le plan $(CAD)$.
    $\quad$
  3. a. $(BH)$ est orthogonal au plan $(CAD)$. Elle est donc en particulier orthogonale à la droite $(AH)$. $H$ appartient à ces deux droites. Elles sont donc perpendiculaires.
    Ainsi $ABH$ est rectangle en $H$.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} BH&=\sqrt{\left(\dfrac{5}{2}\right)^2+\left(-\dfrac{5}{2}\right)^2} \\
    &=\sqrt{\dfrac{25}{4}+\dfrac{25}{4}} \\
    &=\sqrt{\dfrac{50}{4}} \\
    &=\sqrt{\dfrac{25}{2}}\end{align*}$
    De plus $\vect{AH}\begin{pmatrix}-5/2\\-5/2\\0\end{pmatrix}$
    On a donc également $AH=sqrt{\dfrac{25}{2}}$.
    Ainsi, l’aire du triangle $ABH$ est :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{BH\times AH}{2} \\
    &=\dfrac{~\dfrac{25}{2}~}{2} \\[3mm]
    &=\dfrac{25}{4}\end{align*}$
    $\quad$
  4. a. On a $\vect{OC}\begin{pmatrix} 0\\0\\10\end{pmatrix}$
    D’une part $\vect{OC}.\vect{BH}=0+0+0=0$
    D’autre part $\vect{OC}.\vect{AH}=0+0+0=0$
    Les vecteurs $\vect{AH}$ et $\vect{BH}$ ne sont pas colinéaires car $\dfrac{~-\dfrac{5}{2}~}{\dfrac{5}{2}} \neq \dfrac{~-\dfrac{5}{2}~}{-\dfrac{5}{2}}$
    Ainsi $\vect{OC}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(BAH)$.
    On a $\vect{OH}=\dfrac{1}{2}\vect{OA}$ donc $O$ appartient au plan $(BAH)$.
    Par conséquent $(CO)$ est la hauteur du tétraèdre $ABCH$ issue de $C$.
    $\quad$
    b. Le volume de ce tétraèdre est :
    $\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\mathscr{A}\times OC \\
    &=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{25}{4}\times 10 \\
    &=\dfrac{125}{6}\end{align*}$
    $\quad$
  5. On a $AB=5$ et $\vect{BC}\begin{align*} 0\\-5\\10\end{align*}$
    Donc :
    $\begin{align*} BC&=\sqrt{(-5)^2+10^2} \\
    &=\sqrt{125} \\
    &=5\sqrt{5}\end{align*}$
    Par conséquent, l’aire du triangle $ABC$ rectangle en $B$ est :
    $\begin{align*} \mathcal{B}&=\dfrac{AB\times BC}{2} \\
    &=\dfrac{25\sqrt{5}}{2}\end{align*}$
    Ainsi, en appelant $d$ la distance cherchée :
    $\begin{align*} V=\dfrac{125}{6}&\ssi \dfrac{1}{3}\times \mathcal{B}\times d =\dfrac{125}{6} \\
    &\ssi d=\dfrac{125}{6}\times \dfrac{3}{25\sqrt{5}} \\
    &\ssi d=\sqrt{5}\end{align*}$

Ex 4

Exercice 4

Partie A : étude de la fonction $\boldsymbol{f}

  1. a. $\lim\limits_{x\to 0} x-2=-2$ et $\lim\limits_{x\to 0^+}\ln(x)=-\infty$
    Donc $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=-\infty$
    $\lim\limits_{x\to +\infty} x-2=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty}\ln(x)=+\infty$
    Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$
    $\quad$
    b. La fonction $f$ est dérivable par hypothèse sur $]0;+\infty[$.
    Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=1+\dfrac{1}{2x} \\
    &=\dfrac{2x+1}{2x}\end{align*}$
    $\quad$
    c. Pour tout réel $x>0$ on a $2x+1>0$ et $2x>0$ donc $f'(x)>0$.
    La fonction $f$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
    d. $f’$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ par hypothèse.
    Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*}f\dsec(x)&=-\dfrac{1}{2x^2} \\
    &<0\end{align*}$
    La fonction $f$ est donc concave sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. a. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
    De plus $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$. Or $0\in ]-\infty;+\infty[$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
    $f(1)=1-2=-1<0$ et $f(2)=\dfrac{1}{2}\ln(2)>0$.
    Ainsi $f(1) \pp f(\alpha) \pp f(2)$. La fonction $f$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ donc $1\pp \alpha \pp 2$.
    Ainsi $\alpha \in [1;2]$.
    $\quad$
    b. La fonction $f$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ et $f(\alpha)=0$.
    Ainsi :
    $\bullet$ sur $]0;+\alpha[$ on a $f(x)<0$ ;
    $\bullet$ $f(\alpha)=0$ ;
    $\bullet$ sur $]\alpha;+\infty[ on a $f(x)>0$.
    $\quad$
    c.
    $\begin{align*} f(\alpha)=0&\ssi \alpha-2+\dfrac{1}{2}\ln(\alpha)=0 \\
    &\ssi \dfrac{1}{2}\ln(\alpha)=2-\alpha \\
    &\ssi \ln(\alpha)=2(2-\alpha)\end{align*}$
    $\quad$

Partie B : étude de la fonction $\boldsymbol{g}

  1. La fonction $g$ est dérivable sur $]0;1]$ par hypothèse.
    Pour tout réel $x\in ]0;1]$ on a :
    $\begin{align*} g'(x)&=-\dfrac{7}{4}x+1-\dfrac{1}{4}\left(2x\ln(x)+x^2\times \dfrac{1}{x}\right) \\
    &=-\dfrac{7}{4}x+1-\dfrac{1}{4}\left(2x\ln(x)+x\right) \\
    &=-\dfrac{7}{4}x+1+\dfrac{1}{2}x\ln(x)-\dfrac{1}{4}x \\
    &=-2x+1-\dfrac{1}{2}x\ln(x) \\
    &=x\left(\dfrac{1}{x}+2-\dfrac{1}{2}\ln(x) \right) \\
    &=x\left(\dfrac{1}{x}+2+\dfrac{1}{2}\ln\left(\dfrac{1}{x}\right) \right) \\
    &=xf\left(\dfrac{1}{x}\right)\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. Si $0<x<\dfrac{1}{\alpha}$ alors $\dfrac{1}{x}>\alpha$ et donc, d’après la question A.2.b., $f\left(\dfrac{1}{x}\right)>0$.
    $\quad$
    Autre méthode : pour tout $x\in  \left]0;\dfrac{1}{\alpha}\right[$ on a $0<\alpha<\dfrac{1}{x}$.
    Or, d’après la question A.2.a, la fonction $f$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
    Par conséquent $f( \alpha)<f\left(\dfrac{1}{x}\right)$, c’est-à-dire $f\left(\dfrac{1}{x}\right)>0$.
    $\quad$
  3. b. Pour tout réel $x\in ]0;+\infty[$ on a $x>0$ donc $g'(x)$ est du signe de $f\left(\dfrac{1}{x}\right)$.
    On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
    $\quad$

    $\quad$

Partie C : un calcul d’aire

  1. a. Pour tout réel $x\in ]0;1]$ on a :
    $\begin{align*} g(x)-\left(-\dfrac{7}{8}x^2+x\right)&=-\dfrac{1}{4}x^2 \ln(x)  \\
    &\pg 0 \quad \text{car } x\in ]0;1]\end{align*}$
    La courbe $C_g$ est donc au-dessus de la parabole $\mathcal{P}$ sur $]0;1]$.
    $\quad$
    b. On réalise une intégration par parties à l’aide des fonctions $u$ et $v$ de classe $C^1$ sur \left]\dfrac{1}{\alpha};1\right]$ définie par : $$\begin{array}{lll} u(x)=\ln(x)&\phantom{123}&u'(x)=\dfrac{1}{x} \\[3mm]
    v(x)=\dfrac{1}{3}x^3&&v'(x)=x^2\end{array}$$
    $\begin{align*} \int_{1/\alpha}^1 x^2\ln(x)\dx&=\left[\dfrac{1}{3}x^3\ln(x)\right]_{1/\alpha}^1-\dfrac{1}{3} \int_{1/\alpha}^1 x^3\times \dfrac{1}{x} \dx \\
    &=-\dfrac{1}{3\alpha^3}\ln\left(\dfrac{1}{\alpha}\right)-\dfrac{1}{3}\int_{1/\alpha}^1 x^2\dx \\
    &=\dfrac{1}{3\alpha^3}\ln(\alpha)-\dfrac{1}{3}\left[\dfrac{1}{3}x^3\right]_{1/\alpha}^1 \\
    &=\dfrac{1}{3\alpha^3}\times 2(2-\alpha)-\dfrac{1}{9}\left(1-\dfrac{1}{\alpha^3}\right) \\
    &=\dfrac{4}{3\alpha^3}-\dfrac{2}{3\alpha^2}-\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9\alpha^3} \\
    &=\dfrac{13-6\alpha-\alpha^3}{9\alpha^3}\end{align*}$
    $\quad$
  2. On a donc
    $\begin{align*} \mathcal{A}&=-\dfrac{1}{4}\int_{1/\alpha}^1 x^2\ln(x) \dx \\
    &=-\dfrac{1}{4}\times \dfrac{13-6\alpha-\alpha^3}{9\alpha^3}\end{align*}$

 

Énoncé

 

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées

Exercice 1     (4 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

  1. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x)=5x\e^{-x}$.
    On note $C_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.
    Affirmation 1 :
    L’axe des abscisses est une asymptote horizontale à la courbe $C_f$.
    $\quad$
    Affirmation 2 : La fonction $f$ est solution sur $\R$ de l’équation différentielle $(E)~:~y’+y=5\e^{-x}$.
    $\quad$
  2. On considère les suites $\left(u_n\right)$, $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$, telles que, pour tout entier naturel $n$ : $u_n\pp v_n\pp w_n$.
    De plus, la suite $\left(u_n\right)$ converge vers $-1$ et la suite $\left(w_n\right)$ converge vers $1$.
    Affirmation 3 : La suite $\left(v_n\right)$ converge vers un nombre réel $\ell$ appartenant à l’intervalle $[-1; 1]$.
    $\quad$
    On suppose de plus que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante et que la suite $\left(w_n\right)$ est décroissante.
    Affirmation 4 : Pour tout entier naturel $n$, on a alors : $u_0\pp v_n\pp w_0$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     (5 points)

Une agence de marketing a étudié la satisfaction des clients concernant le service clientèle à l’occasion de l’achat d’un téléviseur. Ces achats ont été réalisés soit sur internet, soit dans une chaîne de magasins d’électroménager, soit dans une enseigne de grandes surfaces.

Les achats sur internet représentent $60 \%$ des ventes, les achats en magasin
d’électroménager $30 \%$ des ventes et ceux en grandes surfaces $10 \%$ des ventes.

Une enquête montre que la proportion des clients satisfaits du service clientèle
est de :

  • $75 \%$ pour les clients sur internet ;
  • $90 \%$ pour les clients en magasin d’électroménager ;
  • $80 \%$ pour les clients en grande surface.

On choisit au hasard un client ayant acheté le modèle de téléviseur concerné.

On définit les événements suivants :

  • $I$ : « le client a effectué son achat sur internet » ;
  • $M$ : « le client a effectué son achat en magasin d’électroménager » ;
  • $G$ : « le client a effectué son achat en grande surface » ;
  • $S$ : « le client est satisfait du service clientèle ».

Si $A$ est un événement quelconque, on notera $\conj{A}$ son événement contraire et $P(A)$ sa probabilité.

  1. Reproduire et compléter l’arbre ci-dessous.
    $\quad$

    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que le client ait réalisé son achat sur internet et soit satisfait du service clientèle.
    $\quad$
  3. Démontrer que $P(S) = 0,8$.
    $\quad$
  4. Un client est satisfait du service clientèle. Quelle est la probabilité qu’il ait effectué son achat sur internet ?
    On donnera un résultat arrondi à $10^{-3}$ près.
    $\quad$
  5. Pour réaliser l’étude, l’agence doit contacter chaque jour $30$ clients parmi les acheteurs du téléviseur. On suppose que le nombre de clients est suffisamment important pour assimiler le choix des $30$ clients à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de $30$ clients, associe le nombre de clients satisfaits du service clientèle.
    a. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
    $\quad$
    b. Déterminer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$ près, qu’au moins $25$ clients soient satisfaits dans un échantillon de $30$ clients contactés sur une même journée.
    $\quad$
  6. En résolvant une inéquation, déterminer la taille minimale de l’échantillon de clients à contacter pour que la probabilité qu’au moins l’un d’entre eux ne soit pas satisfait soit supérieure à $0,99$.
    $\quad$
  7. Dans les deux questions a. et b. qui suivent, on ne s’intéresse qu’aux seuls
    achats sur internet.
    Lorsqu’une commande de téléviseur est passée par un client, on considère que le temps de livraison du téléviseur est modélisé par une variable aléatoire $T$ égale à la somme de deux variables aléatoires $T_1$ et $T_2$.
    La variable aléatoire $T_1$ modélise le nombre entier de jours pour l’acheminement du téléviseur depuis un entrepôt de stockage vers une plateforme de distribution.
    La variable aléatoire $T_2$ modélise le nombre entier de jours pour l’acheminement du téléviseur depuis cette plateforme jusqu’au domicile du client.
    On admet que les variables aléatoires $T_1$ et $T_2$ sont indépendantes, et on donne :
    $\bullet$ L’espérance $E\left(T_1\right)= 4$ et la variance $V\left(T_1\right) = 2$ ;
    $\bullet$ L’espérance $E\left(T_2\right)= 3$ et la variance $V\left(T_2\right) = 1$ ;
    a. Déterminer l’espérance $E(T)$ et la variance $V(T)$ de la variable aléatoire $T$.
    $\quad$
    b. Un client passe une commande de téléviseur sur internet. Justifier que la probabilité qu’il reçoive son téléviseur entre $5$ et $9$ jours après sa commande est supérieure ou égale à $\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     (5 points)

L’espace est muni d’un repère orthonormé $\Oijk$.

On considère les points $A(5;5;0)$, $B(0;5;0)$, $C(0;0;10)$ et $D\left(0;0;-\dfrac{5}{2}\right)$.

  1. a. Montrer que$\vect{n_1}\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(CAD)$.
    $\quad$
    b. En déduire que le plan $(CAD)$ a pour équation cartésienne : $x-y=0$.
    $\quad$
  2. On considère la droite $\mathcal{D}$ de représentation paramétrique $\begin{cases} x=\dfrac{5}{2}t\\[3mm] y=5-\dfrac{5}{2}t\\[3mm] z=0\end{cases} \quad$ où $t\in \R$.
    a. On admet que la droite $\mathcal{D}$ et le plan $(CAD)$ sont sécants en un point $H$. Justifier que les coordonnées de $H$ sont $\left(\dfrac{5}{2};\dfrac{5}{2};0\right)$.
    $\quad$
    b. Démontrer que le point $H$ est le projeté orthogonal de $B$ sur le plan $(CAD)$.
    $\quad$
  3. a. Démontrer que le triangle $ABH$ est rectangle en $H$.
    $\quad$
    b. En déduire que l’aire du triangle $ABH$ est égale à $\dfrac{25}{4}$.
    $\quad$
  4. a. Démontrer que $(CO)$ est la hauteur du tétraèdre $ABCH$ issue de $C$.
    $\quad$
    b. En déduire le volume du tétraèdre $ABCH$.
    On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par : $V=\dfrac{1}{3}\mathcal{B}h$ où $\mathcal{B}$ est l’aire d’une base et $h$ la hauteur relative à cette base.
    $\quad$
  5. On admet que le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. Déduire des questions précédentes la distance du point $H$ au plan $(ABC)$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     (6 points)

Partie A : étude de la fonction $\boldsymbol{f}$

La fonction $f$ est définie sur l’intervalle $]0; +\infty[$ par : $f(x)=x-2+\dfrac{1}{2}\ln(x)$ , où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien. On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $]0 ; +\infty[$, on note $f’$ sa dérivée et $f\sec$ sa dérivée seconde.

  1. a. Déterminer, en justifiant, les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$.
    $\quad$
    b. Montrer que pour tout $x$ appartenant à $]0 ; +\infty[$, on a : $f'(x)=\dfrac{2x+1}{2x}$.
    $\quad$
    c. Étudier le sens de variation de $f$ sur $]0 ; +\infty[$.
    $\quad$
    d. Étudier la convexité de $f$ sur $]0 ; +\infty[$.
    $\quad$
  2. a. Montrer que l’équation $f(x) = 0$ admet dans $]0; +\infty[$ une solution unique qu’on notera $\alpha$ et justifier que $\alpha$ appartient à l’intervalle $[1 ; 2]$.
    $\quad$
    b. Déterminer le signe de $f(x)$ pour $x\in ]0 ; +\infty[$.
    $\quad$
    c. Montrer que $\ln(\alpha)=2(2-\alpha)$.
    $\quad$

Partie B : étude de la fonction $\boldsymbol{g}$

La fonction $g$ est définie sur $]0;1]$ par $g(x)=-\dfrac{7}{8}x^2+x-\dfrac{1}{4}x^2\ln(x)$.

On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $]0;1]$ et on note $g’$ sa fonction dérivée.

  1. Calculer $g'(x)$ pour $x\in ]0;1]$ puis vérifier que $g'(x)=xf\left(\dfrac{1}{x}\right)$.
    $\quad$
  2. a. Justifier que pour $x$ appartenant à l’intervalle $\left]0;\dfrac{1}{\alpha}\right[$, on a $f\left(\dfrac{1}{x}\right)>0$.
    $\quad$
    b. On admet le tableau de signes suivant :
    $\quad$

    $\quad$
    En déduire le tableau de variations de $g$ sur l’intervalle $]0 ; 1]$.
    Les images et les limites ne sont pas demandées.
    $\quad$

Partie C : un calcul d’aire

On a représenté sur le graphique ci-dessous :

  • La courbe $C_g$ de la fonction $g$ ;
  • La parabole $\mathcal{P}$ d’équation $y=-\dfrac{7}{8}x^2+x$ sur l’intervalle $]0 ; 1]$.

On souhaite calculer l’aire $\mathcal{A}$ du domaine hachuré compris entre les courbes $C_g$ et $\mathcal{P}$, et les droites d’équations $x=\dfrac{1}{\alpha}$ et $x=1$.
On rappelle que $\ln(\alpha)=2(2-\alpha)$.

  1. a. Justifier la position relative des courbes $C_g$ et $\mathcal{P}$ sur l’intervalle $]0;1]$.
    $\quad$
    b. Démontrer l’égalité : $$\int_{1/\alpha}^1 x^2\ln(x)\dx=\dfrac{-\alpha^3-6\alpha+13}{9\alpha^3}$$
    $\quad$
  2. En déduire l’expression en fonction de $\alpha$ de l’aire $\mathcal{A}$.
    $\quad$

$\quad$

 

 

Bac – Asie – jour 2 – juin 2024

Asie – 11 juin 2024

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A : Étude de la fonction $\boldsymbol{f}$

  1. Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to 0^+} x\ln(x)=0$ donc $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=0$
    Pour tout réel $x>0$ on a $f(x)=x^2\left(1-\dfrac{\ln(x)}{x}\right)$.
    Par croissances comparées $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;\infty[$ par hypothèse.
    Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=2x-\ln(x)-x\times \dfrac{1}{x} \\
    &=2x-\ln(x)-1\end{align*}$
    $\quad$
  3. La fonction $f’$ est dérivable sur $]0;\infty[$ par hypothèse.
    Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} f\dsec(x)&=2-\dfrac{1}{x} \\
    &=\dfrac{2x-1}{x}\end{align*}$
    $\quad$
  4. Le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend que de celui de $2x-1$.
    Or $2x-1=0 \ssi 2x=1 \ssi x=\dfrac{1}{2}$ et $2x-1>0\ssi 2x>1\ssi x>\dfrac{1}{2}$
    La fonction $f’$ est donc strictement décroissante sur $\left]0;\dfrac{1}{2}\right]$ et strictement croissante sur $\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$.
    De plus
    $\begin{align*}f’\left(\dfrac{1}{2}\right)&=2\times\dfrac{1}{2}-\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)-1 \\
    &=1+\ln(2)-1 \\
    &=\ln(2)\\
    &>0\end{align*}$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  5. La fonction $f’$ admet donc un minimum en $\dfrac{1}{2}$ qui vaut $\ln(2)>0$.
    Par conséquent, pour tout réel $x>0$ on a $f'(x)>0$ et la fonction $f$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$

Partie B : Étude d’une fonction auxiliaire pour la résolution de l’équation $\boldsymbol{f(x)=x}$

  1. La fonction $g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ par hypothèse.
    Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} g'(x)&=1-\dfrac{1}{x} \\
    &=\dfrac{x-1}{x}\end{align*}$
    $\quad$
    Le signe de $g'(x)$ ne dépend que de celui de $x-1$.
    $x-1=0\ssi x=1$ et $x-1>0 \ssi x>1$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  2. Soit $x>0$.
    $\begin{align*} f(x)=x&\ssi x^2-x\ln(x)=x \\
    &\ssi x^2-x\ln(x)-x=0 \\
    &\ssi x\left(x-\ln(x)-1\right)=0\\
    &\ssi x\left(g(x)-1\right)=0 \\
    &\ssi g(x)=1 \qquad \text{ car } x>0 \\
    &\ssi x=1\end{align*}$
    L’unique solution de l’équation $f(x)=x$ sur $]0;+\infty[$ est $1$.
    $\quad$

Partie C : Étude d’une suite récurrente

  1. Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~\dfrac{1}{2}\pp u_n \pp u_{n+1} \pp 1$.
    Initialisation :
    $\begin{align*}u_1&=f\left(u_0\right) \\
    &=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}\ln\left(\dfrac{1}{2}\right) \\
    &=\dfrac{1}{4}+\dfrac{\ln(2)}{2} \\
    & \approx 0,597\end{align*}$
    Par conséquent $\dfrac{1}{2} \pp u_0 \pp u_1 \pp 1$ et $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n$ un entier naturel. On suppose que $P(n)$ est vraie.
    Ainsi $\dfrac{1}{2}\pp u_n \pp u_{n+1} \pp 1$.
    La fonction $f$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
    Par conséquent $f\left(\dfrac{1}{2}\right) \pp f\left(u_n\right) \pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f(1)$
    Soit $u_1 \pp u_{n+1} \pp u_{n+2} \pp 1$ car pour tout entier naturel $k$ on a $u_{k+1}=f\left(u_k\right)$.
    Ainsi $\dfrac{1}{2}\pp u_1\pp u_{n+1} \pp u_{n+2} \pp 1$ et $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ on a $\dfrac{1}{2} \pp u_n \pp u_{n+1} \pp 1$.
    $\quad$
  2. La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante et majorée par $1$. D’après le théorème de la limite monotone, la suite $\left(u_n\right)$ onverge vers un réel $\ell$.
    $\quad$
  3. $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=x$.
    D’après la question B.2 l’unique solution de cette équation est $1$.
    Ainsi $\ell=1$.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. D’après l’énoncé :
    $\begin{align*} P_{G_1}\left(D_2\right)&=1-P_{G_1}\left(G_2\right) \\
    &=1-0,7 \\
    &=0,3\end{align*}$
    $\quad$
  2. On obtient l’arbre des probabilités suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  3. $\left(G_1,D_1\right)$ forme un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} g_2&=P\left(G_2\right) \\
    &=P\left(G_1\cap G_2\right)+P\left(D_1\cap G_2\right) \\
    &=P\left(G_1\right)\times P_{G_1}\left(G_2\right)+P\left(D_1\right)\times P_{D_1}\left(G_2\right) \\
    &=0,5\times 0,7+0,5\times 0,2 \\
    &=0,45\end{align*}$
    $\quad$
  4. a. On obtient l’arbre des probabilités suivant :
    $\quad$

    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ non nul, $\left(G_n,D_n\right)$ est un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} g_{n+1}&=P\left(G_{n+1}\right) \\
    &=P\left(G_n\cap G_{n+1}\right)+P\left(D_n\cap G_{n+1}\right) \\
    &=P\left(G_n\right)\times P_{G_n}\left(G_{n+1}\right)+P\left(D_n\right)\times P_{D_n}\left(G_{n+1}\right) \\
    &=0,7g_n+0,2\left(1-g_n\right) \\
    &=0,7g_n+0,2-0,2g_n\\
    &=0,5g_n+0,2\end{align*}$
    $\quad$
  5. a. Soit $n\in \N^*$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=g_{n+1}-0,4 \\
    &=0,5g_n+0,2-0,4 \\
    &=0,5g_n-0,2 \\
    &=0,5\left(g_n-0,4\right) \\
    &=0,5v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,5$ et de premier terme $v_1=0,5-0,4=0,1$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a donc $v_n=0,1\times 0,5^{n-1}$.
    Or $g_n=v_n+0,4$.
    Donc $g_n=0,1\times 0n5^{n-1}+0,4$.
    $\quad$
  6. Soit $n$ un entier naturel non nul.
    $\begin{align*} g_{n+1}-g_n&=0,1\times 0,5^n+0,4-\left(0,1\times 0,5^{n-1}+0,4\right) \\
    &=0,1\times 0,5^n-0,1\times 0,5^{n-1} \\
    &=0,1\times 0,5^{n-1}\left(0,5-1\right) \\
    &=-0,1\times 0,5^n \\
    &<0\end{align*}$
    La suite $\left(g_n\right)$ est donc décroissante.
    $\quad$
  7. On a $-1<0,5<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,5^{n-1}=0$.
    Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} g_n=0,4$.
    Sur le long terme, la probabilité que Léa gagne une partie est égale à $0,4$.
    $\quad$
  8. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ non nul tel que :
    $\begin{align*} g_n-0,4\pp 0,001 &\ssi 0,1\times 0,5^{n-1}\pp 0,001 \\
    &\ssi 0,5^{n-1}\pp 0,01 \\
    &\ssi (n-1)\ln(0,5)\pp \ln(0,01) \qquad \text{croissance de la fonction } \ln \\
    &\ssi n-1 \pg \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,5)} \qquad \text{car } \ln(0,5)<0 \\
    &\ssi n\pg 1+\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,5)}\end{align*}$
    Or $1+\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,5)} \approx 7,6$.
    Le plus petit entier naturel $n$ tel que $g_n-0,4\pp 0,001$ est donc $8$.
    $\quad$
  9. On peut écrire :

    Remarque : il manquait un $*$ à la ligne 5 !
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*}\dfrac{3n^2+4n+7}{6n^2+1} &=\dfrac{n^2\left(3+\dfrac{4}{n}+\dfrac{7}{n^2}\right)}{n^2\left(6+\dfrac{1}{n^2}\right)} \\
    &=\dfrac{3+\dfrac{4}{n}+\dfrac{7}{n^2}}{6+\dfrac{1}{n^2}}\end{align*}$
    Or $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{n}=\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{n^2}=0$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{3n^2+4n+7}{6n^2+1}=\dfrac{1}{2}$
    De plus, pour tout entier naturel $n$ on a $\dfrac{1}{2}\pp u_n \pp \dfrac{3n^2+4n+7}{6n^2+1}$.
    D’après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=\dfrac{1}{2}$
    L’affirmation 1 est vraie.
    $\quad$
  2. D’après le graphique, $h’$ semble être décroissante sur $[1,25;3]$.
    La fonction $h$ est donc concave sur cet intervalle.
    Or $[1,25;3]$ est inclus dans $[-1;3]$.
    L’affirmation 2 est fausse.
    $\quad$
  3. Pour le choix des lettres il y a $3$ choix possibles pour la première et $2$ choix possibles pour la seconde.
    Il existe $10^4\times 3\times 2=60~000$ combinaisons possibles (il y a $10$ chiffres possibles).
    Il existe $9^4\times 3\times 2=39~366$ combinaisons ne contenant pas de $0$ (il y a $9$ chiffres différents de $0$ possibles).
    Il y a donc $60~000-39~366=20~634$ combinaisons qui contiennent au moins un $0$.
    L’affirmation 3 est vraie.
    $\quad$
  4. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\ln(x)+x\times \dfrac{1}{x} \\
    &=\ln(x)+1\end{align*}$
    Ainsi :
    $\begin{align*} xf'(x)-f(x)&=x\left(\ln(x)+1\right)-x\ln(x) \\
    &=x\ln(x)+x-x\ln(x) \\
    &=x\end{align*}$
    $f$ est bien une solution de l’équation différentielle $xy’-y=x$ sur $]0;+\infty[$.
    L’affirmation 4 est vraie.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. $2+0-3+1=3-3=0$ : $A$ appartient au plan $(P)$.
    $4-2-3+1=5-5=0$ : $B$ appartient au plan $(P)$.
    $-8-12-15+1=1-35=-34\neq 0$ : $C$ n’appartient pas au plan $(P)$.
    $\quad$
  2. Un vecteur normal au plan $(P)$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\2\\-3\end{pmatrix}$.
    $\vect{CC’}\begin{pmatrix}4\\4\\-6\end{pmatrix}=2\vec{n}$
    Ainsi $\vect{CC’}$ est normal au plan $(P)$.
    De plus $0-4+3+1=4-4=0$ : $C’$ appartient au plan $(P)$.
    $C'(0;-2;-1)$ est le projeté orthogonal du point $C$ sur le plan $(P)$.
    $\quad$
  3. On a $\vect{AB}\begin{pmatrix} 1\\-1\\0\end{pmatrix}$
    Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est donc $\begin{cases} x=1+t\\y=-t\\z=1\end{cases}~~$ avec $t\in \R$.
    $\quad$
  4. On note $(x;y;z)$ les coordonnées de $H$.
    $H$ appartient à $(AB)$. Il existe donc un réel $t$ tel que $\begin{cases} x=1+t\\y=-t\\z=1\end{cases}$.
    $\vect{HC}\begin{pmatrix}-4-x\\-6-y\\5-z\end{pmatrix}$.
    $(AB)$ et $(HC)$ sont orthogonales. Donc :
    $\begin{align*} \vect{HC}.\vect{AB}=0&\ssi (-4-x)-(-6-y)=0 \\
    &\ssi -4-x+6+y=0 \\
    &\ssi x-y=2\end{align*}$
    On veut donc résoudre le système :
    $\begin{align*}\begin{cases} x-y=2\\x=1+t\\y=-t\\z=1\end{cases}&\ssi \begin{cases} 1+t+t=2\\x=1+t\\y=-t\\z=1\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} 2t=1\\x=1+t\\y=-t\\z=1\end{cases} \\
    &\ssi\begin{cases} t=\dfrac{1}{2}\\[3mm] x=\dfrac{3}{2}\\[3mm]y=-\dfrac{1}{2}\\[3mm]z=1\end{cases}\end{align*}$
    Ainsi les coordonnées possibles pour $H$ sont $\left(\dfrac{3}{2};-\dfrac{1}{2};1\right)$.
    $\quad$
    Vérifions que ces coordonnées sont bien les bonnes.
    En prenant $t=\dfrac{1}{2}$ dans la représentation paramétrique de $(AB)$ on retrouve les coordonnées $\left(\dfrac{3}{2};-\dfrac{1}{2};1\right)$.
    Si $H\left(\dfrac{3}{2};-\dfrac{1}{2};1\right)$ alors $\vect{HC}\begin{pmatrix} -\dfrac{11}{2}\\[3mm]-\dfrac{11}{2}\\[3mm]4\end{pmatrix}$.
    $\vect{HC}.\vect{AB}=-\dfrac{11}{2}+\dfrac{11}{2}+0=0$. $(AB)$ et $(HC)$ sont orthogonales.
    $\quad$
    Le points $H$ pour coordonnées $\left(\dfrac{3}{2};-\dfrac{1}{2};1\right)$.
    $\quad$

Partie B

  1. On a :
    $\begin{align*} \left\|\vect{HC}\right\|&=\sqrt{\left(-\dfrac{11}{2}\right)^2+\left(-\dfrac{11}{2}\right)^2+4^2} \\
    &=\sqrt{\dfrac{121}{4}+\dfrac{121}{4}+16}\\
    &=\sqrt{\dfrac{153}{2}}\end{align*}$
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} AB&=\sqrt{1^2+(-1)^2+0} \\
    &=\sqrt{2}\end{align*}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*}S&=\dfrac{AB\times HC}{2} \\
    &=\dfrac{\sqrt{2}\times \sqrt{\dfrac{153}{2}}}{2} \\
    &=\dfrac{\sqrt{153}}{2}\end{align*}$
    $\quad$

Partie C

  1. $\vect{CC’}$ est orthogonal au plan $(P)$ et les points $C’$ et $H$ appartiennent à ce plan.
    Donc $CHC’$ est un triangle rectangle en $C’$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} \cos(\alpha)&=\dfrac{HC’}{CH} \\
    &=\dfrac{\sqrt{\dfrac{17}{2}}}{\dfrac{\sqrt{153}}{2}} \\
    &=\dfrac{1}{3}\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. On a $\vect{C’H}\begin{pmatrix} \dfrac{3}{2}\\[3mm]\dfrac{3}{2}\\[3mm]2\end{pmatrix}$.
    Par conséquent $\vect{C’H}.\vect{AB}= \dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2}+0=0$.
    Les deux vecteurs sont orthogonaux par conséquent les droites sont orthogonales.
    Elles appartiennent toutes les deux au plan $(P)$.
    Ainsi $(C’H)$ et $(AB)$ sont perpendiculaires.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*}S’&=\dfrac{AB\times C’H}{2} \\
    &=\dfrac{\sqrt{2}\times \sqrt{\dfrac{17}{2}}}{2}\\
    &=\dfrac{\sqrt{17}}{2}\end{align*}$
    $\quad$
    c. On a :
    $\begin{align*}S\cos(\alpha)&=\dfrac{\sqrt{153}}{2}\times \dfrac{1}{3} \\
    &=\dfrac{\sqrt{17}}{2} \\
    &=S’\end{align*}$
    Donc $S\cos(\alpha)=S’$.
    $\quad$

Énoncé

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation de la copie. Les candidates et les candidats sont invités à faire figurer sur leurs copies toute trace de recherche, même incomplètes ou infructueuses.

Exercice 1     (5,5 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $] 0 ;+\infty\left[\right.$ par $f(x)=x^2-x \ln (x)$.
On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $] 0 ;+\infty[$.
On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et $f\dsec$ la fonction dérivée de la fonction $f’$.

Partie A : Étude de la fonction $\boldsymbol{f}$

  1. Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+\infty$.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x$ strictement positif, calculer $f'(x)$.
    $\quad$
  3. Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif :
    $$f\dsec(x)=\dfrac{2 x-1}{x}$$
    $\quad$
  4. Étudier les variations de la fonction $f’$ sur $] 0 ;+\infty[$, puis dresser le tableau des variations de la fonction $f’$ sur $] 0 ;+\infty[$.
    On veillera à faire apparaître la valeur exacte de l’extremum de la fonction $f’$ sur $] 0 ;+\infty[$. Les limites de la fonction $f’$ aux bornes de l’intervalle de définition ne sont pas attendues.
    $\quad$
  5. Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $] 0 ;+\infty[$.
    $\quad$

Partie B : Étude d’une fonction auxiliaire pour la résolution de l’équation $\boldsymbol{f(x)=x}$

On considère dans cette partie la fonction $g$ définie sur $] 0;+\infty[$ par $g(x)=x-\ln (x)$.
On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $] 0 ;+\infty[$, on note $g’$ sa dérivée.

  1. Pour tout réel strictement positif, calculer $g'(x)$, puis dresser le tableau des variations de la fonction $g$. Les limites de la fonction $g$ aux bornes de l’intervalle de définition ne sont pas attendues.
    $\quad$
  2. On admet que $1$ est l’unique solution de l’équation $g(x)=1$.
    Résoudre, sur l’intervalle $] 0 ;+\infty[$, l’équation $f(x)=x$.
    $\quad$

Partie C : Étude d’une suite récurrente

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=\dfrac{1}{2}$ et pour tout entier naturel $n$, $$u_{n+1}=f\left(u_n\right)=u_n^2-u_n\ln\left(u_n\right)$$

  1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ : $\dfrac{1}{2} \pp u_n\pp u_{n+1}\pp 1$.
    $\quad$
  2. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
    $\quad$
    On appelle $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et on admet que $\ell$ vérifie l’égalité $f(\ell)=\ell$.
    $\quad$
  3. Déterminer la valeur de $\ell$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     (5,5 points)

Léa passe une bonne partie de ses journées à jouer à un jeu vidéo et s’intéresse aux chances de victoire de ses prochaines parties.

Elle estime que si elle vient de gagner une partie, elle gagne la suivante dans $70 \%$ des cas.

Mais si elle vient de subir une défaite, d’après elle, la probabilité qu’elle gagne la suivante est de $0,2$.

De plus, elle pense avoir autant de chance de gagner la première partie que de la perdre.

On s’appuiera sur les affirmations de Léa pour répondre aux questions de cet exercice.
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on définit les événements suivants :

  • $G_n:$ «Léa gagne la $n$-ième partie de la journée »;
  • $D_n:$ «Léa perd la $n$-ième partie de la journée ».

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $g_n$ la probabilité de l’événement $G_n$. On a donc $g_1=0,5$.

  1. Quelle est la valeur de la probabilité conditionnelle $P_{G_1}\left(D_2\right)$ ?
    $\quad$
  2. Recopier et compléter l’arbre des probabilités ci-dessous qui modélise la situation pour les deux premières parties de la journée :
    $\quad$

    $\quad$
  3. Calculer $g_2$.
    $\quad$
  4. Soit $n$ un entier naturel non nul.
    a. Recopier et compléter l’arbre des probabilités ci-dessous qui modélise la situation pour les $n$-ième et $(n+1)$-ième parties de la journée.
    $\quad$

    $\quad$
    b. Justifier que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $g_{n+1}=0,5g_n+0,2$.
    $\quad$
  5. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose $v_n=g_n-0,4$.
    a. Montrer que la suite $\left(v_n\right.$ ) est géométrique. On précisera son premier terme et sa raison.
    $\quad$
    b. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul : $g_n=0,1 \times 0,5^{n-1}+0,4$.
    $\quad$
  6. Étudier les variations de la suite $\left(g_n\right)$.
    $\quad$
  7. Donner, en justifiant, la limite de la suite $\left(g_n\right)$.
    Interpréter le résultat dans le contexte de l’énoncé.
    $\quad$
  8. Déterminer, par le calcul, le plus petit entier $n$ tel que $g_n-0,4 \pp 0,001$.
    $\quad$
  9. Recopier et compléter les lignes 4,5 et 6 de la fonction suivante, écrite en langage Python, afin qu’elle renvoie le plus petit rang à partir duquel les termes de la suite $\left(g_n\right)$ sont tous inférieurs ou égaux à $0,4+e$, où $e$ est un nombre réel strictement positif.

    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     (4 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

  1. Soit $\left(u_n\right)$ une suite définie pour tout entier naturel $n$ et vérifiant la relation suivante :
    pour tout entier naturel $n$, $\dfrac{1}{2} \pp u_n \pp \dfrac{3n^2+4n+7}{6n^2+1}$.
    Affirmation 1 : $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
  2. Soit $h$ une fonction définie et dérivable sur l’intervalle $[-4;4]$.
    La représentation graphique $C_{h’}$ de sa fonction dérivée $h’$ est donnée ci-dessous.
    $\quad$

    $\quad$
    Affirmation 2 : La fonction $h$ est convexe sur $[-1;3]$.
    $\quad$
  3. Le code d’un immeuble est composé de $4$ chiffres (qui peuvent être identiques) suivis de deux lettres distinctes parmi A, B et C (exemple : $1232$BA).
    Affirmation 3 : Il existe $20~634$ codes qui contiennent au moins un $0$.
    $\quad$
  4. On considère la fonction $f$ définie sur $]0+\infty[$ par $f(x)=x\ln(x)$.
    Affirmation 4 : La fonction $f$ est une solution sur $]0;+\infty[$ de l’équation différentielle $$xy’-y=x$$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     (5 points)

Dans un repère orthonormé $\Oijk$ de l’espace, on considère le plan $(P)$ d’équation :
$$(P): 2 x+2 y-3 z+1=0$$

On considère les trois points $A, B$ et $C$ de coordonnées :
$$A(1 ; 0 ; 1), B(2 ;-1 ; 1) \text { et } C(-4 ;-6 ; 5) $$

Le but de cet exercice est d’étudier le rapport des aires entre un triangle et son projeté orthogonal dans un plan.

Partie A

  1. Pour chacun des points $A$, $B$ et $C$ vérifier s’il appartient au plan $(P)$.
    $\quad$
  2. Montrer que le point $C'(0 ;-2 ;-1)$ est le projeté orthogonal du point $C$ sur le plan $(P)$.
    $\quad$
  3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.
    $\quad$
  4. On admet l’existence d’un unique point $H$ vérifiant les deux conditions
    $\begin{cases} H\in(AB) \\(AB) \text{ et } (HC) \text{ sont orthogonales}\end{cases}$.
    Déterminer les coordonnées du point $H$.
    $\quad$

    $\quad$

 

Partie B
On admet que les coordonnées du vecteur $\vect{HC}$ sont  $\vect{HC}\begin{pmatrix}-\dfrac{11}{2} \\[3mm] -\dfrac{11}{2} \\[3mm] 4\end{pmatrix}$.

  1. Calculer la valeur exacte de $\left\|\vect{HC}\right\|$.
    $\quad$
  2. Soit $S$ l’aire du triangle ABC. Déterminer la valeur exacte de $S$.
    $\quad$

Partie C

On admet que $HC’=\sqrt{\dfrac{17}{2}}$.

  1. Soit $\alpha=\widehat{CHC’}$. Déterminer la valeur de $\cos(\alpha)$.
    $\quad$
  2. a. Montrer que les droites $(C’H)$ et $(AB)$ sont perpendiculaires.
    $\quad$
    b. Calculer $S’$ l’aire du triangle $ABC’$, on donnera la valeur exacte.
    $\quad$
    c. Donner une relation entre $S$, $S’$ et $\cos(\alpha)$.
    $\quad$

$\quad$

 

 

Bac – Asie – jour 1 – juin 2024

Asie – 10 juin 2024

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. Graphiquement on obtient le tableau de variations suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  2. Le point $A$ semble être un point d’inflexion de la courbe $\mathscr{C}$.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ semble être croissante sur l’intervalle $[0;1,5]$ et décroissante sur $[1,5;+\infty[$. La courbe représentant la fonction $f’$ doit donc être au-dessus de l’axe des abscisses sur $[0;1,5]$ et en dessous sur l’autre.
    Ainsi, $f’$ est représentée par la courbe $\mathscr{C}_2$ et $f\dsec$ par la courbe $\mathcal{C}_1$.
    $\quad$
    $\quad$
  4. La fonction $f$ semble être négative sur l’intervalle $[0;0,5]$. Ses primitives sont donc décroissantes sur cet intervalle ; ce qui n’est pas le cas de la courbe $\mathscr{C}_3$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ par hypothèse.
    Pour tout réel $x\pg 0$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=4\e^{-x+1}-(4x-2)\e^{-x+1} \\
    &=(4-4x+2)\e^{-x+1} \\
    &=(6-4x)\e^{-x+1}\end{align*}$
    $\quad$
    b. Pour tout réel $t$ on a $\e^t>0$ donc, pour tout réel $x\pg 0$ on a $\e^{-x+1}>0$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $6-4x$.
    Or :
    $6-4x=0 \ssi -4x=-6\ssi x=\dfrac{3}{2}$ et $6-4x>0\ssi -4x>-6\ssi x<\dfrac{3}{2}$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :
    $\quad$

    $\quad$
    c. La fonction $f’$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ par hypothèse.
    Pour tout réel $x\pg 0$ on a :
    $\begin{align*} f\dsec(x)&=-4\e^{-x+1}-(-4x+6)\e^{-x+1} \\
    &=(-4+4x-6)\e^{-x+1} \\
    &=(4x-10)\e^{-x+1}\end{align*}$
    La fonction exponentielle étant strictement positive, le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend que de celui de $4x-10$.
    Or $4x-10=0\ssi 4x=10 \ssi x=\dfrac{5}{2}$ et $4x-10>0\ssi 4x>10 \ssi x>\dfrac{5}{2}$
    La fonction $f$ est donc concave sur $\left[0;\dfrac{5}{2}\right]$ et convexe sur $\left[\dfrac{5}{2};+\infty\right[$.
    La fonction $f\dsec$ s’annule en changeant de signe en $\dfrac{5}{2}$.
    Par conséquent, la courbe représentative de la fonction $f$ admet un point d’inflexion au point d’abscisse $\dfrac{5}{2}$.
    $\quad$
  2. a. La fonction $F$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x\pg 0$ on a :
    $\begin{align*} F'(x)&=a\e^{-x+1}-(ax+b)\e^{-x+1} \\
    &=(-ax+a-b)\e^{-x+1}\end{align*}$
    Pour que $F$ soit une primitive de $f$ sur $[0;+\infty[$, il faut que, pour tout réel $x\pg 0$ on ait $F'(x)=f(x)$.
    Par identification on a donc :
    $\begin{cases} -a=4\\a-b=-2 \end{cases} \ssi \begin{cases} a=-4\\b=-2\end{cases}$
    $\quad$
    b. 
    $\begin{align*} I&=\int_{\frac{3}{2}}^8 f(x)\dx \\
    &=F(8)-F\left(\dfrac{3}{2}\right) \\
    &=-34\e^{-7}+8\e^{-1/2}\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. L’ordonnée du point $D$ est :
    $\begin{align*} f\left(\dfrac{3}{2}\right)&=4\e^{-1/2} \\
    &\approx 2,43 \text{ m}\end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et positive sur $\left[\dfrac{3}{2};8\right]$.
    Par conséquent l’aire du mur est égale à $I$.
    L’artiste couvrira donc $\dfrac{75}{100}\left(-34\e^{-7}+8\e^{-1/2}\right)$ m$^2$.
    Or $\dfrac{75}{100}\left(-34\e^{-7}+8\e^{-1/2}\right) \approx 3,62$ et $\begin{cases} 4\times 0,8=3,2 \\5\times 0,8=4\end{cases}$.
    Elle devra donc utiliser $5$ bombes aérosol.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. On a $\vect{AB}\begin{pmatrix} 1\\0\\-1\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix} -3\\4\\1\end{pmatrix}$
    Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires car ils n’ont pas la même composante nulle.
    $A$, $B$ et $C$ ne sont donc pas alignés.
    $\quad$
  2. a. On a $\vect{AD}\begin{pmatrix} 1\\4\\-3\end{pmatrix}$
    Ainsi $\vect{AD}-\vect{AC}=\begin{pmatrix}4\\0\\-4\end{pmatrix}=4\vect{AB}$.
    Donc $\vect{AD}=\vect{AC}+4\vect{AB}$.
    Les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont complaires.
    $\quad$
    b. On a $\vect{DC}\begin{align*} 4\\0\\-4\end{align*}=4\vect{AB}$.
    Par conséquent $(DC)$ et $(AB)$ sont parallèles et $ABDC$ est un trapèze de bases $[AB]$ et  $[CD]$.
    $\quad$
  3. a. D’une part $\vec{n}.\vect{AB}=2+0-2=0$.
    D’autre part $\vec{n}.\vect{AC}=-6+4+2=0$.
    $\vec{n}$ est orthogonal a deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$.
    $\vec{n}$ est donc un vecteur normal au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est de la forme $2x+y+2z+d=0$.
    Or $A(3;-1;1)$ appartient au plan $(ABC)$ donc :
    $6-1+2+d=0 \ssi d=-7$.
    Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc $2x+y+2z-7=0$.
    $\quad$
    c. Une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est donc $\begin{cases} x=2+2t\\y=1+t\\z=4+2t\end{cases} ~~$ avec $t\in \R$.
    $\quad$
    d. Si on prend $t=-\dfrac{2}{3}$ dans la représentation paramétrique de $\Delta$ $\Big($c’est la valeur qui permet d’avoir $y=\dfrac{1}{3}\Big)$ on obtient alors $\begin{cases} x=\dfrac{2}{3}\\[3mm]y=\dfrac{1}{3}\\[3mm]z=\dfrac{8}{3}\end{cases}$.
    Le point de coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{8}{3}\right)$ appartient à $\Delta$.
    De plus :
    $2\times \dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}+2\times\dfrac{8}{3}-7=\dfrac{21}{3}-7=0$.
    Le point de coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{8}{3}\right)$ appartient à $(ABC)$.
    La droite $\Delta$ et le plan $(ABC)$ sont sécants.
    Leur point d’intersection a bien pour coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{8}{3}\right)$.
    $\quad$
    On a $\vect{SI}\begin{pmatrix}-\dfrac{4}{3}\\[3mm]-\dfrac{2}{3}\\[3mm]\dfrac{4}{3}\end{pmatrix}$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} SI&=\sqrt{\left(-\dfrac{4}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2+\left(\dfrac{4}{3}\right)^2} \\
    &=\sqrt{\dfrac{16}{9}+\dfrac{4}{9}+\dfrac{16}{9}} \\
    &=\sqrt{\dfrac{36}{9}} \\
    &=\sqrt{4} \\
    &=2\text{ cm}\end{align*}$
    $\quad$
  4. a. On appelle $H’$ le point de coordonnées $(3;3;-1)$.
    On a alors $\vect{BH’}\begin{pmatrix} -1\\4\\-1\end{pmatrix}$ et $\vect{CH’}\begin{pmatrix} 3\\0\\-3\end{pmatrix}$.
    Ainsi $\vect{BH’}.\vect{CD}=-4+0+4=0$ : $\vect{BH’}$ est orthogonal à $\vect{CD}$
    et $\vect{CH’}=\dfrac{3}{4}\vect{CD}$. : le point $H’$ appartient à $(CD)$.
    Le projeté orthogonal du point $B$ sur la droite $(CD)$ a pour coordonnées $(3;3;-1)$.
    De plus :
    $\begin{align*} BH&=\sqrt{(-1)^2+4^2+(-1)^2} \\
    &=\sqrt{1+16+1} \\
    &=\sqrt{18} \\
    &=\sqrt{9\times 2} \\
    &=3\sqrt{2} \text{ cm}\end{align*}$
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*}b&=AB\\
    &=\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}\\
    &=\sqrt{2}\end{align*}$
    $\begin{align*}B&=CD \\
    &=\sqrt{4^2+0^2+(-4)^2} \\
    &=\sqrt{32} \\
    &=4\sqrt{2}\end{align*}$
    De plus $h=HB$
    L’aire du trapèze $ABDC$ est donc :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{\sqrt{2}+4\sqrt{2}}{2}\times 3\sqrt{2} \\
    &=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}\times 3\sqrt{2} \\
    &=\dfrac{15\sqrt{2}^2}{2} \\
    &=15 \text{ cm}^2\end{align*}$
    $\quad$
  5. Le volume de la pyramide $SABDC$ est :
    $\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}\times SI \\
    &=\dfrac{1}{3}\times 15\times 2 \\
    &=10\text{ cm}^3\end{align*}$
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. D’après l’énoncé la probabilité que cet individu prélevé ait déjà été infecté par la COVID 19 est $P(I)=0,057$.
    $\quad$
  2. a. On répète $100$ fois la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,057$ de façon indépendante.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètre $n=100$ et $p=0,057$.
    $\quad$
    b. Son espérance est :
    $\begin{align*}E(X)&=100\times 0,057 \\
    &=5,7\end{align*}$.
    En moyenne sur $1000$ individus testés, $57$ avaient déjà été infecté par la COVID 19.
    $\quad$
    c. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(X=0)&=(1-0,057)^{100} \\
    &\approx 0,002~8\end{align*}$
    La probabilité qu’il n’y ait aucune personne infectée dans l’échantillon est environ égale à $0,002~8$.
    $\quad$
    d. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(X\pg 2)&=1-P(X\pp 1) \\
    &=1-P(X=0)-P(X=1) \\
    &=1-0,943^{100}-\dbinom{100}{1}0,057\times 0,943^{99}\\
    &\approx 0,980~1\end{align*}$
    La probabilité qu’au moins $2$ individus soient infectés dans l’échantillon est environ égale à $0,980~1$.
    $\quad$
    e. La fonction $x\mapsto P(X\pp x)$ est croissante sur $\R$.
    D’après la calculatrice : $P(X\pp 8) \approx 0,883$ et $P(X\pp 9)\approx 0,941$.
    Par conséquent, le plus petit entier $n$ tel que $P(X\pp n)>0,9$ est $9$.
    La probabilité pour qu’il y ait au plus $9$ individus infectés dans l’échantillon est supérieure à $0,9$.
    $\quad$

Partie B

  1. On obtient l’arbre des probabilités suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  2. $\left(I,\conj{I}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales :
    $\begin{align*} P(T)&=P(I\cap T)+P\left(\conj{I}\cap T\right)\\
    &=P(I)\times P_I(T)+P\left(\conj{I}\right)P_{\conj{I}}(T) \\
    &=0,057\times 0,8+0,943\times 0,01 \\
    &=0,055~03\end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*}P_T(I)&=\dfrac{P(I\cap T)}{P(T)} \\
    &=\dfrac{0,057\times 0,8}{0,055~03} \\
    &\approx 0,828~6\end{align*}$
    $\quad$

Partie C

On a, en gardant le nom des événements précédents : $P(T)=0,294~4$, $P_I(T)=0,8$, $P_{\conj{I}}\left(\conj{T}\right)=0,99$.

$\left(I,\conj{I}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités :

$\begin{align*} &P(T)=P(I\cap T)+P\left(\conj{I}\cap T\right)  \\
&\ssi 0,294~4=P(I)\times P_I(T)+\left(1-P(I)\right)\left(1-P_{\conj{I}}\left(\conj{T}\right)\right) \\
&\ssi 0,294~4=0,8P(I)+\left(1-P(I)\right)\times 0,01 \\
&\ssi 0,294~4=0,8P(I)+0,01-0,01P(I) \\
&\ssi 0,284~4=0,79P(I) \\
&\ssi P(I)=\dfrac{0,284~4}{0,79}\\
&\ssi P(I)=0,36\end{align*}$
La probabilité que l’individu choisi ait été infecté est égale à $0,36$.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=1+\dfrac{1}{n+1}$.
    Pour tout $n\in \N$ on a $u_n>1>0$ : la suite est minorée par $0$.
    Pour tout $n\in \N$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=\dfrac{1}{n+2}-\dfrac{1}{n+1} \\
    &=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)} \\
    &>0\end{align*}$
    La suite est décroissante.
    Pourtant $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=1\neq 0$.
    L’affirmation 1 est fausse
    $\quad$
  2. On a donc, pour tout $n\in \N$, $u_n \pp -\left(\dfrac{9}{7}\right)^n+\left(\dfrac{3}{7}\right)^n$.
    Or $-1<\dfrac{3}{7}<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} \left(\dfrac{3}{7}\right)^n=0$.
    et $\dfrac{9}{7}>1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} \left(\dfrac{9}{7}\right)^n=+\infty$.
    Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} -\left(\dfrac{9}{7}\right)^n+\left(\dfrac{3}{7}\right)^n=-\infty$ et $u_n \pp -\left(\dfrac{9}{7}\right)^n+\left(\dfrac{3}{7}\right)^n$.
    D’après le théorème de comparaison $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=-\infty$.
    L’Affirmation 2 est vraie.
    $\quad$
  3. L’appel $\text{terme(4)}$ renvoie la valeur $1+0+1+2+3=7$.
    L’affirmation 3 est vraie.
    $\quad$
  4. Avec le prix A il reçoit $1~000\times 15=15~000$ euros.
    Avec le prix B il reçoit $1+2+2^2+\ldots +2^{14}$
    Il s’agit de la somme des $15$ premiers termes de la suite géométrique de raison $2$ et de premier terme $u_0=1$.
    Cette somme vaut $\dfrac{1-2^{15}}{1-2}=2^{15}-1=32~767>15~000$
    L’affirmation 4 est fausse.
    $\quad$
  5. Pour tout $n\in \N^*$ on a :
    $\begin{align*} v_{n+1}-v_n&=\int_1^{n+1}\ln(x)\dx-\int_1^n \ln(x) \dx\\
    &=\int_1^n \ln(x) \dx+\int_n^{n+1} \ln(x) \dx-\int_1^n \ln(x) \dx \qquad \text{(relation de Chasles)} \\
    &=\int_n^{n+1} \ln(x)\dx\end{align*}$
    La fonction $\ln$ est continue et positive sur $[n;n+1]$.
    Par positivité de l’intégrale, $v_{n+1}-v_n\pg 0$.
    La suite $\left(v_n\right)$ est croissante.
    L’affirmation 5 est vraie.
    $\quad$

Énoncé

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 1     (5 points)

Partie A

On considère une fonction $f$ définie sur $[0 ; +\infty[$, représentée par la courbe $\mathscr{C}$ ci-dessous.
La droite $T$ est tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point $A$ d’abscisse $\dfrac{5}{2}$.

  1. Dresser, par lecture graphique, le tableau des variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0; 5]$.
    $\quad$
  2. Que semble présenter la courbe $\mathscr{C}$ au point $A$?
    $\quad$
  3. La dérivée $f’$ et la dérivée seconde $f\dsec$ de la fonction $f$ sont représentées par les courbes ci-dessous.
    Associer à chacune de ces deux fonctions la courbe qui la représente.
    Ce choix sera justifié.
    $\quad$

    $\quad$
  4. La courbe $\mathscr{C}_3$ ci-dessous peut-elle être la représentation graphique sur $[0 ; +\infty[$ d’une primitive de la fonction $f$ ? Justifier.
    $\quad$

    $\quad$

Partie B

Dans cette partie, on considère que la fonction $f$ , définie et deux fois dérivable sur $[0 ; +\infty[$, est définie par $$f (x) = (4x-2)e^{-x+1}$$
On notera respectivement $f’$ et $f\dsec$ la dérivée et la dérivée seconde de la fonction $f$.

  1. Étude de la fonction $f$.
    a. Montrer que $f'(x) = (-4x +6)e^{-x+1}$.
    $\quad$
    b. Utiliser ce résultat pour déterminer le tableau complet des variations de la fonction $f$ sur $[0 ; +\infty[$. On admet que $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$.
    $\quad$
    c. Étudier la convexité de la fonction $f$ et préciser l’abscisse d’un éventuel point d’inflexion de la courbe représentative de $f$.
    $\quad$
  2. On considère une fonction $F$ définie sur $[0 ; +\infty[$ par $F(x) = (ax +b)e^{-x+1}$, où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.
    a. Déterminer les valeurs des réels $a$ et $b$ telles que la fonction $F$ soit une primitive de la fonction $f$ sur $[0 ; +\infty[$.
    $\quad$
    b. On admet que la fonction $F$ définie par $F(x) = (-4x-2)e^{-x+1}$ est une primitive de la fonction $f$ sur $[0 ; +\infty[$.
    En déduire la valeur exacte, puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près, de l’intégrale $$I=\int_{\frac{3}{2}}^8 f(x)\dx$$
    $\quad$
  3. Une municipalité a décidé de construire une piste de trottinette freestyle.
    Le profil de cette piste est donné par la courbe représentative de la fonction $f$ sur l’intervalle $\left[\dfrac{3}{2};8\right]$.
    L’unité de longueur est le mètre
    $\quad$

    $\quad$
    a. Donner une valeur approchée au cm près de la hauteur du point de départ $D$.
    $\quad$
    b. La municipalité a organisé un concours de graffiti pour orner le mur de profil de la piste. L’artiste retenue prévoit de couvrir environ $75\%$ de la surface du mur.
    Sachant qu’une bombe aérosol de $150$ mL permet de couvrir une surface de $0,8$ m$^2$, déterminer le nombre de bombes qu’elle devra utiliser pour réaliser cette œuvre.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     (5 points)

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé $\Oijk$ d’unité 1$ $cm, on considère les points : $A(3; -1; 1)$ ; $B(4; -1; 0)$ ; $C(O ; 3; 2)$ ; $D(4; 3; -2)$ et $S(2; 1; 4)$.
Dans cet exercice on souhaite montrer que $SABDC$ est une pyramide à base $ABDC$ trapézoïdale de sommet $S$, afin de calculer son volume.

  1. Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
    $\quad$
  2. a. Montrer que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont coplanaires.
    $\quad$
    b. Montrer que le quadrilatère $ABDC$ est un trapèze de bases $[AB]$ et $[CD]$.
    On rappelle qu’un trapèze est un quadrilatère ayant deux côtés opposés parallèles appelés bases.
    $\quad$
  3. a. Démontrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    b. En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
    $\quad$
    c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par le point $S$ et orthogonale au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    d. On note $I$ le point d’intersection de la droite $\Delta$ et du plan $(ABC)$.
    Montrer que le point $I$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{2};\dfrac{8}{3}\right)$, puis montrer que $SI= 2$ cm.
    $\quad$
  4. a. Vérifier que le projeté orthogonal $H$ du point $B$ sur la droite $(CD)$ a pour coordonnées $H(3 ; 3 ; -1)$ et montrer que $HB = 3\sqrt{2}$ cm.
    $\quad$
    b. Calculer la valeur exacte de l’aire du trapèze $ABDC$.
    On rappelle que l’aire d’un trapèze est donnée par la formule $$\mathscr{A}=\dfrac{b+B}{2}\times h$$
    où $b$ et $B$ sont les longueurs des bases du trapèze et $h$ sa hauteur.
    $\quad$
  5. Déterminer le volume de la pyramide $SABDC$.
    On rappelle que le volume $V$ d’une pyramide est donné par la formule $$V =\dfrac{1}{3}\times \text{aire de la base} \times \text{hauteur}$$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     (5 points)

Dans la revue Lancet PublicHealth, les chercheurs affirment qu’au 11mai 2020, $5,7\%$ des adultes français avaient déjà été infectés par la COVID 19.
Source : https://www.thelancet.com/journals/eclinm/article/PIIS2468-2667(21)00064-5/fulltext

On se servira de cette donnée pour les parties A et B de cet exercice.

Partie A

  1. On prélève un individu dans la population française adulte au 11 mai 2020.
    On note $I$ l’évènement : « l’adulte a déjà été infecté par la COVID 19 »
    Quelle est la probabilité que cet individu prélevé ait déjà été infecté par la COVID 19?
    $\quad$
  2. On prélève un échantillon de $100$ personnes de la population supposées choisies de façon indépendante les unes des autres.
    On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise.
    On appelle $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de personnes ayant déjà été infectées.
    a. Justifiez que $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
    $\quad$
    b. Calculer son espérance mathématique. Interpréter ce résultat dans le cadre de l’exercice.
    $\quad$
    c. Quelle est la probabilité qu’il n’y ait aucune personne infectée dans l’échantillon?
    On donnera une valeur approchée à $10^{-4}$ près du résultat.
    $\quad$
    d. Quelle est la probabilité qu’il y ait au moins $2$ personnes infectées dans l’échantillon?
    On donnera une valeur approchée à $10^{-4}$ près du résultat.
    $\quad$
    e. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $P(X \pp n)> 0,9$.
    Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
Partie B :
Un test a été mis en place : celui-ci permet de déterminer (même longtemps après l’infection), si une personne a ou non déjà été infectée par la COVID 19.
Si le test est positif, cela signifie que la personne a déjà été infectée par la COVID 19.
Deux paramètres permettent de caractériser ce test : sa sensibilité et sa spécificité.
La sensibilité d’un test est la probabilité qu’il soit positif sachant que la personne a été infectée par la maladie. (II s’agit donc d’un vrai positif ).
La spécificité d’un test est la probabilité que le test soit négatif sachant que la personne n’a pas été infectée par la maladie. (II s’agit donc d’un vrai négatif ).
Le fabricant du test fournit les caractéristiques suivantes :
  • Sa sensibilité est de $0,8$.
  • Sa spécificité est de $0,99$.

On prélève un individu soumis au test dans la population française adulte au 11 mai 2020.
On note $T$ l’évènement « le test réalisé est positif ».

  1. Compléter l’arbre des probabilités ci-dessous avec les données de l’énoncé :
    $\quad$

    $\quad$
  2. Montrer que $P(T ) = 0,055~03$.
    $\quad$
  3. Quelle est la probabilité qu’un individu ait été infecté sachant que son test est positif ?
    On donnera une valeur approchée à $10^{-4}$ près du résultat.
    $\quad$

Partie C :
On considère un groupe d’une population d’un autre pays soumis au même test de sensibilité $0,8$ et de spécificité $0,99$.
Dans ce groupe la proportion d’individus ayant un test positif est de $29,44\%$.
On choisit au hasard un individu de ce groupe; quelle est la probabilité qu’il ait été infecté ?
$\quad$

$\quad$

Exercice 4     (5 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse puis justifier la réponse donnée.
Toute réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.

  1. Affirmation 1 : Toute suite décroissante et minorée par $0$ converge vers $0$.
    $\quad$
  2. On considère une suite $\left(u_n\right)$ définie sur $\N$ telle que, pour tout entier $n$, on a $u_n\pp \dfrac{-9^n+3^n}{7^n}$.
    Affirmation 2 : $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=-\infty$.
    $\quad$
  3. On considère la fonction suivante écrite en langage Python :

    Affirmation 3 : $\text{terme(4)}$ renvoie la valeur $7$.
    $\quad$
  4. Lors d’un concours, le gagnant a le choix entre deux prix :
    $\bullet$ Prix A : il reçoit $1~000$ euros par jour pendant 15 jours;
    $\bullet$ Prix B : il reçoit $1$ euro le 1er jour, $2$ euros le 2e jour, $4$ euros le 3e jour et pendant $15$ jours la somme reçue double chaque jour.
    Affirmation 4 : La valeur du prix A est plus élevée que la valeur du prix B.
    $\quad$
  5. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier $n \pg 1$ par $$v_n=\int_1^n \ln(x)\dx$$
    Affirmation 5 : La suite $\left(v_n\right)$ est croissante.
    $\quad$

$\quad$

 

Bac – Centres étrangers 2 – 6 juin 2024

Centres étrangers – 6 juin 2024

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. On effectue $3$ tirages avec remise dans un ensemble à $8$ éléments. Il s’agit donc de déterminer le nombre de $3$-listes possibles constitués d’éléments de cet ensemble.
    Il existe ainsi $8^3=512$ tirages possibles.
    $\quad$
  2. a. Il s’agit de compter le nombre d’arrangements possibles de $3$ éléments dans un ensemble à $8$ éléments.
    Il y a donc $8\times 7\times 6=336$ tirages sans répétition de numéro.
    $\quad$
    b. Il y a donc $512-336=176$ tirages contenant au moins une répétition de numéro.
    $\quad$
  3. Nous sommes dans une situation d’équiprobabilité. Donc, pour tout entier $k$ compris entre $1$ et $8$, tous les deux inclus, $P\left(X_1=k\right)=\dfrac{1}{8}$.
    Remarque : On dit que $X_1$ suit la loi uniforme sur l’ensemble des entiers de $1$ à $8$.
    $\quad$
  4. L’espérance de $X_1$ est donc :
    $\begin{align*}E\left(X_1\right)&=\dfrac{1}{8}\times 1+\dfrac{1}{8}\times 2+\ldots+\dfrac{1}{8}\times 8 \\
    &=\dfrac{1}{8}\left(1+2+\ldots+8\right) \\
    &=\dfrac{1}{8}\times \dfrac{8\times 9}{2} \\
    &=\dfrac{9}{2}\end{align*}$
    $\quad$
  5. $X_1$, $X_2$ et $X_3$ suivent la même loi. Elles ont donc la même probabilité.
    D’après la linéarité de l’espérance :
    $\begin{align*} E(S)&=E\left(X_1+X_2+X_3\right) \\
    &=E\left(X_1\right)+E\left(X_2\right)+E\left(X_3\right) \\
    &=3E\left(X_1\right) \\
    &=\dfrac{27}{2}\end{align*}$
    $\quad$
  6. L’unique façon pour que $S=24$ est d’obtenir le numéro $8$ au trois tirages.
    Par conséquent $P(S=24)=\dfrac{1}{512}$.
    $\quad$
  7. a. Si le joueur obtient au plus trois $7$ alors la somme des numéros vaut  au plus $3\times 7=21$. De même s’il obtient au plus deux $8$ et un $5$ la somme des numéros vaut $8+8+5=21$.
    Les seuls tirages permettant d’avoir une somme supérieure ou égale à $22$ sont donc :
    $7-7-8$ ; $7-8-7$ ; $8-7-7$ ; $7-8-8$ ; $8-7-8$ ; $8-8-7$ ; $8-8-8$ ; $8-8-6$ ; $8-6-8$ et $6-8-8$.
    Il existe donc exactement $10$ tirages permettant de gagner un lot.
    $\quad$
    b. La probabilité de gagner un lot vaut donc $\dfrac{10}{512}=\dfrac{5}{256}$.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. a. $\lim\limits_{x\to 1^-} \e^x=\e>0$ et $\lim\limits_{x\to 1^-} x-1=0^-$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x\to 1^-} f(x)=-\infty$.
    $\quad$
    b. La droite d’équation $x=1$ est donc une asymptote verticale à la courbe $\mathcal{C}$.
    $\quad$
  2. $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^x=0$ et $\lim\limits_{x\to -\infty} x-1=-\infty$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=0$.
    $\quad$
  3. a. Par hypothèse, $f$ est dérivable sur $]-\infty;1[$.
    Pour tout réel $x<1$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\e^x(x-1)-\e^x}{(x-1)^2} \\
    &=\dfrac{\e^x(x-1-1)}{(x-1)^2} \\
    &=\dfrac{\e^x(x-2)}{(x-1)^2}\end{align*}$
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x\pp 1$ on a :
    $\bullet~x-2<0$
    $\bullet~\e^x>0$
    $\bullet~(x-1)^2>0$
    Ainsi, $f'(x)<0$ pour tout réel $x<1$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  4. a. Pour tout réel $x<1$ on a $\e^x>0$ et $(x-1)^3<0$.
    On étudie le signe du polynôme du second degré $x^2-4x+5$.
    Son discriminant est $\Delta=(-4)^2-4\times 5\times 1=-4<0$.
    Le signe de ce polynôme ne dépend donc que de celui de son terme principal. Ainsi, $x^2-4x+5>0$ sur $]-\infty;1[$.
    Donc $f\dsec(x)<0$ sur $]-\infty;1[$.
    La fonction $f$ est par conséquent concave sur $]-\infty;1[$.
    $\quad$
    b. On a $f(0)=-1$ et $f'(0)=-2$.
    Une équation de $T$ est donc $y=-2x-1$.
    $\quad$
    c. $f$ est concave sur $]-\infty;1[$. Sa courbe représentative est donc au-dessous de ses tangentes sur cet intervalle.
    Ainsi :
    $\begin{align*} f(x)\pp -2x-1 &\ssi \dfrac{\e^x}{x-1} \pp -2x-1 \\
    &\ssi \e^x\pg (-2x-1)(x-1) \qquad \text{car } x-1<0\end{align*}$
    $\quad$
  5. a. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $]-\infty;1[$.
    De plus $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=0$ et De plus $\lim\limits_{x\to 1^-} f(x)=-\infty$.
    Or $-2\in ]-\infty;0[$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=-2$ admet une unique solution sur l’intervalle $]-\infty;1[$.
    $\quad$
    b. On a $f(0,31) \approx -1,976>-2$ et $f(0,32) \approx -2,025<-2$.
    Ainsi $f(0,31)>f(\alpha)>f(0,32)$
    Par conséquent $0,31<\alpha<0,32$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. $I$ a pour coordonnées $(0,5;0;0)$ et $J$ a pour coordonnées $(1;1;0,5)$.
    $\quad$
  2. $H$ a pour coordonnées $(0;1;1)$, $F$ a pour coordonnées $(1;0;1)$ et $E$ a pour coordonnées $(0;0;1)$.
    Ainsi $\vect{EJ}\begin{pmatrix}1\\1\\-0,5\end{pmatrix}$, $\vect{FH}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{FI}\begin{pmatrix}-0,5\\0\\-1\end{pmatrix}$.
    $\vect{FH}$ et $\vect{FI}$ n’ont pas la même composante nulle. Ils ne sont donc pas colinéaires.
    D’une part : $\vect{EJ}.\vect{FH}=-1+1+0=0$
    D’autre part : $\vect{EJ}.\vect{FI}=-0,5+0+0,5=0$
    $\vect{EJ}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(FHI)$. Il est normal à ce plan.
    $\quad$
  3. Une équation cartésienne du plan $(FHI)$ est donc $x+y-0,5z+d=0$.
    Or $F(1;0;1)$ appartient à ce plan. Donc $1+0-0,5+d=0 \ssi d=-0,5$.
    Une équation cartésienne du plan $(FHI)$ est par conséquent $x+y-0,5z-0,5=0$.
    En multipliant cette équation par $-2$ on obtient alors $-2x-2z+z+1=0$.
    $\quad$
  4. Une représentation paramétrique de la droite $(EJ)$ est : $\begin{cases} x=t\\y=t\\z=1-0,5t\end{cases}~~$ avec $t\in \R$.
    $\quad$
  5. a. Les coordonnées du point $K$ sont donc les solutions du système :
    $\begin{align*} \begin{cases} x=t\\y=t\\z=1-0,5t\\-2x-2y+z+1=0\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=t\\y=t\\z=1-0,5t\\ -2t-2t+1-0,5t+1=0 \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=t\\y=t\\z=1-0,5t\\-4,5t=-2  \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=t\\y=t\\z=1-0,5t\\t=\dfrac{4}{9}  \end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} x=\dfrac{4}{9}\\[3mm] y=\dfrac{4}{9}\\[3mm] z=\dfrac{7}{9}\\t=\dfrac{4}{9}  \end{cases}\end{align*}$
    Donc $K$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{4}{9};\dfrac{4}{9};\dfrac{7}{9}\right)$.
    $\quad$
    b. Le triangle $EFI$ est isocèle en $I$.
    Son aire est
    $\begin{align*}\mathscr{A}&=\dfrac{EF\times IL}{2} \\
    &=\dfrac{EF\times AE}{2} \\
    &=\dfrac{1\times 1}{2} \\
    &=\dfrac{1}{2}\end{align*}$.
    On appelle $M$ me milieu de $[FB]$. $M$ est également le projeté orthogonal du point $J$ sur le plan $(EFB)$.
    Le volume de la pyramide $EFHI$ est donc :
    $\begin{align*}V&=\dfrac{\mathscr{A}\times JM}{3} \\
    &=\dfrac{\dfrac{1}{2}\times 1}{3} \\
    &=\dfrac{1}{6}\end{align*}$
    Le volume de la pyramide $EFHI$ est $\dfrac{1}{6}$ cm$^3$.
    $\quad$
    c. On a $\vect{EK}\begin{pmatrix}\dfrac{4}{9}\\[3mm] \dfrac{4}{9}\\[3mm]-\dfrac{2}{9}\end{pmatrix}$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} EK&=\sqrt{\left(\dfrac{4}{9}\right)^2+\left(\dfrac{4}{9}\right)^2+\left(-\dfrac{4}{9}\right)^2} \\[3mm]
    &=\sqrt{\dfrac{16}{81}+\dfrac{16}{81}+\dfrac{4}{81}  }\\[3mm]
    &=\sqrt{\dfrac{36}{81}} \\[3mm]
    &=\dfrac{6}{9} \\[3mm]
    &=\dfrac{2}{3}\end{align*}$
    Par conséquent, en appelant  $\mathscr{B}$ l’aire du triangle $FHI$ on a :
    $\begin{align*} V=\dfrac{1}{6}&\ssi \dfrac{\mathscr{B}\times EK}{3}=\dfrac{1}{6} \\[3mm]
    &\ssi \mathscr{B}\times \dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{2} \\[3mm]
    &\ssi \mathscr{B}=\dfrac{3}{4}\end{align*}$
    L’aire du triangle $FHI$ est $\dfrac{3}{4}$ cm$^2$.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. Par hypothèse, $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$.
    Pour tout réel $x\pg 0$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}} \\
    &>0\end{align*}$
    $f$ est donc strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x\pg 0$ on a :
    $\begin{align*} f(x)-x&=\sqrt{x+1}-x\\
    &=\left(\sqrt{x+1}-x\right)\times \dfrac{\sqrt{x+1}+x}{\sqrt{x+1}+x} \\
    &=\dfrac{x+1-x^2}{\sqrt{x+1}+x} \\
    &=\dfrac{-x^2+x+1}{\sqrt{x+1}+x} \end{align*}$
    $\quad$
  3. D’après la question précédente, sur $[0;+\infty[$ :
    $\begin{align*} f(x)=x&\ssi f(x)-x=0 \\
    &\ssi \dfrac{-x^2+x+1}{\sqrt{x+1}+x} =0 \\
    &\ssi -x^2+x+1=0 \qquad \text{car } \sqrt{x+1}+x>0\end{align*}$
    Le discriminant de cette équation du second degré est $\Delta=1^2-4\times 1\times (-1)=5>0$.
    Elle possède donc deux solutions $x_1=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{-2}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}>0$ et $x_2=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{-2}=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}<0$.
    L’équation $f(x)=x$ admet donc une unique solution sur $[0;+\infty[$ qui est $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$.
    Remarque : Il s’agit du nombre d’or !
    $\quad$

Partie B

  1. Pour tout entier naturel $n$ on note $P(n):~1\pp u_{n+1}\pp u_n$.
    Initialisation : $u_1=\sqrt{6}$. Or $1<\sqrt{6}<5$.
    Donc $1\pp u_1\pp u_0$ et $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n$ un entier naturel. On suppose que $P(n)$ est vraie.
    $1\pp u_{n+1}\pp u_n$.
    La fonction $f$ est croissante sur $[0;+\infty[$.
    Par conséquent $f(1)\pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f\left(u_n\right)$
    Soit $\sqrt{2}\pp u_{n+2} \pp u_{n+1}$. Or $1\pp \sqrt{2}$.
    Donc $1\pp u_{n+2} \pp u_{n+1}$ et $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ on a $1\pp u_{n+1} \pp u_n$.
    $\quad$
  2. La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante et minorée par $1$. D’après le théorème de la limite monotone; elle converge.
    $\quad$
  3. $\left(u_n\right)$ converge et pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$ avec $f$ continue (car dérivable) sur $[0;+\infty[$.
    De plus, pour tout $n\in \N$ on a $u_n\pg 1>0$.
    Par conséquent la limite $L$ de cette suite est solution de l’équation $f(x)=x$ dont l’unique solution sur $[0;+\infty[$ est $\ell$.
    $\left(u_n\right)$ converge donc vers $\ell$.
    $\quad$
  4. a. D’après la calculatrice $\text{seuil(2)}$ renvoie $5$.
    $\quad$
    b. Cela signifie que $u_9$ est une approximation de $\ell$ à au moins $10^{-4}$ près.
    $\quad$

Énoncé

 

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 1     (5 points)

Un sac opaque contient huit jetons numérotés de $1$ à $8$, indiscernables au toucher.
À trois reprises, un joueur pioche un jeton dans ce sac, note son numéro, puis le remet dans le sac.
Dans ce contexte, on appelle « tirage » la liste ordonnée des trois numéros obtenus.
Par exemple, si le joueur pioche le jeton numéro $4$, puis le jeton numéro $5$, puis le jeton numéro $1$, alors le tirage correspondant est $(4 ; 5 ; 1)$.

  1. Déterminer le nombre de tirages possibles.
    $\quad$
  2. a. Déterminer le nombre de tirages sans répétition de numéro.
    $\quad$
    b. En déduire le nombre de tirages contenant au moins une répétition de numéro.$\quad$

On note $X_1$ la variable aléatoire égale au numéro du premier jeton pioché, $X_2$ celle égale au numéro du deuxième jeton pioché et $X_3$ celle égale au numéro du troisième jeton pioché.
Puisqu’il s’agit d’un tirage avec remise, les variables aléatoires $X_1$, $X_2$ et $X_3$ sont indépendantes et suivent la même loi de probabilité.

  1. Établir la loi de probabilité de la variable aléatoire $X_1$.
    $\quad$
  2. Déterminer l’espérance de la variable aléatoire $X_1$.
    $\quad$

On note $S=X_1+X_2+X_3$ la variable aléatoire égale à la somme des numéros des trois jetons piochés.

  1. Déterminer l’espérance de la variable aléatoire $S$.
    $\quad$
  2. Déterminer $P(S=24)$.
    $\quad$
  3. Si un joueur obtient une somme supérieure ou égale à $22$, alors il gagne un lot.
    a. Justifier qu’il existe exactement $10$ tirages permettant de gagner un lot.
    $\quad$
    b. En déduire la probabilité de gagner un lot.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     (6 points)

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]-\infty;1[$ par $f(x)=\dfrac{\e^x}{x-1}$.
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $]-\infty;1[$.
On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère.

  1. a. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $1$.
    $\quad$
    b. En déduire une interprétation graphique.
    $\quad$
  2. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
    $\quad$
  3. a. Montrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $]-\infty; 1[$ , on a $f'(x)=\dfrac{(x-2)\e^x}{(x-1)^2}$.
    $\quad$
    b. Dresser, en justifiant, le tableau de variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $]-\infty; 1[$ .
    $\quad$
  4. On admet que pour tout réel $x$ de l’intervalle $]-\infty;1[$ , on a $f\dsec(x)=\dfrac{\left(x^2-4x+5\right)\e^x}{(x-1)^2}$.
    a. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l’intervalle $]-\infty; 1[$.
    $\quad$
    b. Déterminer l’équation réduite de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $0$.
    $\quad$
    c. En déduire que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $\infty;1[$ , on a : $\e^x\pg (-2x-1)(x-1)$.
    $\quad$
  5. a. Justifier que l’équation $f(x)=-2$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $]-\infty; 1[$.
    $\quad$
    b. À l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de $\alpha$ d’amplitude $10^{-2}$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     (5 points)

Le cube $ABCDEFGH$ a pour arête $1$ cm.
Le point $I$ est le milieu du segment $[AB]$ et le point $J$ est le milieu du segment $[CG]$.

On se place dans le repère orthonormé $\left(A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AE}\right)$.

  1. Donner les coordonnées des points $I$ et $J$.
    $\quad$
  2. Montrer que le vecteur $\vect{EJ}$ est normal au plan $(FHI)$.
    $\quad$
  3. Montrer qu’une équation cartésienne du plan $(FHI)$ est $-2x-2y+z+1=0$.
    $\quad$
  4. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(EJ)$.
    $\quad$
  5. a. On note $K$ le projeté orthogonal du point $E$ sur le plan $(FHI)$.
    Calculer ses coordonnées.
    $\quad$
    b. Montrer que le volume de la pyramide $EFHI$ est $\dfrac{1}{6}$ cm$^3$.
    On pourra utiliser le point $L$, milieu du segment $[EF]$. On admet que ce point est le projeté orthogonal du point $I$ sur le plan $(EFH)$.
    $\quad$
    c. Déduire des deux questions précédentes l’aire du triangle $FHI$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     (4 points)

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x+1}$.
On admet que cette fonction est dérivable sur ce même intervalle.

  1. Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$.
    $\quad$
  2. Démontrer que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0 ; +\infty[$ :
    $$f(x)-x=\dfrac{-x^2+x+1}{\sqrt{x+1}+x}$$
    $\quad$
  3. En déduire que sur l’intervalle $[0; +\infty[$ l’équation $f(x)=x$ admet pour unique solution : $$\ell =\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$$
    $\quad$

Partie B

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=5$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$ où $f$ est la fonction étudiée dans la partie A.
On admet que la suite de terme général $u_n$ est bien définie pour tout entier naturel $n$.

  1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a $1\pp u_{n+1} \pp u_n$.
    $\quad$
  2. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
    $\quad$
  3. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers $\ell=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$.
    $\quad$
  4. On considère le script Python ci-dessous :

    On rappelle que la commande $\text{abs(x)}$ renvoie la valeur absolue de $\text{x}$.

    a. Donner la valeur renvoyée par $\text{seuil(2)}$.
    $\quad$
    b. La valeur renvoyée par $\text{seuil(4)}$ est $9$.
    Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

 

 

Bac – Centres étrangers 1 – 5 juin 2024

Centres étrangers – 5 juin 2024

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;1]$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $[0;1]$.
    Pour tout réel $x\in [0;1]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{0,96(0,93x+0,03)-0,93\times 0,96x}{(0,93x+0,03)^2} \\
    &=\dfrac{0,028~8}{(0,93x+0,03)^2}\end{align*}$
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x\in [0;1]$ on a $(0,93x+0,03)^2>0$ et $0,028~8>0$.
    Par conséquent, pour tout réel $x\in [0;1]$ on a $f'(x)>0$.
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[0;1]$.
    $\quad$

Partie B

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  2. On veut déterminer :
    $\begin{align*} p(D\cap T)&=p(D)\times p_D(T) \\
    &=0,96x\end{align*}$
    $\quad$
  3. $\left(D,\conj{D}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(T)&=p(D\cap T)+p\left(\conj{D}\cap T\right) \\
    &=0,96x+p\left(\conj{D}\right)\times p_{\conj{D}}(T) \\
    &=0,96x+0,03(1-x) \\
    &=0,93x+0,03\end{align*}$
    La probabilité de l’événement $T$ est bien égale à $0,93x+0,03$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_T(D)&=\dfrac{p(D\cap T)}{p(T)} \\
    &=\dfrac{0,96x}{0,93x+0,03}\\
    &=f(x)\end{align*}$
    Or $x=\dfrac{50}{1~000}=0,05$
    Ainsi la probabilité qu’un sportif soit dopé sachant que son test est positif est bien égal à $f(0,05) \approx 0,63$.
    $\quad$
  5. a. On a vu à la question précédente que cette valeur prédictive était égale à $f(x)$.
    On veut donc résoudre l’inéquation :
    $\begin{align*} f(x)\pg 0,9&\ssi \dfrac{0,96x}{0,93x+0,03}\pg 0,9 \\
    &\ssi 0,96x\pg 0,9(0,93x+0,03) \qquad \text{car } 0,96x+0,03>0 \text{ sur } [0;1] \\
    &\ssi 0,96x\pg 0,837x+0,027\\
    &\ssi 0,123x \pg 0,027 \\
    &\ssi x\pg \dfrac{9}{41}\end{align*}$
    Or $\dfrac{9}{41}\approx 0,22$.
    C’est donc à partir d’environ $0,22$ que la valeur prédictive positive du test étudié sera supérieure ou égale à $0,9$.
    $\quad$
    b. On appelle $y$ la proportion des sportifs dopés parmi les plus performants. On a donc $0 \pp x\pp y\pp 1$.
    La fonction $f$ est strictement croissante. Par conséquent $f(y)\pg f(x)$.
    La valeur prédictive positive sera donc meilleure.
    $\quad$

 

 

Ex 2

Exercice 2

  1. a.
    $\begin{align*} f(x)=x &\ssi 2x\e^{-x}=x \\
    &\ssi 2x\e^{-x}-x=0 \\
    &\ssi x\left(2\e^{-x}-1\right)=0 \\
    &\ssi x=0 \text{ ou } 2\e^{-x}-1=0 \\
    &\ssi x=0 \text{ ou }2\e^{-x}=1 \\
    &\ssi x=0 \text{ ou }\e^{-x}=\dfrac{1}{2} \\
    &\ssi x=0 \text{ ou }-x=\ln\left(\dfrac{1}{2}\right) \\
    &\ssi x=0 \text{ ou }x=-\ln\left(\dfrac{1}{2}\right) \\
    &\ssi x=0 \text{ ou }x=\ln(2) \end{align*}$
    Or $0\in [0;1]$ et $\ln(2) \in [0;1]$
    L’ensemble des solutions de l’équation $f(x)=x$ sur $[0;1]$ est donc $\acco{0;\ln(2)}$.
    $\quad$
    b. $f$ est dérivable sur $[0;1]$ par hypothèse.
    Pour tout réel $x\in [0;1]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=2\e^{-x}+2x\times \left(-\e^{-x}\right) \\
    &=2(1-x)\e^{-x}\end{align*}$
    $\quad$
    c. $1-x>0 \ssi x<1$ et $1-x=0 \ssi x=1$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on note $P(n):~0\pp u_n<u_{n+1}\pp 1$.
    Initialisation : $u_0=0,1$ et $u_1=f(0,1) \approx 0,18$.
    Donc $0\pp u_0<u_1\pp 1$ et $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n$ un entier naturel. On suppose que $P(n)$ est vraie.
    $0\pp u_n<u_{n+1}\pp 1$
    La fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;1]$.
    Par conséquent $f(0) \pp f\left(u_n\right)<f\left(u_{n+1}\right) \pp f(1)$.
    Ainsi $0\pp u_{n+1}<u_{n+2}\pp 2\e^{-1}<1$.
    Donc $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ on a $0\pp u_n<u_{n+1}\pp 1$.
    $\quad$
    b. La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante et majorée par $1$.
    D’après le théorème de la limite monotone, $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$, $\left(u_n\right)$ converge et $f$ est continue sur $[0;1]$ car dérivable sur cet intervalle.
    Ainsi $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=x$.
    D’après la question 1.a., cette équation possède deux solutions sur $[0;1]$ qui sont $0$ et $\ln(2)$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est strictement croissante et $u_0=0,1>0$.
    Ainsi $\left(u_n\right)$ converge vers $\ln(2)$.
    $\quad$
  4. a. La suite $\left(u_n\right)$ est strictement croissante et converge vers $\ln(2)$. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n\pp \ln(2)$ c’est-à-dire $\ln(2)-u_n \pg 0$.
    $\quad$
    b. On peut écrire :

    Remarque : Il y avait une erreur dans le code Python. La fonction $\ln$ doit s’écrire $\text{log}$ et suppose que la bibliothèque $\text{math}$ a été importée.
    $\quad$

    c. Quand on exécute ce code Python sur la calculatrice , on obtient $n=11$.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. Si $y$ est une fonction constante solution de $\left[E_0\right)$ alors $y’=0$.
    Ainsi $0=y$.
    L’unique fonction constante solution de l’équation différentielle $\left(E_0\right)$ est donc la fonctio nulle.
    $\quad$
  2. L’ensemble solution de l’équation différentielle $y’=y$ est $\acco{t\in \R\mapsto K\e^t,~\forall K\in \R}$.
    $\quad$
  3. la fonction $h$ est dérivable sur $\R$ par hypothèse.
    Pour tout réel $x$ on a
    $h'(x)=-2\sin(x)+\cos(x)$.
    Or :
    $\begin{align*}h(x)-\cos(x)-3\sin(x) &=2\cos(x)+\sin(x)-\cos(x)-3\sin(x)\\
    &=\cos(x)-2\sin(x) \\
    &=h'(x)\end{align*}$
    $h$ est solution de l’équation différentielle $(E)$.
    $\quad$
  4. Soit $f$ une solution de $(E)$.
    Ainsi, pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} (f-h)'(x)&=f'(x)-h'(x) \\
    &=f(x)-\cos(x)-3\sin(x)-\left(h(x)-\cos(x)-3\sin(x)\right) \\
    &=f(x)-h(x) \\
    &=(f-h)(x)\end{align*}$
    Par conséquent $f-h$ est solution de $\left(E_0\right)$.
    $\quad$
    Supposons maintenant que $f-h$ soit solution de $\left(E_0\right)$.
    Ainsi, pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=f'(x)-h'(x)+h'(x) \\
    &=f(x)-h(x)+h'(x) \text{ car } f-h \text{ est solution de } \left(E_0\right) \\
    &=f(x)-\cos(x)-3\sin(x)\text{ car } h \text{ est solution de } \left(E\right)\end{align*}$
    Donc $f$ est solution de $(E)$.
    $\quad$
    Il y a bien équivalence entre “$f$ est  solution de $(E)$” et “$f-h$ est solution de $\left(E_0\right)$”.
    $\quad$
  5. D’après la question 2. il existe un réel $K$ tel que pour tout réel $x$ on ait $f(x)-h(x)=K\e^x$.
    Ainsi $f(x)=2\cos(x)+\sin(x)+K\e^x$.
    $\quad$
    Réciproquement, soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=2\cos(x)+\sin(x)+K\e^x$, où $K$ est un réel quelconque.
    Ainsi :
    $\begin{align*} f'(x)&=-2\sin(x)+\cos(x)+K\e^x \\
    &=2\cos(x)-\cos(x)+\sin(x)-3\sin(x)+K\e^x \\
    &=f(x)-\cos(x)-3\sin(x)\end{align*}$
    $f$ est bien solution de $E$.
    $\quad$
    L’ensemble solution de $(E)$ est $\acco{x\in \R\mapsto 2\cos(x)+\sin(x)+K\e^x,~\forall K\in \R}$.
    $\quad$
  6. On veut donc déterminer la valeur de $K$ telle que $2\cos(0)+\sin(0)+K\e^0=0$
    C’est-à-dire que $2+K=0$. Ainsi $K=-2$.
    $g$ est donc la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=2\cos(x)+\sin(x)-2\e^x$.
    $\quad$
  7. On a :
    $\begin{align*} \int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(-2\e^x+\sin(x)+2\cos(x)\right)\dx &=\Big[-2\e^x-\cos(x)+2\sin(x)\Big]_0^{\frac{\pi}{2}} \\
    &=-2\e^{\pi/2}-0+2-(-2-1+0) \\
    &=-2\e^{\pi/2}+5\end{align*}$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. D’une part $\vect{AB}\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}$ et d’autre part $\vect{AC}\begin{pmatrix} 3\\-1\\0\end{pmatrix}$.
    Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires car ils n’ont pas la même composante nulle.
    Par conséquent $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
    $\quad$
  2. a. $\vect{AB}.\vec{n}=1+9-10=0$
    $\vect{AC}.\vec{n}=3-3+0=0$
    $\vec{n}$ est orthogonal a deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$.
    $\vec{n}$ est donc orthogonal au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    b. $\vec{n}$ est orthogonal au plan $(ABC)$ ; c’est donc un vecteur normal de celui-ci.
    Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc de la forme $x+3y+5z+d=0$.
    Or $A(-2;0;2)$ appartient à ce plan.
    Donc $-2+0+10+d=0$ soit $d=-8$.
    Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est par conséquent $x+3y+5z-8=0$.
    $\quad$
    c. $0+0+15-8=7\neq 0$ : $D$ n’appartient pas au plan $(ABC)$.
    Les points $A$, $B$, $C$ et $D$ ne sont pas coplanaires.
    $\quad$
  3. a. Un vecteur directeur de $\mathcal{D}_1$ est $\vec{n}$.
    De plus en prenant $t=0$ dans la représentation paramétrique de $\mathcal{D}_1$ on obtient les coordonnées du point $D$.
    Ainsi $\mathcal{D}_1$ est la hauteur du tétraèdre $ABCD$ issue de $D$.
    $\quad$
    b. Résolvons le système :
    $\begin{align*} \begin{cases}x=t\\y=3t\\z=3+5t\\x=1+3s\\y=-1-5s\\z=2-6s\end{cases} &\ssi \begin{cases}x=t\\y=3t\\z=3+5t\\t=1+3s\\3t=-1-5s\\3+5t=2-6s\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}x=t\\y=3t\\z=3+5t\\t=1+3s\\3(1+3s)=-1-5s\\3+5(1+3s)=2-6s\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}x=t\\y=3t\\z=3+5t\\t=1+3s\\3+9s=-1-5s\\3+5+15s=2-6s\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}x=t\\y=3t\\z=3+5t\\t=1+3s\\14s=-4\\21s=-6\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}x=t\\y=3t\\z=3+5t\\t=1+3s\\s=-\dfrac{2}{7}\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}x=t\\y=3t\\z=3+5t\\t=\dfrac{1}{7}\\[3mm]s=-\dfrac{2}{7}\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}x=\dfrac{1}{7}\\[3mm]y=\dfrac{3}{7}\\[3mm]z=\dfrac{26}{7}\\[3mm]t=\dfrac{1}{7}\\[3mm]s=-\dfrac{2}{7}\end{cases} \end{align*}$
    Les droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ sont sécantes en un point de coordonnées $\left(\dfrac{1}{7};\dfrac{3}{7};\dfrac{26}{7}\right)$.
    $\quad$
  4. a. Les coordonnées du point $H$ sont solutions du système :
    $\begin{align*} \begin{cases} x=t\\y=3t\\z=3+5t\\x+3y+5z-8=0\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=t\\y=3t\\z=3+5t\\t+9t+15+25t-8=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=t\\y=3t\\z=3+5t\\35t=-7\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=t\\y=3t\\z=3+5t\\t=-\dfrac{1}{5}\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=-\dfrac{1}{5}\\[3mm]y=-\dfrac{3}{5}\\[3mm]z=2\\t=-\dfrac{1}{5}\end{cases}\end{align*}$
    Le point $H$ a pour coordonnées $\left(-\dfrac{1}{5};-\dfrac{3}{5};2\right)$.
    $\quad$
    b. On a $\vect{HD}\begin{pmatrix} \dfrac{1}{5}\\[3mm]\dfrac{3}{5}\\[3mm]-1\end{pmatrix}$
    La distance cherchée est donc :
    $\begin{align*} HD&=\sqrt{\left(\dfrac{1}{5}\right)^2+\left(\dfrac{3}{5}\right)^2+(-1)^2} \\
    &=\sqrt{\dfrac{1}{25}+\dfrac{9}{25}+1} \\
    &=\sqrt{\dfrac{35}{25}} \\
    &=\sqrt{\dfrac{7}{5}} \\
    &\approx 1,18\end{align*}$

Énoncé

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 1     (5 points)

Partie A

On définit la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;1]$ par $$f(x)=\dfrac{0,96x}{0,93x+0,03}$$

  1. Démontrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;1]$, $$f'(x)=\dfrac{0,028~8}{(0,93x+0,03)^2}$$
    $\quad$
  2. Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;1]$.
    $\quad$

Partie B

La lutte contre le dopage passe notamment par la réalisation de contrôles antidopage qui visent à déterminer si un sportif a fait usage de substances interdites.
Lors d’une compétition rassemblant $1~000$ sportifs, une équipe médicale teste tous les concurrents. On propose d’étudier la fiabilité de ce test.

On appelle $x$ le réel compris entre $0$ et $1$ qui désigne la proportion de sportifs dopés.

Lors de l’élaboration de ce test, on a pu déterminer que :

  • la probabilité qu’un sportif soit déclaré positif sachant qu’il est dopé est égale à $0,96$;
  • la probabilité qu’un sportif soit déclaré positif sachant qu’il n’est pas dopé est égale à $0,03$.
    $\quad$

On note :

  • $D$ l’évènement : « le sportif est dopé » ;
  • $T$ l’évènement : « le test est positif ».
  1. Recopier et compléter l’arbre de probabilité ci-dessous :
    $\quad$

    $\quad$
  2. Déterminer, en fonction de $x$, la probabilité qu’un sportif soit dopé et ait un test positif.
    $\quad$
  3. Démontrer que la probabilité de l’évènement $T$ est égale à $0,93x+0,03$.
    $\quad$
  4. Pour cette question uniquement, on suppose qu’il y a $50$ sportifs dopés parmi les $1~000$ testés.
    La fonction $f$ désigne la fonction définie à la partie A.
    Démontrer que la probabilité qu’un sportif soit dopé sachant que son test est positif est égale à $f (0,05)$. En donner une valeur arrondie au centième.
    $\quad$
  5. On appelle valeur prédictive positive d’un test la probabilité que le sportif soit réellement dopé lorsque le résultat du test est positif.
    a. Déterminer à partir de quelle valeur de x la valeur prédictive positive du test étudié sera supérieure ou égale à $0,9$. Arrondir le résultat au centième.
    $\quad$
    b. Un responsable de la compétition décide de ne plus tester l’ensemble des sportifs, mais de cibler les sportifs les plus performants supposés être plus fréquemment dopés.
    Quelle est la conséquence de cette décision sur la valeur prédictive positive du test ? Argumenter en utilisant un résultat de la partie A.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     (5 points)

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0; 1]$ par
$$f(x)=2x\e^{-x}$$
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0; 1]$.

  1. a. Résoudre sur l’intervalle $[0; 1]$ l’équation $f(x) = x$.
    $\quad$
    b. Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $[0; 1]$, $f'(x)=2(1-x)\e^{-x}$.
    $\quad$
    c. Donner le tableau de variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0; 1]$.

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 0,1$ et pour tout entier naturel $n$, $$u_{n+1}=f\left(u_n\right)$$

  1. a. Démontrer par récurrence que, pour tout $n$ entier naturel, $0 \pp u_n < u_{n+1} \pp  1$.
    $\quad$
    b. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    $\quad$
  2. Démontrer que la limite de la suite $\left(u_n\right)$ est $\ln(2)$.
    $\quad$
  3. a. Justifier que pour tout entier naturel $n$, $\ln(2)-u_n$ est positif.
    $\quad$
    b. On souhaite écrire un script Python qui renvoie une valeur approchée de $\ln(2)$ par défaut à $10^{-4}$ près, ainsi que le nombre d’étapes pour y parvenir.
    Recopier et compléter le script ci-dessous afin qu’il réponde au problème posé.

    $\quad$
    c. Donner la valeur de la variable $n$ renvoyée par la fonction $\text{seuil()}$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     (5 points)

On considère l’équation différentielle $\left(E_0\right) :~ y’ = y$ où $y$ est une fonction dérivable de la variable réelle $x$.

  1. Démontrer que l’unique fonction constante solution de l’équation différentielle $\left(E_0\right)$ est la fonction nulle.
    $\quad$
  2. Déterminer toutes les solutions de l’équation différentielle $\left(E_0\right)$.
    $\quad$

On considère l’équation différentielle $(E) :~ y’ = y-\cos(x)-3\sin(x)$ où $y$ est une fonction dérivable de la variable réelle $x$.

  1. La fonction $h$ est définie sur $\R$ par $h(x) = 2\cos(x)+\sin(x)$.
    On admet qu’elle est dérivable sur $\R$.
    Démontrer que la fonction $h$ est solution de l’équation différentielle $(E)$.
    $\quad$
  2. On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$.
    Démontrer que : « $f$ est solution de $(E)$ » est équivalent à « $f-h$ est solution de $\left(E_0\right)$».
    $\quad$
  3. En déduire toutes les solutions de l’équation différentielle $(E)$.
    $\quad$
  4. Déterminer l’unique solution $g$ de l’équation différentielle $(E)$ telle que $g(0) = 0$.
    $\quad$
  5. Calculer : $$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(-2\e^x+\sin(x)+2\cos(x)\right)\dx$$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     (5 points)

L’espace est muni d’un repère orthonormé $\Oijk$.

On considère :

  • les points $A(-2 ; 0 ; 2)$, $B(-1 ; 3 ; 0)$, $C(1 ; -1 ; 2)$ et $D(0; 0; 3)$.
  • la droite $\mathcal{D}_1$ dont une représentation paramétrique est
    $\begin{cases} x=t\\y=3t\\z=3+5t\end{cases}$ avec $t \in R\$.
  • la droite $\mathcal{D}_2$ dont une représentation paramétrique est
    $\begin{cases} x=1+3s\\y=-1-5s\\z=2-6s\end{cases}$ avec $s \in \R$.
  1. Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
    $\quad$
  2. a. Démontrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix}$ est orthogonal au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    b. Justifier qu’une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est : $x+3y+5z-8=0$.
    $\quad$
    c. En déduire que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ ne sont pas coplanaires.
    $\quad$
  3. a. Justifier que la droite $\mathcal{D}_1$ est la hauteur du tétraèdre $ABCD$ issue de $D$.
    $\quad$
    On admet que la droite $\mathcal{D}_2$ est la hauteur du tétraèdre $ABCD$ issue de $C$.
    b. Démontrer que les droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point d’intersection.
    $\quad$
  4. a. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ du point $D$ sur le plan $(ABC)$.
    $\mathcal{D}_2$
    $\quad$
    b. Calculer la distance du point $D$ au plan $(ABC)$. Arrondir le résultat au centième.

 

Bac – Spécialité mathématiques – Amérique du Nord – sujet 2 – 22 mai 2024

Amérique du Nord – 22 mai 2024

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*}P(N\cap R)&=P(N)\times P_N(R) \\
    &=0,2286\times 0,0808 \\
    &\approx 0,0185\end{align*}$
    La probabilité que le véhicule soit neuf et hybride rechargeable est environ égale à $0,0185$.
    $\quad$
  3. $\left(N,\conj{N}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*}P(R)&=P(N\cap R)+P\left(\conj{N}\cap R\right) \\
    &=P(N)\times P_N(R)+P\left(\conj{N}\right)\times P_{\conj{N}}(R)\\
    &=0,2286\times 0,0808+0,7714\times 0,0127 \\
    &\approx 0,0283\end{align*}$
    La probabilité que le véhicule soit hybride rechargeable est environ égale à $0,0283$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_R(N)&=\dfrac{P(N\cap R)}{P(R)} \\
    &\approx \dfrac{0,2286\times 0,0808}{0,0283} \\
    &\approx 0,6527\end{align*}$
    La probabilité que le véhicule soit neuf sachant qu’il est hybride rechargeable est environ égale à $0,6527$.
    $\quad$

Partie B

  1. On effectue $500$ tirages aléatoires. Le probabilité que le véhicule soit neuf est environ égale à $0,65$.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=500$ et $p=0,65$.
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} P(X=325)&=\dbinom{500}{325}0,65^{325}\times (1-0,65)^{500-325} \\
    &=\dbinom{500}{325}0,65^{325}\times 0,35^{175} \\
    &\approx 0,0374\end{align*}$
    La probabilité qu’exactement $325$ de ces véhicules soient neufs est environ égale à $0,0374$.
    $\quad$
  3. On a, d’après la calculatrice :
    $\begin{align*} P(X\pg 325)&=1-P(X\pp 324) \\
    &\approx 0,5206\end{align*}$
    La probabilité pour qu’au moins $325$ véhicules soient neuf parmi les $500$ véhicules hybrides rechargeables est environ égale à $0,5206$.
    $\quad$

Partie C

  1. On appelle $Y$ la variable aléatoire représentant le nombre de véhicules neufs parmi les $n$ véhicules choisis.
    On répète $n$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,65$.
    $Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,65$.
    Donc :
    $\begin{align*} p_n&=P(Y=0)\\
    &=(1-0,65)^n \\
    &=0,35^n\end{align*}$
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} q_n\pg 0,9999 &\ssi P(Y\pg 1)\pg 0,9999 \\
    &\ssi 1-p_n\pg 0,9999 \\
    &\ssi p_n \pp 0,0001 \\
    &\ssi 0,35^n \pp 0,0001 \\
    &\ssi n\ln(0,35) \pp \ln(0,0001) \qquad \text{croissance de la fonction } \ln \\
    &\ssi n \pp \dfrac{\ln(0,0001)}{\ln(0,35)} \qquad \ln(0,35)<0 \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(0,0001)}{\ln(0,35)}\approx 8,77$.
    La plus petite valeur de $n$ telle que $q_n\pg 0,9999$ est donc $9$.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. On a $F(3;0;1)$, $H(0;1;1)$ et $M(1,5;1;0)$
    $\quad$
  2. a. On a $\vect{FH}\begin{pmatrix} -3\\1\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{FM}\begin{pmatrix}-1,5\\1\\-1\end{pmatrix}$.
    Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires puisqu’ils n’ont pas la même composante nulle.
    Par conséquent :
    $\vec{n}.\vect{FH}=-6+6+0=0$
    $\vec{n}.\vect{FM}=-3+6-3=0$
    $\vec{n}$ est donc orthogonal à $2$ vecteurs non colinéaires du plan $(HMF)$.
    $\vec{n}$ est ainsi un vecteur normal au plan $(HMF)$.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $(HMF)$ est donc de la forme $2x+6y+3z+d=0$.
    $F(3;0;1)$ appartient à ce plan.
    Donc $6+0+3+d=0 \ssi d=-9$.
    Une équation cartésienne du plan $(HMF)$ est donc $2x+6y+3z-9=0$.
    $\quad$
    c. Un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}5\\15\\-3\end{pmatrix}$
    Or $\dfrac{5}{2}\neq \dfrac{-3}{3}$.
    Les vecteurs $\vec{n}$ et $\vec{u}$ ne sont donc pas colinéaires et les plans $\mathcal{P}$ et $(HMF)$ ne sont pas parallèles.
    $\quad$
  3. On a $D(0;1;0)$ et $G(3;1;1)$ donc $\vect{DG}\begin{pmatrix}3\\0\\1\end{pmatrix}$.
    Une représentation paramétrique de la droite $(DG)$ est donc $\begin{cases} x=3t\\y=1\\z=t\end{cases} \qquad t\in \R$.
    $\quad$
  4. On recherche l’ensemble solution du système :
    $\begin{align*} \begin{cases}  x=3t\\y=1\\z=t\\2x+6y+3z-9=0\end{cases}&\ssi \begin{cases}  x=3t\\y=1\\z=t\\6t+6+3t-9=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}  x=3t\\y=1\\z=t\\9t=3\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}  x=3t\\y=1\\z=t\\t=\dfrac{1}{3}\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}  x=1\\y=1\\z=\dfrac{1}{3}\\[3mm]t=\dfrac{1}{3}\end{cases}\end{align*}$
    Par conséquent $N$ a pour coordonnées $\left(1;1;\dfrac{1}{3}\right)$.
    $\quad$
  5. On a :
    $\begin{align*}2\times 3+6\times \dfrac{1}{4}+3\times \dfrac{1}{2}-9&=-3+\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2} \\
    &=0
    \end{align*}$
    Le point $R$ appartient à $(HMF)$.
    $\quad$
    $\vect{GR}\begin{pmatrix}0\\-\dfrac{3}{4}\\[3mm]-\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}$ or $\dfrac{0}{2}\neq \dfrac{-\dfrac{3}{4}}{6}$
    $\vec{n}$ et $\vect{GR}$ ne sont pas colinéaires.
    $\vect{GR}$ n’est donc pas orthogonal au plan $(HMF)$.
    $R$ n’est pas le projeté orthogonal du point $G$ sur le plan $(HMF)$.$\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. La fonction $g$ est dérivable sur $[0;1]$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x\in [0;1]$ on a $g'(x)=2-2x$.
    Or $2-2x=0\ssi x=1$ et $2-2x>0 \ssi 2>2x\ssi 1>x$.
    $g$ est strictement croissante sur $[0;1]$.
    $g(0)=0$ et $g(1)=1$.
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} u_1&=g\left(\dfrac{1}{2}\right) \\
    &=\dfrac{3}{4}\end{align*}$
    $\begin{align*} u_2&=g\left(\dfrac{3}{4}\right) \\
    &=\dfrac{15}{16}\end{align*}$
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~0<u_n<u_{n+1}<1$.
    Initialisation : $u_0=\dfrac{1}{2}$ et $u_1=\dfrac{3}{4}$.
    Or $0<\dfrac{1}{2}<\dfrac{3}{4}<1$. $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n$ un entier naturel non nul. On suppose $P(n)$ vraie.
    Ainsi $0<u_n<u_{n+1}<1$.
    La fonction $g$ est strictement croissante sur $[0;1]$ donc $g(0)<g\left(u_n\right)<g\left(u_{n+1}\right)<g(1)$.
    Ainsi $0<u_{n+1}<u_{n+2}<1$.
    $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ on a $0<u_n<u_{n+1}<1$.
    $\quad$
  4. La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante et majorée par $1$. D’après le théorème de la limite monotone elle converge.
    $\quad$
  5. La fonction $g$ est continue sur $[0;1]$ et pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=g\left(u_n\right)$.
    Par conséquent $\ell$ est solution de l’équation :
    $\begin{align*} x=g(x)&\ssi x=2x-x^2 \\
    &\ssi x-x^2=0 \\
    &\ssi x(x-1)=0\end{align*}$
    Cette équation possède exactement deux solutions $0$ et $1$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et $u_0>0$. Par conséquent $\ell =1$.
    $\quad$
  6. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*}v_{n+1}&=\ln\left(1-u_{n+1}\right) \\
    &=\ln\left(1-2u_n+u_n^2\right) \\
    &=\ln\left(\left(1-u_n\right)^2\right) \\
    &=2\ln\left(1-u_n\right) \\
    &=2v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $2$ et de premier terme $v_0=\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)=-\ln(2)$.
    $\quad$
  7. Ainsi, pour tout $n\in \N$ on a $v_n=-\ln(2)\times 2^n$.
    $\quad$
  8. Par conséquent, pour tout $n\in \N$ on a
    $\begin{align*} -\ln(2)\times 2^n=\ln\left(1-u_n\right) &\ssi 1-u_n=\exp\left(-\ln(2)\times 2^n\right) \\
    &\ssi u_n=1-\exp\left(-\ln(2)\times 2^n\right) \end{align*}$
    $\quad$
    $\lim\limits_{n\to +\infty} 2^n=+\infty$ car $2>1$.
    Donc $\lim\limits_{n\to +\infty}-\ln(2)\times 2^n=-\infty$.
    Or $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^x=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=1$.
    $\quad$
  9. On peut écrire :

    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. On veut résoudre l’équation :
    $\begin{align*} f(x)=0&\ssi a\ln(x)=0 \\
    &\ssi \ln(x)=0 \qquad \text{car } a>0\\
    &\ssi x=1\end{align*}$
    Le point d’intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec l’axe des abscisses a donc pour coordonnées $(1;0)$.
    $\quad$
  2. La fonction $F$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que produit et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} F'(x)&=a\left(\ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}-1\right )\\
    &=a\left(\ln(x)+1-1\right) \\
    &=a\ln(x)\\
    &=f(x)\end{align*}$
    $F$ est bien une primitive de $f$ sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
  3. L’aire du domaine grisé est :
    $\begin{align*} \int_1^{x_0}f(x)\dx&=\Big[F(x)\Big]_a^{x_0} \\
    &=F\left(x_0\right)-F(1) \\
    &=a\left(x_0\ln\left(x_0\right)-x_0\right)-a\left(-1\right) \\
    &=a\left(x_0\ln\left(x_0\right)-x_0+1\right)\end{align*}$
    $\quad$
  4. $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que produit d’une fonction dérivable sur cet intervalle par une constante.
    Pour tout réel $x>0$ on a $f'(x)=\dfrac{a}{x}$
    Une équation de $T$ est $y=f’\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$.
    $f’\left(x_0\right)=\dfrac{a}{x_0}$.
    Une équation de $T$ est donc $y=\dfrac{a}{x_0}\left(x-x_0\right)+a\ln\left(x_0\right)$.
    Son ordonnée à l’origine est donc $\dfrac{a}{x_0}\times \left(-x_0\right)+a\ln\left(x_0\right)=-a+a\ln\left(x_0\right)$.
    Ainsi $A$ a pour coordonnées $\left(0;-a+a\ln\left(x_0\right)\right)$.
    $B$ a pour coordonnées $\left(0;f\left(x_0\right)\right)$ soit $\left(0;a\ln\left(x_0\right)\right)$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} AB&=a\ln\left(x_0\right)-\left(-a+a\ln\left(x_0\right)\right) \\
    &=a\end{align*}$
    $AB$ est donc constante et vaut $a$.
    $\quad$

Énoncé

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 1     (5 points)

Les données publiées le 1$^\text{er}$ mars 2023 par le ministère de la transition écologique sur les immatriculations de véhicules particuliers en France en 2022 contiennent les informations suivantes :

  • $22,86 \%$ des véhicules étaient des véhicules neufs ;
  • $8,08 \%$ des véhicules neufs étaient des hybrides rechargeables ;
  • $1,27 \%$ des véhicules d’occasion (c’est-à-dire qui ne sont pas neufs) étaient des hybrides rechargeables.

Dans tout l’exercice, les probabilités seront arrondies au dix-millième.

Partie A
Dans cette partie, on considère un véhicule particulier immatriculé en France en 2022.
On note :

  • $N$ l’événement « le véhicule est neuf » ;
  • $R$ l’événement « le véhicule est hybride rechargeable » ;
  • $\conj{N}$ et $\conj{R}$ les événements contraires des événements contraires de $N$ et $R$.
  1. Représenter la situation par un arbre pondéré.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf et hybride rechargeable.
    $\quad$
  3. Démontrer que la valeur arrondie au dix-millième de la probabilité que ce véhicule soit hybride rechargeable est $0,0283$.
    $\quad$
  4. Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf sachant qu’il est hybride rechargeable.
    $\quad$

Partie B
Dans cette partie, on choisit 500 véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022. Dans la suite, on admettra que la probabilité qu’un tel véhicule soit neuf est égale à $0,65$.
On assimile le choix de ces $500$ véhicules à un tirage aléatoire avec remise.

On appelle $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de véhicules neufs parmi les $500$ véhicules choisis.

  1. On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser la valeur de ses paramètres.
    $\quad$
  2. Déterminer la probabilité qu’exactement $325$ de ces véhicules soient neufs.
    $\quad$
  3. Déterminer la probabilité $p(X\pg 325)$ puis interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

Partie C
On choisit désormais $n$ véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022, où $n$ désigne un entier naturel strictement positif.

On rappelle que la probabilité qu’un tel véhicule soit neuf est égale à $0,65$.

On assimile le choix de ces $n$ véhicules à un tirage aléatoire avec remise.

  1. Donner l’expression en fonction de $n$ de la probabilité $p_n$ que tous ces véhicules soient d’occasion.
    $\quad$
    2. On note $q_n$ la probabilité qu’au moins un de ces véhicules soit neuf. En résolvant une inéquation, déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $q_n \pg 0,9999$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     (5 points)

On considère le pavé droit $ABCDEFGH$ tel que $AB = 3$ et $AD=AE=1$ représenté ci-dessous.

On considère le point $I$ du segment $[AB]$ tel que $\vect {AB}=3\vect{AI}$ et on appelle $M$ le milieu du segment $[CD]$.

On se place dans le repère orthonormé $\left(A;\vect {AI};\vect{AD};\vect{AE}\right)$.

  1. Sans justifier, donner les coordonnées des points $F$, $H$ et $M$.
    $\quad$
  2. a. Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\6\\3\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(HMF)$.
    $\quad$
    b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan $(HMF)$ est :
    $$2x+6y+3z-9=0$$
    $\quad$
    c. Le plan $\mathcal{P}$ dont une équation cartésienne est $5x-15y-3z+7=0$ est-il parallèle au plan $(HMF)$ ? Justifier la réponse.$\quad$
  3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(DG)$.
    $\quad$
  4. On appelle $N$ le point d’intersection de la droite $(DG)$ avec le plan $(HMF)$.
    Déterminer les coordonnées du point $N$.
    $\quad$
  5. Le point $R$ de coordonnées $\left(3;\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}\right)$ est-il le projeté orthogonal du point $G$ sur le plan $(HMF)$? Justifier la réponse.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     (5 points)

On considère la fonction $g$ définie sur l’intervalle $[0; 1]$ par $g(x) = 2x-x^2$.

  1. Montrer que la fonction $g$ est strictement croissante sur l’intervalle $[0; 1]$ et préciser les valeurs de $g(0)$ et de $g(1)$.

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $\begin{cases} u_0=\dfrac{1}{2}\\[3mm] u_{n+1}=g\left(u_n\right)\end{cases}$ pour tout entier naturel $n$.

  1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
    $\quad$
  2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $0<u_n<u_{n+1}<1$.
    $\quad$
  3. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    $\quad$
  4. Déterminer la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$

On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tou tentier naturel $n$ par $v_n=\ln\left(1-u_n\right)$.

  1. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $2$ et préciser son premier terme.
    $\quad$
  2. En déduire une expression de $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  3. En déduire une expression de $u_n$ en fonction de $n$ et retrouver la limite déterminée à la question 5.
    $\quad$
  4. Recopier et compléter le script Python ci-dessous afin que celui-ci renvoie le rang $n$ à  partir duquel la suite dépasse $0,95$.

    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     (5 points)

Soit $a$ un réel strictement positif.
On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$ par $f(x)=a\ln(x)$.
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Soit $x_0$ un réel strictement supérieur à $1$.

  1. Déterminer l’abscisse du point d’intersection de la courbe  $\mathcal{C}$ et de l’axe des abscisses.
    $\quad$
  2. Vérifier que la fonction $F$ définie par $F(x) = a\left(x\ln(x)-x\right)$ est une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
    $\quad$
  3. En déduire l’aire du domaine grisé en fonction de $a$ et de $x_0$.
    $\quad$

On note $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $M$ d’abscisse $x_0$.
On appelle $A$ le point d’intersection de la tangente $T$ avec l’axe des ordonnées et $B$ le projeté orthogonal de $M$ sur l’axe des ordonnées.

  1. Démontrer que la longueur $AB$ est égale à une constante (c’est-à-dire à un nombre qui ne dépend pas de $x_0$) que l’on déterminera. Le candidat prendra soin d’expliciter sa démarche.
    $\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Amérique du Nord – sujet 1 – 21 mai 2024

Amérique du Nord – 21 mai 2024

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$

    $\quad$
    $\begin{align*} P(R\cap E)&=P(R)P_R(E) \\
    &=0,07\times 0,8 \\
    &=0,056\end{align*}$
    $\quad$
  2. $\left(R,\conj{R}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales :
    $\begin{align*} P(E)&=P(R\cap E)+P\left(\conj{R}\cap E\right) \\
    &=P(R)P_R(E)+P\left(\conj{R}\right)P_{\conj{R}}(E) \\
    &=0,056+0,93\times 0,4 \\
    &=0,428\end{align*}$
    La probabilité de tirer une épée est égale à $0,428$.
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_E(R)&=\dfrac{P(R\cap E)}{P(E)} \\
    &=\dfrac{0,056}{0,428} \\
    &\approx 0,131\end{align*}$
    La probabilité que l’objet soir rare sachant qu’il a tiré une épée est environ égale à $0,131$.
    $\quad$

Partie B

  1. On répète $30$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,07$.
    $X$ suit donc la lo binomiale de paramètres $n=30$ et $p=0,07$.
    Son espérance est $E(X)=np=2,1$.
    $\quad$
  2. On a d’après la calculatrice :
    $\begin{align*} P(X<6)&=P(X\pp 5) \\
    &\approx 0,984\end{align*}$
    $\quad$
  3. $\left(P(X\pg k)\right)$ est une suite décroissante.
    Or $P(X\pg 2) \approx 0,631\pg 0,5$ et $P(X\pg 3)\approx 0,351<0,5$.
    Par conséquent le plus grand entier $k$ tel que $P(X\pg k) \pg 0,5$ est $2$.
    La probabilité d’obtenir au moins $2$ objets rares est supérieure à ou égale $0,5$.
    $\quad$
  4. On appelle $Y$ la variable aléatoire comptant le nombre d’objets rares obtenus lorsqu’un joueur tire $N$ objets.
    Pour la même raison qu’à la question B.1. $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $N$ et $p=0,07$.
    $\begin{align*} P(X\pg 1)\pg 0,95 &\ssi 1-P(X=0)\pg 0,95 \\
    &\ssi P(X=0) \pp 0,05 \\
    &\ssi 0,93^N \pp 0,05 \\
    &\ssi N\ln(0,93) \pp \ln(0,05) \qquad \text{croissance de la fonction } \ln \\
    &\ssi N\pg \dfrac{\ln(0,05)}{\ln(0,93)} \qquad \text{car } \ln(0,93)<0 \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(0,05)}{\ln(0,93)}\approx 41,28$.
    Il faut donc tirer au moins $42$ objets afin que la probabilité de tirer au moins un objet rare soit supérieure ou égale à $0,95$.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}3\\1\\-3\end{pmatrix}$.
    Ainsi, en utilisant le point $A(1;0;3)$, une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est $\begin{cases} x=1+3t\\y=t\\z=3-3t\end{cases} \quad t\in \R$.
    Réponse c
    $\quad$
  2. On constate qu’il faut choisir $t=1$ pour avoir $y=6$ dans la représentation paramétrique de $(d)$.
    Or avec cette valeur de $t$ on obtient aucune des trois premières propositions. La bonne réponse doit donc être la dernière.
    Vérifions cela.
    $6t=-9 \ssi t=-\dfrac{3}{2}$.
    Avec cette valeur on obtient alors $x=-3$, $y=-9$ et $z=7$.
    Réponse d
    $\quad$
  3. Un vecteur directeur de $(d)$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}4\\6\\-2\end{pmatrix}$ et un vecteur directeur de $(d’)$ est $\vec{v}\begin{pmatrix}3\\-2\\1\end{pmatrix}$.
    Or $\dfrac{-2}{1}\neq \dfrac{6}{-2}$.
    Les droites $(d)$ et $(d’)$ ne sont ni parallèles, ni confondues.
    Résolvons le système :
    $\begin{align*} \begin{cases} x=3+4t\\y=6t\\z=3-3t\\x=-2+3k\\y=-1-2k\\z=1+k\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=3+4t\\y=6t\\z=3-3t\\3+4t=-2+3k\\6t=-1-2k\\3-3t=1+k\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=3+4t\\y=6t\\z=3-3t\\4t-3k=-5\\6t+2k=-1\\-3t+2=k\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=3+4t\\y=6t\\z=3-3t\\4t+9t-6=-5\\6t-6t+4=-1\\k=2-3t\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=3+4t\\y=6t\\z=3-3t\\13t=1\\4=-1 \qquad \text{impossible}\\k=2-3t\end{cases}\end{align*}$
    Le système n’admet donc pas de solution. Les droites ne sont pas sécantes non plus. Elles sont donc non coplanaires.
    Réponse b
    $\quad$
  4. Un vecteur normal au plant $(P)$ est donc $\vec{u}\begin{pmatrix}4\\6\\-2\end{pmatrix}$.
    Une équation cartésienne du plan $(P)$ est alors de la forme $4x+6y-2z+d=0$.
    Le point $I(2;1;0)$ appartient à ce plan.
    Ainsi $8+6+d=0 \ssi d=-14$.
    Une équation cartésienne de $(P)$ est alors $4x+6y-2z-14=0$ soit, en divisant les deux membres par $2$, $2x+3y-z-7=0$.
    Réponse a
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A : lectures graphiques

  1. Graphiquement $f'(1)$ est le coefficient directeur de la droite $(T)$. Ainsi il semble que $f'(1)= 3$.
    Une équation réduite de $(T)$ semble être $y=3x-4$.
    $\quad$
  2. La courbe $\left(C_f\right)$ semble être en-dessous de ses tangentes sur $]0;1]$ et au-dessus sur $[1;+\infty[$.
    Donc $f$ semble être concave sur $]0;1]$ et convexe sur $[1;+\infty[$.
    $A$ serait donc un point d’inflexion pour $\left(C_f\right)$.
    $\quad$

Partie B : étude analytique

  1. $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2=+\infty$ et $\lim\limits_{t\to +\infty} \ln(t)=+\infty$ par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln\left(x^2\right)=+\infty$.
    Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} x\ln\left(x^2\right)=+\infty$.
    Or $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x}=0$.
    Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
    $\quad$
    Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} f(x)&=x\ln\left(x^2\right)-\dfrac{1}{x} \\
    &=x\times 2\ln(x)-\dfrac{1}{x} \\
    &=2x\ln(x)-\dfrac{1}{x}\end{align*}$
    Par croissances comparées $\lim\limits_{x\to 0^+} x\ln(x)=0$.
    Or $\lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x}=+\infty$.
    Ainsi $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=-\infty$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout réel $x>0$ on a, en utilisant la dernière expression de $f(x)$
    $\begin{align*} f'(x)&=2\ln(x)+2x\times \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2} \\
    &=2\ln(x)+2+\dfrac{1}{x^2}\end{align*}$
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x>0$
    $\begin{align*} f\dsec(x)&=\dfrac{2}{x}-\dfrac{2}{x^3} \\
    &=\dfrac{2x^2-2}{x^3} \\
    &=\dfrac{2\left(x^2-1\right)}{x^3} \\
    &=\dfrac{2(x-1)(x+1)}{x^3}\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. Pour tout réel $x>0$ on a $\dfrac{2(x+1)}{x^3}>0$.
    Ainsi, le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend que de celui de $x-1$.
    Or $x-1=0 \ssi x=1$ et $x-1>0\ssi x>1$.
    $f$ est donc concave sur $]0;1]$ et convexe sur $[1;+\infty[$.
    $\quad$
    b. La fonction $f’$ est donc strictement décroissante sur $]0;1]$ et strictement croissante sur $[1;+\infty[$.
    $f’$ atteint donc son minimum en $1$. Or $f'(1)=3>0$.
    Donc, pour tout réel $x>0$ on a $f'(x)>0$.
    $f$ est ainsi strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
  4. a. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
    $\lim\limits_{x\to 0^-} f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$. Or $0\in ]-\infty;+\infty[$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
    b. D’après la calculatrice $\alpha\approx 1,33$.
    On a :
    $\begin{align*} f(\alpha)=0&\ssi \alpha\ln\left(\alpha^2\right)-\dfrac{1}{\alpha}=0 \\
    &\ssi \alpha\ln\left(\alpha^2\right) =\dfrac{1}{\alpha} \\
    &\ssi \ln\left(\alpha^2\right)=\dfrac{1}{\alpha^2} \qquad \text{car } \alpha \neq 0 \\
    &\ssi \alpha^2=\exp\left(\dfrac{1}{\alpha^2}\right) \qquad \text{croissance de la fonction } \exp\end{align*}$
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. On a :
    $\begin{align*} I_0&=\int_0^{\pi} \sin(x)\dx \\
    &=\big[-\cos(x)\big]_0^{\pi} \\
    &=-(-1)-1 \\
    &=2\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. Pour tout réel $x$ et pour tout entier naturel $n$ on a $\e^{-nx}>0$.
    Pour tout réel $x\in [0;\pi]$ on a $\sin(x)\pg 0$.
    Ainsi, pour tout réel $x\in [0;\pi]$ et tout entier naturel $n$, on a $\e^{-nx}\sin(x)\pg 0$.
    Par positivité de l’intégrale, $I_n\pg 0$.
    $\quad$
    b. Soit $n$ un entier naturel.
    $\begin{align*} I_{n+1}-I_n&=\int_0^{\pi} \e^{-(n+1)x}\sin(x)\dx -\int_0^{\pi} \e^{-n)x}\sin(x)\dx  \\
    &=\int_0^{\pi} \left(\e^{-(n+1)x}-\e^{-nx}\right) \sin(x)\dx \\
    &=\int_0^{\pi} \e^{-nx}\left(\e^{-x}-1\right)\sin(x)\dx\end{align*}$
    Pour tout réel $x\in [0;\pi]$ on a $\e^{-nx}>0$, $\e^{-x}\pp 1$ et $\sin(x)\pg 0$.
    Ainsi $\e^{-nx}\left(\e^{-x}-1\right)\sin(x)\pp 0$.
    Par croissance de l’intégrale (on intègre sur un intervalle croissant) $I_{n+1}-I_n\pp 0$.
    $\quad$
    c. La suite $\left(I_n\right)$ est décroissante et minorée par $0$. D’après le théorème de la limite monotone, elle converge donc.
    $\quad$
  3. a. Pour tout réel $x\in [0;\pi]$ on a $\sin(x) \pp 1$.
    Pour tout entier naturel $n$ on a ainsi $\e^{-nx}\sin(x) \pp \e^{-nx}$.
    Par croissance de l’intégrale (on intègre sur un intervalle croissant) $I_n\pp \ds \int_0^{\pi} \e^{-nx}\dx$.
    $\quad$
    b. Soit $n$ un entier naturel non nul
    $\begin{align*} \int_0^{\pi} \e^{-nx}\dx&=\left[-\dfrac{\e^{-nx}}{n}\right]_0^{\pi} \\
    &=-\dfrac{\e^{-n\pi}-1}{n} \\
    &=\dfrac{1-\e^{-n\pi}}{n}\end{align*}$
    $\quad$
    c. D’après les questions précédentes on a $0\pp I_n \pp \dfrac{1-\e^{-n\pi}}{n}$.
    Or $\lim\limits_{n\to +\infty} \e^{-n\pi}=0$.
    Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1-\e^{-n\pi}}{n}=0$.
    D’après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to +\infty} I_n=0$.
    $\quad$
  4. a. On réalise une intégration par parties à l’aide des fonctions $u$ et $v$ de classe $C^1$ sur $[0;\pi]$ définies par : $$\begin{array}{lll}u(x)=\e^{-nx}&\phantom{1234}&u'(x)=-n\e^{-nx} \\
    v(x)=-\cos(x)&&v'(x)=\sin(x)\end{array}$$
    Ainsi :
    $\begin{align*} I_n&=\int_0^{\pi} \e^{-nx}\sin(x)\dx \\
    &=\Big[-\e^{-nx}\cos(x)\Big]_0^{pi}-n\int_0^{\pi} \e^{-nx}\cos(x)\dx \\
    &=1+\e^{-n\pi}-nJ_n\end{align*}$
    $\quad$
    On réalise une autre intégration par parties à l’aide des fonctions $u$ et $v$ de classe $C^1$ sur $[0;\pi]$ définies par : $$\begin{array}{lll}u(x)=sin(x)&\phantom{1234}&u'(x)=\cos(x) \\
    v(x)=-\dfrac{1}{n}\e^{-nx}&&v'(x)=\e^{-nx}\end{array}$$
    Ainsi :
    $\begin{align*} I_n&=\int_0^{\pi} \e^{-nx}\sin(x)\dx \\
    &= \left[-\dfrac{1}{n}\e^{-nx}\sin(x)\right]_0^{\pi}+\dfrac{1}{n}\int_0^{\pi} \e^{-nx}\cos(x)\dx\\
    &=\dfrac{1}{n}J_n\end{align*}$
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ non nul on a :
    $\begin{align*} 1+\e^{-n\pi}-nJ_n=\dfrac{1}{n}J_n&\ssi \left(\dfrac{1}{n}+n\right)J_n=1+\e^{-n\pi} \\
    &\ssi \dfrac{1+n^2}{n}J_n=1+\e^{-n\pi} \\
    &\ssi J_n=\dfrac{n}{n^2+1}\left(1+\e^{-n\pi}\right)\end{align*}$
    Or
    $\begin{align*} I_n&=\dfrac{1}{n}J_n \\
    &=\dfrac{1}{n}\times \dfrac{n}{n^2+1}\left(1+\e^{-n\pi} \right)\\
    &=\dfrac{1+\e^{-n\pi}}{n^2+1}\end{align*}$
    $\quad$
  5. On peut écrire :

    $\quad$

Énoncé

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 1     (5 points)

Un jeu vidéo récompense par un objet tiré au sort les joueurs ayant remporté un défi. L’objet tiré peut être « commun » ou « rare ». Deux types d’objets communs ou rares sont disponibles, des épées et des boucliers.

Les concepteurs du jeu vidéo ont prévu que :

  • la probabilité de tirer un objet rare est de $7 \%$ ;
  • si on tire un objet rare, la probabilité que ce soit une épée est de $80 \%$ ;
  • si on tire un objet commun, la probabilité que ce soit une épée est de $40 \%$.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Un joueur vient de remporter un défi et tire au sort un objet.
On note :

  • $R$ l’événement « le joueur tire un objet rare » ;
  • $E$ l’événement « le joueur tire une épée » ;
  •  $\conj{R}$ et $\conj{E}$ les événements contraires des événements $R$ et $E$.
  1. Dresser un arbre pondéré modélisant la situation, puis calculer $P(R\cap E)$.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité de tirer une épée.
    $\quad$
  3. Le joueur a tiré une épée. Déterminer la probabilité que ce soit un objet rare. Arrondir le résultat au millième.
    $\quad$

Partie B

Un joueur remporte $30$ défis.
On note $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre d’objets rares que le joueur obtient après avoir remporté $30$ défis. Les tirages successifs sont considérés comme indépendants.

  1. Déterminer, en justifiant, la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$.
    Préciser ses paramètres, ainsi que son espérance.
    $\quad$
  2. Déterminer $P(X < 6)$. Arrondir le résultat au millième.
    $\quad$
  3. Déterminer la plus grande valeur de $k$ telle que $P(X\pg k)  \pg 0,5$. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  4. Les développeurs du jeu vidéo veulent proposer aux joueurs d’acheter un « ticket d’or » qui permet de tirer $N$ objets. La probabilité de tirer un objet rare reste de $7 \%$.
    Les développeurs aimeraient qu’en achetant un ticket d’or, la probabilité qu’un joueur obtienne au moins un objet rare lors de ces $N$ tirages soit supérieure ou égale à $0,95$.
    Déterminer le nombre minimum d’objets à tirer pour atteindre cet objectif. On veillera à détailler la démarche mise en œuvre.
    $\quad$

Exercice 2     (4 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.

Les cinq questions sont indépendantes.

L’espace est rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$.

  1. On considère les points $A(1; 0; 3)$ et $B(4; 1; 0)$.
    Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est :
    a. $\begin{cases} x=3+t\\y=1\\z=-3+3t\end{cases}~~$ avec $t\in \R$
    b. $\begin{cases} x=1+4t\\y=t\\z=3\end{cases}~~$ avec $t\in \R$
    c. $\begin{cases} x=1+3t\\y=t\\z=3-3t\end{cases}~~$ avec $t\in \R$
    d. $\begin{cases} x=4+t\\y=1\\z=3-3t\end{cases}~~$ avec $t\in \R$
    $\quad$

On considère la droite $(d)$ de représentation paramétrique $\begin{cases} x=3+4t\\y=6t\\z=4-2t\end{cases}~~$ avec $t\in \R$.

  1. Parmi les points suivants, lequel appartient à la droite $(d)$ ?
    a. $M(7; 6; 6)$
    b. $N(3; 6; 4)$
    c. $P(4; 6; -2)$
    d. $R(-3; -9; 7)$
    $\quad$
  2. On considère la droite $(d’)$ de représentation paramétrique $\begin{cases} x=-2+3k\\y=-1-2k\\z=1+k\end{cases}~~$ avec $k\in \R$.
    Les droites $(d)$ et $(d’)$ sont :
    a. sécantes
    b. non coplanaires
    c. parallèles
    d. confondues
    $\quad$
  3. On considère le plan $(P)$ passant par le point $I(2; 1; 0)$ et perpendiculaire à la droite $(d)$. Une équation du plan $(P)$ est :
    a. $2x+3y-z-7=0$
    b. $-x+y-4z+1=0$
    c. $4x+6y-2z+9=0$
    d. $2x+y+1=0$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     (5 points)

Le but de cet exercice est d’étudier la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0;+\infty[$ par : $$f(x)=x \ln\left(x^2\right)-\dfrac{1}{x}$$

Partie A : lectures graphiques

On a tracé ci-dessous la courbe représentative $\left(C_f\right)$ de la fonction $f$, ainsi que la droite $(T)$, tangente à la courbe $\left(C_f\right)$ au point $A$ de coordonnées $(1; -1)$. Cette tangente passe également par le point $B(0; -4)$.

  1. Lire graphiquement $f'(1)$ et donner l’équation réduite de la tangente $(T)$.
    $\quad$
  2. Donner les intervalles sur lesquels la fonction $f$ semble convexe ou concave.
    Que semble représenter le point $A$ pour la courbe $\left(C_f\right)$ ?
    $\quad$

Partie B : étude analytique

  1. Déterminer, en justifiant, la limite de $f$ en $+\infty$, puis sa limite en $0$.
    $\quad$
  2. On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
    a. Déterminer $f'(x)$ pour $x$ appartenant à l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
    $\quad$
    b. Montrer que pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $]0 ; +\infty[$, $f \dsec(x)=\dfrac{2(x+1)(x-1)}{x^3}$
    $\quad$
  3. a. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
    $\quad$
    b. Étudier les variations de la fonction $f’$, puis le signe de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
    En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
    $\quad$
  4. a. Montrer que l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $]0; +\infty[$.
    $\quad$
    b. Donner la valeur arrondie au centième de $\alpha$ et montrer que $\alpha$ vérifie : $$\alpha^2=\exp\left(\dfrac{1}{\alpha^2}\right)$$

$\quad$

$\quad$

Exercice 4     (6 points)

Pour tout entier naturel $n$, on considère les intégrales suivantes :

$$\begin{array}{l} I_n= \ds  \int_0^{\pi} \e^{-nx}\sin(x)\dx\\J_n=\ds \int_0^{\pi} \e^{-nx}\cos(x)\dx \end{array}$$

  1. Calculer $I_0$.
    $\quad$
  2. a. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $I_n \pg 0$.
    $\quad$
    b. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $I_ {n+1}-I_n \pp 0$.
    $\quad$
    c. Déduire des deux questions précédentes que la suite $\left(I_n\right)$ converge.
    $\quad$
  3. a. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $$I_n \pp  \int_0^{\pi} \e^{-nx}\dx$$
    $\quad$
    b. Montrer que, pour tout entier naturel $n\pg 1$, on a : $$\int_0^{\pi} \e^{-nx}\dx =\dfrac{1-\e^{-n\pi}}{n}$$
    $\quad$
    c. Déduire des deux questions précédentes la limite de la suite $\left(I_n\right)$.
    $\quad$
  4. a. En intégrant par parties l’intégrale $I_n$ de deux façons différentes, établir les deux relations suivantes, pour tout entier naturel $n\pg 1$ :
    $$I_n=1-\e^{-n\pi}-nJ_n \qquad \text{et} \qquad I_n=\dfrac{1}{n}J_n$$
    $\quad$
    b. En déduire que, pour tout entier naturel $n\pg 1$, on a $I_n=\dfrac{1+\e^{-n\pi}}{n^2+1}$.
    $\quad$
  5. On souhaite obtenir le rang $n$ à partir duquel la suite $\left(I_n\right)$ dévient inférieur à $0,1$.
    Recopier et compléter la cinquième ligne du script Python ci-dessous avec la commande appropriée.